AKAR-AKAR PERSAMAANUNTUK MENCARI AKAR PERSAMAAN TERGANTUNG DARI BENTUK PERSAMAANNYA, JIKA BENTUK PERSAMAAN SEDERHANA DAPAT DIGUNAKAN RUMUS ATAU DENGAN PENYEDERHANAAN PERSAMAAN :

PERSAMAAN LINIER PERSAMAAN KWADRAT

PERSAMAAN DISEDERHANAKAN DENGAN RUMUS ABC

UNTUK PERSAMAAN POLINOMIAL AKAN SULIT DISELESAIKAN DENGAN 2 CARA DIATAS DIGUNAKAN METODE NUMERIK

METODE SETENGAH INTERVAL1. f(xn) . f(xn+1) < 0 2. xt = (xn + xn+1)/ 2 3. a. Jika f(xn).f(xt) < 0 xn+1 = xt

lanjutkan langkah ke 4 b. Jika f(xn).f(xt) > 0 xn = x t Lanjutkan langkah ke 4 c. Jika f(xn).f(xt) ~ 0 akar pers adalah xt dan hitungan selesai

4. Hitung perkiraan baru dari akar dengan xt = (xn + xn+1)/ 2 5. Apabila perkiraan baru sudah cukup kecil maka hitungan selesai dan xt adalah akar persamaan yang dicari. Jika belum, maka hitungan kembali ke langkah 3 Contoh : Hitung akar dari pers. berikut ini : f(x) = x3+x2-3x-3 = 0

Penyelesaian: Dihitung nilai f(x) pada interval antara 2 titik misalnya : x1 = 1 dan x2 = 2 untuk x1 = 1 f(x1=1) = 13 +12-3(1)-3 = -4 untuk x2 = 2 f(x2=2) = 23+22-3(2)-3 = 3 xt = (x1+x2) / 2 = (1+2)/2 = 1,5 f(xt = 1,5) = (1,5)3+(1,5)2-3(1,5)-3 = -1,875 karena fungsi berubah tanda antara x=1,5 dan x=2, maka akar terletak diantara kedua nilai tersebut. Langkah selanjutnya adalah membuat setengah interval berikutnya. Hitungan dilanjutkan dan hasilnya ditabelkan :

Itrasi ke 1 2 3 4 5 6 7

X1 1 1,5 1,5 1,625 1,6875 1,7188 1,7188

X2 2 2 1,75 1,75 1,75 1,75

X3 = xt 1,5 1,75 1,625

f(x1) -4 -1,875 -1,875

f(x2) 3 3 0,1719

f(x3)= f(xt) -1,875 0,1719 -0,9434 -0,4094 -0,1248 0,0220 -0,0515

1,6875 -0,9434 0,1719 1,7188 -0,4094 0,1719 1,7344 -0,1248 0,1719

1,7344 1,7266 -0,1248 0,0220

BAGAN ALIR METODE SETENGAH INTERVAL

METODE INTERPOLASI LINIERBerdasarkan interpolasi antara 2 nilai dari fungsi yang berlawanan tanda X*=xn+1-{f(xn+1)}/{f(xn+1)-f(xn)}(xn+1xn)

Contoh : hitung akar dari persamaan : f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0 Penyelesaian : langkah pertama, menghitung nilai f(x) pada interval antara 2 titik sedemikian sehingga nilai f(x) pada kedua titik tersebut berlawanan tanda. Untuk x1 = 1 ; f(x1 = 1) = 13+12-3(1)-3 = -4 Untuk x2 = 2 ; f(x2 = 2) = 23+22-3(2)-3 =3

* Flowchart

Maka x* = x2 {f(x2)}/{f(x2)-f(x1)}.(x2-x1) = 2-{3}/{3-(-4)}.(2-1) = 1,5714 f(x*) = x*3 + x*2 - 3(x*) - 3 = (1,5714)3 + (1,5714)2 - 3(1,5714)-3 = -1,3645 selanjutnya dihitung x* dengan akar terletak antara x = 1,5714 dan x = 2 x* = 2 {3}/{3-(-1,3645)}.(2-1,5714) = 1,7054 f(x*) = (1,7054)3 + (1,7054)2 - 3(1,7054)-3 = -0,2478 Hitungan dilanjutkan sampai akhirnya didapat nilai f(x*) ~ 0, lihat tabel berikut ini :

HASIL HITUNGAN METODE INTERPOLASI LINIERInterasi ke 1 2 3 4 X1 1 X2 X* f(x1) -4 f(x2) 3 3 3 3 f(x*) -1,3645 -0,2478 -0,.0394 -0.,0062

2 1,5714

1,5714 2 1,7054 -1,3645 1,7054 2 1,7279 -0,2478 1,7279 2 1,7314 -0,0394

METODE SECANTXi + 1 = xi {f(xi) (xi-xi-1)} / {f(xi)-f(xi-1)} diperlukan 2 nilai awal dari x Contoh : Selesaikan dengan metode secant pers. berikut ini f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0 penyelesaian : iterasi pertama : diambil dua nilai awal x1 = 1 dan x2 = 2 untuk x1 = 1 untuk x2 = 2 f(x1 = 1) = 13 + 12-3(1) -3 = -4 f(x2 = 2) = 23 + 22-3(2) -3 = 3

Maka : x3 = x2 {f(x2) (x2-x1)}/{f(x2)-f(x1)} = 2- {3(2-1)} /{ 3-(-4)} = 1,5714 iterasi kedua : x2 = 2 f(x2=2) = 23 +22-3(2)-3 = 3 x3 = 1,5714 f(x3=1,5714) = 1,57143 +1,571423(1,5714)-3 = -1,3645 x4 = x3 {f(x3)(x3-x2)}/{f(x3)-f(x2)} = 1,5714 {(-1,3645)(1,5714-2)}/{-1,3645-3} = 1,7054

Hitungan dilanjutkan kemudian ditabelkan sebagai berikutIterasi ke 1 2 3 4 Xn-1 Xn Xn+1 f(xn-1) f(xn)

hasilnya

f(xn+1)

1 2 1,5714 -4 3 -1,3645 2 1,5714 1,7054 3 -1,3645 -0,2478 1,5714 1,7054 1,7351 -1,3645 -0,2478 0,0292 1,7054 1,7351 1,7320 -0,2478 0,0292 -0,0006

1). Hitung akar dari pers. berikut ini dengan metode setengah interval: f(x) = x3 + x2 - 3x - 3 = 0 Ambil harga awal x1 = 1 dan x2 = 9 2). Hitung akar persamaan berikut dengan metode Interpolasi Linier f(x) = 7x3 + 3x2 5x + 2 = 0

3). Hitung akar persamaan berikut dengan metode Secant : f(x) = 10x4 5x3 + 3x2 7 = 0