Munawar, PhD

Aljabar Linier & Matrik11. Transformasi Linear

2

Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V W

dinamakan transformasi linear, jika

untuk setiap dan berlaku :

Jika V = W maka T dinamakan operator linear

Vba , R

baT.1 bTaT

aT .2 aT

Transformasi Linear

3

Tunjukan bahwa T : R2 R3, dimana

merupakan tranformasi linear.

Jawab :

Ambil unsur sembarang di R2,

Misalkan

(i) Akan ditunjukan bahwa

y

x

yx

y

xT

,2

1

u

uu

2

2

1R

v

vv

vTuTvuT

Rumus Transformasi

Contoh 1

4

Terbukti bahwa

vuT

2

1

2

1

v

v

u

uT

22

11

2211

vu

vu

vuvu

22

11

2211

vu

vu

vuvu

2

1

21

2

1

21

v

v

vv

u

u

uu

vΤuΤvuT

5

(ii) Ambil unsur sembarang

Jadi, T merupakan transformasi linear.

RRu dan2

2

1

u

uu

2

1

21

u

u

uu

2

1

21

u

u

uu

2

1

21

u

u

uu

uΤα

6

Misalkan T merupakan suatu transformasi

dari M2x2 ke R yang didefinisikan oleh

T(A) = det (A), untuk setiap A M2x2,

Apakah T merupakan Transformasi linier.

Jawab :

Misalkan

maka untuk setiap R berlaku

det (A) =

22

43

21

xM

aa

aaA

43

21

det

aa

aa

)det(2

4321

2 Aaaaa

Contoh 2

7

Perhatikan bahwa det(A) ≠ det(A)

Jadi T bukan transformasi linier.

Contoh 3 :

Diketahui T : P2 (Polinom orde-2) R2, dimana

a. Apakah T merupakan transformasi linear

b. Tentukan

ca

bacxbxaT )( 2

)1( 2xxT

2

1 2 3p u u x u x 2

1 2 3q v v x v x

Jawab :

a.(i) Ambil unsur sembarang P2,

8

Sehingga

Perhatikan bahwa

p q 2

332211 xvuxvuvu

2

1 1 2 2 3 3T p q T u v u v x u v x

3311

2211

vuvu

vuvu

3131

2121

vvuu

vvuu

31

21

31

21

vv

vv

uu

uu

2

321

2

321 xvxvvTxuxuuT

9

Ambil unsur sembarang P2,

dan R, sehingga

Jadi, T merupakan transformasi linear

2

1 2 3p u u x u x

2

321 xuxuuTuT

31

21

uu

uu

31

21

uu

uu

31

21

uu

uu

2

321 xuxuuT

10

b.

Suatu transformasi linear T : V W dapat

direpresentasikan dalam bentuk :

A dinamakan matriks transformasi dari T.

Contoh :

Misalkan, suatu transformasi linear T : R2 R3

didefinisikan oleh :

)1( 2xxT

0

0

11

11

uAuT

u

untuk setiap V.

y

x

yx

y

x

11

Jawab :

Perhatikan bahwa

Jadi matriks transformasi untuk T : R2 R3 adalah

Jika T : Rn Rm merupakan transformasi linear

maka ukuran matriks transformasi adalah m x n

y

x

y

x

yx

y

x

10

01

11

10

01

11

A

12

dimana

21 ,vv

32: RR

ii uv

222

111

uvvT

uvvT

2321222123 xxx uuvv 21 vv

12121

vvuu

Misalkan

basis bagi ruang vektor V dan

merupakan transformasi linear

untuk setiap i = 1,2.

Sehingga

Jadi

basis bagi V

maka ia punya invers

Matriks transformasinya dapat ditentukan dengan cara :

Tulis :

13

1

0

0

,

1

1

0

,

1

1

1

321 vvv

1

3: PR

iii pvAvT

xppxp 2;1;1 321

2

1

1

dan

Contoh 3 :

adalah basis bagi R3

Transformasi linear didefinisikan

untuk setiap i = 1,2,3.

Tentukan :

Matrix transformasi

Jika

14

2

02;

0

11;

1

111 32 BBB xppxp

3,2,1, iii pv

201

011

111

011

001

1

111

011

001

201

011

Jawab

Karena

Maka

atau

Definisikan :

15

100

010

001

111

011

001

101

011

001

110

010

001

~

110

011

001

100

010

001

~

221

010

110

011

001

201

011

221

010

invers matriks dicari dengan OBE :

Sehingga

Jadi matriks transformasi T adalah

16

2

1

1

2

1

1

1

1

2

1

1

221

010

211

1x

B

ingat bahwa

jadi

Sementara itu,

x

1

2

1

1

17

22 1,,1 xxxxx

2

1

0

1 xT

0

2

12xxT

0

1

2

1 2xxT

21 xxT

Contoh 4 :

Jika T : P2 R3 adalah transformasi linear

dimana

Tentukan

Diketahui basis dari polinom orde dua adalah

18

Perhatikan bahwa

himpunan 3 polinom tersebut adalah basis

bagi polinom orde 2

maka polinom tersebut ditulis nejadi :

Samakan suku-suku sejenis

sehingga diperoleh SPL

dengan solusi k1 =0 , k2 = 2, dan k3 = 1.

1

1

1

32

321

31

kk

kkk

kk

2

3

2

21

2 111 xxkxxkxkxx

Jawab

19

Jadi kombinasi linear diatas berbentuk :

atau

Karena transformasi T bersifat linear maka :

222 12101 xxTxxTxTxxT

0

1

2

0

2

1

2

0

5

4

222 112101 xxxxxTxxT

222 112101 xxxxxxx

20

Misalkan T : V → W merupakan transformasi linear

Semua unsur di V yang dipetakan ke vektor nol di W

dinamakan kernel T

notasi ker ( T ).

atau

Contoh 5 :

Trans. Linear T : P2 R2

Perhatikan bahwa

maka

0|)( uTVuTKer

ca

bacxbxaT )( 2

)1( 2xxT

0

0

11

11

)(1 2 TKerxx

Kernel dan Jangkauan

21

Sementara itu,

karena

Jelas bahwa vektor nol pada daerah asal

transformasi merupakan unsur kernel T.

Tetapi, tak semua transformasi linear mempunyai

vektor tak nol sebagai unsur kernel T.

Teorema :

Jika T : V W adalah transformasi linear

maka Ker (T) merupakan subruang dari V

Bukti :

Ambil sembarang dan Riil)(, TKerba

)(21 2 TKerxx

01

1)21( 2

xxT

22

1. Karena setiap

artinya setiap

maka Ker(T) V

2. Perhatikan bahwa

artinya setiap

oleh karena itu Ker(T) ≠ { }

3. Karena dan Ker(T) V

Ingat bahwa V mrp ruang vektor, sehingga berlaku

akibatnya

Jadi

)(TKera

0sehingga aTVa

)(0 TKer

000 AT

)(, TKerba

Vba

000 bTaTbaT

Tba ker

23

karena V adalah ruang vektor

maka untuk setiap Riil berlaku :

Jadi,

Dengan demikian, terbukti bahwa

Jika T : V W adalah transformasi linear maka

Ker(T ) merupakan subruang dari ruang vektor V

Karena Ker(T ) merupakan subruang

Basis Ker(T).

VaTKera maka)(Karena 4.

)(TKera

00 aTaT

24

c

b

a

T

022 2

xcbaxcaba

c

b

a

T

Contoh 6 :

Diketahui Transformasi linear T : R3 →P2 dengan

Jawab :

Perhatikan bahwa :

=(a + b) + (2a – c)x + (2a + b + c)x2

Tentukan basis dan dimensi Ker(T) dan R(T)

25

0

0

0

2

2

cba

cb

ba

c

b

a

T

cba

cb

ba

2

2

112

120

011

c

b

a

Ini memberikan

sehingga

Jadi, matriks transformasi bagi T adalah

112

120

011

A

26

~

0

0

0

112

120

011

0

0

0

110

120

011

0

0

0

2/100

2/110

2/101

~

0

0

0

100

010

001

~

Dengan melakukan OBE pada matriks tersebut :

Dengan demikian, Basis ker(T) = { }

dan nulitasnya adalah nol.

27

1

1

0

,

1

2

1

,

2

0

1

222 2121 xx,xx,x

Perhatikan hasil OBE

maka basis ruang kolom dari matriks A adalah :

oleh karena itu, basis jangkauan dari T adalah :

sehingga rank (dimensi basis R(t)) = 3

28

dcba

dc

ba

d

c

b

a

T

2

2

Contoh 7 :

Diketahui transformasi linear T : R4 R3

didefinisikan oleh :

Tentukan basis kernel dari T dan nulitasnya

29

Jawab :

dcba

dc

ba

d

c

b

a

T

2

2

d

c

b

a

 

2111

2100

0011

2111

2100

0011

A

Jadi

30

4,  0 R

d

c

b

a

vvAvT

0000

2100

0011

~

2111

2100

0011

~A

Basis Ker(T) dan Nulitasnya?

Dengan OBE

Ker(T) adalah ruang solusi dari

31

0vA

0, , 

21

1

0

0

  

0

0

1

1

   tsts

d

c

b

a

d

c

b

a

21

1

0

0

 , 

0

0

1

1

Ker(T) = ruang solusi dari

yaitu

Jadi Basis Ker(T) adalah

Nulitas = Dimensi dari Ker(T) = 2

32

ca

ba

c

b

a

T2

242 xxxT 222731 xxxT

xT 3

Latihan

1. Suatu transformasi T : 3 2

didefinisikan oleh

2. Jika suatu transformansi T : P1 P2 diberikan oleh :

dan

Tentukan

Periksa apakah T merupakan transformasi linear

33

1

1

3

2

1T

1

2

1

5

3T

3

1T

(Untuk no. 3 – 5)

Suatu transformasi linear, T :R2R3

Yang diilustrasikan sebagai berikut :

dan

3. Tentukan matriks transformasi dari T !

4. Tentukan hasil transformasi,

5. Tentukan basis kernel dan jangkauan dari T !

34

1221

1321

1121

A

ca

ba

c

b

a

T2

7. Misalkan T : 3 2 didefinisikan oleh

Tentukan basis Ker(T) dan basis R(T)

beserta dimensinya !

6. Tentukan rank dan nulitas matriks Transformasi :

35

36

2 2:T P P

2 2T ax bx c cx bx a

Apakah dengan

merupakan transformasi linier?

Apakah dengan

merupakan transformasi linier?

37

2:T P 2T ax bx c a

2 3:T P P T p x xp x

Munawar, PhD