93015-14-781143055702

Modul 14

MATEMATIKA EKONOMI

POKOK BAHASAN : MATRIKS (lanjutan)

DOSEN : LIANAH, SE.,MCom.

PROGRAM STUDI : MANAJEMEN

FAKULTAS EKONOMI

UNIVERSITAS MERCU BUANA

JAKARTA 2008

MATRIKS

Tujuan Instruktusional :

Mahasiswa dapat mengenal, memahami dan memanfaatkannya dalam memecahkan

permasalahan pencarian akar-akar suatu persamaan.

Materi pembahasan :

1. Determinan matriks

2. Adjoin matriks

3. Pembalikan matriks

4. Penyelesaian persamaan linear

I. Determinasi matriks

Salah satu istilah yang dikenal dalam matriks adalah determinan yang diperoleh

dengan cara mengalikan unsur-unsur diagonal suatu matriks. Matrik yang dapat

dicari determinasinya hanyalah matrik bujursangkar.

Matriks A = 1 4

7 8

determinasinya adalah A = 1.8 – 7.4 = -20

untuk matrik berdimensi tiga :

contoh :

A = 1 3 5

2 4 6

3 1 4

d e f

A = 1 3 5 1 3

2 4 6 2 4

3 1 4 3 1

a b c

= a + b + c – d – e – f

= 16 + 54 + 10 – 60 – 6 – 24 = -10

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB Lianah, SE., McomMATEMATIKA EKONOMI

Determinasi matriks untuk matriks berorde lebih dari 3

Minor dan Kofaktor

Prinsip determinasi seperti yang telah dikemukakan sebelumnya hanya dapat

berlaku sampai matriks berdimensi tiga, tidak dapat dipergunakan untuk

penyelesaian determinan yang berdimensi lebih tinggi. Untuk penyelesaian

determinan berdimensi lebih dari tiga digunakan metode minor dan kofaktor dari

matriks yang bersangkutan.

Minor

Adalah determinan suatu matriks yang diperoleh dengan cara menutup baris dan

kolom tertentu dari matriks yang bersangkutan. Minor dinotasikan dengan Mij

dimana I dan j melambangkan baris dan kolom yang ditutup. Sehingga M11

berarti determinan yang diperoleh dengan cara menutup baris 1 dan kolom 1 dari

matriks yang bersangkutan.

Contoh : carilah minor-minor dari matriks berikut

1 2 3 untuk matrik berikut minornya ada 9, yaitu :4 5 77 8 9

M11 = 5.9 – 8.7 = 45 – 56 = -11

M12 = 4.9 – 7.7 = 36 – 49 = -13

M13 = 4.8 – 7.5 = 32 – 35 = -3

M21 = 2.9 – 8.3 = 18 – 24 = -6

M22 = 1.9 – 7.3 = 9 – 21 = -12

M23 = 1.8 – 7.2 = 8 – 14 = -6

M31 = 2.7 – 5.3 = 14 – 15 = -1

M32 = 1.7 – 4.3 = 7 – 12 = -5

M33 = 1.5 – 4.2 = 5 – 8 = -3

Kofaktor

Adalah hasil perkalian minor dengan suatu angka yang besarnya menuruti suatu

aturan, yaitu (-1)i+j dimana I adalah baris dan j adalah kolom. Kofaktor

dinotasikan dengan Aij yang berarti atau sama dengan Mij dikali dengan (-1)i+j.


Contoh : dengan soal sama carilah kofaktor-kofaktornya :

Ada 9 kofaktor yaitu :

A11 = M11 (-1) 1+1 = -11. (-1)2 = -11

A12 = M12 (-1) 1+2 = -13. (-1)3 = 13

A13 = M13 (-1) 1+3 = -3. (-1)4 = -3

A21 = M21 (-1) 2+1 = -6. (-1)3 = 6

A22 = M22 (-1) 2+2 = -12. (-1)4 = -12

A23 = M23 (-1) 2+3 = -6. (-1)5 = 6

A31 = M31 (-1) 3+1 = -1. (-1)4 = -1

A32 = M32 (-1) 3+2 = -5. (-1)5 = 5

A33 = M33 (-1) 3+3 = -3. (-1)6 = -3

Jadi kofaktornya adalah sebagai berikut:

[ Aij ] = -11 13 -3

6 -12 6

-1 5 -3

Determinan dengan minor dan kofaktor

Untuk mencari determinan dengan minor dan kofaktor rumusnya adalah :

Det A = a11A11 + a12A12 + a13A13 + ………… + a1nA1n

Sehingga dengan contoh soal determinannya adalah :

Det A = 1. –11 + 2.13 + 3.-3 = -11 + 26 + (-9) = 6

Sifat-Sifat Determinan

1. Pertukaran baris dengan kolom tidak mempengaruhi nilai

determinan.Dengan kata lain, determinan suatu matriks A mempunyai

nilai yang sama dengan transpose A’ yaitu: A = A ‘

2. Pertukaran dua baris atau kolom manapun akan mengubah tanda, tetapi

nilai dari determinannya tidak berubah

3. Perkalian dari satu baris atau kolom manapun dengan bilangan skalar k

(konstanta) akan mengubah nilai determinan sebesar k kali.

4. Pertambahan atau pengurangan dari suatu kelipatan baris atau kolom

manapun ke baris atau kolom yang lain tidak akan mengubah nilai

determinannya.


5. Apabila satu baris atau kolom adalah identik atau kelipatan dari baris atau

kolom lainnya, maka nilai determinannya akan menjadi nol. Sifat ini

menyatakan ketergantungan secara linier dalam sistem persamaan linier.

6. Apabila semua elemen dari suatu baris atau kolom adalah nol, maka nilai

determinannya nol

7. Apabila perluasan determinan dengan menggunakan elemen baris atau

kolom yang berbeda dengan kofaktor-kofaktornya, maka nilai

determinannya akan menghasilkan nol.

II. Adjoin matriks

Adjoin adalah ubahan dari kofaktor suatu matriks sehingga dirumuskan dengan

Contoh : dengan soal yang sama tentukan adjoinnya

[ Aij ] = -11 13 -3

6 -12 6 dan

-1 5 -3

Adj. A = [ Aij ]’ = -11 6 -1

13 -12 5

-3 6 -3

III. Matriks Singular dan Nonsingular

Setelah mempelajari definisi determinan dan cara memperoleh nilai determinan

serta sifat-sifatnya, maka kita akan dapat mengetahui apakah suatu matriks

singular atau nonsingular.

Suatu matriks A dikatakan matriks singular jika dan hanya jika matiks itu

mempunyai nilai determinan sama dengan nol. Sebaliknya, suatu matriks A

dikatakan matriks nonsingular jika dan hanya jika matriks tersebut mempunyai

nilai determinan tidak sama dengan nol. Jadi, jika nilai detrminan matriks A tidak

sama dengan nol, maka akan diperoleh beberapa hal penting dalam pemecahan

sistem persamaan linier, yaitu:

1. Ada kebebasan linier baik baris atau kolom matrik A


Adj. A = [ Aij ]’

2. Matriks A nonsingular

3. Ada invers A–1

4. Ada suatu jawaban tunggal untuk sistem persamaan linier

IV. Pembalikan matriks

Membalik suatu matriks berarti mencari suatu matriks balikan yang apabila

dikalikan dengan matriks aslinya akan menghasilkan matriks satuan. Atau dapat

dituliskan dengan jika A adalah suatu matriks dan A-1 adalah invers atau balikan

dari matriks A maka jika AA-1 = I dimana I adalah matriks identitas atau matriks

satuan. Untuk mencari balikan atau invers suatu matriks rumus yang digunakan

adalah :

Contoh : dengan soal yang sama carilah A-1

Adj. A = -11 6 -1 dan det A = 6 sehingga

13 -12 5

-3 6 -3

A-1 = -11 6 -1

13 -12 5

-3 6 -3

6

A-1 = -11/6 6 -1/6

13/6 -12 5/6

-3/6 6 -3/6

V. Penyelesaian persamaan linear

Sebagaimana pada modul 4 pembahasan mengenai pencarian akar-akar linier,

kita mempelajari penyelesaian sistem persamaan linier dengan dua persamaan

dan dua variabel melalui metode eliminasi dan metode substitusi. Kedua metode

ini tampaknya tidak begitu sulit untuk memperoleh nilai penyelesasian dari kedua

variabel dalam persamaan. Tetapi, bila suatu sistem persamaan linier yang


A-1 = adj A / Det A

meliputi lebih dari dua persamaan dan lebih dari dua variabel, penyelesaiannya

akan menjadi lebih sulit. Oleh karena itu, penyelesaian yang sulit ini dapat diatasi

melalui penggunaan metode aljabar matriks.

Matriks dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear.

Misalkan terdapat sehimpun persamaan linear yang terdiri atas m persamaan

dengan n bilangan tertentu dapat disajikan dalam bentuk notasi matriks. Sebagai

contoh :

a11x1+ a12x2 + ……. + a1nxn =c1

a21x1+ a22x2 + ……. + a2nxn =c2

am1x1 + am2x2 + ……. + amnxn =cm

dapat ditulis menjadi

Amxn xnx1 = cmx1 jika m = n dan A mempunyai balikan maka notasi sistem

persamaan linear diatas dapat dituliskan menjadi :

xnx1 = A-1 mxn x cmx1

contoh :

Jika diketahui x + 2z + 3y = 14

4x + 5z + 7y = 35

7x + 8z + 9y = 50

carilah nilai x, z, y.

jawab : A = 1 2 3 x = x c = 14

4 5 7 z 35

7 8 9 y 50

det A = 6 berarti A-1 dapat dicari

A-1 = -11/6 1 -1/6

13/6 -2 5/6

-3/6 1 -3/6


x = A-1c = -11/6 1 -1/6 14 -11/6.14 + 35 + -1/6.50

13/6 -2 5/6 35 = 13/6.14 + -70 + 5/6.50

-3/6 1 -3/6 50 -3/6.14 + 35 + -3/6.50

35 – 34 1

72 – 70 = 2

35 – 32 3

menyelesaikan persamaan linear ini dapat pula dilakukan dengan kaidah

cramer atau cara determinan.

Metode Cramer

Salah satu metode yang sederhana dan praktis dalam menyelesaikan sistem

persamaan linier dengan menggunakan peralatan inverse matriks adalah

aturan cramer. Aturan Cramer ini pada dasarnya mula-mula menggunakan

peralatan inverse matriks, dan kemudian dalam proses penyelesaian

selanjutnya digunakan konsep determinan. Hal ini beralasan, karena salah

satu cara untuk memperoleh nilai inverse dari suatu matriks diperlukan nilai

determinannya. Jadi, nilai determinan akan menentukan apakah suatu

matriks mempunyai nilai inverse atau tidak.

Contoh : andaikan x + 2z +3y = 14

4x + 5z + 7y = 35

7x + 8z + 9y = 50 maka

det A = 1 2 3 det x = 14 2 3

4 5 7 = 6 35 5 7 = 6

7 8 9 50 8 9

det z = 1 14 3 det y = 1 2 14

4 35 7 = 12 4 5 35 = 18

7 50 9 7 8 50


sehingga x = det x / det A = 6 / 6 = 1

z = det z / det A = 12 / 6 = 2

y = det y / det A = 18 / 6 = 3

Selain metode Cramer, metode lain dalam penyelesaian sistem persamaan

linier adalah dengan menggunakan inverse matriks adalah metode eliminasi

Gauss-Jordan. Metode ini adalah suatu prosedur aljabar matriks yang

mentransformasikan suatu sistem persamaan linier ke dalam bentuk matriks

perbasaran (augmented matrix), dimana matiks koefisien ditempatkan

sebelah kiri dari vektor kolom konstanta K. Kemudian kita gunakan operasi

baris secara berulang-ulang pada matriks perbesaran sampai matriks

koefisien menjadi matriks identitas (In). Ini berarti bahwa, operasi baris telah

berakhir. Setelah itu, hasil akhirnya diperoleh dengan cara melihat pada

elemen-elemen yang terdapat pada kolom konstanta K yang bersesuaian.

Penyelesaian persamaan linier dengan metode ini tidak akan dibahas lebih

lanjut, yang dibahas adalah dengan metode Cramer dan matriks saja.

Latihan :

1. Diketahui 3x – z + y = 11

x + 5z – 2y = – 11

2x + 3z + 3y = 13

Carilah x,, z, dan, y dengan menggunakan cara matriks balikan dan

kaidah cramer.

2. Diketahui a + 4b – 2c = 3

3a + 2b + c = 10

2a + 3b + 2c = 14

Carilah a,, b, dan, c dengan menggunakan cara matriks balikan dan

kaidah cramer.

3. Diketahui 3x – 2z + 2y = 17

x + 6z – 4y = 1

6x + 2z + 3y = 33


Carilah x,, z, dan, y dengan menggunakan cara matriks balikan dan

kaidah cramer.

4. Diketahui 2x + 2y + 3z = 13

x + 3y + z = 8

3x + y + 6z = 21

Carilah x,, y, dan, z dengan menggunakan cara matriks balikan dan

kaidah cramer.

5. Diketahui 4x + 2y – 2z = 0

3x – y + 3z = 14

x + 3y + 4z = 4

Carilah x,, y, dan, z dengan menggunakan cara matriks balikan dan

kaidah cramer.


93015-14-781143055702

Documents

Transcript of 93015-14-781143055702