92014-14-522344029637

92014-14-522344029637_300944pd

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS II

KALKULUS 2MODUL-14

Bab 14. Persamaan Diferensial (PD)( Diferential Equations )

14.1. Persamaan Diferensial Orde Pertama( dx

dy= f(x,y) )

Penyelesaian PD Orde Pertama:

1). Cara Langsung: artinya, PD dapat diselesaikan secara

langsung. Contoh:

PD:dx

dy= x dy = x dx ∫ dy = ∫ x dx y = ½ x2 + C

Soal: 1. Selesaikan PD: xdx

dy= 5 x3 + 4 !

2. Selesaikan PD: ydx

dy= 5 x3 + 4 !

2). Cara Pemisahan: artinya, PD dapat diselesaikan dengan

cara pemisahan terlebih dahulu. Contoh:

PD:dx

dy= xy dy/y = x dx ∫ dy/y = ∫ x dx

ln y = ½ x2 + C y =)( 2

21 Cx

e

= A2

21 x

e

Soal: 1. Selesaikan PD:dx

dy= y(2 x3 + 3) !

2. Selesaikan PD: (2+x)dx

dy= 5 + y !

92014-14-522344029637_300944pd


3). Persamaan Homogen – dengan Substitusi y = v x:

Artinya, PD yang tidak dapat diselesaikan dengan cara langsung maupun

pemisahan akan diselesaikan dengan cara pemisalan y = v x, dengan syarat

pangkat dari x, y, maupun gabungannya harus seragam (homogen).

92014-14-522344029637_300944pd


Contoh: (x + y)/x, (x2 + y2)/y2, (x+2y)/x, (x+y)/y adalah

homogen, sedang (x + xy)/y, (x2 + y)x, (x+ 2)/y, (x+1)/y

adalah tidak homogen.

Contoh Soal: Selesaikan PD:dx

dy= (x+y)/x

Jawab: misal y = vx dy = vdx + xdv

(vdx+xdv)/dx = (x + vx)/x

v + x dv/dx = (1+v)

dv = dx/x ∫ dv= ∫ dx/x v = ln x + C

Jadi: y/x = ln x + C atau y = x (ln x + C)


dy= (x2 + y2)/xy. (Ans:y2=2lnx+C)

2. Selesaikan PD: (x2+2xy)dx

dy=2xy+3y2. (Ans: xy+y2=Ax3)

3. Selesaikan PD: (x2+xy)dx

dy=xy-y2. (Ans:xy=Aex/y)

4). Persamaan Linier – dengan Faktor Integral:

Artinya, PD yang tidak dapat diselesaikan dengan cara langsung,

pemisahan dan tidak homogen akan diselesaikan dengan cara

bantuan Faktor Integral, dengan syarat PD harus linier, yaitu:

dx

dy+ P y = Q,

P dan Q adalah konstanta atau fungsi dari x.

Jika PD linier di atas dikalikan dengan Faktor Integral (FI),

(FI = e∫Pdx), maka PD akan dapat diselesaikan dengan

Mudah, seperti berikut ini:

FI . (dx

dy+ P y = Q)

92014-14-522344029637_300944pd


dx

dye∫Pdx + P y e∫Pdx = Q e∫Pdx

dx

d(y e∫Pdx) = Q e∫Pdx

y e∫Pdx = ∫ Q e∫Pdx dxatau y . FI = ∫ Q .FI dx adalah

merupakan penyelesaian PD linier tersebut.

Contoh:

Selesaikan PD: xdx

dy+ y = x2

Jawab:dx

dy+ x

y= x FI = e∫1/x dx = eln x = x

Penyelesaian PD: y. FI = ∫ x .FI dx xy = ∫ x2 dx

xy = 1/3 x3 + C


dy+ycotx=cosx. (Ans:ysinx= ½ sin2x+C)

2. Selesaikan PD:dx

dy+3y=e4x. (Ans: y=e4x/7+Ce-3x)

3. Selesaikan PD: xdx

dy+y=xsinx. (Ans: xy=sinx-xcosx+C)

4. Selesaikan PD: tanxdx

dy-xy=1. (Ans: ysinx=x+C)

5. Selesaikan PD: (1-x2)dx

dy+3y=e4x. (Ans: y√(1-x2)=sin-1x+C)

6. Selesaikan PD: xdx

dy-5y=x7. (Ans: y=x7/2+Cx5)

5). Persamaan Bernoulli:

dy/dx + P y = Q yn ……… (i)

Dibagi yn, diperoleh y-ndx

dy+ P y1-n = Q ……...(ii)

92014-14-522344029637_300944pd


Misal: z = y1-n dx

dz= (1-n) y-n

dx

dy……. (iii)

(ii) dikalikan (1-n) diperoleh:

(1-n) y-ndx

dy+ (1-n) P y1-n = (1-n) Q …..(iv)

(iii) masuk (iv) diperolehdx

dz+ P1 z = Q1 …… (v)

dengan P1 = (1-n) P dan Q1 = (1-n) Q

Persamaan (v) adalah PD linier yang dapat diselesaikan dengan

Faktor Integral FI = e∫ P1

dx .Jadi penyelesaian PD Bernoulli : dy/dx + P y = Q yn adalah

z . FI = ∫ Q1 . FI dx

atau y1-n . FI = ∫ Q1 . FI dx

Contoh:

Selesaikan PD Bernoulli: x dy/dx + y = x2 y2 ….(i)

Jawab:

Bagilah (i) dengan x y2, diperoleh: y-2 dy/dx + y-1/x = x

Missal: z = y(1-n) = y(1-2) = y-1 ….diperoleh dz/dx + P1 z = Q1

Dengan P1 = (1- n) P = (1-2) 1/x = - 1/x

Q1 = (1- n) Q = (1-2) x = - x

Sehingga FI = e∫ P1

dx = e∫ (- 1/x) dx = e- ln x = x-1 = 1/x

Jadi penyelesaian PD: z . FI = ∫ Q1 . FI dx

z . 1/x = ∫ x. 1/x dx = ∫ dx = x + C

y-1 = x2 + Cx atau

y = (x2 + Cx)-1

92014-14-522344029637_300944pd


Soal (Selesaikan PD Bernoulli ini):

1). x2y - x3 dy/dx = y4 cosx Ans: y sinx = ½ sin2x+C

2). 2y – 3 dy/dx = y4 e3x Ans: y3 = 5e2x/(e5x+C’

3). y – 2 x dy/dx = x (x+1) y3 Ans: y2 = 6x/(2x3+3x2+C’

4). 2 dy/dx + y = y3 (x-1) Ans: y2(x+Cex) = 1

5). dy/dx + y tan x = y3 sec4x Ans: cos2x = y2(C-2tanx)

92014-14-522344029637_300944pd


14.2. Persamaan Diferensial Orde Dua

a 2

2

dx

yd+ b dx

dy+ c y = f(x,y)

Penyelesaian PD Orde Dua:

Metode-metode Penyelesaian PD Orde Dua:

1. Metode Persamaan Karakteristik.

2. Metode Solusi Komplementer dan Solusi Khusus.

3. Metode Operator.

14.2.1. Metode Persamaan Karakteristik( Solusi Komplementer )

Penyelesaian PD: a 2

2

dx

yd+ b dx

dy+ c y = 0 adalah

y = A em1x + B em2x

A, B = konstanta sembarang

m1, m2 = akar-akar PK: am2 + bm + c=0

PK (Persamaan Kuadrat) ini disebut Persamaan karakteristik.

Ada 3 macam akar-akar Persamaan Karakteristik: am2 + bm + c = 0

(1). Kedua akar riil dan berbeda, solusi PD: y = Aem1x +Bem2x

(2). Kedua akar sama dan riil, solusi PD: y = em x (A+Bx)

(3). Kedua akar kompleks (m=α ±βi) , solusi PD: y=eαx(Acosβx+Bsinβx)

92014-14-522344029637_300944pd


Contoh Soal:

1. Selesaikan PD: 2

2

dx

yd+ 3 dx

dy+ 2 y = 0

Jawab: Persamaan Karakteristik: m2+3m+2=0

Atau (m+1)(m+2)=0 m1 = -1, m2 = -2

Sehingga penyelesaian PD adalah

y = A e – x + B e – 2 x

2. Selesaikan PD: 2

2

dx

yd+ 3 dx

dy+ 9 y = 0

Jawab: Persamaan Karakteristik: m2+3m+9=0

Atau (m+3)(m+3)=0 m1 = m2 = -3


y = e3 x (A+Bx)

3. Selesaikan PD: 2

2

dx

yd+ 4 dx

dy+ 25/4 y = 0

Jawab: Persamaan Karakteristik: m2+4m+25/4=0

m12 = ½ (-4 ± √(16-25)) = -2 ± 3i


y = e- 2 x (A Cos 3x + B sin 3x)

92014-14-522344029637_300944pd


14.2.2. Metode Solusi Komplementer dan Solusi Khusus.

Penyelesaian PD: a 2

2

dx

yd+ b dx

dy+ c y = f(x) adalah

y = yk+ ykh

yk = solusi komplementer yaitu solusi seperti

pada 14.2.1. atau untuk f(x) = 0.

ykh = solusi khusus yaitu solusi untuk f(x) ≠ 0

dengan cara pemisalan:

No Bentuk f(x) Pemisalan u/ Solusi Khusus

1 f(x) = k y = C

2 f(x) = kx y = Cx + D

3 f(x) = kx2 y = Cx2 + Dx + E

4 F(x) = ekx y = C ekx

5 f(x) = ksinx atau kcosx y = C cos x + D sin x

6 f(x) = ksinhx atau kcoshx y = C cosh x + D sinh x

Contoh Soal:

1. Selesaikan PD: 2

2

dx

yd+ 3 dx

dy+ 2 y = 10

Jawab:Persamaan Karakteristik: m2+3m+2=0

Atau (m+1)(m+2)=0 m1 = -1, m2 = -2

Jadi penyelesaian komplementer (yk) adalah

yk = A e – x + B e – 2 x

92014-14-522344029637_300944pd


Solusi Khusus (ykh):

Karena f(x) = 10, maka pemisalannya

y = C dy/dx = 0 dan d2y/dx2 = 0 masuk PD,

diperoleh : 0 + 0 + 2 C = 10 C = 5

Jadi Solusi Khusus ykh = 5,

Sehingga penyelesaian PD : y = yk + ykh

y = A e – x + B e – 2 x + 5

2. Selesaikan PD: d2y/dx2 - 6 dy/dx + 9 y = x

Jawab: Persamaan Karakteristik: m2-6m+9=0

Atau (m-3)(m-3)=0 m1 = m2 = 2

Jadi penyelesaian komplementer (yk) adalah

yk = e 3 x (A + B x)

Solusi Khusus (ykh):

Karena f(x) = x, maka pemisalannya

y = Cx + D dy/dx = C, d2y/dx2 = 0 masuk PD,

diperoleh : 0 – 6 C + 9 Cx + D = x 9C = 1

C = 1/9 - 6 (1/9) + D = 0 D = 2/3

Jadi Solusi Khusus ykh = x/9 + 2/3,

Sehingga penyelesaian PD : y = yk + ykh

y = e 3 x (A + B x) + x/9 + 2/3

Soal-Soal

Selesaikan PD dengan cara Solusi Komplementer dan Solusi Khusus

1. d2y/dx2 - 5dy/dx + 6y = x2 Ans: y=Ae2x+Be3x+x2/6+5x/18+19/108

2. d2y/dx2- 5dy/dx +6y=2sin4x Ans: y=Ae2x+Be3x+(2cos4x-sin4x)/25

3. d2y/dx2+14dy/dx +49y=4e5x Ans: y= e -7x(A+Bx) + e5x/36

92014-14-522344029637_300944pd


14.2.3. Metode Operator D dan D2

Operator D = d d xn = n xn-1 D xn = n xn-1

dx dx

D (x2 + 6x + 5) = 2x + 6

(D + 2) (x2) = 2x + 2x2 = 2x ( 1 + x )

D ( sin x ) = cos x

Operator D2 = d2/dx2 D2xn = D.Dxn = D nxn-1 = n(n-1)xn-2

D2(sin 3x) = D(3cos 3x)= - 9 sin 3x

(D2+5D+4)(cos 2x) = (D+4)(D+1)(cos 2x)

= (D+4)(-2sin2x + cos2x)

= - 4cos2x–2sin2x–8sin2x +4cos2x

= - 10 sin 2x

Invers Operator D atau 1/D adalah ∫ dx:

D ( sin x ) = cos x 1/D (cos x) = sin x

∫ cos x dx = sin x

1/D ( e3x ) = e3x / 3 atau ∫ e3x dx = e3x / 3

1/D ( x3 ) = x4 / 4 atau ∫ x3 dx = x4 / 4

1/D ( x + 1/x ) = x2 / 2 + ln x

1/D2 ( e3x ) = 1/D ( e3x / 3) = e3x / 9

92014-14-522344029637_300944pd


Teorema II: F(D){ e a x V } = e a x F(D+a)V

Teorema-Teorema:

Teorema I: F(D){ e a x } = e a x F(a)

D { e a x } = a e a x

(D2 + D){ e a x } = (a2 + a) e a x

(D2 - 5){ e 2x } = (22 - 5) e 2x = - e 2x

1 { e 2x } = 1 e 2x = - e 2x

D – 3 2 – 3

Contoh:

1). (D+4) { e3x x2 } = e3x {(D+3)+4} {x2}

= e3x (D+7) {x2}

= e3x ( 2x + 7x2 )

2). 1 { e3x x2 } = e3x 1 {x2}(D-4) ((D+3)-4)

= e3x 1 { x2 } = e3x (1 + D + D2 +….){x2}(D-1)

= e3x (x2 + 2x + 2)

92014-14-522344029637_300944pd


3). 1 { e3x x2 } = e3x 1 {x2}(D-2) ((D+3)-2)

= e3x 1 { x2 } = e3x (1 – D + D2 -….){x2}(D+1)

= e3x (x2 - 2x + 2)

Teorema III: F(D2){ sin ax } = F(-a2) {sin ax}F(D2){ cos ax } = F(-a2) {cos ax}

Contoh:

1). (D2 + 1) sin 2x = ( - 22 + 1 ) sin 2x = - 3 sin 2x

2). 1 { cos 3x } = 1 { cos 3x } = - 1/7 cos 3x(D2+2) ( - 32 + 2)

Contoh Soal pada penyelesaian PD:

Selesaikan PD : d2y/dx2 + 2 y = cos 3x

Jawab: PK. m2 + 2 = 0 m1 = i√2, m2 = - i√2

yk = (Acos x√2 + Bsinx√2)

ykh= (-1/7) cos 3x (lihat di atas)

Jadi y = yk + ykh = Acos x√2 + Bsinx√2 -1/7 cos 3x

92014-14-522344029637_300944pd


Soal-Soal

Selesaikan PD dengan Metode Operator

1. d2y/dx2 - 5dy/dx + 6y = x2 Ans: y=Ae2x+Be3x+x2/6+5x/18+19/108

2. d2y/dx2- 5dy/dx +6y=2sin4x Ans: y=Ae2x+Be3x+(2cos4x-sin4x)/25

3. d2y/dx2+14dy/dx +49y=4e5x Ans: y= e -7x(A+Bx) + e5x/36

4. d2y/dx2+4dy/dx +3y=e2x Ans: y= Ae-x+Be-3x + e2x/15

5. d2y/dx2+3dy/dx +2y=sin2x Ans: y=Ae-x+Be-2x-(3cos2x+sin2x)/20

6. d2y/dx2-6dy/dx +9y=x3e3x Ans: y= e 3x(A+Bx + x5/20)

Hal-hal khusus

7. d2y/dx2+4dy/dx +3y=5 Ans: y= Ae-x+Be-3x + 5/3

8. d2y/dx2+2dy/dx =5 Ans: y= A+Be-3x + 5x/2

9. d2y/dx2 – 16 y = e4x Ans: y= Ae 4x+Be-4x + xe4x/8

10. d2y/dx2+4y = 3 sin 2x Ans: y= Acos2x+Bsin2x- ¾ xcos 2x

92014-14-522344029637

Documents

Transcript of 92014-14-522344029637