ANALISIS DERET WAKTU

Abdul Kudus, SSi., MSi., PhD.Selasa, 15.00 – 17.30 di R313

IO 12.20 – 14.50 di 206Senin, 11.30 – 14.00 di 307B

IO tambahan 10.00 – 12.30 di FMIPA

DEKOMPOSISINotasi

nt xxxntx ,,,,,1: 21 Data deret waktu dengan panjang pengamatan n

atau cukup , jika panjang pengamatan sudah jelas. txRata-rata sampel

n

xx i

Prediksi atau ramalan

tktx |ˆ adalah ramalan yang dibuat pada waktu t untuk nilai ramalan pada waktu t+k

Model

Dekomposisi aditif tttt zsmx mt : trendst : efek musimanzt : error

Jika efek musiman cenderung meningkat seiring peningkatan trend, model yang tepat adalah model multiplikatif (perkalian):

tttt zsmx Model aditif dalam log

tttt zsmx log

Menaksir Trend dan Efek Musiman

Menaksir trend mt pada waktu t dapat dilakukan dengan menghitung rata-rata bergerak (moving average) yang berpusat di t.

Misal untuk data bulanan (periode 1 tahun atau 12 bulan)

Taksiran efek aditif bulanan (musiman)

ttt mxs ˆˆ Jika efek bulanannya multiplikatif

ttt mxs ˆ/ˆ Lalu ini dirata-ratakan utk bulan tertentu (misal Januari), sehingga kita dapatkan taksiran tunggal efek bulan tersebut (misal Januari).

ts

Adapun komponen random (residu) adalah tttt smxz ˆˆˆ

Membuat Dekomposisi dalam R (decompose)

Contoh data LISTRIK.plot(decompose(Elec.ts))

200060001

0000

ob

se

rve

d

2000

6000

10000

tre

nd

-500

0500

se

aso

na

l

-600-2

00

200

600

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

ran

do

m

Time

Decomposition of additive time series

Error-nya masih jelek (tidak acak)

Coba model MultiplikatifElec.decom <- decompose(Elec.ts, type = "mult")plot(Elec.decom)

2000

6000

1000

0

ob

serv

ed

2000

6000

1000

0

tre

nd

0.90

1.00

1.10

sea

son

al

0.94

0.98

1.02

1.06

1960 1965 1970 1975 1980 1985 1990

ran

do

m

Time

Decomposition of multiplicative time series

Variasi errornya meningkat utk nilai trend yg besar

Trend <- Elec.decom$trendSeasonal <- Elec.decom$seasonalts.plot(cbind(Elec.ts,Trend, Trend * Seasonal), col = 2:4)

Data asliTaksiran Trend

Taksiran Model

TUGAS: Bagian 1.7 Latihan No. 1 halaman 24

E-mail: akudus69@yahoo.comdeadline Senin 17 Okt pukul 23.59

KORELASISetelah kita lakukan dekomposisi, maka komponen random TIDAK PERLU dimodelkan dengan variabel acak yang bebas. Seringkali komponen random ini berkorelasi.

Jika kita bisa mengidentifikasi korelasi tsb Ramalan akan lebih baik

Struktur korelasi dari data deret waktu dimodelkan oleh fungsi korelasi.E(x) = rata-rata populasi dari x, yaitu

2xE = rata-rata populasi dari simpangan di sekitar , yang disebut dengan varians 2

= kovarians

Kovarians merupakan ukuran hubungan linier antara dua variabel x dan y.Kovarians sampel adalah

dalam R dihitung dengan cov

> www <- "http://www.massey.ac.nz/~pscowper/ts/Herald.dat"> Herald.dat <- read.table(www, header = T)> attach (Herald.dat)> x <- CO; y <- Benzoa; n <- length(x)> sum((x - mean(x))*(y - mean(y))) / (n - 1)[1] 5.511042> mean((x - mean(x)) * (y - mean(y)))[1] 5.166602> cov(x, y)[1] 5.511042

Penaksir yang bias

Tidak spt kovarians yang mempunyai satuan, maka korelasi tidak mempunyai satuan (dimensionless)

Korelasi sampel:

dalam R menggunakan perintah cor

> cov(x,y) / (sd(x)*sd(y))[1] 0.3550973> cor(x,y)[1] 0.3550973

Ke-STASIONER-anFungsi rata-rata populasi dari model deret waktu:Jika fungsi ini konstan, (t) = , maka model deret waktu tersebut adalah stasioner dalam rata-ratanya. Taksiran sampelnya:

Fungsi VariansFungsi varians bagi model deret waktu yg stasioner dalam rata-ratanya adalah:

Jika fungsi ini konstan, 2(t) = 2, maka model deret waktu tersebut adalah stasioner dalam variansnya. Taksiran sampelnya:

AutokorelasiDalam analisis deret waktu yang memegang peranan penting adalah: 1) rata-rata, 2) varians dan 3) korelasi serial (autokorelasi)

Bagi model deret waktu yang stasioner dalam rata-rata dan varians, antar pengamatan mungkin berkorelasi dan ia dikatakan stasioner berderajat dua (second-order stationarity), jika autokorelasinya hanya tergantung dari selisih lag-nya.

Jika deret waktu bersifat stasioner berderajat dua, maka fungsi autokovarians (autocovariance = acvf), k, didefinisikan sbg:

tidak tergantung dari t

Fungsi autokorelasi (acf) lag k, k, adalah

Selanjutnya istilah stasioner berderajat dua cukup disebut “stasioner” saja.

Taksiran sampel bagi:1. acvf adalah ck, yaitu:

2. acf adalah rk, yaitu:

Keterangan: penyebutnya adalah n, meskipun banyaknya pasangan yang terlibat dalam penghitungan ada sebanyak n k

varians

Contoh:> www <- "http://www.massey.ac.nz/~pscowper/ts/wave.dat"> wave.dat <- read.table (www, header=T)> attach(wave.dat)> layout(1:2)> plot(ts(waveht)) > plot(ts(waveht[1:60]))

Time

ts(w

ave

ht)

0 100 200 300 400

-50

00

50

0

Time

ts(w

ave

ht[1

:60

])

0 10 20 30 40 50 60

-60

00

40

0

> plot(waveht[1:395],waveht[2:396])> abline(h=0)> abline(v=0)

-500 0 500

-50

00

50

0

waveht[1:395]

wa

veh

t[2:3

96

]

Dalam R, nilai autokorelasi dan autokovarians dihitung dgn perintah acf.> acf(waveht)$acf [,1] [1,] 1.000000000 [2,] 0.470256396 [3,] -0.262911528 [4,] -0.498917020 [5,] -0.378706643 [6,] -0.214992933 [7,] -0.037917306 [8,] 0.177644329 [9,] 0.269315275[10,] 0.130385337dst

r1

r2

r3

r4

r5

r6

r7

r8

r9

> acf(waveht,type = c("covariance"))$acf [,1] [1,] 70872.8002 [2,] 33328.3876 [3,] -18633.2762 [4,] -35359.6463 [5,] -26840.0002 [6,] -15237.1512 [7,] -2687.3057 [8,] 12590.1510 [9,] 19087.1277[10,] 9240.7739dst...

c1

c2

c3

c4

c5

c6

c7

c8

c9

c0 = varians

KorelogramHasil utama dari perintah acf sebenarnya adalah plot dari rk versus k, yang disebut korelogram.

0 5 10 15 20 25

-0.5

0.0

0.5

1.0

Lag

AC

F

Series waveht> acf(waveht)

Jika k = 0, distribusi sampling dari rk akan mendekati

nnNormal

1,1

Sehingga konfiden interval-nya

var21

n

yaitunn

21

Jadi jika terdapat nilai rk yang di luar batas, maka artinya nilai autokorelasinya signifikan (k 0)