Aljabar LinierPertemuan 1

Jadwal KuliahHari : Rabo jam : 15.30

Sistem PenilaianUTS 30 %UAS 30 %Tugas 40 %

SilabusBab I Matriks dan OperasinyaBab II Determinan MatriksBab III Invers MatriksBab IV Sistem Persamaan LinearBab V Sistem Persamaan Linear HomogenBab VI Matlab (SPL)Bab VII VektorBab VIII Perkalian VektorBab IX Ruang VektorBab X Proses Gram SchmidtBab XI Transformasi Linier KernelBab XII Nilai Eigen , Vektor EigenBab XIII MATLAB

Sub Pokok Bahasan 11. Matriks dan OperasinyaSub Pokok Bahasan Matriks dan Jenisnya OperasiMatriks Operasi Baris Elementer Sifat OperasiMatriksBeberapa Aplikasi Matriks Representasi image (citra) Chanel/Frequency assignment Operation Researchdan lain-lain.

Pengertian MatrixBeberapa pengertian tentang matriks :1. Matriks adalah himpunan skalar (bilangan riil atau kompleks) yang disusun atau dijajarkan secara empat persegi panjang menurut baris-baris dan kolom-kolom.2. Matriks adalah jajaran elemen (berupa bilangan) berbentuk empat persegi panjang.3. Matriks adalah suatu himpunan kuantitas-kuantitas (yang disebut elemen), disusun dalam bentuk persegi panjang yang memuat baris-baris dan kolom-kolom.

Notasi yang digunakan

Atau Atau

MatriksNotasi Matriks

A =Unsur / entri /elemen ke-mn (baris m kolom n)Baris ke -1 Kolom ke -2Matrix A berukuran (ordo) m x nMisalkan A dan B adalah matriks berukura sama, A dan B dikatakan sama (notasi A = B)Jika untuk setiap i dan j

Jenis Matriks(i) MATRIKS NOL, adalah matriks yang semua elemennya nolSifat-sifat :A+0=A, jika ukuran matriks A = ukuran matriks 0A*0=0, begitu juga 0*A=0.(ii) MATRIKS BUJURSANGKAR, adalah matriks yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama. Barisan elemen a11, a22, a33, .ann disebut diagonal utama dari matriks bujursangkar A tersebut.Contoh : Matriks berukuran 2x2

A =

Jenis Matriks(iii) MATRIKS DIAGONAL, adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diluar diagonal utamanya nol.Contoh :

(iv) MATRIKS SATUAN/IDENTITY, adalah matriks diagonal yang semua elemen diagonalnya adalah 1.Contoh :

Sifat-sifat matriks identitas : A*I=A , I*A=A

Jenis Matriks(v) MATRIKS SKALAR, adalah matriks diagonal yang semua elemennya sama tetapi bukan nol atau satu. Contoh : A=

(vi) MATRIKS SEGITIGA ATAS (UPPER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen dibawah diagonal elemennya = 0.

A =

(Vii) MATRIKS SEGITIGA BAWAH (LOWER TRIANGULAR), adalah matriks bujursangkar yang semua elemen diatas diagonal elemennya = 0. A=

(viii) MATRIKS SIMETRIS, adalah matriks bujursangkar yang elemennya simetris secara diagonal. Dapat juga dikatakan bahwa matriks simetris adalah matriks yang transposenya sama dengan dirinya sendiri. Contoh :A ==

(ix) MATRIKS ANTISIMETRIS, adalah matriks yang trnsposenya adalah negatif dari matriks tersebut. Maka AT=-A dan aij=-aij, elemen diagonal utamanya = 0Contoh :

TRANSPOSE MATRIKSJika diketahui suatu matriks A=aij berukuran mxn maka transpose dari A adalah matriks AT =nxm yang didapat dari A dengan menuliskan baris ke-i dari A sebagai kolom ke-i dari AT.

Beberapa Sifat Matriks Transpose :(A+B)T = AT + BT (AT) T = Ak(AT) = (kA)T(AB)T = BT AT

Operasi Matrix Penjumlahan MatriksSyarat : Dua matriks berordo sama dapat dijumlahkanContoh =

a.

b.

Operasi Matrix Pengurangan MatriksSyarat : Dua matriks berordo sama dapat dkurangkanContoh =

a.

b.

Operasi MatrixPerkalian Matriks Perkalian Skalar dengan MatriksContoh : Perkalian Matriks dengan Matriks Misalkan A berordo pxq dan B berordo mxn Syarat : A X B haruslah q = m , hasil perkalian AB , berordo pxn

Hukum Perkalian Matriks :

Hukum Distributif, A*(B+C) = AB + ACHukum Assosiatif, A*(B*C) = (A*B)*CTidak Komutatif, A*B B*AJika A*B = 0, maka beberapa kemungkinan(i) A=0 dan B=0(ii) A=0 atau B=0(iii) A0 dan B0Bila A*B = A*C, belum tentu B = C

Operasi Baris Elementer (OBE)Operasi baris elementer meliputi :1. Pertukaran Baris2. Perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol 3. Penjumlahan hasil perkalian suatu baris dengan konstanta tak nol (seperti butir 2) dengan baris yang lain.Contoh : OBE 1

OBE2

OBE3

Definisi yang perlu diketahui : Baris pertama dan ke-2 dinamakan baris tak nol, karena pada kedua baris tersebut memuat unsur tak nol. Bilangan 1 pada baris pertama dan bilangan 3 pada baris ke-2 dinamakan unsur pertama tak nol pada baris masing-masing. Bilangan 1 (pada baris baris pertama kolom pertama) dinamakan satu utama. Baris ke-3 dinamakan baris nol, karena setiap unsur pada baris ke-3 adalah nol.

OBESifat matriks hasil OBE :1. Pada baris tak nol maka unsur tak nol pertama adalah 1 (dinamakan satu utama). 2. Pada baris yang berturutan, baris yang lebih rendah memuat 1 utama yang lebih ke kanan.3. Jika ada baris nol (baris yang semua unsurnya nol), maka ia diletakkan pada baris paling bawah.4. Pada kolom yang memuat unsur 1 utama, maka unsur yang lainnya adalah nol.

Matriks dinamakan esilon baris jika dipenuhi sifat 1, 2, dan 3 (Proses Eliminasi Gauss)Matriks dinamakan esilon baris tereduksi jika dipenuhi semua sifat (Proses Eliminasi Gauss-Jordan)