ANALISIS ALGORITMA PADA MASALAH SORTING

Dalam ilmu komputer algoritma pengurutan adalah

bull algoritma yang meletakkan elemen-elemen suatu kumpulan data dalam urutan tertentu Atau

bull proses pengurutan data yg sebelumnya disusun secara acak sehingga menjadi tersusun secara teratur menurut suatu aturan Tertentu

bull Yang pada kenyataannya lsquourutan tertentursquo yang umum digunakan adalah secara terurut secara numerikal ataupun secara leksikografi (urutan secara abjad sesuai kamus)

bull Ada 2 jenis sorting Ascending (naik) amp Descending (turun)

Jenis-jenis algoritma pengurutan

Exchange Sort

melakukan pembandingan antar data dan melakukan pertukaran apabila urutan yangdidapat belum sesuai

Contohnya Bubble sort Cocktail sort Comb sort Gnome sort Quicksort

Selection Sort

mencari elemen yang tepat untuk diletakkan di posisi yang telah diketahui dan meletakkannya di posisi tersebut setelah data tersebut ditemukan

Contohnya Selection sort Heapsort Smoothsort Strand sort

Insertion Sort

mencari tempat yang tepat untuk suatu elemen data yang telah diketahui ke dalam subkumpulan data yang telah terurut kemudian melakukan penyisipan (insertion) data di tempat yang tepat tersebut

Contohnya adalah Insertion sor Shell sort Tree sort Library sort Patience sorting

Merge Sort

data dibagi menjadi subkumpulan-subkumpulan yang kemudian subkumpulan tersebut diurutkan secara terpisah dan kemudian digabungkan kembali dengan metode merging algoritma ini melakukan metode pengurutan merge sort juga untuk mengurutkan subkumpulandata tersebut atau dengan kata lain pengurutan dilakukan secara rekursif

Contohnya adalah Merge sort

Non-Comparison Sort

proses pengurutan data yang dilakukan algoritma ini tidak terdapat pembandinganantardata data diurutkan sesuai dengan pigeon hole principleContohnya adalah Radix sort Bucket sort Counting sort Pigeonhole sort Tally sort

Kompleksitas AlgoritmaKompleksitas dari suatu algoritma merupakan ukuran seberapa banyak komputasi yang dibutuhkan algoritma tersebut untuk mendapatkan hasil yang diinginkan Algoritma yang dapat memperoleh hasil yang diinginkan dalam waktu yang singkat memiliki kompleksitas yang rendah sementara algoritma yang membutuhkan waktu yang lama untuk memperoleh hasil tersebut mempunyai kompleksitas yang tinggi Biasanya kompleksitas algoritma dinyatakan secara asimptotik dengan notasi big-OJika kompleksitas waktu untuk menjalankan suatu algoritma dinyatakan dengan T(n) dan memenuhi T(n) le C(f(n)) untuk n ge n0 maka kompleksitas dapat dinyatakan denganT(n) = O(f(n))

1 Radix sort

Ide dasar dari metode Radix sort ini adalah mengkategorikan data-data menjadi sub kumpulan subkumpulan data sesuai dengan nilai radix-nya mengkonkatenasinya kemudianmengkategorikannya kembali berdasar nilai radix lainnya

Contohnya adalah pengurutan sebuah kumpulan data bilangan bulat dengan jumlah digit maksimal 3

121 076 823 367 232 434 742 936 274

Pertama ndash tama dibagi sesuai digit yang paling kanan

121 076 823 367 232 434 742 936 274

Kategori digit

Isi

0 -1 1212 2327423 8234 4342745 -6 769367 3678 -9 -

Lalu diurutkan menjadi

121 232 742 823 434 274 076 936 367

Lalu diurutkan lagi sesuai digit kedua

Kategori digit

Isi

012 1218233 2324349364 74256 367

7 27407689

Lalu diurutkan menjadi

121823232434936742367274076

Kemudian diurutkan lagi sesuai digit ketiga

Kategori digit

Isi

0 076

1 1212 2322743 3674 434567 7428 8239 936

Maka hasil pengurutannya

076 121 232 274 367 434 742 823 936

Implementasi dalam bilanganpecahan negatif [7]Terdapat kekacauan bila dengan penyelesaian pengurutan bilangan pecahan positif diimplementasikan pada kasus ini karena bilangan pecahan negatif diurutkan pada posisi terakhir misalnya seperti 208300000027850000008080000000101160000001057800000012974000000-660000000-4906000000-10050000000-16343000000Dapat dilihat bahwa nilai negatifnya sudah terurut namun dalam tempat dan susunan yang salah (urutan dimulai dari yang terbesar) Solusinya yang pertama yaitu perlu mencari banyak nilai negatif Tanda suatu bilangan ditentukan oleh MSB dan yang ingin kita cari adalah nomor entitas yang memiliki MSB 1Pada proses radix terdapat 128 entri pada counter terakhir Yang harus dilakukan adalah menjumlahkannya

NbNegativeValues = 0For (i=128 ilt256 i++) NbNegatifValues+=LastCounter[i]

Untuk pengurutan yang kurang dari 128 entri algoritma brute force akan bekerja lebih efisienNamun radix sort merupakan algoritma yang bertujuan mengurutkan sejumlah informasi yang

berjumlah relatif besar Yang perlu dilakukan untuk menutupi kelemahan algoritma ini agar mendapatkan hasil pengurutan akhir yang benar adalah memperbaiki dua hal yaitu tempat dansusunan yang belum benar

Pertama perbaikan jika entri bilangan positif Misalkan M adalah sebuah bilangan entri negative yang telah dihitung sebelumnya harus dipastikan bahwa pecahan positif dimulaisetelah pecahan yang negatif Perbaikan pada tempat yang salah dilakukan dengan memaksa offset positif yang pertama sebagai M

Offset[0] = M

Karena pengurutan untuk entri bilangan positif sudah benar maka perbaikan untuk kasus bilangan positif sudah selesai Selanjutnya perbaikan jika entri adalah bilangan negatif Ambil kembali -163430 yang merupakan hasil pengurutan terakhir dari pengurutan di atas Seharusnya entri ini berada pada urutan paling awal setelah proses pengurutan dilakukan Perbaikan pertama dengan memaksa membersihkan offset yang relatif terhadap entri paling akhir

Offset[255] = 0

Dari sini akan diurutkan sisa entri negatif dalam susunan menaik dengan cara membalik susunan pada status awal radix sort

for(i=0ilt127i++)Offset[254-i] =Offset[255-i] +LastCounter[255-i]

Kode ini mengurutkan offset pada range 254-0 sd 255-126 yaitu dari 254 sd 128 atau dengan kata lain offset dalam entri negatif Mengurutkannya dalam susunan terbalik memulai dari offset 255 (null) akan membuat pecahan negatif dalam susunan benar

Algoritma dan Kompleksitas Waktu Radix Sort [3]

Asumsikan bahwa kunci item yang diurutkan mempunyai rentang k fi| i=0k-1 dan setiap fimemiliki nilai diskret si lalu prosedur radix sortnya dapat dituliskan seperti berikut

radixsort( A n ) for(i=0iltki++)

for(j=0jltsij++)bin[j] = EMPTY O(si)

for(j=0jltnj++) move Ai to the end of bin[Ai-gtfi] O(n

)

for(j=0jltsij++)concatenate bin[j] onto the end

of A O(si)

Radix Sort merupakan teknik algoritma pengurutanSekarang misalnya kita ambil contoh kuncinya yaitu bilangan integer dalam range (0bk-1) untuk beberapa nilai konstan k lalu kunci tersebut dapat dilihat sebagai k-digit base-b integers Jadi si = b untuk semua i dan kompleksitas waktunya menjadi O(n+kb) atau O(n) Jika k diperbolehkan ditambah dengan n maka kita mendapatkan kasus berbeda Contohnya yaitu dibutuhkan log2n digit biner untuk merepresentasikan sebuah integer lt n Jika panjang kunci diperbolehkan ditambah dengan n maka k = log n dan kita mendapatkan

Kesimpulan yang banyak mengundang kontrovensi sebagaimana yang diketahui banyak orang bahwa kemampuannya terbatas pada bilangan integer Namun seiring dengan eksplorasi yang dilakukan ternyata Radix Sort juga bisa digunakan untuk mengurutkan bilangan pecahan bahkan pecahan negatif Metode ini men-scanning digit-digit pada suatubilangan yang dirunut dari digit terakhir hingga digit pertama tetapi bukanlah masalah untuk mengatasi bilangan pecahan yaitu dengan merepresentasikan 5 bilangan tersebut ke dalam representasi biner atauheksa yang memiliki konfigurasi tertentu dengan kompleksitas waktu yang sebanding dengan metode pencarian yang telah diakui oleh banyak orang sebagai metode tercepat yaitu Quick Sort Atau bahkan metode Radix Sort ini memiliki kompleksitas waktu yang lebih cepat dari Quick Sort dalam kasus tertentu

include ltiostreamhgtinclude ltstdlibhgtinclude ltstringhgt

void radix (int byte long N long source long dest)

long count[256] long index[256] memset (count 0 sizeof (count)) for ( int i=0 iltN i++ ) count[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++

index[0]=0 for ( i=1 ilt256 i++ ) index[i]=index[i-1]+count[i-1] for ( i=0 iltN i++ ) dest[index[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++] = source[i]

void radixsort (long source long temp long N) radix (0 N source temp) radix (1 N temp source) radix (2 N source temp) radix (3 N temp source)

void make_random (long data long N) for ( int i=0 iltN i++ ) data[i]=rand()|(rand()ltlt16)

long data[100]long temp[100]

void main (void) make_random(data 100) radixsort (data temp 100) for ( int i=0 ilt100 i++ ) cout ltlt data[i] ltlt n

2 Bubble sort

Algoritma dimulai dari elemen paling awal

2 buah elemen pertama dari list dibandingkan Jika elemen pertama lebih besar dari elemen kedua keduadilakukan pertukaran Langkah 2 dan 3 dilakukan lagi terhadap elemen kedua dan ketiga seterusnya sampai ke ujung elemen Bila sudah sampai ke ujung dilakukan lagi ke awal sampai tidak ada terjadi lagi pertukaran elemen Bila tidak ada pertukaran elemen lagi maka list elemen sudah terurutPada iterasi ke-i pemeriksaan tsb dilakukan pula dalam loop-for sbb

deskripsiadatukar trueI 1While (Iltn) and (adatukar) doJ 1Adatukar false

While j lt= (n-I) doIf x[j] gt x[j+1] thenAdatukar truetemp x[j]X[j] x[j+1]x[j+1] tempendifj j+1endwhileI i+1endwhileLoop-for tersebut akan menggeser bilangan bilangan terkecil ke posisi i Loop-for dilakukan hanya sampai ke i karena pada iterasi ke-i data dalam x[0] x[1] x[I 1] merupakan yang paling kecil dan sudah terurut hasil pengeseran yang dilakukan setiap loop sebelumnya Oleh sebab itu iterasi hanya dilakukan untuk harga i=0 1 n-2 atau sampai tidak terjadi penukaran dalam suatu iterasi

1048697 Keuntungan lain dari algoritma ini adalah dapat dijalankan dengan cukup cepat dan efisien untuk mengurutkan list yang urutannya sudah hampir benar1048697 Selain kasus terbaik tersebut komleksitas untuk algoritma ini adalah O(nsup2)1048697 Karenanya algoritma ini termasuk sangat tidak efisien untuk dilakukan apalagi jika pengurutan dilakukan terhadap elemen yang banyak jumlahnya1048697 Biasanya bubble sort digunakan untuk mengenalkan konsep dari sorting algoritma pada pendidikan komputer karena idenya yang cukup sederhana

Buble sort membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya Ketika satu proses selesai maka bublesort akan mengulangi proses begitu seterusnya Dan hanya berhenti saat semua data selesai diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan Implementasi dari bublesort adalah sederhana tetapi lambat

Kompleksitas bubble sortAlgoritma di dalam bubble sort terdiri dari 2 kalang (loop) bertingkat Kalang pertama berlangsung selama N-1 kali Indeks untuk kalang pertama adalah Pass Kemudian kalang tingkat kedua berlangsung dari N sampai dengan Pass+1 Dengan demikian proses compare yang terjadi sebanyak

T(n)=(N-1)+(N-2)+hellip+2+1

n-1=sum N-I = N(N-1)2 I=1

T(n) = N(N-1)2= O(n2)

T(n) ini merupakan kompleksitas untuk kasus terbaik ataupun terburuk Hanya saja pada kasus terbaik yaitu pada kasus jika struktur data telah terurut sesuai perintah proses Pass terjadi tanpa adanya assignment Hal ini jelas menunjukkan bahwa algoritma akan berjalan lebih cepat Hanya saja tidak terlalu signifikan menurut Wikipedia2 algoritma bubble sort jika dikembangkan kompleksitasnya mencapai Ω(n) Hal ini hanya terjadi jika memanfaatkan tipe data boolean untuk menyatakan bahwa proses penukaran tak perlu dilakukan lagi Dengan demikian kompleksitas Ω(n) tidak berlaku bagi pseudocode di atas Untuk itu perlu dilakukan perubahan Perubahan yang terjadi pada pseudocode-nya dapat diperhatikan sebagai berikutProcedure BubbleSort (InputOutputT TabInt Input N integer)mengurut tabel integer [1 N]dengan Bubble Sort dengan memanfaatkanbooleanKamusi integerPass integerTemp integerTukar booleanAlgoritmaPass 1Tukar truewhile (Pass le N-1) and (Tukar) doTukar falsei traversal [NPass+1]if (Ti lt Ti-1) thenTemp TiTi Ti-1Ti-1 TempTukar trueT[1Pass] terurut

Dengan demikian ketika Pass terjadi sekali melalui semua bagian struktur data kemudian ditemukan bahwa tidak diperlukan lagi proses penukaran elemen maka proses pass akan berhenti Bubble sort hanya melakukan N-1 perbandingan di dalam algoritmanya dan menetapkan bahwa struktur data telah terurut Dengan demikian ( ) ( ) min T n = N = O n Sementara ( ) max T n nya tetap sama Bubble sort tergolong algoritma yang paling tidak efisien di antara algoritma sorting dengan kompleksitas O(n2 ) Berikut ini adalah data analisis empiris efisiensi Bubble Sort

Berdasarkan tabel tidak ada perbedaan performansi secara signifikan untuk pengurutan terhadap 100 item atau kurang Namun bubble sort tidak disarankan untuk pengurutan yang terus berulang atau pengurutan yang menangani lebih dari 200 item

3 Merge sort

Merge (Quicksort) Sort memanfaatkan proses rekursi (pemanggilan diri sendiri) sampai habis Prinsipmetode ini membagi data menjadi dua bagian yang sama (kiri dan kanan) dimana data tengah (mid pivot) menjadi pusat operasi Jika data dikiri lebih kecil dari mid maka pisahkan kekiri Jika data dikanan lebih besar daripada mid maka pisahkan ke kanan Begitu seterusnya Meskipun metode ini cepat akan tetapi mplementasinya agak rumit

Pola Divide and ConquerBeberapa algoritma mengimplementasikan konsep rekursi untuk menyelesaikan permasalahan Permasalahan utama kemudian dipecah menjadi sub-masalah kemudian solusi dari sub-masalah akan membimbing menuju solusi permasalahan

Pada setiap tingkatan rekursi pola tersebut terdiri atas 3 langkah1 DivideMemilah masalah menjadi sub masalah2 ConquerSelesaikan sub masalah tersebut secara rekursif Jika sub-masalah tersebut cukup ringkas dan sederhana pendekatan penyelesaian secara langsung akan lebih efektif3 KombinasiMengkombinasikan solusi dari sub-masalah yang akan membimbing menuju penyelesaian atas permasalahan utama

Merge Sort

data dibagi menjadi subkumpulan-subkumpulan yang kemudian subkumpulan tersebut diurutkan secara terpisah dan kemudian digabungkan kembali dengan metode merging algoritma ini melakukan metode pengurutan merge sort juga untuk mengurutkan subkumpulandata tersebut atau dengan kata lain pengurutan dilakukan secara rekursif

Contohnya adalah Merge sort

Non-Comparison Sort

proses pengurutan data yang dilakukan algoritma ini tidak terdapat pembandinganantardata data diurutkan sesuai dengan pigeon hole principleContohnya adalah Radix sort Bucket sort Counting sort Pigeonhole sort Tally sort

Kompleksitas AlgoritmaKompleksitas dari suatu algoritma merupakan ukuran seberapa banyak komputasi yang dibutuhkan algoritma tersebut untuk mendapatkan hasil yang diinginkan Algoritma yang dapat memperoleh hasil yang diinginkan dalam waktu yang singkat memiliki kompleksitas yang rendah sementara algoritma yang membutuhkan waktu yang lama untuk memperoleh hasil tersebut mempunyai kompleksitas yang tinggi Biasanya kompleksitas algoritma dinyatakan secara asimptotik dengan notasi big-OJika kompleksitas waktu untuk menjalankan suatu algoritma dinyatakan dengan T(n) dan memenuhi T(n) le C(f(n)) untuk n ge n0 maka kompleksitas dapat dinyatakan denganT(n) = O(f(n))

1 Radix sort

Ide dasar dari metode Radix sort ini adalah mengkategorikan data-data menjadi sub kumpulan subkumpulan data sesuai dengan nilai radix-nya mengkonkatenasinya kemudianmengkategorikannya kembali berdasar nilai radix lainnya

Contohnya adalah pengurutan sebuah kumpulan data bilangan bulat dengan jumlah digit maksimal 3

121 076 823 367 232 434 742 936 274

Pertama ndash tama dibagi sesuai digit yang paling kanan

121 076 823 367 232 434 742 936 274

Kategori digit

Isi

0 -1 1212 2327423 8234 4342745 -6 769367 3678 -9 -

Lalu diurutkan menjadi

121 232 742 823 434 274 076 936 367

Lalu diurutkan lagi sesuai digit kedua

Kategori digit

Isi

012 1218233 2324349364 74256 367

7 27407689

Lalu diurutkan menjadi

121823232434936742367274076

Kemudian diurutkan lagi sesuai digit ketiga

Kategori digit

Isi

0 076

1 1212 2322743 3674 434567 7428 8239 936

Maka hasil pengurutannya

076 121 232 274 367 434 742 823 936

Implementasi dalam bilanganpecahan negatif [7]Terdapat kekacauan bila dengan penyelesaian pengurutan bilangan pecahan positif diimplementasikan pada kasus ini karena bilangan pecahan negatif diurutkan pada posisi terakhir misalnya seperti 208300000027850000008080000000101160000001057800000012974000000-660000000-4906000000-10050000000-16343000000Dapat dilihat bahwa nilai negatifnya sudah terurut namun dalam tempat dan susunan yang salah (urutan dimulai dari yang terbesar) Solusinya yang pertama yaitu perlu mencari banyak nilai negatif Tanda suatu bilangan ditentukan oleh MSB dan yang ingin kita cari adalah nomor entitas yang memiliki MSB 1Pada proses radix terdapat 128 entri pada counter terakhir Yang harus dilakukan adalah menjumlahkannya

NbNegativeValues = 0For (i=128 ilt256 i++) NbNegatifValues+=LastCounter[i]

Untuk pengurutan yang kurang dari 128 entri algoritma brute force akan bekerja lebih efisienNamun radix sort merupakan algoritma yang bertujuan mengurutkan sejumlah informasi yang

berjumlah relatif besar Yang perlu dilakukan untuk menutupi kelemahan algoritma ini agar mendapatkan hasil pengurutan akhir yang benar adalah memperbaiki dua hal yaitu tempat dansusunan yang belum benar

Pertama perbaikan jika entri bilangan positif Misalkan M adalah sebuah bilangan entri negative yang telah dihitung sebelumnya harus dipastikan bahwa pecahan positif dimulaisetelah pecahan yang negatif Perbaikan pada tempat yang salah dilakukan dengan memaksa offset positif yang pertama sebagai M

Offset[0] = M

Karena pengurutan untuk entri bilangan positif sudah benar maka perbaikan untuk kasus bilangan positif sudah selesai Selanjutnya perbaikan jika entri adalah bilangan negatif Ambil kembali -163430 yang merupakan hasil pengurutan terakhir dari pengurutan di atas Seharusnya entri ini berada pada urutan paling awal setelah proses pengurutan dilakukan Perbaikan pertama dengan memaksa membersihkan offset yang relatif terhadap entri paling akhir

Offset[255] = 0

Dari sini akan diurutkan sisa entri negatif dalam susunan menaik dengan cara membalik susunan pada status awal radix sort

for(i=0ilt127i++)Offset[254-i] =Offset[255-i] +LastCounter[255-i]

Kode ini mengurutkan offset pada range 254-0 sd 255-126 yaitu dari 254 sd 128 atau dengan kata lain offset dalam entri negatif Mengurutkannya dalam susunan terbalik memulai dari offset 255 (null) akan membuat pecahan negatif dalam susunan benar

Algoritma dan Kompleksitas Waktu Radix Sort [3]

Asumsikan bahwa kunci item yang diurutkan mempunyai rentang k fi| i=0k-1 dan setiap fimemiliki nilai diskret si lalu prosedur radix sortnya dapat dituliskan seperti berikut

radixsort( A n ) for(i=0iltki++)

for(j=0jltsij++)bin[j] = EMPTY O(si)

for(j=0jltnj++) move Ai to the end of bin[Ai-gtfi] O(n

)

for(j=0jltsij++)concatenate bin[j] onto the end

of A O(si)

Radix Sort merupakan teknik algoritma pengurutanSekarang misalnya kita ambil contoh kuncinya yaitu bilangan integer dalam range (0bk-1) untuk beberapa nilai konstan k lalu kunci tersebut dapat dilihat sebagai k-digit base-b integers Jadi si = b untuk semua i dan kompleksitas waktunya menjadi O(n+kb) atau O(n) Jika k diperbolehkan ditambah dengan n maka kita mendapatkan kasus berbeda Contohnya yaitu dibutuhkan log2n digit biner untuk merepresentasikan sebuah integer lt n Jika panjang kunci diperbolehkan ditambah dengan n maka k = log n dan kita mendapatkan

Kesimpulan yang banyak mengundang kontrovensi sebagaimana yang diketahui banyak orang bahwa kemampuannya terbatas pada bilangan integer Namun seiring dengan eksplorasi yang dilakukan ternyata Radix Sort juga bisa digunakan untuk mengurutkan bilangan pecahan bahkan pecahan negatif Metode ini men-scanning digit-digit pada suatubilangan yang dirunut dari digit terakhir hingga digit pertama tetapi bukanlah masalah untuk mengatasi bilangan pecahan yaitu dengan merepresentasikan 5 bilangan tersebut ke dalam representasi biner atauheksa yang memiliki konfigurasi tertentu dengan kompleksitas waktu yang sebanding dengan metode pencarian yang telah diakui oleh banyak orang sebagai metode tercepat yaitu Quick Sort Atau bahkan metode Radix Sort ini memiliki kompleksitas waktu yang lebih cepat dari Quick Sort dalam kasus tertentu

include ltiostreamhgtinclude ltstdlibhgtinclude ltstringhgt

void radix (int byte long N long source long dest)

long count[256] long index[256] memset (count 0 sizeof (count)) for ( int i=0 iltN i++ ) count[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++

index[0]=0 for ( i=1 ilt256 i++ ) index[i]=index[i-1]+count[i-1] for ( i=0 iltN i++ ) dest[index[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++] = source[i]

void radixsort (long source long temp long N) radix (0 N source temp) radix (1 N temp source) radix (2 N source temp) radix (3 N temp source)

void make_random (long data long N) for ( int i=0 iltN i++ ) data[i]=rand()|(rand()ltlt16)

long data[100]long temp[100]

void main (void) make_random(data 100) radixsort (data temp 100) for ( int i=0 ilt100 i++ ) cout ltlt data[i] ltlt n

2 Bubble sort

Algoritma dimulai dari elemen paling awal

2 buah elemen pertama dari list dibandingkan Jika elemen pertama lebih besar dari elemen kedua keduadilakukan pertukaran Langkah 2 dan 3 dilakukan lagi terhadap elemen kedua dan ketiga seterusnya sampai ke ujung elemen Bila sudah sampai ke ujung dilakukan lagi ke awal sampai tidak ada terjadi lagi pertukaran elemen Bila tidak ada pertukaran elemen lagi maka list elemen sudah terurutPada iterasi ke-i pemeriksaan tsb dilakukan pula dalam loop-for sbb

deskripsiadatukar trueI 1While (Iltn) and (adatukar) doJ 1Adatukar false

While j lt= (n-I) doIf x[j] gt x[j+1] thenAdatukar truetemp x[j]X[j] x[j+1]x[j+1] tempendifj j+1endwhileI i+1endwhileLoop-for tersebut akan menggeser bilangan bilangan terkecil ke posisi i Loop-for dilakukan hanya sampai ke i karena pada iterasi ke-i data dalam x[0] x[1] x[I 1] merupakan yang paling kecil dan sudah terurut hasil pengeseran yang dilakukan setiap loop sebelumnya Oleh sebab itu iterasi hanya dilakukan untuk harga i=0 1 n-2 atau sampai tidak terjadi penukaran dalam suatu iterasi

1048697 Keuntungan lain dari algoritma ini adalah dapat dijalankan dengan cukup cepat dan efisien untuk mengurutkan list yang urutannya sudah hampir benar1048697 Selain kasus terbaik tersebut komleksitas untuk algoritma ini adalah O(nsup2)1048697 Karenanya algoritma ini termasuk sangat tidak efisien untuk dilakukan apalagi jika pengurutan dilakukan terhadap elemen yang banyak jumlahnya1048697 Biasanya bubble sort digunakan untuk mengenalkan konsep dari sorting algoritma pada pendidikan komputer karena idenya yang cukup sederhana

Buble sort membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya Ketika satu proses selesai maka bublesort akan mengulangi proses begitu seterusnya Dan hanya berhenti saat semua data selesai diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan Implementasi dari bublesort adalah sederhana tetapi lambat

Kompleksitas bubble sortAlgoritma di dalam bubble sort terdiri dari 2 kalang (loop) bertingkat Kalang pertama berlangsung selama N-1 kali Indeks untuk kalang pertama adalah Pass Kemudian kalang tingkat kedua berlangsung dari N sampai dengan Pass+1 Dengan demikian proses compare yang terjadi sebanyak

T(n)=(N-1)+(N-2)+hellip+2+1

n-1=sum N-I = N(N-1)2 I=1

T(n) = N(N-1)2= O(n2)

T(n) ini merupakan kompleksitas untuk kasus terbaik ataupun terburuk Hanya saja pada kasus terbaik yaitu pada kasus jika struktur data telah terurut sesuai perintah proses Pass terjadi tanpa adanya assignment Hal ini jelas menunjukkan bahwa algoritma akan berjalan lebih cepat Hanya saja tidak terlalu signifikan menurut Wikipedia2 algoritma bubble sort jika dikembangkan kompleksitasnya mencapai Ω(n) Hal ini hanya terjadi jika memanfaatkan tipe data boolean untuk menyatakan bahwa proses penukaran tak perlu dilakukan lagi Dengan demikian kompleksitas Ω(n) tidak berlaku bagi pseudocode di atas Untuk itu perlu dilakukan perubahan Perubahan yang terjadi pada pseudocode-nya dapat diperhatikan sebagai berikutProcedure BubbleSort (InputOutputT TabInt Input N integer)mengurut tabel integer [1 N]dengan Bubble Sort dengan memanfaatkanbooleanKamusi integerPass integerTemp integerTukar booleanAlgoritmaPass 1Tukar truewhile (Pass le N-1) and (Tukar) doTukar falsei traversal [NPass+1]if (Ti lt Ti-1) thenTemp TiTi Ti-1Ti-1 TempTukar trueT[1Pass] terurut

Dengan demikian ketika Pass terjadi sekali melalui semua bagian struktur data kemudian ditemukan bahwa tidak diperlukan lagi proses penukaran elemen maka proses pass akan berhenti Bubble sort hanya melakukan N-1 perbandingan di dalam algoritmanya dan menetapkan bahwa struktur data telah terurut Dengan demikian ( ) ( ) min T n = N = O n Sementara ( ) max T n nya tetap sama Bubble sort tergolong algoritma yang paling tidak efisien di antara algoritma sorting dengan kompleksitas O(n2 ) Berikut ini adalah data analisis empiris efisiensi Bubble Sort

Berdasarkan tabel tidak ada perbedaan performansi secara signifikan untuk pengurutan terhadap 100 item atau kurang Namun bubble sort tidak disarankan untuk pengurutan yang terus berulang atau pengurutan yang menangani lebih dari 200 item

3 Merge sort

Merge (Quicksort) Sort memanfaatkan proses rekursi (pemanggilan diri sendiri) sampai habis Prinsipmetode ini membagi data menjadi dua bagian yang sama (kiri dan kanan) dimana data tengah (mid pivot) menjadi pusat operasi Jika data dikiri lebih kecil dari mid maka pisahkan kekiri Jika data dikanan lebih besar daripada mid maka pisahkan ke kanan Begitu seterusnya Meskipun metode ini cepat akan tetapi mplementasinya agak rumit

Pola Divide and ConquerBeberapa algoritma mengimplementasikan konsep rekursi untuk menyelesaikan permasalahan Permasalahan utama kemudian dipecah menjadi sub-masalah kemudian solusi dari sub-masalah akan membimbing menuju solusi permasalahan

Pada setiap tingkatan rekursi pola tersebut terdiri atas 3 langkah1 DivideMemilah masalah menjadi sub masalah2 ConquerSelesaikan sub masalah tersebut secara rekursif Jika sub-masalah tersebut cukup ringkas dan sederhana pendekatan penyelesaian secara langsung akan lebih efektif3 KombinasiMengkombinasikan solusi dari sub-masalah yang akan membimbing menuju penyelesaian atas permasalahan utama

121 076 823 367 232 434 742 936 274

Kategori digit

Isi

0 -1 1212 2327423 8234 4342745 -6 769367 3678 -9 -

Lalu diurutkan menjadi

121 232 742 823 434 274 076 936 367

Lalu diurutkan lagi sesuai digit kedua

Kategori digit

Isi

012 1218233 2324349364 74256 367

7 27407689

Lalu diurutkan menjadi

121823232434936742367274076

Kemudian diurutkan lagi sesuai digit ketiga

Kategori digit

Isi

0 076

1 1212 2322743 3674 434567 7428 8239 936

Maka hasil pengurutannya

076 121 232 274 367 434 742 823 936

Implementasi dalam bilanganpecahan negatif [7]Terdapat kekacauan bila dengan penyelesaian pengurutan bilangan pecahan positif diimplementasikan pada kasus ini karena bilangan pecahan negatif diurutkan pada posisi terakhir misalnya seperti 208300000027850000008080000000101160000001057800000012974000000-660000000-4906000000-10050000000-16343000000Dapat dilihat bahwa nilai negatifnya sudah terurut namun dalam tempat dan susunan yang salah (urutan dimulai dari yang terbesar) Solusinya yang pertama yaitu perlu mencari banyak nilai negatif Tanda suatu bilangan ditentukan oleh MSB dan yang ingin kita cari adalah nomor entitas yang memiliki MSB 1Pada proses radix terdapat 128 entri pada counter terakhir Yang harus dilakukan adalah menjumlahkannya

NbNegativeValues = 0For (i=128 ilt256 i++) NbNegatifValues+=LastCounter[i]

Untuk pengurutan yang kurang dari 128 entri algoritma brute force akan bekerja lebih efisienNamun radix sort merupakan algoritma yang bertujuan mengurutkan sejumlah informasi yang

berjumlah relatif besar Yang perlu dilakukan untuk menutupi kelemahan algoritma ini agar mendapatkan hasil pengurutan akhir yang benar adalah memperbaiki dua hal yaitu tempat dansusunan yang belum benar

Pertama perbaikan jika entri bilangan positif Misalkan M adalah sebuah bilangan entri negative yang telah dihitung sebelumnya harus dipastikan bahwa pecahan positif dimulaisetelah pecahan yang negatif Perbaikan pada tempat yang salah dilakukan dengan memaksa offset positif yang pertama sebagai M

Offset[0] = M

Karena pengurutan untuk entri bilangan positif sudah benar maka perbaikan untuk kasus bilangan positif sudah selesai Selanjutnya perbaikan jika entri adalah bilangan negatif Ambil kembali -163430 yang merupakan hasil pengurutan terakhir dari pengurutan di atas Seharusnya entri ini berada pada urutan paling awal setelah proses pengurutan dilakukan Perbaikan pertama dengan memaksa membersihkan offset yang relatif terhadap entri paling akhir

Offset[255] = 0

Dari sini akan diurutkan sisa entri negatif dalam susunan menaik dengan cara membalik susunan pada status awal radix sort

for(i=0ilt127i++)Offset[254-i] =Offset[255-i] +LastCounter[255-i]

Kode ini mengurutkan offset pada range 254-0 sd 255-126 yaitu dari 254 sd 128 atau dengan kata lain offset dalam entri negatif Mengurutkannya dalam susunan terbalik memulai dari offset 255 (null) akan membuat pecahan negatif dalam susunan benar

Algoritma dan Kompleksitas Waktu Radix Sort [3]

Asumsikan bahwa kunci item yang diurutkan mempunyai rentang k fi| i=0k-1 dan setiap fimemiliki nilai diskret si lalu prosedur radix sortnya dapat dituliskan seperti berikut

radixsort( A n ) for(i=0iltki++)

for(j=0jltsij++)bin[j] = EMPTY O(si)

for(j=0jltnj++) move Ai to the end of bin[Ai-gtfi] O(n

)

for(j=0jltsij++)concatenate bin[j] onto the end

of A O(si)

Radix Sort merupakan teknik algoritma pengurutanSekarang misalnya kita ambil contoh kuncinya yaitu bilangan integer dalam range (0bk-1) untuk beberapa nilai konstan k lalu kunci tersebut dapat dilihat sebagai k-digit base-b integers Jadi si = b untuk semua i dan kompleksitas waktunya menjadi O(n+kb) atau O(n) Jika k diperbolehkan ditambah dengan n maka kita mendapatkan kasus berbeda Contohnya yaitu dibutuhkan log2n digit biner untuk merepresentasikan sebuah integer lt n Jika panjang kunci diperbolehkan ditambah dengan n maka k = log n dan kita mendapatkan

Kesimpulan yang banyak mengundang kontrovensi sebagaimana yang diketahui banyak orang bahwa kemampuannya terbatas pada bilangan integer Namun seiring dengan eksplorasi yang dilakukan ternyata Radix Sort juga bisa digunakan untuk mengurutkan bilangan pecahan bahkan pecahan negatif Metode ini men-scanning digit-digit pada suatubilangan yang dirunut dari digit terakhir hingga digit pertama tetapi bukanlah masalah untuk mengatasi bilangan pecahan yaitu dengan merepresentasikan 5 bilangan tersebut ke dalam representasi biner atauheksa yang memiliki konfigurasi tertentu dengan kompleksitas waktu yang sebanding dengan metode pencarian yang telah diakui oleh banyak orang sebagai metode tercepat yaitu Quick Sort Atau bahkan metode Radix Sort ini memiliki kompleksitas waktu yang lebih cepat dari Quick Sort dalam kasus tertentu

include ltiostreamhgtinclude ltstdlibhgtinclude ltstringhgt

void radix (int byte long N long source long dest)

long count[256] long index[256] memset (count 0 sizeof (count)) for ( int i=0 iltN i++ ) count[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++

index[0]=0 for ( i=1 ilt256 i++ ) index[i]=index[i-1]+count[i-1] for ( i=0 iltN i++ ) dest[index[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++] = source[i]

void radixsort (long source long temp long N) radix (0 N source temp) radix (1 N temp source) radix (2 N source temp) radix (3 N temp source)

void make_random (long data long N) for ( int i=0 iltN i++ ) data[i]=rand()|(rand()ltlt16)

long data[100]long temp[100]

void main (void) make_random(data 100) radixsort (data temp 100) for ( int i=0 ilt100 i++ ) cout ltlt data[i] ltlt n

2 Bubble sort

Algoritma dimulai dari elemen paling awal

2 buah elemen pertama dari list dibandingkan Jika elemen pertama lebih besar dari elemen kedua keduadilakukan pertukaran Langkah 2 dan 3 dilakukan lagi terhadap elemen kedua dan ketiga seterusnya sampai ke ujung elemen Bila sudah sampai ke ujung dilakukan lagi ke awal sampai tidak ada terjadi lagi pertukaran elemen Bila tidak ada pertukaran elemen lagi maka list elemen sudah terurutPada iterasi ke-i pemeriksaan tsb dilakukan pula dalam loop-for sbb

deskripsiadatukar trueI 1While (Iltn) and (adatukar) doJ 1Adatukar false

While j lt= (n-I) doIf x[j] gt x[j+1] thenAdatukar truetemp x[j]X[j] x[j+1]x[j+1] tempendifj j+1endwhileI i+1endwhileLoop-for tersebut akan menggeser bilangan bilangan terkecil ke posisi i Loop-for dilakukan hanya sampai ke i karena pada iterasi ke-i data dalam x[0] x[1] x[I 1] merupakan yang paling kecil dan sudah terurut hasil pengeseran yang dilakukan setiap loop sebelumnya Oleh sebab itu iterasi hanya dilakukan untuk harga i=0 1 n-2 atau sampai tidak terjadi penukaran dalam suatu iterasi

1048697 Keuntungan lain dari algoritma ini adalah dapat dijalankan dengan cukup cepat dan efisien untuk mengurutkan list yang urutannya sudah hampir benar1048697 Selain kasus terbaik tersebut komleksitas untuk algoritma ini adalah O(nsup2)1048697 Karenanya algoritma ini termasuk sangat tidak efisien untuk dilakukan apalagi jika pengurutan dilakukan terhadap elemen yang banyak jumlahnya1048697 Biasanya bubble sort digunakan untuk mengenalkan konsep dari sorting algoritma pada pendidikan komputer karena idenya yang cukup sederhana

Buble sort membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya Ketika satu proses selesai maka bublesort akan mengulangi proses begitu seterusnya Dan hanya berhenti saat semua data selesai diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan Implementasi dari bublesort adalah sederhana tetapi lambat

Kompleksitas bubble sortAlgoritma di dalam bubble sort terdiri dari 2 kalang (loop) bertingkat Kalang pertama berlangsung selama N-1 kali Indeks untuk kalang pertama adalah Pass Kemudian kalang tingkat kedua berlangsung dari N sampai dengan Pass+1 Dengan demikian proses compare yang terjadi sebanyak

T(n)=(N-1)+(N-2)+hellip+2+1

n-1=sum N-I = N(N-1)2 I=1

T(n) = N(N-1)2= O(n2)

T(n) ini merupakan kompleksitas untuk kasus terbaik ataupun terburuk Hanya saja pada kasus terbaik yaitu pada kasus jika struktur data telah terurut sesuai perintah proses Pass terjadi tanpa adanya assignment Hal ini jelas menunjukkan bahwa algoritma akan berjalan lebih cepat Hanya saja tidak terlalu signifikan menurut Wikipedia2 algoritma bubble sort jika dikembangkan kompleksitasnya mencapai Ω(n) Hal ini hanya terjadi jika memanfaatkan tipe data boolean untuk menyatakan bahwa proses penukaran tak perlu dilakukan lagi Dengan demikian kompleksitas Ω(n) tidak berlaku bagi pseudocode di atas Untuk itu perlu dilakukan perubahan Perubahan yang terjadi pada pseudocode-nya dapat diperhatikan sebagai berikutProcedure BubbleSort (InputOutputT TabInt Input N integer)mengurut tabel integer [1 N]dengan Bubble Sort dengan memanfaatkanbooleanKamusi integerPass integerTemp integerTukar booleanAlgoritmaPass 1Tukar truewhile (Pass le N-1) and (Tukar) doTukar falsei traversal [NPass+1]if (Ti lt Ti-1) thenTemp TiTi Ti-1Ti-1 TempTukar trueT[1Pass] terurut

Dengan demikian ketika Pass terjadi sekali melalui semua bagian struktur data kemudian ditemukan bahwa tidak diperlukan lagi proses penukaran elemen maka proses pass akan berhenti Bubble sort hanya melakukan N-1 perbandingan di dalam algoritmanya dan menetapkan bahwa struktur data telah terurut Dengan demikian ( ) ( ) min T n = N = O n Sementara ( ) max T n nya tetap sama Bubble sort tergolong algoritma yang paling tidak efisien di antara algoritma sorting dengan kompleksitas O(n2 ) Berikut ini adalah data analisis empiris efisiensi Bubble Sort

Berdasarkan tabel tidak ada perbedaan performansi secara signifikan untuk pengurutan terhadap 100 item atau kurang Namun bubble sort tidak disarankan untuk pengurutan yang terus berulang atau pengurutan yang menangani lebih dari 200 item

3 Merge sort

Merge (Quicksort) Sort memanfaatkan proses rekursi (pemanggilan diri sendiri) sampai habis Prinsipmetode ini membagi data menjadi dua bagian yang sama (kiri dan kanan) dimana data tengah (mid pivot) menjadi pusat operasi Jika data dikiri lebih kecil dari mid maka pisahkan kekiri Jika data dikanan lebih besar daripada mid maka pisahkan ke kanan Begitu seterusnya Meskipun metode ini cepat akan tetapi mplementasinya agak rumit

Pola Divide and ConquerBeberapa algoritma mengimplementasikan konsep rekursi untuk menyelesaikan permasalahan Permasalahan utama kemudian dipecah menjadi sub-masalah kemudian solusi dari sub-masalah akan membimbing menuju solusi permasalahan

Pada setiap tingkatan rekursi pola tersebut terdiri atas 3 langkah1 DivideMemilah masalah menjadi sub masalah2 ConquerSelesaikan sub masalah tersebut secara rekursif Jika sub-masalah tersebut cukup ringkas dan sederhana pendekatan penyelesaian secara langsung akan lebih efektif3 KombinasiMengkombinasikan solusi dari sub-masalah yang akan membimbing menuju penyelesaian atas permasalahan utama

1 1212 2322743 3674 434567 7428 8239 936

Maka hasil pengurutannya

076 121 232 274 367 434 742 823 936

Implementasi dalam bilanganpecahan negatif [7]Terdapat kekacauan bila dengan penyelesaian pengurutan bilangan pecahan positif diimplementasikan pada kasus ini karena bilangan pecahan negatif diurutkan pada posisi terakhir misalnya seperti 208300000027850000008080000000101160000001057800000012974000000-660000000-4906000000-10050000000-16343000000Dapat dilihat bahwa nilai negatifnya sudah terurut namun dalam tempat dan susunan yang salah (urutan dimulai dari yang terbesar) Solusinya yang pertama yaitu perlu mencari banyak nilai negatif Tanda suatu bilangan ditentukan oleh MSB dan yang ingin kita cari adalah nomor entitas yang memiliki MSB 1Pada proses radix terdapat 128 entri pada counter terakhir Yang harus dilakukan adalah menjumlahkannya

NbNegativeValues = 0For (i=128 ilt256 i++) NbNegatifValues+=LastCounter[i]

Untuk pengurutan yang kurang dari 128 entri algoritma brute force akan bekerja lebih efisienNamun radix sort merupakan algoritma yang bertujuan mengurutkan sejumlah informasi yang

berjumlah relatif besar Yang perlu dilakukan untuk menutupi kelemahan algoritma ini agar mendapatkan hasil pengurutan akhir yang benar adalah memperbaiki dua hal yaitu tempat dansusunan yang belum benar

Pertama perbaikan jika entri bilangan positif Misalkan M adalah sebuah bilangan entri negative yang telah dihitung sebelumnya harus dipastikan bahwa pecahan positif dimulaisetelah pecahan yang negatif Perbaikan pada tempat yang salah dilakukan dengan memaksa offset positif yang pertama sebagai M

Offset[0] = M

Karena pengurutan untuk entri bilangan positif sudah benar maka perbaikan untuk kasus bilangan positif sudah selesai Selanjutnya perbaikan jika entri adalah bilangan negatif Ambil kembali -163430 yang merupakan hasil pengurutan terakhir dari pengurutan di atas Seharusnya entri ini berada pada urutan paling awal setelah proses pengurutan dilakukan Perbaikan pertama dengan memaksa membersihkan offset yang relatif terhadap entri paling akhir

Offset[255] = 0

Dari sini akan diurutkan sisa entri negatif dalam susunan menaik dengan cara membalik susunan pada status awal radix sort

for(i=0ilt127i++)Offset[254-i] =Offset[255-i] +LastCounter[255-i]

Kode ini mengurutkan offset pada range 254-0 sd 255-126 yaitu dari 254 sd 128 atau dengan kata lain offset dalam entri negatif Mengurutkannya dalam susunan terbalik memulai dari offset 255 (null) akan membuat pecahan negatif dalam susunan benar

Algoritma dan Kompleksitas Waktu Radix Sort [3]

Asumsikan bahwa kunci item yang diurutkan mempunyai rentang k fi| i=0k-1 dan setiap fimemiliki nilai diskret si lalu prosedur radix sortnya dapat dituliskan seperti berikut

radixsort( A n ) for(i=0iltki++)

for(j=0jltsij++)bin[j] = EMPTY O(si)

for(j=0jltnj++) move Ai to the end of bin[Ai-gtfi] O(n

)

for(j=0jltsij++)concatenate bin[j] onto the end

of A O(si)

Radix Sort merupakan teknik algoritma pengurutanSekarang misalnya kita ambil contoh kuncinya yaitu bilangan integer dalam range (0bk-1) untuk beberapa nilai konstan k lalu kunci tersebut dapat dilihat sebagai k-digit base-b integers Jadi si = b untuk semua i dan kompleksitas waktunya menjadi O(n+kb) atau O(n) Jika k diperbolehkan ditambah dengan n maka kita mendapatkan kasus berbeda Contohnya yaitu dibutuhkan log2n digit biner untuk merepresentasikan sebuah integer lt n Jika panjang kunci diperbolehkan ditambah dengan n maka k = log n dan kita mendapatkan

Kesimpulan yang banyak mengundang kontrovensi sebagaimana yang diketahui banyak orang bahwa kemampuannya terbatas pada bilangan integer Namun seiring dengan eksplorasi yang dilakukan ternyata Radix Sort juga bisa digunakan untuk mengurutkan bilangan pecahan bahkan pecahan negatif Metode ini men-scanning digit-digit pada suatubilangan yang dirunut dari digit terakhir hingga digit pertama tetapi bukanlah masalah untuk mengatasi bilangan pecahan yaitu dengan merepresentasikan 5 bilangan tersebut ke dalam representasi biner atauheksa yang memiliki konfigurasi tertentu dengan kompleksitas waktu yang sebanding dengan metode pencarian yang telah diakui oleh banyak orang sebagai metode tercepat yaitu Quick Sort Atau bahkan metode Radix Sort ini memiliki kompleksitas waktu yang lebih cepat dari Quick Sort dalam kasus tertentu

include ltiostreamhgtinclude ltstdlibhgtinclude ltstringhgt

void radix (int byte long N long source long dest)

long count[256] long index[256] memset (count 0 sizeof (count)) for ( int i=0 iltN i++ ) count[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++

index[0]=0 for ( i=1 ilt256 i++ ) index[i]=index[i-1]+count[i-1] for ( i=0 iltN i++ ) dest[index[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++] = source[i]

void radixsort (long source long temp long N) radix (0 N source temp) radix (1 N temp source) radix (2 N source temp) radix (3 N temp source)

void make_random (long data long N) for ( int i=0 iltN i++ ) data[i]=rand()|(rand()ltlt16)

long data[100]long temp[100]

void main (void) make_random(data 100) radixsort (data temp 100) for ( int i=0 ilt100 i++ ) cout ltlt data[i] ltlt n

2 Bubble sort

Algoritma dimulai dari elemen paling awal

2 buah elemen pertama dari list dibandingkan Jika elemen pertama lebih besar dari elemen kedua keduadilakukan pertukaran Langkah 2 dan 3 dilakukan lagi terhadap elemen kedua dan ketiga seterusnya sampai ke ujung elemen Bila sudah sampai ke ujung dilakukan lagi ke awal sampai tidak ada terjadi lagi pertukaran elemen Bila tidak ada pertukaran elemen lagi maka list elemen sudah terurutPada iterasi ke-i pemeriksaan tsb dilakukan pula dalam loop-for sbb

deskripsiadatukar trueI 1While (Iltn) and (adatukar) doJ 1Adatukar false

While j lt= (n-I) doIf x[j] gt x[j+1] thenAdatukar truetemp x[j]X[j] x[j+1]x[j+1] tempendifj j+1endwhileI i+1endwhileLoop-for tersebut akan menggeser bilangan bilangan terkecil ke posisi i Loop-for dilakukan hanya sampai ke i karena pada iterasi ke-i data dalam x[0] x[1] x[I 1] merupakan yang paling kecil dan sudah terurut hasil pengeseran yang dilakukan setiap loop sebelumnya Oleh sebab itu iterasi hanya dilakukan untuk harga i=0 1 n-2 atau sampai tidak terjadi penukaran dalam suatu iterasi

1048697 Keuntungan lain dari algoritma ini adalah dapat dijalankan dengan cukup cepat dan efisien untuk mengurutkan list yang urutannya sudah hampir benar1048697 Selain kasus terbaik tersebut komleksitas untuk algoritma ini adalah O(nsup2)1048697 Karenanya algoritma ini termasuk sangat tidak efisien untuk dilakukan apalagi jika pengurutan dilakukan terhadap elemen yang banyak jumlahnya1048697 Biasanya bubble sort digunakan untuk mengenalkan konsep dari sorting algoritma pada pendidikan komputer karena idenya yang cukup sederhana

Buble sort membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya Ketika satu proses selesai maka bublesort akan mengulangi proses begitu seterusnya Dan hanya berhenti saat semua data selesai diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan Implementasi dari bublesort adalah sederhana tetapi lambat

Kompleksitas bubble sortAlgoritma di dalam bubble sort terdiri dari 2 kalang (loop) bertingkat Kalang pertama berlangsung selama N-1 kali Indeks untuk kalang pertama adalah Pass Kemudian kalang tingkat kedua berlangsung dari N sampai dengan Pass+1 Dengan demikian proses compare yang terjadi sebanyak

T(n)=(N-1)+(N-2)+hellip+2+1

n-1=sum N-I = N(N-1)2 I=1

T(n) = N(N-1)2= O(n2)

T(n) ini merupakan kompleksitas untuk kasus terbaik ataupun terburuk Hanya saja pada kasus terbaik yaitu pada kasus jika struktur data telah terurut sesuai perintah proses Pass terjadi tanpa adanya assignment Hal ini jelas menunjukkan bahwa algoritma akan berjalan lebih cepat Hanya saja tidak terlalu signifikan menurut Wikipedia2 algoritma bubble sort jika dikembangkan kompleksitasnya mencapai Ω(n) Hal ini hanya terjadi jika memanfaatkan tipe data boolean untuk menyatakan bahwa proses penukaran tak perlu dilakukan lagi Dengan demikian kompleksitas Ω(n) tidak berlaku bagi pseudocode di atas Untuk itu perlu dilakukan perubahan Perubahan yang terjadi pada pseudocode-nya dapat diperhatikan sebagai berikutProcedure BubbleSort (InputOutputT TabInt Input N integer)mengurut tabel integer [1 N]dengan Bubble Sort dengan memanfaatkanbooleanKamusi integerPass integerTemp integerTukar booleanAlgoritmaPass 1Tukar truewhile (Pass le N-1) and (Tukar) doTukar falsei traversal [NPass+1]if (Ti lt Ti-1) thenTemp TiTi Ti-1Ti-1 TempTukar trueT[1Pass] terurut

Dengan demikian ketika Pass terjadi sekali melalui semua bagian struktur data kemudian ditemukan bahwa tidak diperlukan lagi proses penukaran elemen maka proses pass akan berhenti Bubble sort hanya melakukan N-1 perbandingan di dalam algoritmanya dan menetapkan bahwa struktur data telah terurut Dengan demikian ( ) ( ) min T n = N = O n Sementara ( ) max T n nya tetap sama Bubble sort tergolong algoritma yang paling tidak efisien di antara algoritma sorting dengan kompleksitas O(n2 ) Berikut ini adalah data analisis empiris efisiensi Bubble Sort

Berdasarkan tabel tidak ada perbedaan performansi secara signifikan untuk pengurutan terhadap 100 item atau kurang Namun bubble sort tidak disarankan untuk pengurutan yang terus berulang atau pengurutan yang menangani lebih dari 200 item

3 Merge sort

Merge (Quicksort) Sort memanfaatkan proses rekursi (pemanggilan diri sendiri) sampai habis Prinsipmetode ini membagi data menjadi dua bagian yang sama (kiri dan kanan) dimana data tengah (mid pivot) menjadi pusat operasi Jika data dikiri lebih kecil dari mid maka pisahkan kekiri Jika data dikanan lebih besar daripada mid maka pisahkan ke kanan Begitu seterusnya Meskipun metode ini cepat akan tetapi mplementasinya agak rumit

Pola Divide and ConquerBeberapa algoritma mengimplementasikan konsep rekursi untuk menyelesaikan permasalahan Permasalahan utama kemudian dipecah menjadi sub-masalah kemudian solusi dari sub-masalah akan membimbing menuju solusi permasalahan

Pada setiap tingkatan rekursi pola tersebut terdiri atas 3 langkah1 DivideMemilah masalah menjadi sub masalah2 ConquerSelesaikan sub masalah tersebut secara rekursif Jika sub-masalah tersebut cukup ringkas dan sederhana pendekatan penyelesaian secara langsung akan lebih efektif3 KombinasiMengkombinasikan solusi dari sub-masalah yang akan membimbing menuju penyelesaian atas permasalahan utama

berjumlah relatif besar Yang perlu dilakukan untuk menutupi kelemahan algoritma ini agar mendapatkan hasil pengurutan akhir yang benar adalah memperbaiki dua hal yaitu tempat dansusunan yang belum benar

Pertama perbaikan jika entri bilangan positif Misalkan M adalah sebuah bilangan entri negative yang telah dihitung sebelumnya harus dipastikan bahwa pecahan positif dimulaisetelah pecahan yang negatif Perbaikan pada tempat yang salah dilakukan dengan memaksa offset positif yang pertama sebagai M

Offset[0] = M

Karena pengurutan untuk entri bilangan positif sudah benar maka perbaikan untuk kasus bilangan positif sudah selesai Selanjutnya perbaikan jika entri adalah bilangan negatif Ambil kembali -163430 yang merupakan hasil pengurutan terakhir dari pengurutan di atas Seharusnya entri ini berada pada urutan paling awal setelah proses pengurutan dilakukan Perbaikan pertama dengan memaksa membersihkan offset yang relatif terhadap entri paling akhir

Offset[255] = 0

Dari sini akan diurutkan sisa entri negatif dalam susunan menaik dengan cara membalik susunan pada status awal radix sort

for(i=0ilt127i++)Offset[254-i] =Offset[255-i] +LastCounter[255-i]

Kode ini mengurutkan offset pada range 254-0 sd 255-126 yaitu dari 254 sd 128 atau dengan kata lain offset dalam entri negatif Mengurutkannya dalam susunan terbalik memulai dari offset 255 (null) akan membuat pecahan negatif dalam susunan benar

Algoritma dan Kompleksitas Waktu Radix Sort [3]

Asumsikan bahwa kunci item yang diurutkan mempunyai rentang k fi| i=0k-1 dan setiap fimemiliki nilai diskret si lalu prosedur radix sortnya dapat dituliskan seperti berikut

radixsort( A n ) for(i=0iltki++)

for(j=0jltsij++)bin[j] = EMPTY O(si)

for(j=0jltnj++) move Ai to the end of bin[Ai-gtfi] O(n

)

for(j=0jltsij++)concatenate bin[j] onto the end

of A O(si)

Radix Sort merupakan teknik algoritma pengurutanSekarang misalnya kita ambil contoh kuncinya yaitu bilangan integer dalam range (0bk-1) untuk beberapa nilai konstan k lalu kunci tersebut dapat dilihat sebagai k-digit base-b integers Jadi si = b untuk semua i dan kompleksitas waktunya menjadi O(n+kb) atau O(n) Jika k diperbolehkan ditambah dengan n maka kita mendapatkan kasus berbeda Contohnya yaitu dibutuhkan log2n digit biner untuk merepresentasikan sebuah integer lt n Jika panjang kunci diperbolehkan ditambah dengan n maka k = log n dan kita mendapatkan

Kesimpulan yang banyak mengundang kontrovensi sebagaimana yang diketahui banyak orang bahwa kemampuannya terbatas pada bilangan integer Namun seiring dengan eksplorasi yang dilakukan ternyata Radix Sort juga bisa digunakan untuk mengurutkan bilangan pecahan bahkan pecahan negatif Metode ini men-scanning digit-digit pada suatubilangan yang dirunut dari digit terakhir hingga digit pertama tetapi bukanlah masalah untuk mengatasi bilangan pecahan yaitu dengan merepresentasikan 5 bilangan tersebut ke dalam representasi biner atauheksa yang memiliki konfigurasi tertentu dengan kompleksitas waktu yang sebanding dengan metode pencarian yang telah diakui oleh banyak orang sebagai metode tercepat yaitu Quick Sort Atau bahkan metode Radix Sort ini memiliki kompleksitas waktu yang lebih cepat dari Quick Sort dalam kasus tertentu

include ltiostreamhgtinclude ltstdlibhgtinclude ltstringhgt

void radix (int byte long N long source long dest)

long count[256] long index[256] memset (count 0 sizeof (count)) for ( int i=0 iltN i++ ) count[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++

index[0]=0 for ( i=1 ilt256 i++ ) index[i]=index[i-1]+count[i-1] for ( i=0 iltN i++ ) dest[index[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++] = source[i]

void radixsort (long source long temp long N) radix (0 N source temp) radix (1 N temp source) radix (2 N source temp) radix (3 N temp source)

void make_random (long data long N) for ( int i=0 iltN i++ ) data[i]=rand()|(rand()ltlt16)

long data[100]long temp[100]

void main (void) make_random(data 100) radixsort (data temp 100) for ( int i=0 ilt100 i++ ) cout ltlt data[i] ltlt n

2 Bubble sort

Algoritma dimulai dari elemen paling awal

2 buah elemen pertama dari list dibandingkan Jika elemen pertama lebih besar dari elemen kedua keduadilakukan pertukaran Langkah 2 dan 3 dilakukan lagi terhadap elemen kedua dan ketiga seterusnya sampai ke ujung elemen Bila sudah sampai ke ujung dilakukan lagi ke awal sampai tidak ada terjadi lagi pertukaran elemen Bila tidak ada pertukaran elemen lagi maka list elemen sudah terurutPada iterasi ke-i pemeriksaan tsb dilakukan pula dalam loop-for sbb

deskripsiadatukar trueI 1While (Iltn) and (adatukar) doJ 1Adatukar false

While j lt= (n-I) doIf x[j] gt x[j+1] thenAdatukar truetemp x[j]X[j] x[j+1]x[j+1] tempendifj j+1endwhileI i+1endwhileLoop-for tersebut akan menggeser bilangan bilangan terkecil ke posisi i Loop-for dilakukan hanya sampai ke i karena pada iterasi ke-i data dalam x[0] x[1] x[I 1] merupakan yang paling kecil dan sudah terurut hasil pengeseran yang dilakukan setiap loop sebelumnya Oleh sebab itu iterasi hanya dilakukan untuk harga i=0 1 n-2 atau sampai tidak terjadi penukaran dalam suatu iterasi

1048697 Keuntungan lain dari algoritma ini adalah dapat dijalankan dengan cukup cepat dan efisien untuk mengurutkan list yang urutannya sudah hampir benar1048697 Selain kasus terbaik tersebut komleksitas untuk algoritma ini adalah O(nsup2)1048697 Karenanya algoritma ini termasuk sangat tidak efisien untuk dilakukan apalagi jika pengurutan dilakukan terhadap elemen yang banyak jumlahnya1048697 Biasanya bubble sort digunakan untuk mengenalkan konsep dari sorting algoritma pada pendidikan komputer karena idenya yang cukup sederhana

Buble sort membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya Ketika satu proses selesai maka bublesort akan mengulangi proses begitu seterusnya Dan hanya berhenti saat semua data selesai diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan Implementasi dari bublesort adalah sederhana tetapi lambat

Kompleksitas bubble sortAlgoritma di dalam bubble sort terdiri dari 2 kalang (loop) bertingkat Kalang pertama berlangsung selama N-1 kali Indeks untuk kalang pertama adalah Pass Kemudian kalang tingkat kedua berlangsung dari N sampai dengan Pass+1 Dengan demikian proses compare yang terjadi sebanyak

T(n)=(N-1)+(N-2)+hellip+2+1

n-1=sum N-I = N(N-1)2 I=1

T(n) = N(N-1)2= O(n2)

T(n) ini merupakan kompleksitas untuk kasus terbaik ataupun terburuk Hanya saja pada kasus terbaik yaitu pada kasus jika struktur data telah terurut sesuai perintah proses Pass terjadi tanpa adanya assignment Hal ini jelas menunjukkan bahwa algoritma akan berjalan lebih cepat Hanya saja tidak terlalu signifikan menurut Wikipedia2 algoritma bubble sort jika dikembangkan kompleksitasnya mencapai Ω(n) Hal ini hanya terjadi jika memanfaatkan tipe data boolean untuk menyatakan bahwa proses penukaran tak perlu dilakukan lagi Dengan demikian kompleksitas Ω(n) tidak berlaku bagi pseudocode di atas Untuk itu perlu dilakukan perubahan Perubahan yang terjadi pada pseudocode-nya dapat diperhatikan sebagai berikutProcedure BubbleSort (InputOutputT TabInt Input N integer)mengurut tabel integer [1 N]dengan Bubble Sort dengan memanfaatkanbooleanKamusi integerPass integerTemp integerTukar booleanAlgoritmaPass 1Tukar truewhile (Pass le N-1) and (Tukar) doTukar falsei traversal [NPass+1]if (Ti lt Ti-1) thenTemp TiTi Ti-1Ti-1 TempTukar trueT[1Pass] terurut

Dengan demikian ketika Pass terjadi sekali melalui semua bagian struktur data kemudian ditemukan bahwa tidak diperlukan lagi proses penukaran elemen maka proses pass akan berhenti Bubble sort hanya melakukan N-1 perbandingan di dalam algoritmanya dan menetapkan bahwa struktur data telah terurut Dengan demikian ( ) ( ) min T n = N = O n Sementara ( ) max T n nya tetap sama Bubble sort tergolong algoritma yang paling tidak efisien di antara algoritma sorting dengan kompleksitas O(n2 ) Berikut ini adalah data analisis empiris efisiensi Bubble Sort

Berdasarkan tabel tidak ada perbedaan performansi secara signifikan untuk pengurutan terhadap 100 item atau kurang Namun bubble sort tidak disarankan untuk pengurutan yang terus berulang atau pengurutan yang menangani lebih dari 200 item

3 Merge sort

Merge (Quicksort) Sort memanfaatkan proses rekursi (pemanggilan diri sendiri) sampai habis Prinsipmetode ini membagi data menjadi dua bagian yang sama (kiri dan kanan) dimana data tengah (mid pivot) menjadi pusat operasi Jika data dikiri lebih kecil dari mid maka pisahkan kekiri Jika data dikanan lebih besar daripada mid maka pisahkan ke kanan Begitu seterusnya Meskipun metode ini cepat akan tetapi mplementasinya agak rumit

Pola Divide and ConquerBeberapa algoritma mengimplementasikan konsep rekursi untuk menyelesaikan permasalahan Permasalahan utama kemudian dipecah menjadi sub-masalah kemudian solusi dari sub-masalah akan membimbing menuju solusi permasalahan

Pada setiap tingkatan rekursi pola tersebut terdiri atas 3 langkah1 DivideMemilah masalah menjadi sub masalah2 ConquerSelesaikan sub masalah tersebut secara rekursif Jika sub-masalah tersebut cukup ringkas dan sederhana pendekatan penyelesaian secara langsung akan lebih efektif3 KombinasiMengkombinasikan solusi dari sub-masalah yang akan membimbing menuju penyelesaian atas permasalahan utama

for(j=0jltnj++) move Ai to the end of bin[Ai-gtfi] O(n

)

for(j=0jltsij++)concatenate bin[j] onto the end

of A O(si)

Radix Sort merupakan teknik algoritma pengurutanSekarang misalnya kita ambil contoh kuncinya yaitu bilangan integer dalam range (0bk-1) untuk beberapa nilai konstan k lalu kunci tersebut dapat dilihat sebagai k-digit base-b integers Jadi si = b untuk semua i dan kompleksitas waktunya menjadi O(n+kb) atau O(n) Jika k diperbolehkan ditambah dengan n maka kita mendapatkan kasus berbeda Contohnya yaitu dibutuhkan log2n digit biner untuk merepresentasikan sebuah integer lt n Jika panjang kunci diperbolehkan ditambah dengan n maka k = log n dan kita mendapatkan

Kesimpulan yang banyak mengundang kontrovensi sebagaimana yang diketahui banyak orang bahwa kemampuannya terbatas pada bilangan integer Namun seiring dengan eksplorasi yang dilakukan ternyata Radix Sort juga bisa digunakan untuk mengurutkan bilangan pecahan bahkan pecahan negatif Metode ini men-scanning digit-digit pada suatubilangan yang dirunut dari digit terakhir hingga digit pertama tetapi bukanlah masalah untuk mengatasi bilangan pecahan yaitu dengan merepresentasikan 5 bilangan tersebut ke dalam representasi biner atauheksa yang memiliki konfigurasi tertentu dengan kompleksitas waktu yang sebanding dengan metode pencarian yang telah diakui oleh banyak orang sebagai metode tercepat yaitu Quick Sort Atau bahkan metode Radix Sort ini memiliki kompleksitas waktu yang lebih cepat dari Quick Sort dalam kasus tertentu

include ltiostreamhgtinclude ltstdlibhgtinclude ltstringhgt

void radix (int byte long N long source long dest)

long count[256] long index[256] memset (count 0 sizeof (count)) for ( int i=0 iltN i++ ) count[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++

index[0]=0 for ( i=1 ilt256 i++ ) index[i]=index[i-1]+count[i-1] for ( i=0 iltN i++ ) dest[index[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++] = source[i]

void radixsort (long source long temp long N) radix (0 N source temp) radix (1 N temp source) radix (2 N source temp) radix (3 N temp source)

void make_random (long data long N) for ( int i=0 iltN i++ ) data[i]=rand()|(rand()ltlt16)

long data[100]long temp[100]

void main (void) make_random(data 100) radixsort (data temp 100) for ( int i=0 ilt100 i++ ) cout ltlt data[i] ltlt n

2 Bubble sort

Algoritma dimulai dari elemen paling awal

2 buah elemen pertama dari list dibandingkan Jika elemen pertama lebih besar dari elemen kedua keduadilakukan pertukaran Langkah 2 dan 3 dilakukan lagi terhadap elemen kedua dan ketiga seterusnya sampai ke ujung elemen Bila sudah sampai ke ujung dilakukan lagi ke awal sampai tidak ada terjadi lagi pertukaran elemen Bila tidak ada pertukaran elemen lagi maka list elemen sudah terurutPada iterasi ke-i pemeriksaan tsb dilakukan pula dalam loop-for sbb

deskripsiadatukar trueI 1While (Iltn) and (adatukar) doJ 1Adatukar false

While j lt= (n-I) doIf x[j] gt x[j+1] thenAdatukar truetemp x[j]X[j] x[j+1]x[j+1] tempendifj j+1endwhileI i+1endwhileLoop-for tersebut akan menggeser bilangan bilangan terkecil ke posisi i Loop-for dilakukan hanya sampai ke i karena pada iterasi ke-i data dalam x[0] x[1] x[I 1] merupakan yang paling kecil dan sudah terurut hasil pengeseran yang dilakukan setiap loop sebelumnya Oleh sebab itu iterasi hanya dilakukan untuk harga i=0 1 n-2 atau sampai tidak terjadi penukaran dalam suatu iterasi

1048697 Keuntungan lain dari algoritma ini adalah dapat dijalankan dengan cukup cepat dan efisien untuk mengurutkan list yang urutannya sudah hampir benar1048697 Selain kasus terbaik tersebut komleksitas untuk algoritma ini adalah O(nsup2)1048697 Karenanya algoritma ini termasuk sangat tidak efisien untuk dilakukan apalagi jika pengurutan dilakukan terhadap elemen yang banyak jumlahnya1048697 Biasanya bubble sort digunakan untuk mengenalkan konsep dari sorting algoritma pada pendidikan komputer karena idenya yang cukup sederhana

Buble sort membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya Ketika satu proses selesai maka bublesort akan mengulangi proses begitu seterusnya Dan hanya berhenti saat semua data selesai diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan Implementasi dari bublesort adalah sederhana tetapi lambat

Kompleksitas bubble sortAlgoritma di dalam bubble sort terdiri dari 2 kalang (loop) bertingkat Kalang pertama berlangsung selama N-1 kali Indeks untuk kalang pertama adalah Pass Kemudian kalang tingkat kedua berlangsung dari N sampai dengan Pass+1 Dengan demikian proses compare yang terjadi sebanyak

T(n)=(N-1)+(N-2)+hellip+2+1

n-1=sum N-I = N(N-1)2 I=1

T(n) = N(N-1)2= O(n2)

T(n) ini merupakan kompleksitas untuk kasus terbaik ataupun terburuk Hanya saja pada kasus terbaik yaitu pada kasus jika struktur data telah terurut sesuai perintah proses Pass terjadi tanpa adanya assignment Hal ini jelas menunjukkan bahwa algoritma akan berjalan lebih cepat Hanya saja tidak terlalu signifikan menurut Wikipedia2 algoritma bubble sort jika dikembangkan kompleksitasnya mencapai Ω(n) Hal ini hanya terjadi jika memanfaatkan tipe data boolean untuk menyatakan bahwa proses penukaran tak perlu dilakukan lagi Dengan demikian kompleksitas Ω(n) tidak berlaku bagi pseudocode di atas Untuk itu perlu dilakukan perubahan Perubahan yang terjadi pada pseudocode-nya dapat diperhatikan sebagai berikutProcedure BubbleSort (InputOutputT TabInt Input N integer)mengurut tabel integer [1 N]dengan Bubble Sort dengan memanfaatkanbooleanKamusi integerPass integerTemp integerTukar booleanAlgoritmaPass 1Tukar truewhile (Pass le N-1) and (Tukar) doTukar falsei traversal [NPass+1]if (Ti lt Ti-1) thenTemp TiTi Ti-1Ti-1 TempTukar trueT[1Pass] terurut

Dengan demikian ketika Pass terjadi sekali melalui semua bagian struktur data kemudian ditemukan bahwa tidak diperlukan lagi proses penukaran elemen maka proses pass akan berhenti Bubble sort hanya melakukan N-1 perbandingan di dalam algoritmanya dan menetapkan bahwa struktur data telah terurut Dengan demikian ( ) ( ) min T n = N = O n Sementara ( ) max T n nya tetap sama Bubble sort tergolong algoritma yang paling tidak efisien di antara algoritma sorting dengan kompleksitas O(n2 ) Berikut ini adalah data analisis empiris efisiensi Bubble Sort

Berdasarkan tabel tidak ada perbedaan performansi secara signifikan untuk pengurutan terhadap 100 item atau kurang Namun bubble sort tidak disarankan untuk pengurutan yang terus berulang atau pengurutan yang menangani lebih dari 200 item

3 Merge sort

Merge (Quicksort) Sort memanfaatkan proses rekursi (pemanggilan diri sendiri) sampai habis Prinsipmetode ini membagi data menjadi dua bagian yang sama (kiri dan kanan) dimana data tengah (mid pivot) menjadi pusat operasi Jika data dikiri lebih kecil dari mid maka pisahkan kekiri Jika data dikanan lebih besar daripada mid maka pisahkan ke kanan Begitu seterusnya Meskipun metode ini cepat akan tetapi mplementasinya agak rumit

Pola Divide and ConquerBeberapa algoritma mengimplementasikan konsep rekursi untuk menyelesaikan permasalahan Permasalahan utama kemudian dipecah menjadi sub-masalah kemudian solusi dari sub-masalah akan membimbing menuju solusi permasalahan

Pada setiap tingkatan rekursi pola tersebut terdiri atas 3 langkah1 DivideMemilah masalah menjadi sub masalah2 ConquerSelesaikan sub masalah tersebut secara rekursif Jika sub-masalah tersebut cukup ringkas dan sederhana pendekatan penyelesaian secara langsung akan lebih efektif3 KombinasiMengkombinasikan solusi dari sub-masalah yang akan membimbing menuju penyelesaian atas permasalahan utama

long count[256] long index[256] memset (count 0 sizeof (count)) for ( int i=0 iltN i++ ) count[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++

index[0]=0 for ( i=1 ilt256 i++ ) index[i]=index[i-1]+count[i-1] for ( i=0 iltN i++ ) dest[index[((source[i])gtgt(byte8))amp0xff]++] = source[i]

void radixsort (long source long temp long N) radix (0 N source temp) radix (1 N temp source) radix (2 N source temp) radix (3 N temp source)

void make_random (long data long N) for ( int i=0 iltN i++ ) data[i]=rand()|(rand()ltlt16)

long data[100]long temp[100]

void main (void) make_random(data 100) radixsort (data temp 100) for ( int i=0 ilt100 i++ ) cout ltlt data[i] ltlt n

2 Bubble sort

Algoritma dimulai dari elemen paling awal

2 buah elemen pertama dari list dibandingkan Jika elemen pertama lebih besar dari elemen kedua keduadilakukan pertukaran Langkah 2 dan 3 dilakukan lagi terhadap elemen kedua dan ketiga seterusnya sampai ke ujung elemen Bila sudah sampai ke ujung dilakukan lagi ke awal sampai tidak ada terjadi lagi pertukaran elemen Bila tidak ada pertukaran elemen lagi maka list elemen sudah terurutPada iterasi ke-i pemeriksaan tsb dilakukan pula dalam loop-for sbb

deskripsiadatukar trueI 1While (Iltn) and (adatukar) doJ 1Adatukar false

While j lt= (n-I) doIf x[j] gt x[j+1] thenAdatukar truetemp x[j]X[j] x[j+1]x[j+1] tempendifj j+1endwhileI i+1endwhileLoop-for tersebut akan menggeser bilangan bilangan terkecil ke posisi i Loop-for dilakukan hanya sampai ke i karena pada iterasi ke-i data dalam x[0] x[1] x[I 1] merupakan yang paling kecil dan sudah terurut hasil pengeseran yang dilakukan setiap loop sebelumnya Oleh sebab itu iterasi hanya dilakukan untuk harga i=0 1 n-2 atau sampai tidak terjadi penukaran dalam suatu iterasi

1048697 Keuntungan lain dari algoritma ini adalah dapat dijalankan dengan cukup cepat dan efisien untuk mengurutkan list yang urutannya sudah hampir benar1048697 Selain kasus terbaik tersebut komleksitas untuk algoritma ini adalah O(nsup2)1048697 Karenanya algoritma ini termasuk sangat tidak efisien untuk dilakukan apalagi jika pengurutan dilakukan terhadap elemen yang banyak jumlahnya1048697 Biasanya bubble sort digunakan untuk mengenalkan konsep dari sorting algoritma pada pendidikan komputer karena idenya yang cukup sederhana

Buble sort membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya Ketika satu proses selesai maka bublesort akan mengulangi proses begitu seterusnya Dan hanya berhenti saat semua data selesai diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan Implementasi dari bublesort adalah sederhana tetapi lambat

Kompleksitas bubble sortAlgoritma di dalam bubble sort terdiri dari 2 kalang (loop) bertingkat Kalang pertama berlangsung selama N-1 kali Indeks untuk kalang pertama adalah Pass Kemudian kalang tingkat kedua berlangsung dari N sampai dengan Pass+1 Dengan demikian proses compare yang terjadi sebanyak

T(n)=(N-1)+(N-2)+hellip+2+1

n-1=sum N-I = N(N-1)2 I=1

T(n) = N(N-1)2= O(n2)

T(n) ini merupakan kompleksitas untuk kasus terbaik ataupun terburuk Hanya saja pada kasus terbaik yaitu pada kasus jika struktur data telah terurut sesuai perintah proses Pass terjadi tanpa adanya assignment Hal ini jelas menunjukkan bahwa algoritma akan berjalan lebih cepat Hanya saja tidak terlalu signifikan menurut Wikipedia2 algoritma bubble sort jika dikembangkan kompleksitasnya mencapai Ω(n) Hal ini hanya terjadi jika memanfaatkan tipe data boolean untuk menyatakan bahwa proses penukaran tak perlu dilakukan lagi Dengan demikian kompleksitas Ω(n) tidak berlaku bagi pseudocode di atas Untuk itu perlu dilakukan perubahan Perubahan yang terjadi pada pseudocode-nya dapat diperhatikan sebagai berikutProcedure BubbleSort (InputOutputT TabInt Input N integer)mengurut tabel integer [1 N]dengan Bubble Sort dengan memanfaatkanbooleanKamusi integerPass integerTemp integerTukar booleanAlgoritmaPass 1Tukar truewhile (Pass le N-1) and (Tukar) doTukar falsei traversal [NPass+1]if (Ti lt Ti-1) thenTemp TiTi Ti-1Ti-1 TempTukar trueT[1Pass] terurut

Dengan demikian ketika Pass terjadi sekali melalui semua bagian struktur data kemudian ditemukan bahwa tidak diperlukan lagi proses penukaran elemen maka proses pass akan berhenti Bubble sort hanya melakukan N-1 perbandingan di dalam algoritmanya dan menetapkan bahwa struktur data telah terurut Dengan demikian ( ) ( ) min T n = N = O n Sementara ( ) max T n nya tetap sama Bubble sort tergolong algoritma yang paling tidak efisien di antara algoritma sorting dengan kompleksitas O(n2 ) Berikut ini adalah data analisis empiris efisiensi Bubble Sort

Berdasarkan tabel tidak ada perbedaan performansi secara signifikan untuk pengurutan terhadap 100 item atau kurang Namun bubble sort tidak disarankan untuk pengurutan yang terus berulang atau pengurutan yang menangani lebih dari 200 item

3 Merge sort

Merge (Quicksort) Sort memanfaatkan proses rekursi (pemanggilan diri sendiri) sampai habis Prinsipmetode ini membagi data menjadi dua bagian yang sama (kiri dan kanan) dimana data tengah (mid pivot) menjadi pusat operasi Jika data dikiri lebih kecil dari mid maka pisahkan kekiri Jika data dikanan lebih besar daripada mid maka pisahkan ke kanan Begitu seterusnya Meskipun metode ini cepat akan tetapi mplementasinya agak rumit

Pola Divide and ConquerBeberapa algoritma mengimplementasikan konsep rekursi untuk menyelesaikan permasalahan Permasalahan utama kemudian dipecah menjadi sub-masalah kemudian solusi dari sub-masalah akan membimbing menuju solusi permasalahan

Pada setiap tingkatan rekursi pola tersebut terdiri atas 3 langkah1 DivideMemilah masalah menjadi sub masalah2 ConquerSelesaikan sub masalah tersebut secara rekursif Jika sub-masalah tersebut cukup ringkas dan sederhana pendekatan penyelesaian secara langsung akan lebih efektif3 KombinasiMengkombinasikan solusi dari sub-masalah yang akan membimbing menuju penyelesaian atas permasalahan utama

While j lt= (n-I) doIf x[j] gt x[j+1] thenAdatukar truetemp x[j]X[j] x[j+1]x[j+1] tempendifj j+1endwhileI i+1endwhileLoop-for tersebut akan menggeser bilangan bilangan terkecil ke posisi i Loop-for dilakukan hanya sampai ke i karena pada iterasi ke-i data dalam x[0] x[1] x[I 1] merupakan yang paling kecil dan sudah terurut hasil pengeseran yang dilakukan setiap loop sebelumnya Oleh sebab itu iterasi hanya dilakukan untuk harga i=0 1 n-2 atau sampai tidak terjadi penukaran dalam suatu iterasi

1048697 Keuntungan lain dari algoritma ini adalah dapat dijalankan dengan cukup cepat dan efisien untuk mengurutkan list yang urutannya sudah hampir benar1048697 Selain kasus terbaik tersebut komleksitas untuk algoritma ini adalah O(nsup2)1048697 Karenanya algoritma ini termasuk sangat tidak efisien untuk dilakukan apalagi jika pengurutan dilakukan terhadap elemen yang banyak jumlahnya1048697 Biasanya bubble sort digunakan untuk mengenalkan konsep dari sorting algoritma pada pendidikan komputer karena idenya yang cukup sederhana

Buble sort membandingkan elemen sekarang dengan elemen berikutnya Ketika satu proses selesai maka bublesort akan mengulangi proses begitu seterusnya Dan hanya berhenti saat semua data selesai diperiksa dan tidak ada pertukaran lagi yang bisa dilakukan Implementasi dari bublesort adalah sederhana tetapi lambat

Kompleksitas bubble sortAlgoritma di dalam bubble sort terdiri dari 2 kalang (loop) bertingkat Kalang pertama berlangsung selama N-1 kali Indeks untuk kalang pertama adalah Pass Kemudian kalang tingkat kedua berlangsung dari N sampai dengan Pass+1 Dengan demikian proses compare yang terjadi sebanyak

T(n)=(N-1)+(N-2)+hellip+2+1

n-1=sum N-I = N(N-1)2 I=1

T(n) = N(N-1)2= O(n2)

T(n) ini merupakan kompleksitas untuk kasus terbaik ataupun terburuk Hanya saja pada kasus terbaik yaitu pada kasus jika struktur data telah terurut sesuai perintah proses Pass terjadi tanpa adanya assignment Hal ini jelas menunjukkan bahwa algoritma akan berjalan lebih cepat Hanya saja tidak terlalu signifikan menurut Wikipedia2 algoritma bubble sort jika dikembangkan kompleksitasnya mencapai Ω(n) Hal ini hanya terjadi jika memanfaatkan tipe data boolean untuk menyatakan bahwa proses penukaran tak perlu dilakukan lagi Dengan demikian kompleksitas Ω(n) tidak berlaku bagi pseudocode di atas Untuk itu perlu dilakukan perubahan Perubahan yang terjadi pada pseudocode-nya dapat diperhatikan sebagai berikutProcedure BubbleSort (InputOutputT TabInt Input N integer)mengurut tabel integer [1 N]dengan Bubble Sort dengan memanfaatkanbooleanKamusi integerPass integerTemp integerTukar booleanAlgoritmaPass 1Tukar truewhile (Pass le N-1) and (Tukar) doTukar falsei traversal [NPass+1]if (Ti lt Ti-1) thenTemp TiTi Ti-1Ti-1 TempTukar trueT[1Pass] terurut

Dengan demikian ketika Pass terjadi sekali melalui semua bagian struktur data kemudian ditemukan bahwa tidak diperlukan lagi proses penukaran elemen maka proses pass akan berhenti Bubble sort hanya melakukan N-1 perbandingan di dalam algoritmanya dan menetapkan bahwa struktur data telah terurut Dengan demikian ( ) ( ) min T n = N = O n Sementara ( ) max T n nya tetap sama Bubble sort tergolong algoritma yang paling tidak efisien di antara algoritma sorting dengan kompleksitas O(n2 ) Berikut ini adalah data analisis empiris efisiensi Bubble Sort

Berdasarkan tabel tidak ada perbedaan performansi secara signifikan untuk pengurutan terhadap 100 item atau kurang Namun bubble sort tidak disarankan untuk pengurutan yang terus berulang atau pengurutan yang menangani lebih dari 200 item

3 Merge sort

Merge (Quicksort) Sort memanfaatkan proses rekursi (pemanggilan diri sendiri) sampai habis Prinsipmetode ini membagi data menjadi dua bagian yang sama (kiri dan kanan) dimana data tengah (mid pivot) menjadi pusat operasi Jika data dikiri lebih kecil dari mid maka pisahkan kekiri Jika data dikanan lebih besar daripada mid maka pisahkan ke kanan Begitu seterusnya Meskipun metode ini cepat akan tetapi mplementasinya agak rumit

Pola Divide and ConquerBeberapa algoritma mengimplementasikan konsep rekursi untuk menyelesaikan permasalahan Permasalahan utama kemudian dipecah menjadi sub-masalah kemudian solusi dari sub-masalah akan membimbing menuju solusi permasalahan

Pada setiap tingkatan rekursi pola tersebut terdiri atas 3 langkah1 DivideMemilah masalah menjadi sub masalah2 ConquerSelesaikan sub masalah tersebut secara rekursif Jika sub-masalah tersebut cukup ringkas dan sederhana pendekatan penyelesaian secara langsung akan lebih efektif3 KombinasiMengkombinasikan solusi dari sub-masalah yang akan membimbing menuju penyelesaian atas permasalahan utama

T(n) ini merupakan kompleksitas untuk kasus terbaik ataupun terburuk Hanya saja pada kasus terbaik yaitu pada kasus jika struktur data telah terurut sesuai perintah proses Pass terjadi tanpa adanya assignment Hal ini jelas menunjukkan bahwa algoritma akan berjalan lebih cepat Hanya saja tidak terlalu signifikan menurut Wikipedia2 algoritma bubble sort jika dikembangkan kompleksitasnya mencapai Ω(n) Hal ini hanya terjadi jika memanfaatkan tipe data boolean untuk menyatakan bahwa proses penukaran tak perlu dilakukan lagi Dengan demikian kompleksitas Ω(n) tidak berlaku bagi pseudocode di atas Untuk itu perlu dilakukan perubahan Perubahan yang terjadi pada pseudocode-nya dapat diperhatikan sebagai berikutProcedure BubbleSort (InputOutputT TabInt Input N integer)mengurut tabel integer [1 N]dengan Bubble Sort dengan memanfaatkanbooleanKamusi integerPass integerTemp integerTukar booleanAlgoritmaPass 1Tukar truewhile (Pass le N-1) and (Tukar) doTukar falsei traversal [NPass+1]if (Ti lt Ti-1) thenTemp TiTi Ti-1Ti-1 TempTukar trueT[1Pass] terurut

Dengan demikian ketika Pass terjadi sekali melalui semua bagian struktur data kemudian ditemukan bahwa tidak diperlukan lagi proses penukaran elemen maka proses pass akan berhenti Bubble sort hanya melakukan N-1 perbandingan di dalam algoritmanya dan menetapkan bahwa struktur data telah terurut Dengan demikian ( ) ( ) min T n = N = O n Sementara ( ) max T n nya tetap sama Bubble sort tergolong algoritma yang paling tidak efisien di antara algoritma sorting dengan kompleksitas O(n2 ) Berikut ini adalah data analisis empiris efisiensi Bubble Sort

Berdasarkan tabel tidak ada perbedaan performansi secara signifikan untuk pengurutan terhadap 100 item atau kurang Namun bubble sort tidak disarankan untuk pengurutan yang terus berulang atau pengurutan yang menangani lebih dari 200 item

3 Merge sort

Merge (Quicksort) Sort memanfaatkan proses rekursi (pemanggilan diri sendiri) sampai habis Prinsipmetode ini membagi data menjadi dua bagian yang sama (kiri dan kanan) dimana data tengah (mid pivot) menjadi pusat operasi Jika data dikiri lebih kecil dari mid maka pisahkan kekiri Jika data dikanan lebih besar daripada mid maka pisahkan ke kanan Begitu seterusnya Meskipun metode ini cepat akan tetapi mplementasinya agak rumit

Pola Divide and ConquerBeberapa algoritma mengimplementasikan konsep rekursi untuk menyelesaikan permasalahan Permasalahan utama kemudian dipecah menjadi sub-masalah kemudian solusi dari sub-masalah akan membimbing menuju solusi permasalahan

Pada setiap tingkatan rekursi pola tersebut terdiri atas 3 langkah1 DivideMemilah masalah menjadi sub masalah2 ConquerSelesaikan sub masalah tersebut secara rekursif Jika sub-masalah tersebut cukup ringkas dan sederhana pendekatan penyelesaian secara langsung akan lebih efektif3 KombinasiMengkombinasikan solusi dari sub-masalah yang akan membimbing menuju penyelesaian atas permasalahan utama

Berdasarkan tabel tidak ada perbedaan performansi secara signifikan untuk pengurutan terhadap 100 item atau kurang Namun bubble sort tidak disarankan untuk pengurutan yang terus berulang atau pengurutan yang menangani lebih dari 200 item

3 Merge sort

Merge (Quicksort) Sort memanfaatkan proses rekursi (pemanggilan diri sendiri) sampai habis Prinsipmetode ini membagi data menjadi dua bagian yang sama (kiri dan kanan) dimana data tengah (mid pivot) menjadi pusat operasi Jika data dikiri lebih kecil dari mid maka pisahkan kekiri Jika data dikanan lebih besar daripada mid maka pisahkan ke kanan Begitu seterusnya Meskipun metode ini cepat akan tetapi mplementasinya agak rumit

Pola Divide and ConquerBeberapa algoritma mengimplementasikan konsep rekursi untuk menyelesaikan permasalahan Permasalahan utama kemudian dipecah menjadi sub-masalah kemudian solusi dari sub-masalah akan membimbing menuju solusi permasalahan

Pada setiap tingkatan rekursi pola tersebut terdiri atas 3 langkah1 DivideMemilah masalah menjadi sub masalah2 ConquerSelesaikan sub masalah tersebut secara rekursif Jika sub-masalah tersebut cukup ringkas dan sederhana pendekatan penyelesaian secara langsung akan lebih efektif3 KombinasiMengkombinasikan solusi dari sub-masalah yang akan membimbing menuju penyelesaian atas permasalahan utama