9 786025 680137 - bpm.umg.ac.idbpm.umg.ac.id/aset/images/download/Buku Teori Ring OKE.pdf · dalam...

9 7 8 6 0 2 5 6 8 0 1 3 7

TEORI RING

Oleh:

Sri Suryanti

Universitas Muhammadiyah Gresik

Page | ii

Perpustakaan Nasional: katalog dalam terbitan (KDT)

Judul:

TEORI RING

Penulis :

Sri Suryanti, M.Si.

Editor :

Dr. Irwani Zawawi, M.Kes.

Penyunting:

Sri Suryanti, M.Si.

Desain sampul dan Tata letak :

Wahyu Retno Kurnia Maulida

Penerbit:

UMG Press

Redaksi:

Jln. Sumatera 101 GKB

Gresik 61121

Telp +6231 3951414

Fax +6231 3952585

Email: [email protected]

ISBN :978-602-5680-13-7

Anggota IKAPI No. 189 dan APPTI No. 002.021

Cetakan pertama, April 2018

Hak cipta dilindungi undang-undang

Dilarang memperbanyak karya tulis ini dalam bentuk dan

dengan cara apapun tanpa ijin tertulis dari penerbit.

mailto:[email protected]

iii

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum. Wr. Wb.

Puji syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan nikmatdan karuniaNya sehingga penulis dapat menyelesaikanpenulisan buku ajar “Teori Ring” ini sesuai dengan waktuyang telah direncanakan. Shalawat serta salam semoga tetaptercurahkan kepada teladan mulia sepanjang zaman, bagindanabi Muhammad SAW beserta keluarga dan kerabatnya.

Buku ajar ini disusun berdasarkan pada Rumusancapaian pembelajaran lulusan (CPL) program StudiPendidikan Matematika serta Rumusan Capaian PembelajaranMata Kuliah yang telah tertuang dalam Rencana PembelajaranSemester (RPS). Buku Ajar ini terdiri dari 5 (lima) bab yangsesuai dengan banyaknya rumusan sub Capaian PembelajaranMata Kuliah yang terdiri dari lima sub CPMK, yaitu Ring &karakteristik Ring, Subring, ideal & Ring Faktor, DaerahIntegral & Field, Homomorfisme Ring dan diakhiri denganBab Polynomial Ring.

Buku ajar ini ditulis dalam rangka melengkapiperangkat pembelajaran mata Kuliah Teori Ring, yangmerupakan mata kuliah wajib sekaligus mata kuliah intikeilmuan di Prodi Pendidikan Matematika UniversitasMuhammadiyah Gresik. Buku ajar ini dilengkapi dengan soal-soal latihan serta tes formatif disetiap akhir bab yang berfungsiuntuk mengukur tingkat penguasaan mahasiswa pada topikyang telah dipelajari.

iv

Harapan penulis, adanya buku ajar ini dapat membantumahasiswa dalam proses menguasai Mata Kuliah Teori Ring.Sehingga nantinya mahasiswa semakin matang serta terbentukkarakter teliti, runtut dan pantang menyerah serta memilikikemampuan berfikir kritis dan analisis yang tinggi dalammenyelesaikan masalah.

Penulis mengucapkan terimakasih yang mendalamkepada pihak-pihak yang telah mendukung tersusunnya bukuajar ini khususnya kepada DRPM Kemenristekdikti yangsecara penuh memberikan dana penelitian hingga terbitnyabuku ini. Selanjutnya penulis ucapkan terimakasih kepadapimpinan UMG yang selalu memberikan motivasi dalampenulisan buku Ajar. Penulis juga ucapkan terimakasih kepadaUMG Press melalui Biro PHPI yang telah membantupenerbitan buku ajar ini.

Akhir kata, semoga buku ajar ini bermanfaat, sertatentunya masih terdapat kekurangan-kekurangan dalampenulisan buku ajar ini, oleh karena itu besar harapan kamiuntuk diberikan kritik dan saran demi perbaikan buku inidimasa mendatang.

Wassalamu’alaikum. Wr. Wb.

Gresik, 27 April 2018

Penulis

v

DAFTAR ISIHALAMAN JUDUL ............................................................... iKATA PENGANTAR ...........................................................iiiDAFTAR ISI...........................................................................vPENDAHULUAN...................................................................1

A. DESKRIPSI MATA KULIAH..................................... 1B. PRASYARAT MATA KULIAH ................................. 1C. RENCANA PEMBELAJARAN .................................. 1D. PETUNJUK PENGGUNAAN BUKU AJAR.............. 4E. CP LULUSAN.............................................................. 4F. BENTUK EVALUASI/UMPAN BALIK .................... 5

BAB 1 RING DAN KARAKTERISTIK RING ...................71.1. PENDAHULUAN........................................................ 71.2. PENYAJIAN ................................................................ 9

1.2.1. Mengingat kembali konsep grup.......................... 91.2.2. Ring.................................................................... 131.2.3. Ring Satuan........................................................ 261.2.4. Ring Komutatif .................................................. 281.2.5. Karakteristik Ring.............................................. 321.2.6. Latihan ............................................................... 33

1.3. PENUTUP .................................................................. 371.3.1. Tes Formatif .................................................. 371.3.2. Kunci Jawab Soal Latihan .............................. 381.3.3. Umpan Balik ................................................... 51

BAB 2 SUBRING, IDEAL DAN RING FAKTOR............522.1. PENDAHULUAN ..................................................... 522.2. PENYAJIAN.............................................................. 53

2.2.1. Mengingat kembali subgrup, koset dan grupfaktor............................................................................ 532.2.2. Sub Ring............................................................. 54

vi

2.2.2. Ideal....................................................................572.2.3. Ring Faktor.........................................................662.2.3. Latihan................................................................72

2.3. PENUTUP..................................................................742.3.1. Tes Formatif .......................................................742.3.2. Kunci Jawab Soal Latihan .................................762.3.3. Umpan Balik ......................................................81

BAB 3 DAERAH INTEGRAL DAN FIELD .....................823.1. PENDAHULUAN......................................................823.1. PENYAJIAN..............................................................83

3.2.1. Daerah Integral .....................................................833.2.2. Field ......................................................................933.2.3. Latihan ................................................................98

3.3. PENUTUP..................................................................993.3.1. Tes Formatif .........................................................993.3.2 Kunci Jawab Soal Latihan .................................1003.3.3. Umpan Balik.......................................................105

BAB 4 HOMOMORFISME RING ...................................1074.1. PENDAHULUAN....................................................1074.2. PENYAJIAN............................................................108

4.2.1. Mengingat kembali konsep homomorfisme grup......................................................................................1084.2.2. Homomorfisme Ring ..........................................1084.2.3. Kernel dan image dari homomorfisme ...............1154.2.4. Monomorfisme Ring...........................................1164.2.5. Epimorfisme Ring...............................................1184.2.6. Isomorfisme Ring ...............................................1204.2.7. Latihan ................................................................121

4.3. PENUTUP................................................................1204.3.1. Tes Formatif........................................................1224.3.2. Kunci Jawaban Soal latihan................................123

vii

4.3.3. Umpan Balik....................................................... 128BAB 5 POLYNOMIAL RING ..........................................129

5.1. PENDAHULUAN ................................................... 1295.2. PENYAJIAN............................................................ 130

5.2.1. Konsep dasar polynomial ring............................ 1305.2.2 .Ring Euclide ....................................................... 1365.2.3 .Teorema sisa dan teorema faktor........................ 1375.2.4. Latihan................................................................ 138

5.3. PENUTUP................................................................ 1395.3.1. Tes Formatif ....................................................... 1395.3.2. Kunci Jawaban Soal latihan................................ 1415.3.3. Umpan Balik....................................................... 144

BIBLIOGRAPHY ..............................................................143INDEX .................................................................................145

1

PENDAHULUANPENDAHULUANPENDAHULUANPENDAHULUAN

A. Deskripsi Mata Kuliah

Mata kuliah ini berisi materi aljabar abstrak yang

membutuhkan pemikiran tingkat tinggi. Setelah

mempelajarai mata kuliah ini diharapkan mahasiswa

dapat menguasai semua topik dalam Mata Kuliah ini

sebagai bekal untuk mengambil studi lanjut, baik

dalam disiplin ilmu matematika maupun ilmu

terapan yang lain.

B. Prasyarat Mata Kuliah

Untuk menempuh Mata Kuliah Teori Ring ini,

mahasiswa harus lulus Mata Kuliah Teori Grup

dengan nilai minimal C.

C. Rencana pembelajaran

Minggu ke

1-3

Kemampuan akhir yang direncanakan

pada minggu pertama sampai dengan

ketiga ini adalah mahasiswa mampu

Menganalisis struktur ring dan

karakteristik Ring secara tepat.

Bentuk pembelajaran yang dilakukan

adalah Kuliah dan Diskusi dengan

model pembelajaran PjBL;

Tugas -1: diskusi dengan tim

kelompok mengerjakan LKM Ring

dan contoh-contohnya sebelum

perkuliahan, hasil diskusi disajikan

dalam bentuk word dan ppt untuk

2

dipresentasikan pada saat TM; Tugas

-2: presentasi hasil diskusi di kelas

Minggu ke

4-5


pada minggu keempat dan kelima

adalah Mahasiswa mampu

menganalisis subring, ideal dan ring

faktor (quotient ring) serta dapat

menerapkan dalam pemecahan

masalah secara tepat dan konsisten.

(C4, A5, P3).



model pembelajaran PjBL

Tugas-1: diskusi dengan tim

kelompok mengerjakan LKM tentang

sub ring, hasil diskusi disajikan

dalam bentuk word dan ppt untuk

dipresentasikan pada saat TM



ideal dan ring faktor dan

mempresentasikan pada saat TM

Minggu ke

6-7


pada minggu keenam dan ketujuh ini

adalah Mahasiswa mampu

Menganalisis daerah integral dan

Field. (C4, A5, P3).


adalah Diskusi dan tanya jawab

Tugas -1: secara individu mahasiswa

3

mengerjakan LKM Daerah Integral

Tugas -2: secara individu mahasiswa

mengerjakan LKM tentang Field

Minggu ke-8 Evaluasi Tengah Semester

Minggu ke

9-10


pada minggu kesembilan dan

kesepuluh ini adalah Mahasiswa

mampu Menganalisis homomorfisme

pada ring. (C4, A5, P3).

Bentuk Pembelajaran yang dilakukan


model pembelajaran PjBL



Homomorfisme Ring, hasil diskusi

disajikan dalam bentuk word dan ppt

untuk dipresentasikan pada saat TM

Tugas-2: Secara individu

mengerjakan Latihan pada Buku Ajar

Minggu ke

11-15


pada minggu ke 11 sampai minggu

kelima belas ini adalah Mahasiswa

mampu Menganalisis ring

polynomial.


adalah Diskusi dan tanya jawab

Tugas-1: secara individu mahasiswa

mengerjakan LKM Ring Polynomial,

menganalisis unit dari sebuah fungsi

polinom

Tugas-2: secara individu mahasiswa

4

mengerjakan latihan pada buku ajar

Minggu ke-

16

Evaluasi Akhir Semester

D. Petunjuk Penggunaan Buku Ajar

� Penjelasan Bagi Mahasiswa

Buku ajar ini diawali dengan penyajian materi,

definisi, theorema kemudian contoh-contoh dan

soal latihan disetiap akhir penyajian.

Setelah mempelajari setiap paparan materi yang

disajikan, perdalamlah pemahaman anda dengan

mengerjakan latihan yang diberikan pada setiap

akhir paparan materi, kemudian cocokkkan

jawaban anda dengan kunci jawaban yang telah

tersedia dibagian akhir bab. Untuk lebih

memantabkan lagi, kerjakan tes formatif untuk

dievaluasi oleh dosen pengampu.

� Peran Dosen dalam pembelajaran

Peran dosen dalam pembelajaran adalah sebagai

motivator dan fasilitator

E. Capaian Pembelajaran Lulusan

CPL-PRODI

S11 Berperilaku jujur, tegas, dan manusiawi

S14 Bangga dan percaya diri menjadi guru

KU1 Mampu menerapkan pemikiran logis,

kritis, sistematis, dan inovatif dalam

konteks pengembangan atau implementasi

ilmu pengetahuan dan teknologi yang

memperhatikan dan menerapkan nilai

5

humanilora yang sesuai dengan bidang

keahliannya

KU2 Mampu menunjukkan kinerja

mandiri, bermutu, dan terukur

KU5 Mampu mengambil keputusan secara

tepat dalam konteks penyelesaian masalah

di bidang keahliannya, berdasarkan

hasil analisis informasi dan data

PP8 Menguasai konsep teoretis matematika

yang mendukung pembelajaran

matematika di pendidikan dasar dan

menengah serta untuk studi lanjut

CP-MK

M1 Mampu menganalisis struktur sebuah

Ring serta mengaplikasikan dalam

pemecahan masalah secara tepat dan

konsisten (C3, P4, A3).

F. Bentuk Evaluasi/Umpan Balik Aktivitas Belajar

� Bentuk evaluasi dari aktivitas belajar mahasiswa

adalah berupa tes tulis

� Setelah Mahasiswa selesai mempelajari materi,

diarahkan untuk mengerjakan soal latihan

kemudian mencocokkan jawabannya dengan

kunci jawaban yang tersedia, untuk mengetahui

tingkat penguasaan mahasiswa terhadap materi.

� Pengukuran tingkat penguasaan menggunakan

rumus sebagai berikut:

�� = �� × 100%

6

� Jika tingkat penguasaan kurang dari 80% maka

mahasiswa yang bersangkutan diarahkan untuk

mengulang kembali terutama pada topik yang

belum dia kuasai

� Jika tingkat penguasaan mahasiswa lebih dari

80% maka mahasiswa yang bersangkutan akan

diberikan soal pengayaan serta dapat

melanjutkan pada bab berikutnya

� Selain mahasiswa mengerjakan soal latihan,

mahasiswa juga mengerjakan soal tes Formatif

yang akan dievaluasi oleh dosen

7

BAB 1 BAB 1 BAB 1 BAB 1 RING DAN KARAKTERISTIK RING DAN KARAKTERISTIK RING DAN KARAKTERISTIK RING DAN KARAKTERISTIK

RINGRINGRINGRING

1.1. PENDAHULUAN

A. Deskripsi singkat isi BAB 1

Pada bab 1 ini, mahasiswa diajak untuk

mengingat kembali terlebih dahulu konsep-

konsep dalam Teori Grup. Mahasiswa diberikan

project untuk didiskusikan secara berkelompok.

Setelah tahap diskusi kelompok maka tahap

berikutnya mahasiswa diajak untuk menemukan

konsep Ring dan karakteristik Ring. Pada akhir

pembahasan bab 1 ini mahasiswa diberikan soal

latihan untuk mengukur tingkat penguasaan

mahasiswa. Setelah mengerjakan soal latihan,

mahasiswa diberikan tes formatif.

B. Relevansi terhadap pengetahuan mahasiswa dan

bidang kerja

Mahasiswa telah menempuh mata kuliah Teori

Grup yang merupakan prasyarat mata kuliah

Teori Ring, sehingga relevansi bab 1 ini sangat

tinggi terhadap pengetahuan mahasiswa.

Konsep-konsep yang dipelajari pada bab 1 ini

sangat membutuhkan penguasaan terhadap

konsep teori grup yang telah dipelajari pada

semester sebelumnya.

8

Sedangkan relevansi terhadap bidang kerja,

lulusan Prodi pendidikan matematika adalah

menjadi guru pada jenjang sekolah menengah

yang tentunya sangat dibutuhkan penguasaan

terhadap aljabar abstrak yang membutuhkan

pemikiran tingkat tinggi. Selain itu keberhasilan

mahasiswa dalam menguasai konsep Teori

Ring akan sangat dibutuhkan apabila mereka

menempuh studi lanjut jenjang S-2.

C. Capaian Pembelajaran Mata Kuliah

Capaian Pembelajaran mata kuliah ini adalah

Mampu menganalisis struktur sebuah Ring

serta mengaplikasikan dalam pemecahan

masalah secara tepat dan konsisten. Sedangkan

secara spesifik capaian pembelajaran yang

diharapkan pada Bab 1 ini adalah mahasiswa

mampu Menganalisis struktur ring dan

karakteristik Ring secara tepat.

9

1.2. PENYAJIAN

1.2.1. Mengingat kembali konsep Grup

Mari mengingat kembali.....

� Misalkan � ≠ ∅, �� ∘ adalah operasi biner pada G, maka himpunan G bersama-sama dengan

operasi ∘ ditulis (�,∘) adalah grupoid. Operasi Biner yaitu ∀�, � ∈ �, � ∘ � ∈ �

� Jika (�,∘) suatu grupoid, dan ∀ �, �, # ∈ � berlaku sifat asosiatif, maka (�,∘) disebut

semigrup.

Assosiatif yaitu ∀�, �, # ∈ �, (� ∘ �) ∘ # = � ∘(� ∘ #)

� Suatu semigrup yang mempunyai elemen

identitas, yaitu ∃ ∈ �, ∀ � ∈ � berlaku � ∘ = ∘ � = �, maka (�,∘) disebut monoid. Suatu monoid yang bersifat komutatif disebut monoid

komutatif atau monoid abelian

� Misalkan G suatu himpunan tak kosong, maka G

bersama-sama operasi ∘ adalah Grup, ditulis (�,∘) jika memenuhi aksioma-aksioma berikut:

i. Bersifat tertutup ∀�, � ∈ �, � ∘ � ∈ �

10

ii. Bersifat asosiatif ∀�, � ∈ �, �� (� ∘ �) ∘ # = � ∘ (� ∘ #) iii. Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ �, sedemikian hingga ∀ � ∈ �, berlaku � ∘ = ∘ � = � iv. Setiap elemen G mempunyai invers ∀ � ∈ �, ∃�%& ∈ �, sedemikian hingga � ∘ �%& = �%& ∘ � = , �%& adalah invers

dari elemen a.

v. Tambahan sifat : jika (�,∘) suatu grup yang memenuhi sifat komutatif, maka (�,∘) disebut grup komutatif atau grup abelian.

Untuk lebih meningkatkan ingatan anda, lakukanlah

aktivitas berikut ini:

Petunjuk: bentuklah kelompok yang beranggotakan 3

orang, kemudian diskusikan dalam kelompok anda

penyelesaian dari soal berikut.

Tulis hasil diskusi anda pada lembar yang telah

disediakan.

1. Himpunan matriks � × � dengan determinan sama dengan 1 ('((�, ℛ)) bersama-sama dengan operasi biner perkalian matriks merupakan grup. Buktikan!

2. Selidikilah apakah Himpunan �((�, ℛ) matriks non-singular � × � dengan operasi perkalian matriks merupakan grup tak komutatif!

11

3. � = *+� + ��|�, � ∈ ., � = √−1 �� √�1 + �1 =12, 3�� (�,×) adalah suatu grup abelian.

Tunjukkan!

4. � = 41, −15, 6 =4−1,1, −�, �5, 3�� (�,×)�� (6,×) masing-

masing adalah grup abelian. Tunjukkan masing-

masing dengan membuat tabel Cayleynya.

5. Selidikilah, apakah struktur aljabar berikut

merupakan grupoid, semigrup, monoid atau bahkan

merupakan Grup?

a. Himpunan bilangan bulat bersama dengan

operasi perkalian

b. Himpunan bilangan asli bersama dengan operasi

penjumlahan

c. � = 437|�, 3 ∈ 85 dengan operasi perkalian d. Himpunan bilangan Rasional bersama dengan

operasi perkalian

e. � = 49&, 91, 9:, 9;5 dengan operasi komposisi transformasi, dengan 9&(<) = <, 91(<) =−<, 9:(<) = &= , 9;(<) = − &= , ∀ < ∈ ℂ

6. Selidikilah apakah pernyataan berikut bernilai

benar atau salah

a. Sebuah grup grup dapat memiliki elemen

identitas lebih dari satu

b. Himpunan kosong dapat dipandang sebagai

sebuah grup

12

c. Hukum komutatif selalu berlaku pada sebuah

grup

d. Setiap grup merupakan subgrup pada dirinya

sendiri

e. Setiap subgrup memiliki tepat 2 subgrup tak

sejati

f. Jika �1 = �, 3�� = g. Dalam setiap grup ? ∗ A? = ( ∗ A)?

13

1.2.2. Ring

Definisi 1.1. Misalkan . ≠ ∅ yang dilengkapi dengan dua buah operasi yaitu operasi ∘ dan operasi ∗, selanjutnya ditulis dengan (.,∘,∗), maka struktur aljabar (.,∘,∗) dinamakan Ring apabila: ℜ& . (.,∘) membentuk struktur Grup abelian ℜ1 . (.,∗) membentuk struktur Semigrup ℜ: . Memenuhi sifat distributif kiri dan distributif kanan,

yaitu ∀�, �, # ∈ ., � ∗ (� ∘ #) = (� ∗ �) ∘ (� ∗ #) dan � ∘ (� ∗ #) = (� ∘ �) ∗ (� ∘ #) Selanjutnya, diskusikan dengan teman anda:

a. Apa sajakah syarat-syarat sebuah Ring?

b. Ada berapa syarat yang harus dipenuhi agar

sebuah sistem aljabar merupakan struktur

Ring?

Contoh 1.1

Z adalah himpunan semua bilangan bulat.

Didefinisikan operasi pada Z seperti berikut

operasi + adalah operasi penjumlahan biasa, dan × adalah operasi perkalian biasa. (8, +,×) merupakan Ring.

Bukti:

� (8, +) membentuk struktur Grup Abelian • Bersifat tertutup terhadap operasi

penjumlahan

14

∀�, � ∈ 8, � + � ∈ 8 .... (sifat

ketertutupan penjumlahan bilangan bulat)

• Bersifat assosiatif ∀�, �, # ∈ 8, (� + �) + # = � + (� +#)....… (sifat assosiatif penjumlahan

bilangan bulat)

• Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ 8, sedemikian hingga ∀ � ∈ 8, berlaku � ∘ = ∘ � = �, yaitu nol, Jadi nol adalah elemen identitas pada bilangan

bulat

• Setiap elemen mempunyai invers ∀ � ∈ 8, ∃�%& ∈ 8, sedemikian hingga � ∘ �%& = �%& ∘ � = , �%& adalah invers dari elemen a. Dalam hal ini �%& = −�

• Bersifat komutatif ∀�, � ∈ 8, � + � = � + �.... (sifat

komutatif penjumlahan bilangan bulat)

� (8,×) membentuk struktur Semigrup • Bersifat tertutup terhadap operasi

perkalian ∀�, � ∈ 8, � × � ∈ 8 .... (sifat

ketertutupan perkalian bilangan bulat)

• Bersifat assosiatif ∀�, �, # ∈ 8, (� × �) × # = � × (� ×#)....… (sifat assosiatif perkalian bilangan

bulat)

15

• Bersifat distributif kiri dan distributif

kanan ∀�, �, # ∈ 8, � × (� + #) = (� × �) +(� × #) Dan (� + �) × # = (� × #) + (� × #)

Contoh 1.2.

Diketahui 8D adalah himpunan bilangan bulat modulo 5. Didefinisikan operasi + adalah operasi penjumlahan pada bilangan bulat modulo 5, dan

operasi × adalah operasi perkalian pada bilangan bulat modulo 5. (8D, +,×) merupakan Ring. Bukti:

� (8D, +) membentuk struktur Grup Abelian • Bersifat tertutup terhadap operasi

penjumlahan ∀�, � ∈ 8, � + � ∈ 8D Akan ditunjukkan dengan menggunakan tabel

Cayley + 0 1 2 3 4

0 0 1 2 3 4

1 1 2 3 4 0

2 2 3 4 0 1

3 3 4 0 1 2

4 4 0 1 2 3

• Bersifat assosiatif

16

∀�, �, # ∈ 8D, (� + �) + # = � + (� +#)....… (sifat assosiatif penjumlahan bilangan

bulat)

• Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ 8D, sedemikian hingga ∀ � ∈ 8, berlaku � ∘ = ∘ � = �, yaitu nol, Jadi nol adalah elemen identitas pada bilangan bulat

modulo 5.

• Setiap elemen mempunyai invers ∀ � ∈ 8D, ∃�%& ∈ 8D, sedemikian hingga � ∘ �%& = �%& ∘ � = , �%& Dalam hal ini 0%& = 0, 1%& = 4, 2%& = 3, 3%& = 2, 4%& = 1 • Bersifat komutatif ∀�, � ∈ 8D, � + � = � + �.... (sifat

komutatif penjumlahan bilangan bulat)

Pada tabel Cayley diatas, setiap baris dan

kolom simetri terhadap diagonal utama.

� (8D,×) membentuk struktur Semigrup • Bersifat tertutup terhadap operasi

perkalian ∀�, � ∈ 8D, � × � ∈ 8D Akan ditunjukkan dengan menggunakan tabel

Cayley × 0 1 2 3 4

0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4

2 0 2 4 1 3

17

3 0 3 1 4 2

4 0 4 3 2 1

• Bersifat assosiatif ∀�, �, # ∈ 8D, (� × �) × # = � × (� ×#)....… (sifat assosiatif perkalian bilangan

bulat)


kanan ∀�, �, # ∈ 8D, � × (� + #) = (� × �) +(� × #) Dan (� + �) × # = (� × #) + (� × #)

Contoh 1.3.

Diketahui H = IJ� 00 �K , �, � ∈ 8L , didefinisikan

operasi + adalah operasi penjumlahan pada matriks, dan operasi × adalah operasi perkalian pada matriks. (H, +,×) merupakan Ring. Bukti:

� (H, +) membentuk struktur Grup Abelian • Bersifat tertutup terhadap operasi

penjumlahan ∀M, N ∈ H, M + N ∈ H

Ambil sembarang M, N ∈ H

Misal : M = J� 00 �K , �� N = J# 00 �K

18

M + N = J� 00 �K + J# 00 �K =J� + # 00 � + �K , � + # �� + � ∈ 8 Terbukti M + N ∈ H

• Bersifat assosiatif ∀M, N, O ∈ H, (M + N) + O = M + (N + O) Misal :

M = J� 00 �K , N = J# 00 �K , �� O = P 00 9Q (M + N) + O = RJ� 00 �K + J# 00 �KS + P 00 9Q = P� + # + 00 � + � + 9Q M + (N + O) = J� 00 �K + TJ# 00 �K +P 00 9QU = P� + # + 00 � + � + 9Q Terbukti (M + N) + O = M + (N + O)

• Mempunyai elemen identitas ∃ V ∈ H, sedemikian hingga ∀ M ∈ H,

berlaku M + V = V + M = M, yaitu V = J0 00 0K

• Setiap elemen mempunyai invers ∀ M ∈ H, ∃M%& ∈ H, sedemikian hingga M + M%& = M%& + M = V, M%& adalah invers dari elemen A.

19

Dalam hal ini M%& = −M = J−� 00 −�K • Bersifat komutatif ∀M, N ∈ H, M + N = N + M M + N = J� 00 �K + J# 00 �K =

J� + # 00 � + �K = J# + � 00 � + �K = N + M

� (8,×) membentuk struktur Semigrup • Bersifat tertutup terhadap operasi

perkalian ∀�, � ∈ 8, � × � ∈ 8 .... (sifat ketertutupan perkalian bilangan bulat)

• Bersifat assosiatif ∀�, �, # ∈ 8, (� × �) × # = � × (� ×#)....… (sifat assosiatif perkalian bilangan

bulat)


kanan ∀�, �, # ∈ 8, � × (� + #) = (� × �) + (� ×#) Dan (� + �) × # = (� × #) + (� × #)

20

Contoh 1.4.

HW×? = X+Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]^ �&&, … , �W? ∈ .` terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks adalah bukan

suatu Ring.

Bukti:

� (HW×?, +) membentuk struktur Grup abelian • Bersifat tertutup terhadap operasi

penjumlahan ∀M, N ∈ HW×? , M + N ∈ HW×? Ambil sembarang M, N ∈ HW×? M = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]

N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]

M × N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?] + Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]

= Y �&&+�&& ⋯ �&? + �W?⋮ ⋱ ⋮�W&+�W& ⋯ �W? + �W?] ∴ M + N ∈ HW×?

• Bersifat asosiatif terhadap operasi penjumlahan ∀M, N, O ∈ HW×? �� (M + N) + O= M + (N + O)

21

Ambil sembarang M, N, O ∈ HW×? M = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]

N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]

O = Y #&& ⋯ #&?⋮ ⋱ ⋮#W& ⋯ #W?] (M + N) + O = bY�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�] + Y�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�

]c+ Y#11 ⋯ #1�⋮ ⋱ ⋮#31 ⋯ #3�]

= Y �&& + �&& + #&& ⋯ �&? + �&? + #&?⋮ ⋱ ⋮�W& + �W& + #W& ⋯ �W? + �W? + #W?] M + (N + O) = Y�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�]

+ bY�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�] + Y#11 ⋯ #1�⋮ ⋱ ⋮#31 ⋯ #3�]c

= Y �&& + �&& + #&& ⋯ �&? + �&? + #&?⋮ ⋱ ⋮�W& + �W& + #W& ⋯ �W? + �W? + #W?] ∴ (M + N) + O = M + (N + O)

22

• Memiliki elemen identitas ∀M ∈ HW×?, ∃ d ∈ H �ℎ�� M + d= d + M = M Yaitu d = Y0 ⋯ 0⋮ ⋱ ⋮0 ⋯ 0]

• Setiap elemen HW×? mempunyai invers

terhadap operasi penjumlahan ∀M ∈ HW×?, ∃ M%& ∈ H �ℎ�� M + M%&= M%& + M = d Untuk sembarang M = Y�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�], maka inversnya adalah – M, yaitu – M =Y−�11 ⋯ −�1�⋮ ⋱ ⋮−�31 ⋯ −�3�]

• Bersifat komutatif ∀M, N ∈ HW×? �� M + N = N + M M + N = Y�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�] + Y�11 ⋯ �1�⋮ ⋱ ⋮�31 ⋯ �3�

] = Y �&& + �&& ⋯ �&? + �&?⋮ ⋱ ⋮�W& + �W& ⋯ �W? + �W?] = Y �&& + �&& ⋯ �&? + �&?⋮ ⋱ ⋮�W& + �W& ⋯ �W? + �W?]

= N + M

23

� (HW×?,×) membentuk struktur semigrup • HW×? bersifat tertutup terhadap operasi

perkalian ∀M, N ∈ HW×?, 3�� M × N ∈ HW×? Ambil sembarang M, N ∈ HW×?

M = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]

N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]

M × N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?] × Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]

= Y �&&�&& + ⋯ +�&?�W& ⋯ �&&�&? + ⋯ + �&?�W?⋮ ⋱ ⋮�W&�&& + ⋯ + �W?�W& ⋯ �W&�&? + ⋯ + �W?�W?] ∴ M × N ∈ HW×?

• HW×? bersifat asosiatif terhadap operasi

perkalian ∀M, N, O ∈ HW×?, �� (M × N) × O = M ×(N × O) Ambil sembarang M, N, O ∈ HW×?

M = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]

24

N = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]

O = Y #&& ⋯ #&?⋮ ⋱ ⋮#W& ⋯ #W?]

(M × N) × O = bY �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?] × Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]c× Y #&& ⋯ #&?⋮ ⋱ ⋮#W& ⋯ #W?]

= Y �&&�&& + ⋯ + �&?�W& ⋯ �&&�&? + ⋯ + �&?�W?⋮ ⋱ ⋮�W&�&& + ⋯ + �W?�W& ⋯ �W&�&? + ⋯ + �W?�W?]× Y #&& ⋯ #&?⋮ ⋱ ⋮#W& ⋯ #W?]

= g (�&&�&& + ⋯ + �&?�W&)#&& + (�&&�&? + ⋯ + �&?�W?)#W& ⋯ (�&&�&& + ⋯ + �&?�W&)#&? + ⋯ + (�&&�&? + ⋯ + �&?�W?)#W?⋮ ⋱ ⋮(�W&�&& + ⋯ + �W?�W&)#&& + ⋯ + h�31�1� + ⋯ + �3��3�i#W& ⋯ h�31�11 + ⋯ + �3��31i#&? + ⋯ + (�W&�&? + ⋯ + �W?�W?)#W?j

M × (N × O) = Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]× bY �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]× Y #&& ⋯ #&?⋮ ⋱ ⋮#W& ⋯ #W?]c

25

= Y �&& ⋯ �&?⋮ ⋱ ⋮�W& ⋯ �W?]× Y �&&#&& + ⋯ + �&?#W& ⋯ �&&#&? + ⋯ + �&?#W?⋮ ⋱ ⋮�W&#&& + ⋯ + �W?#W& ⋯ �W&#&? + ⋯ + �W?#W?]

= Y �&&(�&&#&& + ⋯ + �&?#W&) + ⋯ + �&?(�W&#&& + ⋯ + �W?#W&) ⋯ �&&(�&&#&? + ⋯ ) + ⋯ + �&?(�W&#&? + ⋯ )⋮ ⋱ ⋮�W&(�&&#&& + ⋯ + �&?#W&) + ⋯ + �W?(�W&#&& + ⋯ + �W?#W&) ⋯ �W&(�&&#&? + ⋯ )+�W?(�W&#&? + ⋯ ) ] ∴ (M × N) × O ≠ M × (N × O) Sehingga struktur (HW×?, +,×) bukan suatu Ring

Teorema 1.1 Jika . adalah suatu Ring dengan identitas penjumlahan 0 (nol), maka �, � ∈ ., (i). 0� = �0 = 0 (ii). �(−�) = (−�)� = (−��) (iii). (−�)(−�) = ��

Bukti:

(i). �0 = �(0 + 0) = �0 + �0 Dengan menggunakan hukum kanselasi, maka

diperoleh 0 = �0 (ii). Untuk membuktikan �(−�) = (−�)� = (−��)

perlu diingat bahwa ��k�� − (��) ��ℎ �� sehingga −(��) + �� = 0 Dengan menggunakan hukum distributive

diperoleh: �(−�) + �� = �(−� + �) = �0 = 0 (−�)� + �� = (−� + �)� = 0� = 0

26

(iii). Untuk membuktikan (−�)(−�) = �� −h�(−�)i = −h−(��)i Karena −h−(��)i + h−(��)i = 0, berdasarkan (ii) maka (−�)(−�) = ��

1.2.3. Ring Satuan

Definisi 1.2

Suatu struktur aljabar (.,∘,∗) dikatakan sebagai suatu Ring Satuan jika:

(i). (.,∘) merupakan grup abelian (ii). (.,∗) merupakan monoid (iii). Berlaku distributif operasi ∗ terhadap

operasi ∘ Contoh 1.5. (8;, +,×) adalah suatu Ring satuan Bukti:

(i). (8;, +,×) adalah suatu grup abelian • Tertutup terhadap operasi penjumlahan

+ 0 1 2 3

0 0 1 2 3

1 1 2 3 0

2 2 3 0 1

3 3 0 1 2

• Memenuhi sifat asosiatif penjumlahan ∀�, �, # ∈ 8;, � + (� + #) = (� + �) + # Terlihat jelas pada tabel

27

∀�, �, # ∈ 8;, �� + (� + #)= (� + �) + #

• Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ 8; �� , ��3�� ℎ�� ∀� ∈ 8;, � + 0 = 0 + � = � • Setiap elemen mempunyai invers ∀� ∈ 8;, ∃�%& ∈ 8;, � + �%& = �%& + � =

Dari tabel terlihat jelas invers dari setiap

elemen 8; 0%& = 0 1%& = 3 2%& = 2 3%& = 1

• Bersifat komutatif ∀�, � ∈ 8;, � + � = � + � Terlihat jelas pada tabel ∀�, � ∈ 8;, �� + � = � + �

(ii). (8;, +,×) adalah suatu Monoid • Tertutup terhadap operasi perkalian ∀�, � ∈ 8;, � × � ∈ 8; × 0 1 2 3

0 0 0 0 0

1 0 1 2 3

2 0 2 0 2

3 0 3 2 1

28

• Bersifat asosiatif ∀�, �, # ∈ 8;, � × (� × #)= (� × �)× # Terlihat jelas pada tabel ∀�, �, #∈ 8;, �� × (� × #)= (� × �) × #

• Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ 8; �� 1, ��3�� ℎ�� ∀� ∈ 8;, � × 1 = 1 × � = �

(iii). Berlaku hukum distributif perkalian terhadap

penjumlahan pada bilangan bulat modulo 4 �(� + #) = �� + �#

1.2.4. Ring Komutatif

Suatu struktur aljabar (.,∘,∗) dikatakan sebagai suatu Ring Komutatif jika:

(i). (.,∘) merupakan grup abelian (ii). (.,∗) merupakan semigrup komutatif (iii). Berlaku distributif operasi ∗ terhadap

operasi ∘ Pada Contoh 1.5. diatas, (8;, +,×) juga merupakan ring komutatif

29

Contoh 1.6 M = 4��, ��5, (M, +,×) adalah suatu Ring komutatif

Bukti:

(i). (M, +) suatu grup abelian • Bersifat tertutup terhadap operasi

penjumlahan

Dapat ditunjukkan menggunakan tabel

Cayley + genap ganjil

genap genap ganjil

ganjil ganjil genap

Berdasarkan tabel tersebut, terlihat jelas

bahwa M tertutup terhadap operasi

penjumlahan

• Bersifat asosiatif ∀�, �, # ∈ M, �� (� + �) + #= � + (� + #) Dapat diamati pada tabel bahwa sifat asosiatif

dipenuhi.

Misal ambil sembarang �, �, # ∈ M. Misal � = ��, � = ��, # = �� Maka diperoleh (� + �) + # = (�� +��) + �� (� + �) + # = �� + �� (� + �) + # = �� + (� + #) = �� + (�� + ��) � + (� + #) = �� + ��

30

� + (� + #) = �� • Mempunyai elemen identitas ∃ ∈ M �� , �� ∀� ∈ M, � + �� = �� + � = � • Setiap elemen di M mempunyai invers ∀� ∈ M, ∃�%& ∈ M, � + �%& = �%& + � =

Dari tabel diatas, dapat kita peroleh invers

dari setiap elemen di A, yaitu: (��)%& = �� (��)%& = �� • Bersifat komutatif ∀�, � ∈ M, � + � = � + �

Dari tabel dapat diamati secara jelas bahwa

sifat komutatif terpenuhi

(ii). M(+,×) suatu semigrup komutatif • Bersifat tertutup terhadap operasi perkalian

Dapat ditunjukkan menggunakan tabel

Cayley × genap ganjil

genap genap genap

ganjil genap ganjil

Berdasarkan tabel tersebut, terlihat jelas

bahwa M tertutup terhadap operasi perkalian. • Bersifat asosiatif ∀�, �, # ∈ M, �� (� × �) × #= � × (� × #)

31

Dapat diamati pada tabel bahwa sifat asosiatif

dipenuhi.

Misal ambil sembarang �, �, # ∈ M. Misal � = ��, � = ��, # = �� Maka diperoleh (� × �) × # = (�� ×��) × �� (� × �) × # = �� × �� (� × �) × # = �� × (� × #) = �� × (�� × ��) � × (� × #) = �� × �� × (� × #) = ��

• Bersifat komutatif terhadap operasi perkalian ∀�, � ∈ M, � × � = � × � Telah terlihat jelas pada tabel.

(iii). Berlaku sifat distributif perkalian terhadap

penjumlahan ∀�, �, # ∈ M , � × (� + #) = (� × �) + (� × #) Misal ambil sembarang �, �, # ∈ M. Misal � = ��, � = ��, # = �� Maka diperoleh � × (� + #) = �� ×(�� + ��) � × (� + #) = �� × �� = ��

32

(� × �) + (� × #)= (�� × ��)+ (�� × ��) (� × �) + (� × #) = �� + �� = ��

1.2.5. Karakteristik Ring

Definisi 1.3.

Misalkan R adalah suatu Ring. Jika ∀�, � ∈ ., ada bilangan bulat positif terkecil �, sedemikian hingga �� = , dimana ini adalah elemen identitas pada operasi pertama, maka Ring R ini

dikatakan mempunyai karakteristik �. Jika tidak ditemukan � yang demikian, maka Ring R dikatakan mempunyai karakteristik nol atau tak

berhingga.

Contoh 1.7 (8l, +,×) adalah suatu Ring, dan mempunyai karakteristik 7

Elemen identitas terhadap operasi penjumlahan

dalam 8l adalah nol. ∀� ∈ 8l, 7� = 0, misal 7.5 = 35 ≅ 0 3�� 7, dan tidak ada bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 7, yang

memenuhi �� = 0, ∀� ∈ 8l. Sehingga Ring 8l mempunyai karakteristik 7

Contoh 1.8 (p, +,×) adalah suatu Ring yang mempunyai karakteriatik nol atau tak berhingga.

33

Contoh 1.9

Misalkan H = 4�, �, #, �5 adalah suatu Ring terhadap operasi penjumlahan. Operasi

penjumlahan pada M didefinisikan pada tabel

berikut: + � � # � � # � � � � � # � � # � � # � � � � � #

Dari tabel tersebut, dapat kita temukan elemen

identitas terhadap penjumlahan dari M adalah #. Karena � + � = #, � + � = #, # + # = # dan � + � = #, maka Ring M mempunyai

karakteristik 2.

1.2.6. Latihan

1. Apabila ' = 4�, �, #, �5 dan . = 2q adalah himpunan dari semua himpunan bagian dari

S. Didefinisikan operasi-operasi penjumlahan

dan perkalian pada R adalah sebagai berikut: ∀M, N ∈ ., M + N = M ∪ N − M ∩ N dan M × N = M ∩ N a. Tunjukkan bahwa R adalah suatu Ring

b. Tunjukkan pula bahwa R adalah Ring

Komutatif sekaligus Ring Satuan

34

2. . = 4�, �, #, �, , 9, �, ℎ5 adalah suatu Ring terhadap operasi penjumlahan. Operasi

penjumlahan pada R didefinisikan pada tabel

berikut: + � � # � 9 � ℎ � � � # � 9 � ℎ � � � � # 9 ℎ � # # � 9 � ℎ � � � � # 9 ℎ � � � 9 � ℎ � � # � 9 9 ℎ � � � � # � � ℎ � � # � 9 ℎ ℎ � � � � # 9

a. Tentukan elemen identitas terhadap

operasi penjumlahan dari R

b. Tentukan invers terhadap operasi

penjumlahan setiap elemen dari R

c. Tentukan karakteristik dari R

3. Diketahui � = 4, A, �, �5 dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada T

didefinisikan pada tabel berikut: + A � � A � � A A � � � � � A � � � A

35

× A � � A A A � � � � � �

a. Apakah T sebuah Ring

b. Apakah T Ring komutatif

c. Apakah T ring satuan

4. Diketahui O = 4(�, �)|� �� ∈ .��5 operasi-operasi penjumlahan dan perkalian

pada O didefinisikan sebagai berikut: ��, � + �#, � = �� + #, � + �

��, � × �#, � = ��# − ��, �� + �# a. Apakah C suatu Ring

b. Apakah C suatu Ring komutatif

c. Apakah C suatu Ring Satuan

5. Apakah � = 42� + 3| � ∈ 85 terhadap

operasi penjumlahan dan perkalian

merupakan Ring?

6. Misal 8 adalah himpunan bilangan bulat, dengan operasi ⊕ dan operasi ⊙ yang

didefinisikan sebagai berikut:

∀�, � ∈ 8, � ⊕ � = � + � + 1, �� ⊙ �= � + � + ��

Tunjukkan apakah Z terhadap operasi-operasi

tersebut merupakan Ring? Selanjutnya

36

apakah merupakan Ring komutatif dan Ring

Satuan?

7. Tunjukkan bahwa H = IR0 �0 �S |�, � ∈ .L

terhadap operasi-operasi penjumlahan dan

perkalian matriks merupakan Ring!

8. Diketahui v = 4��, �, #, � |�, �, #, � ∈ p5. Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian

pada P didefinisikan sebagai berikut:

∀��, �, #, � ; �, 9, �, ℎ ∈ v maka ��, �, #, � + �, 9, �, ℎ

= �� + , � + 9, # + �, � + ℎ ��, �, #, � × �, 9, �, ℎ

= �� + ��, �9 + �ℎ, #+ ��, #9 + �ℎ

Tunjukkan bahwa P terhadap operasi-operasi

tersebut adalah suatu Ring

Selanjutnya jika P suatu Ring, apakah P juga

merupakan Ring Satuan?

9. Diketahui H = 4��, � |�, � ∈ 8 �� ≠ 0 5. kesamaan dua pasangan berurutan

didefinisikan dengan ��, � = �#, � jika dan hanya jika � = #, �� = �. Operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada M


∀��, � , �#, � ∈ H, ��, � + �#, � = �� + �#, ��

��, � × �#, � = ��#, ��

37

10. H = *� + �√2 | �, � ∈ p2 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian biasa, apakah

merupakan Ring?

1.3. PENUTUP

1.3.1. Tes Formatif

1. Buktikan bahwa p R√2x = I� + � √2x +h√2x i1|�, � ∈ pLS merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

2. Buktikan bahwa 8√2 = *� + �√2|�, � ∈ 82 merupakan ring terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian bilangan bulat.

3. Buktikan bahwa 8&1 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo 12 adalah

suatu ring komutatif dan ring stauan

4. Tentukan karakteristik dari Ring berikut:

a. Ring Q

b. Ring �8 c. Ring 8? d. Ring 28 e. Ring 8 × 8 f. Ring 8: × 8: g. Ring 8: × 8;

5. Diketahui R adalah ring komutatif dengan elemen

satuan, dan R memiliki karakteristik 3.

Sederhanakan bentuk �� + � ;, ∀�, � ∈ .

38

1.3.2. Kunci Jawaban Soal Latihan

1. Apabila ' = 4�, �, #, �5 dan . = 2q adalah

himpunan dari semua himpunan bagian dari S.

Didefinisikan operasi-operasi penjumlahan dan

perkalian pada R adalah sebagai berikut:

∀M, N ∈ ., M + N = M ∪ N − M ∩ N dan M × N =M ∩ N a. Akan ditunjukkan bahwa R adalah suatu Ring

. = 2q

= y∅, 4�5, 4�5, 4#5, 4�5, 4�, �5, 4�, #5, 4�, �5, 4�, #5, 4�, �5, 4#, �5, 4�, �, #5,4�, �, �5, 4�, #, �5, 4�, #, �5, 4�, �, #, �5 z

Sifat ketertutupan terhadap operasi penjumlahan

pada R ditunjukkan dengan tabel Cayley.

Sifat asosiatif terpenuhi, yaitu ∀M, N, O ∈ ., �M + N + O = M + �N + O

Dalam R terdapat elemen identitas, yiatu ∅,

karena ∀M ∈ ., M + ∅ = ∅ + M = M Setiap elemen di R mempunyai invers terhadap

operasi penjumlahan. Hal ini dapat dilihat pada

tabel cayley yang telah dibuat oleh mahasiswa.

Sifat komutatif juga terpenuhi, hal ini terlihat

dari kesimetrisan setiap elemen dengan diagonal

utama pada tabel cayley

Selanjutnya kita analisis ketertutupan R pada

operasi perkalian.

Sifat ketertutupan ini dapat ditunjukkan dengan

membuat tabel cayley (mahasiswa diarahkan

untuk membuat tabel cayley).

39

Sifat asosiatif terhadap operasi perkalian juga

terpenuhi, yaitu ∀M, N, O ∈ ., �M × N × O = M × �N × O

b. Akan kita selidiki apakah R adalah Ring

Komutatif sekaligus Ring Satuan

Untuk mengetahui bahwa R adalah Ring

komutatif, maka R harus memenuhi sifat

komutatif pada operasi perkalian.

∀M, N ∈ . 3�� M × N = N × M Hal ini juga dapat diamati langsung pada tabel

cayley. Dari tabel tersebut juga diperoleh bahwa

R adalah Ring komutatif tetapi bukan ring

satuan.

2. Diketahui . = 4�, �, #, �, , 9, �, ℎ5 terhadap

operasi penjumlahan adalah Ring. Hasil operasi

penjumlahan pada R dapat kita amati pada tabel

berikut:

+ � � # � 9 � ℎ

� � � # � 9 � ℎ

� � � � # 9 ℎ �

# # � 9 � ℎ � �

� � # 9 ℎ � � �

9 � ℎ � � # �

9 9 ℎ � � � � #

� � ℎ � � # � 9

ℎ ℎ � � � � # 9

40

a. Elemen identitas terhadap operasi

penjumlahan adalah elemen � b. Dari tabel tersebut, diperoleh invers setiap

elemen adalah:

�%& = � �%& = � #%& = � �%& = ℎ %& = 9%& = 9 �%& = # ℎ%& = �

c. Karakteristik dari R adalah 4

3. Diketahui � = 4, A, �, �5 dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada T didefinisikan

pada tabel berikut:

+ A � �

A � �

A A � �

� � � A

� � � A

× A � �

A A A

� � �

� � �

a. Akan diselidiki apakah T suatu Ring

41

T terhadap operasi penjumlahan adalah

suatu grup abelian

- T tertutup terhadap operasi

penjumlahan, hal ini terlihat jelas pada

tabel

- Berlaku sifat asosiatif penjumlahan pada

T, yaitu ∀, A, � ∈ �, �� +A + � = + �A + �

- T memiliki elemen identitas, yaitu - Setiap elemen di T memiliki invers,

%& = A%& = A �%& = � �%& = �

- Berlaku sifat komutatif terhadap operasi

penjumlahan ∀, A ∈ � �� + A = A +

T terhadap operasi perkalian, memenuhi

sifat tertutup dan asosiatif

- Sifat ketertutupan terhadap operasi

perkalian telah terpenuhi, terlihat jelas

pada tabel

- Sifat asosiatif juga dipenuhi, yaitu

∀, A, � ∈ �, �� × A × �= × �A × �

b. Akan diselidiki apakah T Ring komutatif

42

Telah terbukti bahwa T adalah suatu ring.

Sifat komutatif terhadap operasi perkalian

dapat diamati pada tabel.

∃A, � ∈ �, � × A ≠ A × � Sehingga T bukan Ring komutatif

c. Akan diselidiki apakah T ring satuan

Dari tabel juga dapat kita amati bahwa T

tidak memiliki elemen satuan terhadap

operasi perkalian

4. Diketahui O = 4��, � |� �� ∈ .��5 operasi-operasi penjumlahan dan perkalian pada O didefinisikan sebagai berikut:

��, � + �#, � = �� + #, � + � ��, � × �#, � = ��# − ��, �� + �#

a. Akan diselidiki apakah C suatu Ring

C terhadap operasi penjumlahan membentuk

struktur grup abelian

- Sifat ketertutupan pada C

∀��, � �� #, � ∈ O, ��, � + �#, � ∈ O

Dari definisi operasi penjumlahan yang

telah diberikan, sangat jelas bahwa sifat

ketertutupan terpenuhi.

- Sifat asosiatif penjumlahan pada C

∀��, � ; �#, � ; �, 9 �� {��, � + �#, � | + �, 9

= ��, � + {�#, � + �, 9 |

43

{��, � + �#, � | + �, 9 = �� + #, � + � + �, 9

= �� + # + , � + � + 9 Kemudian untuk:

��, � + {�#, � + �, 9 |= ��, � + �# + , � + 9

= �� + # + , � + � + 9 Terbukti sifat asosiatif terpenuhi

- C memiliki elemen identitas

Misal ∃�3, � ∈ O, �ℎ�� ∀��, � ∈O, ��, � + �3, � = �3, � + ��, � =��, �

��, � + �3, � = ��, � �� + 3, � + � = ��, �

Diperoleh:

� + 3 = �, 3�� 3 = 0 � + � = �, 3�� = 0

Sehingga elemen identitas dalam C

adalah �0,0 - Setiap elemen di C memiliki invers

∀��, � ∈ O, ∃��, � %& 3�� , A sehingga ��, � + �, A = �0,0 Maka �, A = �−�, −�

- Berlaku sifat komutatif pada C

∀��, � ; �#, � ∈ O berlaku

44

��, � + �#, � = �#, � + ��, � C membentuk struktur semigrup terhadap

operasi perkalian, yaitu sifat ketertutupan dan

asosiatif

- ∀��, � ; �#, � ∈ O, ��, � × �#, � ∈ O - ∀��, � ; �#, � ; �, 9 ��

{��, � × �#, � | × �, 9 = ��, � × {�#, � × �, 9 |

{��, � × �#, � | × �, 9 = ��# − ��, �� + �# × �, 9

= h��# − �� − �� + �# 9, ��#− �� 9 + �� + �# i

= ��# − �� − ��9 − �#9, �#9 − ��9+ �� + �#

Selanjutnya untuk:

��, � × {�#, � × �, 9 |= ��, � × �# − �9, #9 + �

= h��# − �9 − ��#9 + � , ��#9+ � + ��# − �9 i

= ��# − ��9 − �#9 − ��, �#9 + ��+ �# − ��9

45

Terbukti sifat asosiatif terpenuhi.

Dalam C berlaku sifat distributif operasi

perkalian terhadap operasi penjumlahan

∀��, � , �#, � �� , 9 ∈ O {��, � + �#, � | × �, 9

= ��, � × �, 9 + �#, � × �, 9

��, � × {�#, � + �, 9 |= ��, � × �#, � + ��, � × �, 9

b. Akan diselidiki apakah C suatu Ring

komutatif

∀��, � , �#, � ∈ O berlaku: ��, � × �#, � = �#, � × ��, �

��, � × �#, � = ��# − ��, �� + �# �#, � × ��, � = �#� − ��, #� + ��

Terbukti bahwa C adalah Ring komutatif

c. Akan diselidiki apakah C suatu Ring Satuan

∀��, � ∈ O, �� , A ∈ O sedemikian

hingga

��, � × �, A = ��, � �� − �A, �A + � = ��, �

Diperoleh:

� − �A = � �A + � = �

46

Kita dapatkan �, A = �1,0 Terbukti bahwa C adalah ring satuan

5. Apakah � = 42� + 3| � ∈ 85 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian merupakan Ring?

T terhadap operasi penjumlahan membentuk

struktur grup abelian

- Sifat ketertutupan T terhadap operasi

penjumlahan

Ambil sembarang �2� + 3 �� 2} +3 ∈ �

�2� + 3 + �2} + 3 = 2�} + � + 6 = 2�} + � + 3 + 0

T tidak tertutup terhadap operasi

penjumlahan, sehingga T bukan grup

abelian, jadi pastlah T bukan Ring

6. Diketahui 8 dengan operasi ⊕ dan operasi ⊙

yang didefinisikan sebagai berikut:

∀�, � ∈ 8, � ⊕ � = � + � + 1, �� ⊙ �= � + � + ��

Akan kita selidiki apakah Z terhadap operasi yang

didefinisikan tersebut adalah Ring.

Z terhadap operasi ⊕ harus membentuk struktur

grup abelian

- Z tertutup terhadap operasi ⊕

∀�, � ∈ 8, � ⊕ � = � + � + 1 ∈ 8 - Berlaku sifat asosiatif ⊕ pada Z

∀�, �, # ∈ 8, �� ⊕ � ⊕ # = � ⊕ �� ⊕ # �� ⊕ � ⊕ # = �� + � + 1 ⊕ #

47

= � + � + 1 + # + 1 = � + � + # + 2

� ⊕ �� ⊕ # = � ⊕ �� + # + 1 = � + � + # + 1 + 1

= � + � + # + 2 - Z memiliki identitas terhadap operasi ⊕

∀� ∈ 8, ∃ ∈ 8, �ℎ�� ⊕ = ⊕ � = �

� ⊕ = � � + + 1 = �

+ 1 = 0 = −1

- Setiap elemen di Z memiliki invers

∀� ∈ 8, ∃�%& ∈ 8 Sehingga � ⊕ �%& = �%& ⊕ � = −1

� ⊕ �%& = −1 � + �%& + 1 = −1

�%& = −2 − � - Berlaku sifat komutatif ⊕ pada Z

∀�, � ∈ 8, � ⊕ � = � ⊕ � � ⊕ � = � + � + 1

= � + � + 1

= � ⊕ �

48

7. Akan ditunjukkan bahwa H = IR0 �0 �S |�, � ∈

.L terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian matriks merupakan Ring

M terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

adalah Grup abelian

- Sifat ketertutupan M terhadap operasi

penjumlahan

Ambil sembarang M, N ∈ H.

Misal M = R0 �0 �S , �� N = R0 #

0 �S M + N = R0 �

0 �S + R0 #0 �S

= R0 � + #0 � + �S

Terbukti ∀M, N ∈ H, M + N ∈ H

- Berlaku sifat asosiatif penjumlahan pada M

∀M, N, O ∈ H berlaku �M + N + O = M + �N + O

Ambil sembarang M, N, O ∈ H.

Misal M = R0 �0 �S , N = R0 #

0 �S , �� O = T0

0 9U �M + N + O = R0 � + #

0 � + �S + T0 0 9U

= T0 � + # + 0 � + � + 9U =M + �N + O

49

- M mempunyai elemen identitas pada operasi

penjumlahan, yaitu V = R0 00 0S

- Setiap elemen di M mempunyai invers

terhadap operasi penjumlahan

∀M = R0 �0 �S ∈ H, ∃M%& ∈ H ��

M%& = R0 −�0 −�S

- Berlaku sifat komutatif terhadap operasi

penjumlahan pada M

∀M, N ∈ H, M + N = N + M M terhadap operasi perkalian membentuk

struktur semigrup

- Sifat ketertutupan terhadap operasi perkalian

Ambil sembarang M, N ∈ H.

Misal M = R0 �0 �S , N = R0 #

0 �S

∀M, N ∈ H, M × N ∈ H

M × N = R0 �0 �S × R0 #

0 �S = R0 ��0 ��S

- Berlaku sifat asosiatif perkalian pada M

Ambil sembarang M, N, O ∈ H.

Misal M = R0 �0 �S , N = R0 #

0 �S ��

50

O = T0 0 9U

∀M, N, O ∈ H, �MN O = M�NO �MN O = R0 ��

0 ��S T0 0 9U = T0 ��9

0 ��9U M�NO = R0 �

0 �S T0 #90 �9U = T0 ��9

0 ��9U Berlaku sifat distributif operasi perkalian

terhadap operasi penjumlahan pada M

�M + N O = MO + NO �M + N O = R0 � + #

0 � + �S T0 0 9U

= T0 �9 + #90 �9 + �9U

MO + NO = T0 �90 �9U + T0 #9

0 �9U = T0 �9 + #9

0 �9 + �9U Terbukti bahwa M adalah suatu Ring

8. Kunci jawaban no 8,9 dan 10 tidak diberikan.

Dilakukan pendampingan untuk dikerjakan

mahasiswa secara mandiri.

51

1.3.3. Umpan Balik dan tindak lanjut

Cocokkanlah jawaban anda dengan kunci jawaban

soal latihan yang terdapat pada bagian akhir bab 1 ini

kemudian hitunglah banyaknya jawaban anda yang

benar. Kemudian hitunglah tingkat penguasaan anda

dengan menggunakan rumus berikut:

�� = ��

�� × 100%

Setelah mengetahui tingkat penguasaan anda terhadap

materi pada bab 1 ini, lanjutkan dengan mengerjakan

tes formatif kemudian konsultasikan dengan dosen

anda.

Arti tingkat penguasaan yang anda capai:

90% - 100% : Baik sekali

80% - 89% : Baik

70% - 79% : Sedang

≤ 69% : Kurang

Catatan: jika anda mencapai tingkat penguasaan ≥ 80%, maka anda dapat melanjutkan ke bab berikutnya.

Tetapi jika nilai anda dibawah 80%, maka sebaiknya

anda mengulangi bab 1 ini terutama bagian yang

belum anda kuasai.

52

BAB 2BAB 2BAB 2BAB 2 SUBRING, IDEAL DAN RING SUBRING, IDEAL DAN RING SUBRING, IDEAL DAN RING SUBRING, IDEAL DAN RING

FAKFAKFAKFAKTORTORTORTOR

2.1. PENDAHULUAN


Bab 2 ini berisi tentang Subring, ideal dan Ring

Faktor. Seperti halnya pada bab 1, model

pembelajaran yang digunakan adalah berbasis

project dengan memadukan unsur

kontruktivisme, dimana mahasiswa diharapkan

mampu membangun sendiri konsep-konsep

dalam bab 2 ini berdasarkan pengetahuannyang

telah mereka peroleh pada Mata kuliah Teori

Grup. Diawal pembelajaran mahasiswa

diberikan lembar project yang berisi analisis

tentang subgrup, koset dan grup faktor.

Kemudian mahasiswa diarahkan untuk

menemukan konsep subring, ideal dan ring

faktor.

B. Relevansi terhadap pengetahuan mahasiswa dan

bidang kerja

Pada mata kuliah teori Grup, mahasiswa telah

mempelajari konsep subgrup, koset dan grup

faktor yang merupakan konsep awal dari

subring, ideal dan ring faktor. Sehingga dalam

hal ini, mahasiswa akan sangat mampu untuk

menguasai bab 2 ini karena materinya sangat

53

memiliki kemiripan dengan materi subgrup,

koset dan grup faktor.


Capaian pembelajaran yang direncanakan

secara khusus pada bab 2 ini adalah Mahasiswa

mampu menganalisis subring, ideal dan ring

faktor (quotient ring) serta dapat menerapkan

dalam pemecahan masalah secara tepat dan

konsisten. (C4, A5, P3)

2.2. PENYAJIAN

2.2.1. Mengingat kembali Subgrup, koset dan grup faktor

Mari mengingat kembali konsep sub grup, koset

dan grup faktor

Sub Grup

Misalkan G grup dan 6 ⊆ �, H dikatakan subgrup dari G dituliskan 6 < � , jika 6 ≠ ∅, H sendiri merupakan grup dengan operasi biner yang sama

dengan G

Koset

Misal H adalah Sub grup dari G, dan � ∈ �. Koset kiri dari H dalam G adalah �6 = 4�ℎ|ℎ ∈ 65 Sedangkan koset kanan dari H dalam G adalah

6� = 4ℎ�|ℎ ∈ 65 Grup Faktor

jika H subgrup normal dari Grup G, himpunan koset

dari H dalam G adalah Grup faktor dari G dan

dinotasikan dengan �/6.

54

2.2.2. Subring

Definisi 2.1.

Misal R adalah suatu Ring, dan S adalah himpunan

bagian dari R, dengan ' ≠ ∅, maka S adalah sub ring dari Ring R jika dengan operasi-operasi yang

sama dengan R, S membentuk struktur Ring.

Setiap himpunan adalah himpunan bagian dari

dirinya sendiri. Apabila R adalah suatu Ring, maka

R adalah subring dari R. Selain itu apabila e adalah

elemen identitas pada operasi pertama di R, maka

' = 45 adalah himpunan bagian dari R yang merupakan suatu Ring, sehingga ' = 45 adalah suatu Subring.

Jadi, setiap Ring R mempunyai subring R dan 45, subring ini disebut sebagai subring tak sejati

(subring trivial). Subring-subring selain R dan 45 disebut sebagai subring sejati.

Contoh 2.1.

Z adalah suatu Ring dengan operasi penjumlahan

dan perkalian bilangan bulat. Maka subring tak

sejati dari Z adalah Z dan 405. Subring sejati dari Z adalah ' = 4��|� ≠ 0 �� ∈ 85 Contoh 2.2.

Diketahui � = 4, A, �, �5 adalah Ring dengan operasi-operasi penjumlahan dan perkalian yang

didefinisikan pada tabel berikut:

+ A � �

A � �

55

A A � �

� � � A

� � � A

× A � �

A A A

� � �

� � �

Misal diambil himpunan bagian dri T, misal

' = 4, A5, dengan operasi penjumlahan dan

operasi perkalian yang didefinisikan sebagai

berikut:

+ A

A

A A

× A

A A

Dapat kita amati bahwa ' bersama-sama operasi penjumlahan dan perkalian adalah suatu Ring,

maka S adalah subring dati T

Teorema 2.1

Misal R suatu Ring dan S adalah himpunan bagian

dari R dan ' ≠ ∅, S adalah subring dari Ring R jika dan hanya jika ∀�, � ∈ ' berlaku: i) ��%& ∈ '

56

ii) �� ∈ ' Bukti:

→ Akan dibuktikan bahwa jika R suatu Ring dan S subring dari Ring R, maka ∀�, � ∈ ' berlaku ��%& ∈ ' �� ∈ ' i) ��%& ∈ '

Diketahui S adalah subring dari R, maka S

adalah suatu Ring, maka S terhadap operasi

pertama merupakan suatu grup abelian.

Ambil sembarang �, � ∈ ', karena S suatu grup abelian maka ∀�, � ∈ ', pasti ∃�%& �� %& ∈ ', dan pasti berlaku

��%& ∈ ' ii) �� ∈ '

Karena S suatu Ring, maka ∀�, � ∈' �� ∈ '

← Akan dibuktikan bahwa jika ∀�, � ∈ ' berlaku ��%& ∈ ' �� ∈ ' maka S subring dari R Ambil sembarang � ∈ ', ��%& ∈ ', ∈ ', hal ini menunjukkan S mempunyai elemen identitas.

Ambil sembarang

� ∈ ' �� %& ∈ ', 3�� %& %& = �� ∈ ' , hal ini menunjukkan bahwa setiap elemen S

mempunyai invers. Selanjutnya karena ' ⊂., �� . �� .��, maka S memenuhi sifat-sifat yang dimiliki oleh R yaitu sifat sifat asosiatif dan

57

sifat komutatif pada operasi pertama, sifat asosiatif

pada operasi kedua serta sifat distributif operasi

kedua terhadap operasi pertama.

Sehingga semua aksioma Ring terpenuhi oleh S,

maka S adalah suatu Ring. Karena ' ⊂ ., maka S adalah subring dari R.

2.2.3. Ideal

Definisi 2.2.

Misalkan R adalah suatu Ring dan I adalah

himpunan bagian dari Ring R dengan d ≠ ∅, maka I disebut Ideal dari R jika dan hanya jika:

(i). ∀�, � ∈ d, ��%& ∈ d (ii). ∀� ∈ d, �� ∈ ., 3�� ∈ d �� ∈ d.

Apabila hanya memenuhi salah satu

yaitu∀� ∈ d, �� ∈ ., �� ∈ d maka disedut ideal kanan, sedangkan jika memenuhi

∀� ∈ d, �� ∈ ., �� ∈ d maka disebut idela kiri

Misalkan R suatu Ring dengan elemen identitas

pada operasi pertama adalah 45, maka 45 dan R sendiri adalah ideal-ideal dalam R, dan disebut

ideal tak sejati dari R. Ideal-ideal lainnya (jika ada)

disebut ideal sejati dari R. Jika suatu Ring R tidak

mempunyai ideal sejati, maka Ring R tersebut

disebut Ring Simpel.

58

Contoh 2.3

8 bersama-sama dengan operasi penjumlahan dan perkalian adalah suatu Ring. Misalkan N =4��|� ∈ 8 5 dengan � suatu bilangan bulat, dapat kita amati bahwa N merupakan ideal dari 8. Contoh 2.4

Diketahui suatu himpunan . = 4�, �, #, �, , 9, �, ℎ5 dengan operasi penjumlahan dan perkalian yang

didefinisikan pada tabel berikut:

Operasi penjumlahan pada R

+ � � # � 9 � ℎ

� � � # � 9 � ℎ

� � � � # 9 ℎ �

# # � � � � ℎ 9

� � # � � ℎ � 9

9 � ℎ � � # �

9 9 ℎ � � � � #

� � ℎ 9 # � � �

ℎ ℎ � 9 � # � �

Operasi perkalian pada R

× � � # � 9 � ℎ

� � � � � � � � �

� � � � � � � � �

59

# � # � # � # � #

� � � � � � � � �

� � � �

9 � 9 � 9 � 9 � 9

� � � � � � � � �

ℎ � ℎ � ℎ � ℎ � ℎ

Dapat kita amati bahwa R bersama-sama operasi

penjumlahan dan perkalian adalah suatu Ring.

Misal diambil salah satu himpunan bagian dari R,

misal v = 4�, �, #, �5. Dapat kita tunjukkan bahwa P merupakan ideal kanan dari R, tetapi bukan ideal

kiri dari R. (pembuktian digunakan sebagai

latihan).

Contoh 2.5

Misal H = 4��, �, #, � |�, �, #, � ∈ p5. Operasi-

operasi penjumlahan dan perkalian pada M


∀��, �, #, � , �, 9, �, ℎ ∈ H, ��: ��, �, #, � + �, 9, �, ℎ = �� + , � + 9, # +�, � + ℎ Dan ��, �, #, � × �, 9, �, ℎ = �� + ��, �9 +�ℎ, # + ��, #9 + �ℎ

60

Pada bagian sebelumnya telah dibuktikan bahwa M

bersama-sama operasi penjumlahan dan perkalian

adalah suatu Ring.

Misal diambil himpunan bagian dari M, misalkan

� = 4��, ��, ��, �� 5|�, � ∈p �� , � �� . Akan ditunjukkan bahwa T adalah suatu Ideal Kiri

dari M

� Ambil sembarang

(��&, ��&, ��&, ��&) �� (��1, ��1, ��1, ��1) ∈� Maka (��&, ��&, ��&, ��&) − (��1, ��1, ��1, ��1)= (��&, ��&, ��&, ��&)+ (−��1, −��1, −��1, −��1) = (��& − ��1, ��& − ��1, ��& − ��1, ��&− ��1) = (�(�& − �1), �(�& − �1), �(�&− �1), �(�& − �1)) Karena �&, �1, �&, �1 ∈ p, 3�� (�& − �1), (�& −�1), (�& − �1)�� (�& − �1) ∈ p Sehingga (��&, ��&, ��&, ��&) − (��1, ��1, ��1, ��1) ∈ �

� Ambil sembarang

(�, �, #, �) ∈ H �� (��, ��, ��, ��) ∈ �

61

Maka (�, �, #, �) × (��, ��, ��, ��)= (�� + #��, �� + ��, #��+ ��, #�� + ��) = (�(�� + #�), �(�� + ��), �(#� + ��), �(#�+ ��)) Hal ini menunjukkan bahwa (�, �, #, �) ×(��, ��, ��, ��) ∈ � Sehingga T merupakan ideal kiri dari M

Selanjutnya apakah juga merupakan ideal kanan

dari M? (coba diskusikan)

Teorema 2.2

Apabila d& �� d1 masing-masing adalah Ideal dari R, maka d& ∩ d1 adalah suatu Ideal dalam R. Bukti: d& adalah ideal dari Ring R, maka terhadap operasi pertama, d& merupakan subgrup dari R. Begitu juga dengan d1 juga merupakan subgrup dari R. Sehingga d& ∩ d1 adalah subgrup dari R. Sehingga berlaku: ∀�, � ∈ d& ∩ d1, �� − � ∈ d& ∩ d1 Ambil sembarang elemen � ∈ d& ∩ d1 maka � ∈ d& �� ∈ d1 Kemudian ambil sembarang � ∈ . �� ∈d&, �� d& adalah ideal dari R, maka pasti berlaku �� ∈ d& �� ∈ d&

62

Dengan cara yang sama, � ∈ d1, dengan d1 adalah sebuah ideal dari R, maka pasti dipenuhi untuk �� ∈ d1 �� ∈ d1 Karena: �� ∈ d& �� ∈ d1 3�� ∈ d& ∩ d1 �� ∈ d& �� ∈ d1, 3�� ∈ d& ∩ d1 Terbukti bahwa d& ∩ d1 adalah Ideal dari R.

Definisi Ideal Utama (principal ideal)

Misalkan R adalah suatu Ring komutatif yang

mempunyai elemen satuan tertentu di R.

Definisi 2.3

Ideal utama adalah suatu ideal yang dihasilkan oleh

suatu elemen dari Ring R

Contoh 2.6

Z bersama-sama dengan operasi penjumlahan dan

perkalian adalah Ring. Misal diambil himpunan

bagian dari Z, misal d = 48�|� ∈ 85 = 40, ±8, ±16, ±24, ±32, … 5 d dapat kita tulis sebagai himpunan yang dibangun oleh elemen 4, dapat ditulis d = ⟨8⟩. Sehingga d ini merupakan ideal utama.

Misal ambil ideal lain dari Z,

d& = 44�|� ∈ 85 = 40, ±4, ±8, ±12, ±16, … 5 Yang selanjutnya dapat ditulis, d& = ⟨4⟩

d1 = 42�|� ∈ 85= 40, ±2, ±4, ±8, ±10, ±12, ±14, ±16, … 5

Yang selanjutnya dapat ditulis, d1 = ⟨2⟩

63

Apabila kita perhatikan, terlihat bahwa d ⊂ d&, d ⊂d1 �� d ⊂ 8. Dari contoh 2.6 tersebut, dapat kita ketahui bahwa

suatu ideal utama dalam Z yang dihasilkan dari

suatu elemen k merupakan himpunan bagian dari

setiap ideal utama yang dihasilkan oleh faktor dari

k. Jika k suatu bilangan prima, maka ideal utama

yang dihasilkan oleh k hanya ⟨�⟩ dan Z sendiri.

Definisi Ideal Prima

Definisi 2.4 Misalkan R suatu komutatif, dan d suatu ideal dalam R, maka d disebut ideal prima jika dan hanya jika ∀�, � ∈ . �� ∈d 3�� ∈ d �� ∈ d. Contoh 2.7

Z bersama operasi penjumlahan dan perkalian

adalah Ring.

Misal diambil ideal dari Z, yaitu:

� H = ⟨7⟩ = 47�|� ∈ 85. M adalah ideal prima dari Z, karena apabila �� ∈ H, 3�� ℎ � ∈H �� ∈ H

� � = 46�|� ∈ 85. N bukan ideal prima dari Z, karena

∃12 ∈ � �� 12 = 3 × 4, �� 3∉ � �� 4 ∉ �

64

Definisi Ideal Maksimal

Definisi 2.5. Misal R suatu Ring komutatif dan d suatu ideal dalam R, maka d disebut ideal maksimal dalam R jika dan hanya jika d tidak termuat dalam ideal lainnya, kecuali d sendiri dan R. Contoh 2.8

Pada contoh 2.7 diatas, M adalah ideal maksimal.

M tidak termuat dalam ideal lain dalam Z kecuali

M dan Z sendiri.

Selanjutnya perhatikan ideal N. ideal N tersebut

bukan ideal maksimal karena N termuat dalam

ideal lain, yaitu ideal yang dibangun oleh elemen 3

dan elemen 2 dalam Z.

Teorema 2.3

Misalkan Z adalah suatu Ring terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian, dan d suatu ideal dalam Z, maka d adalah suatu ideal maksimal dari Z jika dan hanya jika d dihasilkan oleh suatu bilangan prima.

Bukti:

Misal d adalah ideal yang dihasilkan suatu elemen Z, maka d merupakan ideal utama dalam Z, dan setiap ideal dalam Z adalah ideal utama.

→ akan dibuktikan bahwa jika d = ⟨�⟩ dengan � suatu bilangan prima, maka d adalah ideal

maksimal.

Untuk menunjukkan bahwa d adalah ideal

maksimal, maka akan diperlihatkan bahwa d tidak

65

termuat dalam ideal yang lain kecuali d dan Z sendiri.

Andaikan ada ideal lain dalam Z yang memuat d, misal M dengan H ≠ 8 �� H ≠ d, maka M adalah ideal utama dalam Z. Misal M adalal ideal

yang dibangun oleh suatu elemen A dalam Z, H = ⟨�⟩, karena d ⊂ H, �� ⟨�⟩ ⊂ ⟨�⟩ 3�� ℎ � = ��, untuk suatu bilangan bulat �. Diketahui bahwa � adalah suatu bilangan prima, maka haruslah

� = 1 �� = � Sehingga jika � = 1 maka

⟨�⟩ = ⟨1⟩ �ℎ�� H = 8 Selanjutnya jika � = � maka

⟨�⟩ = ⟨�⟩ �ℎ�� H = d Dapat kita simpulkan bahwa pengandaian tersebut

salah, seharusnya tidak ada ideal lain dalam Z yang

memuat d, artinya d adalah ideal maksimal dalam Z.

← akan dibuktikan jika d = ⟨�⟩ ideal maksimal maka � adalah bilangan prima. Andaikan � bukan bilangan prima, yaitu � suatu bilangan komposit, maka � dapat dinyatakan sebagai � = �. �, � ≠ 1 �� ≠ 1. Misal ada ideal

66

utama yang dihasilkan oleh � adalah P, v = ⟨�⟩, maka d ⊂ v ⊂ 8. Dan misalkan ideal utama yang dihasilkan oleh � adalah Q, p = ⟨�⟩, maka d ⊂ p ⊂ 8. d ⊂ v ⊂ 8 �� d ⊂ p ⊂ 8 menunjukkan bahwa d termuat dalam ideal P dan Q, hal ini kontradiksi

dengan yang diketahui sebelumnya, bahwa d adalah ideal maksimal. Maka jelaslah pengandaian bahwa

� bukan bilangan prima adalah salah, seharusnya adalah � merupakan bilangan prima.

2.2.4. Ring Faktor (Quotient Ring)

Analog dengan Grup faktor, misal d adalah suatu ideal dari Ring R, maka d terhadap operasi pertama merupakan subgrup normal dari Ring R. Himpunan

semua koset dari d dalam R ditulis . d = 4� + d|� ∈ .5⁄

Operasi penjumlahan pada . d⁄ didefinisikan

sebagai berikut:

∀�&, �1 ∈ ., ��& + d + ��1 + d = ��& + �1 + d Sedangkan operasi perkalian pada . d⁄


∀�&, �1 ∈ ., ��& + d × ��1 + d = ��&�1 + d Struktur aljabar . d⁄ ini merupakan suatu Ring dan

. d⁄ dinamakan Ring Faktor.

67

Bukti:

� ∀(�& + d), (�1 + d) ∈ . d⁄ , 3�� (�& + d) +(�1 + d) ∈ . d⁄

� ∀(�& + d), (�1 + d)�� (�: + d) ∈ . d⁄ berlaku: {(�& + d) + (�1 + d)| + (�: + d)= (�& + d)+ {(�1 + d) + (�: + d)|

� ∀(�& + d) ∈ . d⁄ , ∃(0 + d) sehingga (�& +d) + (0 + d) = (�& + d) Elemen identitas dalam . d⁄ adalah (0 + d) =d

� ∀(�& + d) ∈ . d⁄ , ∃(�& + d)%& sehingga (�& + d) + (�& + d)%& = d Sehingga jelaslah bahwa setiap ∀(�& + d) ∈. d⁄ mempunyai invers di . d⁄ yaitu (−�& + d)

� ∀(�& + d), (�1 + d) ∈ . d⁄ berlaku sifat

komutatif yaitu (�& + d) + (�1 + d) = (�1 + d) + (�& + d) � Selanjutnya sifat ketertutupan terhadap operasi

perkalian ∀(�& + d), (�1 + d)∈ . d⁄ , 3�� (�& + d)× (�1 + d) ∈ . d⁄ (�& + d) × (�1 + d) = (�&�1) + d

� Sifat asosiatif terhadap operasi perkalian

68

∀(�& + d), (�1 + d)�� (�: + d) ∈ . d⁄ berlaku: {(�& + d) × (�1 + d)| × (�: + d)= (�& + d)× {(�1 + d) × (�: + d)| {(�& + d) × (�1 + d)| × (�: + d)= (�&�1 + d) × (�: + d) = (�&�1�: + d) Sedangkan (�& + d) × {(�1 + d) × (�: + d)|= (�& + d) × (�1�: + d) = (�&�1�: + d)

� Sifat distributif operasi perkalian terhadap

operasi penjumlahan

Ambil sembarang (�& + d), (�1 + d)�� (�: +d) ∈ . d⁄

Berlaku distributif kiri dan distributif kanan

operasi perkalian terhadap operasi

penjumlahan

Distributif kiri: ∀(�& + d), (�1 + d)�� (�: + d) ∈ . d⁄ , 3�� (�& + d) × {(�1 + d) + (�: + d)|= {(�& + d) × (�1 + d)|+ {(�& + d) × (�: + d)| = (�&�1 + d) + (�&�: + d) = (�&(�1 + �:) + d)

69

Distributif kanan: ∀(�& + d), (�1 + d)�� (�: + d) ∈ . d⁄ , 3�� {(�1 + d) + (�: + d)| × (�& + d) = {(�1 + d) × (�& + d)| + {(�: + d) × (�& + d)| = (�1�& + d) + (�:�& + d) = (�&(�1 + �:) + d) Terbukti bahwa . d⁄ adalah Ring

Contoh 2.9

Z bersama dengan operasi penjumlahan dan

perkalian adalah Ring. d = 45�|� ∈ 85 adalah ideal dalam Z. Maka dapat kita temukan Ring

Faktor 8 d = 4d, 1 + d, 2 + d, 3 + d, �� 4 + d5⁄

Teorema 2.4

(i). Jika R merupakan Ring komutatif, dan d sembarang ideal dalam R, maka . d⁄ juga

komutatif

(ii). Jika R merupakan Ring satuan dengan elemen

satuan , dan d sembarang ideal dalam R dengan d ≠ ., maka . d⁄ mempunyai elemen

satuan + . (iii). Jika R merupakan Ring komutatif dengan

elemen satuan, dan d ideal prima dalam R dan d ≠ ., maka . d⁄ adalah suatu daerah integral.

Pembuktian digunakan sebagai latihan

70

Contoh 2.10

Himpunan 8&� = 40,1,2,3,4,5,6,7,8,95 adalah Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan

perkalian.

Ideal-ideal yang dalam 8&� adalah: ⟨0⟩ = 405

⟨1⟩ = ⟨3⟩ = ⟨7⟩ = ⟨9⟩ = 8&� ⟨5⟩ = 40,55

⟨2⟩ = ⟨4⟩ = ⟨6⟩ = ⟨8⟩ = 40,2,4,6,85 Ideal d& = ⟨2⟩ adalah ideal maksimal. Ring faktor yang terbentuk adalah:

8&� d&⁄ = 4d&, d& + 15 Dalam hal ini d& = ⟨2⟩ merupakan ideal maksimal dalam 8&� Selanjutnya jika kita ambil ideal d1 = ⟨5⟩, maka dapat kita peroleh Ring faktor yang terbentuk

adalah sebagai berikut:

8&� d1⁄ = 4d1, d1 + 1, d1 + 2, d1 + 3, d1 + 45

Contoh 2.11

8� = 40,1,2,3, … ,75 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian adalah suatu Ring.

Ideal-ideal dalam 8� yang dihasilkan oleh elemen-elemen 8� adalah sebagai berikut:

⟨0⟩ = 405 ⟨1⟩ = ⟨3⟩ = ⟨5⟩ = ⟨7⟩ = 8�

⟨2⟩ = ⟨6⟩ = 40,2,4,65

71

⟨4⟩ = 40,45 Apabila kita perhatikan ideal yang dihasilkan oleh

elemen 2 adalah ideal maksimal. Ring faktor yang

terbentuk dari ideal maksimal ini adalah sebagai

berikut:

Misal ⟨2⟩ = d 8� ⟨2⟩⁄ = 4d, d + 1 5

Misal ⟨4⟩ = H

8� ⟨4⟩⁄ = 4H, H + 1, H + 2, H + 3 5

Contoh 2.12.

Diketahui M = IJ� �0 #K |�, �, # ∈ 8L terhadap

operasi penjumlahan dan perkalian matriks adalah

Ring komutatif. Tunjukkan bahwa

d = IJ0 �0 0K |� ∈ 8L

Merupakan ideal dalam A

Jawab.

Sangatlah jelas bahwa d ≠ ∅ � ∀H, � ∈ d, H − � ∈ d

Ambil sembarang elemen d, misal M dan N H = J0 3

0 0 K , 3 ∈ 8 � = J0 �

0 0K , � ∈ 8 H − � = J0 3 − �

0 0 K , 3 − � ∈ 8 Terbukti H − � ∈ d

72

� ∀� ∈ M, �� H ∈ d �� H ∈ d, �� H� ∈ d Ambil sembarang � ∈ M, misal � = J} �

0 <K, maka �H = J} �

0 <K × J0 30 0 K = J0 }3

0 0 K , }3 ∈ 8 Terbukti �H ∈ d

H� = J0 30 0 K × J} �

0 <K = J0 3<0 0 K , 3< ∈ 8

Terbukti H� ∈ d Sehingga terbukti bahwa d adalah ideal dari A

2.2.5. Latihan

1. Misal R adalah suatu Ring dengan elemen

satuan. Kemudian S adalah subring dari Ring

R, apakah S merupakan suatu Ring dengan

elemen satuan pula?

2. Jika H �� adalah subring dari ring R, maka buktikan bahwa H ∩ � adalah subring dari R pula!

3. H1×1 = IJ� �# �K |�, �, #, � ∈ 8L merupakan

Ring terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian matriks.

Selanjutnya, misal ' = IJ� 0� 0K |�, � ∈ 8L

a. Buktikan bahwa S adalah subring dari

H1×1 b. Buktikan bahwa S adalah ideal kiri dari

H1×1

73

4. Z adalah suatu Ring terhadap operasi-operasi

penjumlahan dan perkalian bilangan bulat.

Buktikan bahwa d = 4�}|} ∈ 85 adalah ideal utama dari Z!

5. 8&1 merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat

modulo 12. Tentukan semua ideal dalam 8&1 kemudian pilih ideal maksimalnya I dan

temukan 8&1 d⁄

6. 8� merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat

modulo 6. Tentukan semua ideal dalam 8� kemudian pilih ideal maksimalnya I dan

temukan 8� d⁄

7. 8l merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat

modulo 7. Tentukan semua ideal dalam 8l kemudian pilih salah satu ideal I dalam 8l dan temukan 8l d⁄

8. 8� merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat

modulo 9. Tentukan semua ideal dalam 8� kemudian pilih salah satu ideal I dalam 8� dan temukan 8� d⁄

74

2.3. PENUTUP

2.3.1. Tes Formatif

1. Temukan semua subring dari 8&& 2. 8&D merupakan Ring terhadap operasi-operasi

penjumlahan dan perkalian bilangan bulat

modulo 15. Tentukan semua ideal dalam 8&D kemudian pilih ideal maksimalnya I dan

temukan 8&D d⁄

9. 8&� merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat

modulo 18. Tentukan semua ideal dalam 8&� kemudian pilih salah satu ideal I dalam 8&� dan temukan 8&� d⁄

3. 28 adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat. 88 adalah ideal dari 28. Temukan Ring faktor 28 88⁄ .

Selanjutnya apakah 28 88⁄ dan 8; adalah Ring yang Isomorfik?

4. Temukan subring dari ring 8 + 8 5. Tentukan pernyataan berikut benar atau salah:

a. p adalah ideal dari Ring R b. Setiap ideal dari ring adalah subring

dari ring tersebut

c. Setiap subring dari sebuah ring

merupakan ideal dari ring itu

d. Setiap ring faktor dari ring komutatif

adalah komutatif juga

e. Ring 8 48⁄ dan 8; adalah isomorfik

75

f. Konsep ideal pada Ring adalah sama

dengan konsep subgrup normal pada

grup

g. 8; adalah ideal dari 48 h. 8 adalah ideal dalam Q

6. Tunjukkan bahwa H1�81 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks adalah

suatu Ring Simpel!

7. Tunjukkan bahwa N = IJ� �0 0K | �, � ∈ .L

adalah ideal kanan tetapi bukan ideal kiri dari

H1�. ! 8. Jika setiap ideal dalam ring R adalah ideal

utam, maka Ring R tersebut disebut Ring ideal

utama. Buktikan bahwa Z adalah Ring ideal

utama!

9. Diketahui � �� masing-masing adalah

ideal dari Ring R dan � + � = 4� + k|� ∈� �� k ∈ �5. Buktikan bahwa � + � merupakan ideal dari Ring R pula!

76


1. Misal R adalah suatu Ring dengan elemen satuan.

Kemudian S adalah subring dari Ring R, apakah S

merupakan suatu Ring dengan elemen satuan pula?

Jawab.

S belum tentu merupakan Ring dengan elemen

satuan. Hal ini dapat ditunjukkan dengan contoh

sebagai berikut:

Z adalah Ring dengan elemen satuan yaitu 1, 2Z

adlah Subring dari Ring Z, tetapi 2Z tidak memiliki

elemen satuan.

2. Jika H �� adalah subring dari ring R, maka buktikan bahwa H ∩ � adalah subring dari R pula! Jawab.

Ambil sembarang �, � ∈ H ∩ � maka diperoleh: �, � ∈ H �� , � ∈ �

Karena M suatu subring, maka � − � ∈ H dan

�. � ∈ H............................................................(1)

Selanjutnya, karena M juga suatu subring, maka

� − � ∈ � dan �. � ∈ �.....................................(2) Dari persamaan (1) dan (2) diatas, dapat kita

peroleh:

� − � ∈ H �� − � ∈ � maka � − � ∈ H ∩ � �. � ∈ H dan �. � ∈ �, maka �. � ∈ H ∩ � Selanjutnya, karena M subring dari R, maka H ⊂ . karena N subring dari R, maka � ⊂ .

77

sehingga dapat kita simpulkan bahwa H ∩ � adalah subring dari R pula.

3. H1×1 = IJ� �# �K |�, �, #, � ∈ 8L merupakan Ring

terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

matriks. Selanjutnya, misal ' = IJ� 0� 0K |�, � ∈ 8L

a. Buktikan bahwa S adalah subring dari H1×1 Jawab.

Ambil sembarang M, N ∈ ', misal: M = J� 0

� 0K dan N = J# 0� 0K,

dengan �, �, #, � ∈ 8 M, N ∈ ', 3�� M − N ∈ '

J� 0� 0K − J# 0

� 0K = J� − # 0� − � 0K ∈ '

Dengan �� − # �� − � ∈ 8 Dan

M, N ∈ ', 3�� M × N ∈ ' J� 0� 0K × J# 0

� 0K = J�# 0�# 0K ∈ '

Dengan �#, �# ∈ 8 Terbukti S adalah subring dari H1×1

b. Buktikan bahwa S adalah ideal kiri dari H1×1 Ambil sembarang

J � �3 �K ∈ H1×1 dan J� 0

� 0K ∈ ' Maka S ideal kiri dari H1×1 jika:

78

J � �3 �K × J� 0

� 0K = J �� + �� 03� + �� 0K ∈ '

Terbukti S adalah ideal kiri dari H1×1 4. Z adalah suatu Ring terhadap operasi-operasi

penjumlahan dan perkalian bilangan bulat.

Buktikan bahwa d = 4�}|} ∈ 85 adalah ideal

utama dari Z!

Jawab.

Ambil �, � ∈ d, maka � = �} dan � = �� dengan }, � ∈ 8 � − � = �} − �� = ��} − � ∈ d, karena } − � ∈ 8 Sehingga � − � ∈ d untuk ∀�, � ∈ d Selanjutnya,

Ambil � ∈ d, 3�� = �} , ambil ∈ 8 Maka:

�. = �}. = ��}. ∈ d

Karena }. ∈ 8 Jadi �. ∈ d untuk � ∈ d dan ∈ 8 Terbukti bahwa d adalah suatu ideal dalam Z, dan d adalah suatu ideal yang dihasilkan oleh suatu

elemen di Z, sehingga d adalah suatu ideal utama dalam Z.

5. 8&1 merupakan Ring terhadap operasi-operasi penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo

12. Tentukan semua ideal dalam 8&1 kemudian pilih ideal maksimalnya I dan temukan 8&1 d⁄

79

Jawab.

Ideal dari 8&1 adalah ideal utama, yang dapat dibangun dari elemen 8&1

8&1 = 40,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,115 d& = ⟨0⟩ = 405

d1 = ⟨1⟩ = ⟨5⟩ = ⟨7⟩ = ⟨11⟩ = 8&1 d: = ⟨2⟩ = ⟨10⟩ = 42,4,6,8,10,05 = 40,2,4,6,8,105

d; = ⟨3⟩ = ⟨9⟩ = 43,6,9,05 = 40,3,6,95 dD = ⟨4⟩ = ⟨8⟩ = 44,8,05 = 40,4,85

d� = ⟨6⟩ = 40,65 Terdapat 6 ideal dari 8&1. Selanjutnya, ideal maksimal dari 8&1 adalah d:

8&1 d:⁄ = 4d:, d: + 15

6. 8� merupakan Ring terhadap operasi-operasi

penjumlahan dan perkalian bilangan bulat modulo

6. Tentukan semua ideal dalam 8� kemudian pilih ideal maksimalnya I dan temukan 8� d⁄

Jawab.

Ideal dari 8� adalah ideal utama, yang dapat dibangun dari elemen 8�

8� = 40,1,2,3,4,55 d& = ⟨0⟩ = 405

d1 = ⟨1⟩ = ⟨5⟩ = 8� d: = ⟨2⟩ = ⟨4⟩ = 42,4,05 = 40,2,45

d; = ⟨3⟩ = 40,35 Terdapat 4 ideal dari 8�.

80

Selanjutnya, ideal maksimal dari 8&1 adalah d: 8� d:⁄ = 4d:, d: + 1, d: + 25

7. 8l merupakan Ring terhadap operasi-operasi


7. Tentukan semua ideal dalam 8l kemudian pilih salah satu ideal I dalam 8l dan temukan 8l d⁄

Jawab.

8l tidak memiliki ideal sejati Ideal dari 8l adalah d = 405 �� d = 8l

8. 8� merupakan Ring terhadap operasi-operasi


9. Tentukan semua ideal dalam 8� kemudian pilih salah satu ideal I dalam 8� dan temukan 8� d⁄

Jawab.

Ideal dari 8� adalah ideal utama, yang dapat dibangun dari elemen 8�

8� = 40,1,2,3,4,5,6,7,85 d& = ⟨0⟩ = 405

d1 = ⟨1⟩ = ⟨2⟩ = ⟨4⟩ = ⟨5⟩ = ⟨7⟩ = ⟨8⟩ = 8� d: = ⟨3⟩ = ⟨6⟩ = 40,3,65

Terdapat 3 ideal utama dari 8�. Misal dipilih d:, maka diperoleh: 8� d: = 4d:, d: + 1, d: + 25⁄

81


Cocokkanlah jawaban anda dengan kunci jawaban soal

latihan yang terdapat pada bagian akhir bab 2 ini




�� = ��

�� × 100%


materi pada bab 2 ini, lanjutkan dengan mengerjakan tes

formatif kemudian konsultasikan dengan dosen anda.



80% - 89% : Baik

70% - 79% : Sedang

≤ 69% : Kurang

Catatan: jika anda mencapai tingkat penguasaan ≥ 80%, maka anda dapat melanjutkan ke bab berikutnya. Tetapi

jika nilai anda dibawah 80%, maka sebaiknya anda

mengulangi bab 2 ini terutama bagian yang belum anda

kuasai.

82

BAB 3BAB 3BAB 3BAB 3 DAERAH INTEGRAL DAN FIELDDAERAH INTEGRAL DAN FIELDDAERAH INTEGRAL DAN FIELDDAERAH INTEGRAL DAN FIELD

3.1. PENDAHULUAN


Bab 3 ini membahas tentang Daerah integral

dan Field.

B. Relevansi terhadap pengetahuan mahasiswa

Topik yang dipelajari pada Bab 3 ini sangat

relevan dengan pengetahuan mahasiswa.

materi-materi yang diberikan kepada

mahasiswa telah dirancang sedmikian rupa,

sehingga anatar yang satu dengan yang lain

saling berkaitan. Pada dua bab sebelumnya,

mahasiswa telah mempelajari konsep Ring,

karakteriktik ring, sub ring ideal dan ring

faktor., yang semuanya terus digunakan dalam

materi di Bab 3 ini. Sehingga mahasiswa dapat

menguasai materi Bab 3 ini dengan baik.


Capaian pembelajaran Mata kuliah ini adalah

menganalisis struktur sebuah Ring serta

mengaplikasikan dalam pemecahan masalah secara

tepat dan konsisten, tetapi capaian pembelajaran

yang khusus ingin dicapai setalah mempelajari

bab 3 ini adalah mahasiswa mampu

menganalisis dan menyelesaikan permasalahan

terkait daerah integral dan Field.

83

3.2. PENYAJIAN

3.2.1. Daerah Integral

Definisi 3.1.

Daerah integral adalah suatu Ring komutatif

dengan elemen satuan yang tidak memiliki

pembagi nol.

Dalam hal ini, perlu kita ingat kembali konsep

terkait pembagi nol. Misalkan R suatu ring dengan

elemen nol nya adalah e, suatu elemen dalam R

misal �, dengan � ≠ , maka � ini disebut elemen pembagi nol apabila ada bilangan �, dengan � ≠ , tetapi �. � = , atau �. � = . Selanjutnya mari kita analisis, aksioma-aksioma

yang harus dipenuhi untuk suatu daerah integral.

Misal D suatu Ring, maka D adalah daerah integral

apabila memenuhi aksioma-aksioma berikut:

� D merupakan Ring komutatif

- D merupakan grup abelian terhadap

operasi pertama

- D tertutup terhadap operasi kedua

- D memenuhi sifat asosiatif terhadap

operasi kedua

- D memenuhi sifat distributif operasi kedua

terhadap operasi pertama

- D komutatif terhadap operasi kedua

� D merupakan Ring satuan, yaitu D memiliki

elemen satuan pada operasi kedua

� D tidak memuat elemen pembagi nol

84

Contoh 3.1

Z bersama-sama dengan operasi penjumlahan dan

perkalian adalah suatu Ring komutatif, Z juga

memiliki elemen satuan terhadap operasi perkalian

yaitu 1, karena ∀� ∈ 8, � × 1 = �, selanjutnya Z tidak memiliki elemen pembagi nol. ∀�, � ∈ 8, � ×�, 3�� = 0 �� = 0 Contoh 3.2 � = * + A√17| , A ∈ 82 terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian adalah daerah integral.

Hal ini dapat kita selidiki sebagai berikut:

- D terhadap operasi penjumlahan merupakan

grup abelian

a. ∀ h + A√17i�� h3 + �√17i ∈�, 3�� h + A√17i + h3 + �√17i ∈ �

h + A√17i + h3 + �√17i= � + 3 + �A + � √17

b. ∀ h + A√17i, h3 + �√17i�� h� +�√17 ∈ � �� h + A√17i + h3 + �√17i� + h� + �√17i

= h + A√17i+ �h3 + �√17i+ h� + �√17i�

85

�h + A√17i + h3 + �√17i� + h� + �√17i= � + 3 + �A + � √17+ h� + �√17i

= � + 3 + � + �A + � + � √17 h + A√17i + �h3 + �√17i + h� + �√17i�

= h + A√17i + �3 + � + �� + � √17

= � + 3 + � + �A + � + � √17 Terbukti berlaku sifat asosiatif

c. ∀ h + A√17i, ∃0 ∈� ��3�� ℎ�� h + A√17i + 0 =0 + h + A√17i = h + A√17i Sehingga D memiliki elemen identitas

terhadap operasi penjumlahan yaitu nol

d. ∀ h + A√17i, ∃∀ h + A√17i%&

�� 33��ℎ� h + A√17i+ h + A√17i%& = 0

Sehingga h + A√17i%& = − Rh + A√17iS e. ∀ h + A√17i �� h3 + �√17i ∈ �

berlaku komutatif, yaitu h + A√17i +h3 + �√17i = h3 + �√17i + h + A√17i

h + A√17i + h3 + �√17i= � + 3 + �� + A √17

86

= �3 + + �A + � √17 = h3 + �√17i + h + A√17i

- D tertutup terhadap operasi perkalian

∀ h + A√17i �� h3 + �√17i∈ � ��

h + A√17i × h3 + �√17i ∈ � h + A√17i × h3 + �√17i

= 3 + �� + A3 √17+ 17A�

= �3 + 17A� + �� + A3 √17 - D bersifat asosiatif pada operasi perkalian

∀ h + A√17i, h3 + �√17i�� h� + �√17i∈ � ��

h + A√17i × �h3 + �√17i × h� + �√17i�= �h + A√17i× h3 + �√17i�× h� + �√17i

h + A√17i × �h3 + �√17i × h� + �√17i�= h + A√17i× ��3� + 17�� + �3� + �� √17�

= �3� + 17�� + 17A�3� + �� + �A�3� + 17�� + �3� + �� √17

87

= �3� + 17�� + 173�A + 17A�� + �A3� + 17A�� + 3�+ �� √17

Selanjutnya untuk

�h + A√17i × h3 + �√17i� × h� + �√17i= ��3 + 17A� + �A3 + � √17�× h� + �√17i

= �3� + 17A�� + 17A3� + 17�� + �3� + 17A�� + A3�+ �� √17

Terbukti berlaku

h + A√17i × �h3 + �√17i × h� + �√17i�

= �h + A√17i× h3 + �√17i�× h� + �√17i

- Berlaku sifat distributif operasi perkalian

terhadap operasi penjumlahan pada D

Karena � ∈ . dengan R himpunan bilangan Real, dimana pada R berlaku sifat distributif

operasi perkalian terhadap penjumlahan,

maka pada D juga berlaku demikian.

- D berlaku sifat komutatif perkalian

88

∀ h + A√17i��h3 + �√17i ∈ � berlaku sifat komutatif, yiatu:

h + A√17i × h3 + �√17i= h3 + �√17i× h + A√17i

h + A√17i × h3 + �√17i= �3 + 17A� + �� + A3 √17

= �3 + 17�A + �� + 3A √17 = h3 + �√17i × h + A√17i

- D memiliki elemen satuan pada operasi

perkalian yaitu 1

- D tidak memiliki elemen pembagi nol

∄h + A√17i ��h3 + �√17i∈ � ��3��h + A√17i ≠ 0 ��h3 + �√17i ≠ 0

�� h + A√17i × h3 + �√17i = 0 Contoh 3.3

Diketahui ' = 4�, �, #, �, , 9, �, ℎ5 dengan

operasi penjumlahan dan perkalian yang


+ � � # � 9 � ℎ

� � � # � 9 � ℎ

� � � � # 9 ℎ �

# # � � � � ℎ 9

89

� � # � � ℎ � 9

9 � ℎ � � # �

9 9 ℎ � � � � #

� � ℎ 9 # � � �

ℎ ℎ � 9 � # � �

Operasi perkalian pada S didefinisikan sebagai

berikut:

× � � # � 9 � ℎ

� � � � � � � � �

� � � # � 9 � ℎ

# � # ℎ 9 � � �

� � � 9 � # � ℎ

� � # � ℎ 9 �

9 � 9 � ℎ # � �

� � � � ℎ 9 � #

ℎ � ℎ � � � # 9

Berdasarkan tabel tersebut, dapat kita amati

bahwa S terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian merupakan Ring

- S terhadap operasi penjumlahan membentuk

struktur Grup abelian

- S tertutup terhadap operasi perkalian, hal ini

dapat dilihat pada hasil operasi perkalian

pada tabel

- S berlaku sifat asosiatif terhadap operasi

perkalian

90

- Pada S berlaku sifat distributif operasi

perkalian terhadap operasi perkalian, hal ini

juga dapat diamati pada tabel.

Selanjutnya akan kita selidiki apakah S

merupakan Daerah Integral.

- Perhatikan tabel hasil operasi perkalian

diatas, setiap elemen pada tabel simetris

terhadap diagonal utama, hal ini

menunjukkan bahwaS bersifat komutatif

terhadap perkalian.

- Dapat kita temukan elemen satuan terhadap

operasi perkalian pada S, yaitu elemen �, karena ∀} ∈ ', � × } = } × � = }

- Pada tabel hasil operasi perkalian, juga dapat

kita amati bahwa S tidak memiliki elemen

pembagi nol, dimana elemen nol pada S

adalah �, dalam tabel tidak kita temukan } × � = �, �� } ≠ � �� ≠ �

Sehingga dapat kita simpulkan bahwa S adalah

Daerah integral.

Contoh 3.4

8� = 40,1,2,3,4,55 terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian merupakan ring komutatif

dengan elemen satuan, tetapi 8� ini bukanlah daerah integral, karena 8� memiliki elemen pembagi nol.

∃2,3 ∈ 8�, 2 ≠ 0 �� 3 ≠ 0, �� 2 × 3 = 0

91

Teorema 3.1

Apabila D suatu daerah integral, maka pada D

berlaku sifat kanselasi terhadap operasi perkalian,

yiatu

∀�, �, # ∈�, �� # �� 3� ��

(i). Apabila �. # = �. #, 3�� = � (ii). Apabila #. � = #. �, 3�� = �

Bukti:

(i). �. # = �. # �. # − �. # = �� − � . # = sifat distributif �� − � = karena diketahui

# �� 3� �� , # ≠ Sehingga � = �

(ii). #. � = #. � #. � − #. � = #�� − � = sifat distributif �� − � = , karena diketahui bahwa # �� 3� �� ,

# ≠ Sehingga � = �

Teorema 3.2

Misalkan D adalah suatu daerah integral, dan I

suatu ideal dalam D, maka � d⁄ adalah suatu daerah integral jika dan hanya jika I suatu

idealprima dalam D.

92

Bukti:

Kita tahu bahwa kemungkinan I adalah d = � atau d ⊂ �. Untuk kemungkinan pertama d = � maka sudah sangat jelas.

Maka disini kita akan menganalisis untuk d ⊂ � → akan dibuktika jika � d⁄ daerah integral maka I

suatu idealprima dalam D

Diketahui � d⁄ suatu daerah integral, maka � d⁄

merupakan ring komutatif dan ring satuan serta

tidak memuat pembagi nol. S

Misal diambil sembarang elemen dari � d⁄ , misal

�� + d �� + d , dan untuk ∀�� ∈ �, maka pastilah � ∈ d atau � ∈ d, sehingga I suatu

idealprima dalam D.

← akan dibuktikan bahwa jika I suatu idealprima

dalam D maka � d⁄ daerah integral

Ambil sembarang elemen D, misal �, � ∈�, �� ≠ 0, �� ≠ 0, kita ketahui bahwa �, � ∈ �, �. � ∈ d, karena d suatu ideal dalam D. karena I ideal prima dalam D, maka �. � ∈ d, maka pastilah � ∈ d atau � ∈ d. Selanjutnya untuk � d⁄ :

�� + d . �� + d = �� + � . d Hal ini berarti �� + d = d �� + d artinya � d⁄ tidak memuat pembagi nol. Sehingga � d⁄

suatu daerah integral.

93

3.2.2. Field

Defnisi 3.2

Misal F adalah Ring komutatif dengan elemen

satuan, maka F adalah Field jika setiap elemen

yang tidak nol memiliki invers.

Contoh 3.5 O = 4� + ��|�, � ∈ .5 terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian bilangan kompleks

adalah suatu Field. Karena setiap elemen di O yang tidak nol mempunyai invers, yaitu ∀ �� +�� ∈ O ada �� + �� %& sehingga �� + �� × �� + �� %& = 1 yaitu �

�� + %��

Contoh 3.6.

8l = 40,1,2,3,4,5,65 terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian merupakan Ring

komutatif dengan elemen satuan. Selanjutnya

setiap elemen di 8l selain nol mempunyai invers. Invers dari setiap elemen elain nol di 8l, dapat diamati pada tabel berikut:

× 0 1 2 3 4 5 6

0 0 0 0 0 0 0 0

1 0 1 2 3 4 5 6

2 0 2 4 6 1 3 5

3 0 3 6 2 5 1 4

4 0 4 1 5 2 6 3

5 0 5 3 1 6 4 2

6 0 6 5 4 3 2 1

94

Definisi 3.3

Setiap elemen tak nol di F yang memiliki invers

perkalian disebut Unit. Misalkan # adalah unit pada F, maka untuk �, � ∈ �, sedemikian hingga � = #. �, maka � disebut kawan dari � Contoh 3.7

Dalam 8l yang merupakan unit adalah

1,2,3,4,5,dan 6

Contoh 3.8

Himpunan bilangan bulat terhadap operasi

penjumlahan dan operasi perkalian merupakan

daerah integral, tetapi bukan Field. Elemen di z

yang merupakan unit adalah 1 dan -1.

Contoh 3.9.

Pada contoh sebelumnya, bahwa � =* + A√172 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian adalah Daerah Integral. Selanjutnya kita

akan mecari unit-unit dalam D dan elemen dari D

yang merupakan kawan dari 2 − √17 Misalkan + A√17 adalah unit pada D, maka ada 3 + �√17 ∈ �, sedemikian hingga h +A√17i × h3 + �√17i = 1 , artinya h3 +�√17 adalah invers dari h + A√17i etrhadap operasi perkalian.

Selanjutnya kita akan menentukan invers dari

h + A√17i dalam D

95

h + A√17i × h3 + �√17i = 1 + 0√17 �3 + 17A� + �� + A3 √17 = 1 + 0√17

Kita peroleh:

3 + 17A� = 1

Dan

� + A3 = 0 Dengan menyelesaikan sistem persamaan ini,

maka diperoleh:

3 = 1 − 17A1

Dan

� = −A1 − 17A1

Karena 3 �� adalah bilangan bulat, maka 1 − 17A1 = ±1, dengan , A bilangan bulat. Sehingga + A√17 adalah unitdalam D apabila 1 − 17A1 = ±1 Ada beberapa kemungkinan yang dapat kita

peroleh:

- Jika = 1, �� A = 0, 3�� 1 adalah unit dari D

- Jika = −1, �� A = 0, 3�� −1 adalah unit dari D

- Jika = 4, �� A = 1, 3�� 4 + √17 adalah unit dari D

96

- Jika = −4, �� A = 1, 3�� − 4 +√17 adalah unit dari D

- Dan seteusnya

Selanjutnya kita mencari kawan dari 2 − √17 h2 − √17i × h4 + √17i = −9 − 2√17

Maka dalam hal ini:

−9 − 2√17 adalah kawan dari h2 − √17i Teorema 3.3

Setiap daerah integral yang berhingga adalah

Field

Teorema 3.4

Diketahui F adalah Field, persamaan �} + � = 0 memiliki tepat satu penyelesaian dalam F, untuk

�, � ∈ � �� ≠ 0. Bukti:

karena telah diketahui bahwa F adalah Field, dan

� ≠ 0, maka pastilah ada �%& ∈ �, sehingga dapat diperoleh sebagai berikut:

�} + � = 0 �} = −� (tambahkan kedua ruas dengan −� } = �%&�−� (operasikan kedua ruas dengan �%& } = −�%&� Contoh 3.10

Elemen nilpoten pada suatu daerah integral

adalah tunggal yaitu elemen netral pada operasi

penjumlahan.

97

Elemen nilpoten adalah suatu elemen D, � ∈�, �ℎ�� ? = 0 Contoh 3.11

Elemen idempotent pada suatu daerah integral

adalah nol dan e.

Misal � adalah elemen idempotent, maka untuk � ≠ 0, �1 = �, karena � = � , maka � = �1,

� − �1 = 0 �� − � = 0 sifat distributif � = 0 �� − � = 0, karena daerah integral tidak memiliki elemen pembagi nol, maka dapat

kita peroleh � =

Teorema Fermat

Jika � ∈ 8, dan adalah bilangan primayang tidak membagi �, maka membagi � %& −1, sehingga � %& ≡ 1�3�� untuk � ≢0�3�� Akibatnya:

Jika � ∈ 8, maka � ≡ ��3�� untuk setiap bilangan prima Contoh 3.12

Hitunglah sisa pembagian dari 8&�: oleh 13 Dengan menggunakan Teorema Fermat, kita

peroleh:

8&�: ≡ �8&1 ��8l ≡ �1� �8l ≡ �8l

98

≡ �−5 l ≡ �25 :�−5 ≡ �−1 :�−5 ≡ 5 �3�� 13

3.2.3. Latihan

1. Tentukan elemen nilpotent dari daerah integral

R (himpunan bilangan Real?

2. Tentukan elemen idempotent dari daerah

integral R (himpunan bilangan Real?

3. Tentukan elemen nilpotent dan elemen

idempotent dari 8&� 4. Tentukan semua unit dan elemen pembagi nol

dari:

a. 8� b. H1×1�.

5. Buktikan bahwa ring � = 40,1,2,3, … , − 15 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

modulo adalah suatu daerah integral jika dan hanya jika adalah bilangan prima.

6. � = 4� + ��|�, � ∈ 85. Tunjukkan bahwa G


perkalian bilangan kompleks adalah daerah

integral, kemudian tentukan unit-unit dalam G.

7. Tentukan apakah himpunan berikut merupakan

Field, berikan alasan anda

a. 8� terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian

b. 8D terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian

99

8. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut:

a. 3} = 2 dalam 8l b. 3} = 2 dalam 81: c. }1 + 2} + 2 = 0 dalam 8�

3.3. PENUTUP

3.3.1. Tes Formatif

1. Tentukan elemen nilpotent dan elemen idempotent

dari 8� 2. Tentukan semua unit dan elemen pembagi nol dari

8&� 3. � = *� + ��√3|�, � ∈ 82. Tunjukkan bahwa T



integral, kemudian tentukan unit-unit dalam T.

4. Tentukan apakah himpunan berikut merupakan

Field, berikan alasan anda: 8&D terhadap operasi penjumlahan dan perkalian

5. Tentukan penyelesaian dari persamaan berikut:

a. }: − 2}1 − 3} = 0 dalam 8&1 b. }1 + 2} + 4 = 0 dalam 8�

6. Tentukan apakah pernyataan berikut benar atau

salah, berikan argumen anda:

a. �8 mempunyai elemen pembagi nol apabila � bukan prima

b. Setiap Field adalah daerah integral

c. Setiap daerah integral adalah Field

100

d. Karakteristik dari �8 adalah � 7. Hukum kanselasi dipenuhi oleh setiap Ring yang

isomorfik dengan daerah integral

8. Dengan menggunakan Teorema Fermat, hitunglah

sisa pembagian dari 21�� oleh 73


1. Elemen nilpotent dari daerah integral R (himpunan

bilangan Real.

Elemen nilpotent adalah � ∈ ., �? = 0, sehingga elemen nilpotent dari R adalah e sendiri, yaitu nol.

2. Elemen idempotent dari daerah integral R

(himpunan bilangan Real

Elemen idempotent adalah � ∈ ., �1 = �, sehingga elemen idempotent dari R adalah 1.

3. Elemen nilpotent dan elemen idempotent dari 8&� Elemen nilpotent dari 8&� adalah 1, 3,7 dan 9 Elemen idempotent dari 8&� adalah 0 dan 1

4. unit dan elemen pembagi nol dari:

a. 8� Unit dari 8� adalah 1 dan 5 Elemen pembagi nol dalam 8� adalah 2,3 dan 4

b. H1×1�. Unit dari H1×1�. adalah ∀M ∈ H1×1�. , dengan M = J� �

# �K , �� ≠ �#, atau dengan

101

kata lain A matriks non singular, maka A

adalah Unit.

Elemen pembagi nol dari H1×1�. : M, N ∈ H, M ≠ £ dan N ≠ £, tetapi

M × N = £ 5. Akan dibuktikan bahwa ring � = 40,1,2,3, … , −

15 terhadap operasi penjumlahan dan perkalian modulo adalah suatu daerah integral jika dan hanya jika adalah bilangan prima.

- Akan dibuktikan bahwa D suatu daerah

integral

Ambil sembarang �, � ∈ �, sedemikian hingga �. � ≡ 0 �3�� , maka � ≡ 0 �3�� atau � ≡ 0 �3��

{�| = {0| �� {�| = {0| Hal ini menunjukkan bahwa D tidak

memuat pembagi nol.

Telah jelas juga bahwa D adalah ring

komuattif dengan elemen satuan yaitu 1,

sehingga D adalah daerah integral

- Akan dibuktikan bahwa p suatu bilangan

prima

Misalkan p bukan bilangan prima, maka

= 3. � dengan m dan n adalah bilangan bulat dan 1 < 3 < dan 1 < � < ≡ 0 �3�� , maka 3. � ≡ 0 dengan

{3| = {0| �� {�| = {0|

102

Hal ini menunjukkan bahwa D memuat

pembagi nol, sehingga D bukan daerah

integral.

Dari pengandaian, bahwa jika p bukan

bilangan prima maka D bukan daerah

integral.

Maka pengandaian ini salah, seharusnya p

Adalah bilangan prima.

Terbukti bahwa D suatu daerah integral jika

dan hanya jika p suatu bilangan prima.

6. � = 4� + ��|�, � ∈ 85. Tunjukkan bahwa G



integral, kemudian tentukan unit-unit dalam G.

Jawab.

Pada bagian sebelumnya telah kita buktikan bahwa

� = 4� + ��|�, � ∈ 85 adalah suatu Ring. Selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa � =4� + ��|�, � ∈ 85 suatu daerah integral. - D bersifat komutatif terhadap operasi

perkalian, yaitu ∀�� + �� , �# + �� ∈ � �� + �� × �# + �� = �# + �� × �� + ��

- D memiliki elemen satuan terhadap operasi

perkalian yaitu 1

- Selanjutnya akan kita tunjukkan bahwa D tidak

memiliki elemen pembagi nol

Misal ¤, ¥ ∈ �, �� ¤ = � + ��, dan

¥ = # + ��.

103

Misal ¤. ¥ = 0 �� + �� × �# + �� = 0

�# − �� + ��# + �� = 0 Diperoleh:

�# − �� = 0 dan �# + �� = 0 Dari sistem persamaan ini diperoleh:

# = 0 �� = 0 atau � = 0 �� = 0 Sehingga ¤. ¥ = 0 jika ¤ = 0 atau ¥ = 0 Hal ini menunjukkan bahwa D tidak

mempunyai elemen pembagi nol, sehingga D

adalah daerah integral

- Selanjutnya menentukan unit dalam D

Ambil sembarang elemen dalam D, misal

¤ ∈ �, �� ¤ = � + �� Misal ¤ adalah unit dalam D, maka ada ¥ ∈ �, sedemikian hingga ¤. ¥ = 1 Misal ¥ = � + A� , , A ∈ 8

¤. ¥ = 1 �� + �� + A� = 1

� − �A + �� + �A � = 1 Diperoleh:

� − �A = 1 � + �A = 0

Penyelesaian dari sistem ini adalah:

= �� + �1

A = −�� + �1

104

Dari penyelesaian tersebut, �� A adalah bilangan-bilangan bulat, sehingga � + �1 = 1 Hal ini akan dipenuhi jika � = ±1 atau � = ±1 Maka dapat kita peroleh unit-unit dalam D,

yaitu ±1 dan ±�

7. Akan ditunjukkan himpunan berikut merupakan

Field

a. 8� terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian

8� bukan Field, karena 8� memiliki elemen pembagi nol yaitu ∃ 2, 4 ∈ 8�, 2 ≠ 0, 4 ≠ 0 tetapi 2 × 4 = 0, sehingga tidak setiap elemen selain nol di 8� memiliki invers terhadap operasi perkalian.

b. 8D terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian

8D adalah Field, karena 8D adalah Ring komutatif dengan elemen satuan yaitu 1.

Setiap elemen tak nol di 8D memiliki invers terhadap operasi perkalian.

1%& = 1 2%& = 3 3%& = 2 4%& = 4

105

8. Menentukan penyelesaian suatu sistem persamaan:

a. 3} = 2 dalam 8l Jawab.

3} = 2 } = 2

3 ≡ 3 �3�� 7

b. 3} = 2 dalam 81: 3} = 2

} = 23 ≡ 16 �3�� 23

c. }1 + 2} + 2 = 0 dalam 8� Tidak mempunyai penyelesaian dalam 8�







�� = ��

�� × 100%




106



80% - 89% : Baik

70% - 79% : Sedang

≤ 69% : Kurang




kuasai.

107

BAB 4BAB 4BAB 4BAB 4 HOMOMORFISME RINGHOMOMORFISME RINGHOMOMORFISME RINGHOMOMORFISME RING

4.1. PENDAHULUAN


Bab 4 ini mempelajari tentang homomorfisme

Ring, pemetaan yang Epimorfisme,

Monomorfisme dan Isomorfisme, mementukan

image dan kernel, menganalisis dua himpunan

yang saling isomorfik.


Materi homomorfisme Ring ini sangat relevan

dengan pengetahuan mahasiswa. pada mata

kuliah Teori Grup mahasiswa telah menguasai

konsep homomorfisme grup, sehingga

mahasiswa akan dapat menguasai topik pada

bab 4 ini dengan baik.


Capaian pembelajaran yang direncanakan untuk

mata kuliah ini adalah mahasiswa mampu

menganalisis struktur sebuah Ring serta


tepat dan konsisten (C3, P4, A3). Tetapi capaian

pembelajaran yang secara khusus ingin dicapai pada

Bab 4 ini adalah mahasiswa mampu Menganalisis

homomorfisme pada ring. Dengan indikator capaian

adalah:

- Mahasiswa mampu menjelaskan definisi

homomorfisme

108

- Mahasiswa mampu membuktikan sebuah

pemetaan yang merupakan homomorfisme

- Mahasiswa mampu menentukan kernel dan

image dari pemetaan yang homomorfisme

- Mahasiswa mampu menganalisis dua buah

himpunan yang saling isomorfik

4.2. PENYAJIAN

4.2.1. Mengingat kembali konsep homomorfisme Grup

Mari mengingat kembali

Misal (�,∗) dan (6,∘) adalah grup, pemetaan/fungsi dari G ke H dikatakan mengawetkan operasi /

homomorfisme jika: 9(} ∗ �) = 9(}) ∘ 9(�) Misalkan (�,×) merupakan grup abelian. 9: � → � dengan 9(}) = }?. Akan ditunjukkan bahwa f suatu homomorfisme grup.

Bukti. 9(}�) = (}�)? = }?�? = 9(}) × 9(�)

4.2.2. Homomorfisme Ring

Definisi 4.1

Analog dengan konsep homomorfisme grup,

misalkan (.; +,×) �� (.′;⊕,⊗) Masing-masing adalah Ring, dan pemetaan ¨: . → .′ adalah suatu homomorfisme jika

memenuhi: ∀�, � ∈ . berlaku: (i). ¨(� + �) = ¨(�) ⊕ ¨(�) (ii). ̈ (� × �) = ¨(�) ⊗ ¨(�)

109

Contoh 4.1

Misalkan . = 4�, �, #, �5 dan .′ = 4, A, �, �5 masing-masing adalah Ring. Operasi penjumlahan

dan perkalian pada R didefinisikan pada tabel

berikut:

+ � � # � � � � # � � � � � # # # � � � � � # � �

× � � # � � � � � � � � � # � # � # � � � � � � #

Operasi penjumlahan (⊕) dan perkalian (⊗) pada .′ didefinisikan pada tabel berikut: ⊕ A � � � � A A � � A � A � � � A � �

110

Operasi perkalian pada .′ didefiniskan sebagai berikut:

⨂ A � � � � A A A � � � � � � � � A � �

Pemetaan ¨: . → .′ didefiniskan oleh: ¨(�) = �, ¨(�) = A, ¨(#) = � �� ¨(�) = - Dapat kita amati bahwa ¨ adalah

pemetaan yang injektif dan juga

pemetaan yang surjektif

- Selanjutnya akan kita selidiki apakah ¨ suatu homomorfisme dari . � .′ Perhatikan tabel diatas, dapat dengan

jelas kita lihat bahwa ∀�, � ∈ ., berlaku ¨(� + �) = ¨(�)⨁¨(�) ¨(� × �) = ¨(�)⨂¨(�)

- Sehingga ¨ adalah suatu

homomorfisme dari . � .′

Contoh 4.2

Z adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan

perkalian. 28 adalah himpunan bilangan genap, terhadap operasi penjumlahan bilangan bulat dan

111

operasi bintang yang didefinisikan dengan ∀�, � ∈ 28, � ∗ � = ��1 , dan (28; +,∗) Pemetaan ¨: 8 → 28, didefnisikan oleh ¨(}) =2}, ∀} ∈ 8. Akan kita tunjukkan bahwa ¨ adalah suatu homomorfisme dari 8 � 28 Ambil sembarang }, � ∈ 8, maka: ¨(} + �) = ¨(}) + ¨(�) = 2(} + �) = 2} + 2� = ¨(}) + ¨(�) ¨(} × �) = ¨(}) ∗ ¨(�) ¨(} × �) = 2}� ¨(}) ∗ ¨(�) = 2} ∗ 2�

= 1«.1¬1 = 2}� Terbukti ¨(} × �) = ¨(}) ∗ ¨(�) , sehingga ¨ adalah suatu homomorfisme

Contoh 4.3 O = 4� + ��|�, � ∈ .��5 adalah suatu Ring


bilangan kompleks.

112

H = IJ � �−� �K , �, � ∈ .��L adalah Ring


matriks.

Pemetaan ¨: O → H didefinisikan oleh:

¨�� + �� = J � �−� �K, ∀�, � ∈ �� .��

Akan kita tunjukkan bahwa ¨ adalah suatu homomorfisme dari O ke H

Ambil sembarang }, � ∈ O, misal } =�� + �� = �# + �� Maka

¨�} + � = ¨�� + �� + # + �� = ¨�� + # + �� + � �

= J � + # � + �−� − � � + #K

Selanjutnya,

¨�} + ¨�� = ¨�� + �� + ¨�# + �� = J � �

−� �K + J # �−� #K

= J � + # � + �−� − � � + #K

Terbukti ¨�} + � = ¨�} + ¨�� Selanjutnya,

¨�} × � = ¨�} × ¨�� ¨�} × � = ¨h�� + �� × �# + �� i

= ¨��# − �� + �� + �# � = J �# − �� + �#

−�� − �# �# − ��K

113

¨�} × ¨�� = ¨�� + �� × ¨�# + �� = J � �

−� �K × J # �−� #K

= J �# − �� + �#−�# − �� # − ��K

Terbukti ¨�} × � = ¨�} × ¨�� Sehingga ¨ adalah suatu homomorfisme dari O ke H

Contoh 4.4

Himpunan bilangan Real dan himpunan matriks

berordo 2 × 2, yaitu R dan H1×1 adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.

Didefinikan sebuah pemetaan dari R ke H1×1,

dengan ¨�� = J� 00 �K, untuk ∀� ∈ .

Akan kita tunjukkan bahwa ¨ adalah suatu homomorfisme

Ambil sembarang �, � ∈ ., maka: ¨�� + � = ¨�� + ¨��

¨�� + � = J� + � 00 � + �K

¨�� + ¨�� = J� 00 �K + J� 0

0 �K =J� + � 0

0 � + �K Terbukti ¨�� + � = ¨�� + ¨�� Selanjutnya

¨�� × � = ¨�� × ¨��

114

¨�� × � = J�� 00 ��K

¨�� × ¨�� = J� 00 �K × J� 0

0 �K = J�� 00 ��K

Terbukti ¨�� × � = ¨�� × ¨�� Sehingga terbukti bahwa ¨ adalah suatu

homorfisme

Teorema 4.1

Misal ¨: . → .′ adalah suatu homomorfisme, maka berlaku:

(i). ¨� = ′, dengan adalah elemen

identitas pada R, dan ′ adalah elemen identitas pada .′

(ii). ̈ �−� = −¨�� , ∀� ∈ . (iii). ¨�. = 4¨�� |� ∈ .5 adalah subring

dari .′ (iv). Jika R komutatif, maka ¨�. =

4¨�� |� ∈ .5 juga komutatif (v). Jika R mempunyai elemen satuan � dan

¨�. = 4¨�� |� ∈ .5 = .′, maka .′ mempunyai elemen satuan yaitu ¨��

(vi). Jika R mempunyai elemen satuan � dan ¨�. = 4¨�� |� ∈ .5 = .′, dan � suatu unit, maka ¨�� adalah unit di .′ adan ¨�� %& = ¨��%&

115

4.2.3. Kernel dan Image dari Homomorfisme

Definisi 4.2

Misal ¨: . → .′ adalah suatu homomorfisme, kernel dari ¨, ditulis Ker ¨ = 4� ∈ .|¨�� = ′5 Hubungan antara homomorfisme ring dengan

Ker ¨ , digambarkan dalam gambar berikut:

Gambar 4.1 Hubungan antara homomorfisme ring

dengan Ker ¨ Selanjutnya images dari ¨adalah �3 �¨ = 4�′ ∈ .′|¨�� = �′, �� ∈ .5

Teorema 4.2

Jika ¨: . → .′ adalah suatu homomorfisme, maka Ker ¨ adalh ideal dari .

116

4.2.4. Monomorfisme Ring

Definisi 4.3

Misal ¨: . → .′ adalah sebuah homomorfisme maka ¨ dinamakan monomorfisme jika ¨ injektif Contoh 4.5

Fungsi 9 yang memetakan ¨: . → .′ dengan definisi ¨�} = }2

Fungsi 9 yang memetakan ¨: . → .′ dengan definisi ¨�} = }2

Kita akan menyelidiki apakah ¨ suatu monomorfisme Ambil sembarang �, � ∈ ., 3�� Karena ∃� ≠ �, �� ¨�� = ¨�� Yaitu ¨�2 = 4 �� ¨�−2 = 4 ∴ ¨ �� 3��3��9��3 Contoh 4.6

Diketahui dua himpunan bilangan Real ., yaitu .∗ = 4} ∈ .|} ≠ 05 dan himpunan .� = 4} ∈ .|} >05 Diberikan suatu pemetaan ¨ yang memetakan .∗ ke .� yang didefinisikan sebagai berikut:

¨: .∗ → .+, �� ¨�} = |}|, ∀} ∈ .∗

117

Kita akan selidiki apakah pemetaan tersebut

merupakan monomorfisme.

• ¨ suatu homomorfisme ¨(}. �) = ¨(}). ¨(�) = |}�| = |}|. |�| = ¨(}). ¨(�) • ¨ suatu pemetaan yang injektif

Jika ¨(}) = ¨(�) maka |}| = |�| Dapat kita ambil contoh: } = 2 3�� |}| = 2 � = −2 3�� |�| = 2 ∃} ≠ � �� ¨(}) = 9(�) Jadi ¨ bukan suatu monomorfisme

Contoh 4.7

Sebuah fungsi ¨ yang memetakan 8; ke . dimana . = ⟨�⟩ Fungsi ¨ tersebut didefinisikan sebagai berikut: ¨: 84 → ., �� ¨(}) = �}, } ∈ 8; Akan kita selidiki apakah ¨ adalah suatu

monomorfisme

• ¨ suatu homomorfisme

118

¨(}�) = ¨(})¨(�) = �«¬ = �«�¬ = ¨(})¨(�) • ¨ suatu pemetaan yang injektif �� ¨(}) = ¨(�)3�� } = �

Dapat kita tunjukkan sebagai berikut: 8; = 40,1,2,35 ¨(0) = �0 = 1 ¨(1) = �1 = � ¨(2) = �2 = −1 ¨(3) = �3 = −� Terbukti bahwa ¨ suatu monomorfisme

4.2.5. Epimorfisme Ring

Definisi 4.4

Misal ¨: . → .′ adalah sebuah homomorfisme maka ¨ dinamakan epimorfisme jika ¨ sujektif Contoh 4.8

Sebuah fungsi ¨ yang memetakan 8; ke . dimana . = ⟨�⟩ Fungsi ¨ tersebut didefinisikan sebagai berikut: ¨ ∶ 84 → ., �� ¨ (}) = �}, } ∈ 8;

119

• Telah ditunjukkan bahwa ¨ suatu

homomorfisme

• Akan kita tunjukkan bahwa ¨ suatu pemetaan yang surjektif

Ambil sembarang elemen di R, misal � ∈ ., maka � = �« , �ℎ�� } = logµ � Dengan jelas pula bahwa . = ⟨�⟩={1,i,-1,-i}

Terbukti bahwa ¨ suatu epimorfisme Contoh 4.9

Didefinisikan sebuah fungsi ¨ yang memetakan dua buah grup yaitu (., +,×)�� (.�, +,×). Fungsi ¨ ini didefinisikan sebagai berikut: ¨: . → .�, �� ¨(�) = � Akan kita selidiki apakah fungsi tersebut suatu

epimorfisme

• ¨ suatu homomorfisme ¨(�& + �1) = ¨(�&)¨(�1) = (�¶��) = �¶�� = ¨(�&)¨(�1)

• ¨ suatu pemetaan yang surjektif

120

Ambil sembarang elemen di .�, 3�� ∈ .� Maka

� = � diperoleh � = ln � Sehingga ¨(�) = � = (¸¹ �) = � Terbukti bahwa ¨ suatu epimorfisme

4.2.6. Isomorfisme Ring

Definisi 4.5

Apabila pemetaan ¨: . → .′ adalah pemetaan bijektif, maka ¨ suatu isomorfisme. Selanjutnya jika ¨: . → .′ suatu isomorfisme maka dapat dikatakan bahwa . isomorfik dengan .′ Contoh 4.10

Diketahui Ring (., +,×) isomorfis dengan Ring (.�,×, +), �� 9�� 3�� Dari . ke .�, dengan definisi sebagai berikut: ¨: . → .�, �� ¨(�) = � , ∀� ∈ . Untuk membuktikan bahwa ¨ suatu isomorfisme, maka ¨ harus bijektif dan ¨ suatu homomorfisme • ¨ suatu pemetaan yang bijektif

Misal diberikan sembarang � ∈ .�, dan � ∈ ., maka � = �, �ℎ�� = ln � Diperoleh: ¨(�) = � = (¸¹ �) = � Sehingga ¨ suatu pemetaan yang surjektif Selanjutnya untuk membuktikan ¨ adalah

pemetaan yang injektif:

121

Andaikan ¨(�&) = ¨(�1) Maka �¶ = �� ¶%�� = 1 �& − �1 = 0 �& = �1 Karena ¨(�&) = ¨(�1) → �& = �1 Maka ¨ adalah fungsi yang injektif / satu-satu Terbukti ¨ fungsi bijektif

• ¨ suatu homomorfisme ¨(� + �) = ¨(�). ¨(�) = (��) = �. � = ¨(�). ¨(�) Terbukti bahwa ¨ adalah suatu homomorfisme Jadi Ring (., +,×) isomorfis dengan Grup (.�,×, +)

4.2.7. Latihan

1. Tentukan apakah pemetaan ¨ berikut merupakan homomorfisme atau bukan:

a. ¨: 8 → 8, �� ¨(�) = 2�, � ∈ 8 b. ¨: 8� → 8D, �� ¨(}) = 3} c. ¨: . → ., �� ¨(}) = }: d. ¨: . → ., �� ¨(}) = «

2. Dari soal nomor 1, selidikilah manakah yang

termasuk Monomorfisme, epimorfisme atau

isomorfisme?

3. Pemetaan dari C ke C, yang didefinisikan oleh ¨: O → O, �� ¨(� + ��) = � − ��

122

Buktikan apakah ¨ suatu homomorfisme 4. Diketahui himpunan matriks H = IJ� �0 #K |�, �, # ∈

8L adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

Buktikan bahwa pemetaan ¨: H → 8, yang didefinikan oleh:

¨ RJ� 0� 0KS = �

Adalah suatu Epimorfisme

5. Dari soal no.4 tentukan ker ¨, kemudian tunjukkan isomorfisme dari H ker ¨⁄ �e 8

6. Tentukan semua homomorfisme dari � � �′, jika � �� ′ adalah Fields

4.3. PENUTUP

4.3.1. Tes Formatif

1. Tentukan apakah pemetaan ¨ berikut merupakan homomorfisme atau bukan:

a. ¨: 8 → 8, �� ¨�� = �;, � ∈ 8 b. ¨: 8D → 8�, �� ¨�� = 2� c. ¨: .∗ → .∗, �� ¨�} = }1 d. ¨: . → ., �� ¨�} = log }

2. Buktikan bahwa Q tidak isomorfis dengan R

3. Tentukan semua homomorfisme dari 8� � 8; 4. Tentukan semua homomorfisme dari 8� � 8&1 5. Tentukan semua homomorfisme dari

81� � 8&�

123

6. Jika ¨ adalah suatu epimorfisme dari Ring yang berorder 8 ke Ring yang berorder 4, tentukan

ker ¨ 7. Buktikan bahwa ¨: O → H1×1�. yang

didefinisikan dengan:

¨�� + �� = J � �−� �K

Adalah sebuah isomorfisme dari O � H1×1�. 8. Buktikan apakah pemetaan ¨, yang memetakan

8 ke . yang didefinisikan oleh: ¨�� = �

Adalah suatu homomorfisme

9. Berapa banyak homomorfisme dari 8&1 � 8�? 10. Apakah setiap homomorfisme merupakan

isomorfisme?berikan alasan anda!


1. Menentukan pemetaan ¨ yang merupakan

homomorfisme dan bukan homomorfisme

a. ¨: 8 → 8, �� ¨�� = 2�, � ∈ 8 Jawab.

Z adalah Ring terhadap operasi penjumlahan

dan perkalian bilangan bulat.

¨�� + � = ¨�� + ¨�� ¨�� + � = 2�� + �

= 2� + 2� = ¨�� + ¨��

Selanjutnya untuk:

¨��. � = 2�� ≠ 2�. 2�

124

≠ ¨�� . ¨�� Sehingga ¨ bukanlah homomorfisme

b. ¨: 8� → 8D, �� ¨�} = 3} Jawab.

8� dan 8D adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan operasi perkalian

¨�� + � = ¨�� + ¨�� ¨�� + � = 3�� + �

= 3� + 3� = ¨�� + ¨��

¨��. � = ¨�� . ¨�� ¨��. � = 3��

¨�� . ¨�� = 3�. 3� = 3�. 3� = 9�� = 4�� 3�� 5

¨ bukan suatu homomorfisme

c. ¨: . → ., �� ¨�} = }: Jawab.

R adalah Ring terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian.

¨�� + � = ¨�� + ¨��

125

¨�� + � = �� + � : ¨�� + ¨�� = �: + �:

¨�� + � ≠ ¨�� + ¨�� ¨ bukan homomorfisme

d. ¨: . → ., �� ¨�} = « Jawab. R adalah ring terhadap operasi

penjumlahan dan perkalian

¨�� + � = ¨�� + ¨�� ¨�� + � = ��

= � . � ¨�� + ¨�� = � + �

¨�� + � ≠ ¨�� + ¨�� ¨ bukan homomorfisme

2. Dari soal nomor 1, selidikilah manakah yang

termasuk Monomorfisme, epimorfisme atau

isomorfisme?

Dari empat pemetaan pada nomor 1, tidak ada

pemetaan yang merupakan homomorfisme,

sehingga tidak ada yang merupakan

Monomorfisme, epimorfisme maupun

isomorfisme

3. Pemetaan dari C ke C, yang didefinisikan oleh

¨: O → O, �� ¨�� + �� = � − �� Buktikan apakah ¨ suatu homomorfisme Jawab.

¨�� + �� + # + �� = ¨�� + �� + ¨�# + �� ¨�� + �� + # + �� = � + # − �� + � �

= � + # − �� − ��

126

= � − �� + # − �� = ¨�� + �� + ¨�# + ��

¨h�� + �� × �# + �� i = ¨�� + �� × ¨�# + �� ¨h�� + �� × �# + �� i

= ¨��# − �� + �� + �# � = �# − �� − �� − �#�

¨�� + �� × ¨�# + �� = �� − �� # − �� = �# − �� − �� − �#�

Terbukti bahwa ¨ adalah homomorfisme

4. Diketahui himpunan matriks H = IJ� �0 #K |�, �, # ∈

8L adalah Ring terhadap operasi penjumlahan dan perkalian matriks.

Buktikan bahwa pemetaan ¨: H → 8, yang didefinikan oleh:

¨ RJ� 0� 0KS = �

Adalah suatu Epimorfisme

Jawab. Epimorfisme adalah homomorfisme yang

surjektif

- Akan ditunjukkan bahwa ¨ suatu

homomorfisme

¨ RJ� 0� 0K + J# 0

� 0KS= ¨ RJ� 0

� 0KS + ¨ RJ# 0� 0KS

¨ RJ� 0� 0K + J# 0

� 0KS = � + # = ¨ RJ� 0

� 0KS + ¨ RJ# 0� 0KS

127

Selanjutnya:

¨ RJ� 0� 0K × J# 0

� 0KS= ¨ RJ� 0

� 0KS × ¨ RJ# 0� 0KS

¨ RJ� 0� 0K × J# 0

� 0KS = ¨ J�# 0�# 0K = �#

¨ RJ� 0� 0KS × ¨ RJ# 0

� 0KS = �# Terbukti bahwa ¨ homomorfisme

- Akan dibuktikan apakah ¨ suatu pemetaan yang surjektif

∀� ∈ 8, ∃ J� 0} 0K ∈ H

Sehingga terbukti bahwa ¨ pemetaan yang surjektif

5. Jawaban nomor 5 dan 6 digunakan sebagai

jumping task bagi mahasiswa

128







�� = ��

�� × 100%






80% - 89% : Baik

70% - 79% : Sedang

≤ 69% : Kurang




kuasai.

129

BAB 5BAB 5BAB 5BAB 5 POLYNOMIAL RINGPOLYNOMIAL RINGPOLYNOMIAL RINGPOLYNOMIAL RING

5.1. PENDAHULUAN


Bab 5 ini membahas tentang polynomial Ring,

mulai dari definisi polynomial ring, mengontruksi

ring polynomial, operasi aljabar pada ring

polynomial, menentukan hasil bagi dan sisa suatu

pembagian dalam ring polynomial. Polynomial

monik, polynomial yang irreducible dan

polynomial yang reducible


Mahasiswa telah memiliki pengetahuan yang cukup

terkait polynomial secara umum, yang telah mereka

pelajari pada jenjang pendidikan sekolah

menengah, sehingga topik yang dipelajari pada Bab

5 ini sangat relevan dengan pengetahuan

mahasiswa.


Capaian pembelajaran mata kuliah ini adalah

mahasiswa mampu menganalisis struktur Ring serta


tepat dan konsisten (C3, P4, A3). Secara lebih khusus

capaian pembelajaran yang direncanakan pada Bab 5 ini

adalah mahasiswa mampu ring polynomial. Dengan

indikator capaian:

- Mahasiswa mampu menjelaskan definisi ring

polynomial

130

- Mahasiswa mampu membangun sebuah ring

polynomial

- Mahasiswa mampu Menjelaskan pengertian

polinomial monik

- Mahasiswa mampu Menentukan unit dari suatu

polinom

- Mahasiswa mampu Menghitung sisa dan hasil

bagi dari suatu polinom

- Mahasiswa mampu Menganalisis ideal dan

field dalam ring polynomial

- Mahasiswa mampu Menganalisis polynomial

yang ireducibel (irreducible)

5.2. PENYAJIAN

5.2.1. Konsep dasar polynomial Ring

Definisi 5.1

Misalkan R adalah suatu Ring komutatif, maka

suatu polynomial (}) dalam } atas Ring R adalah suatu Polynom dengan koefisien di R, yang

dinyatakan dalam bentuk:

(}) = ¼ �µ}µ½µ¾� = ��}� + �&} + �1}1 + ⋯ + �?}?+ ⋯

Dimana �µ ∈ ..

131

Dua polynomial (}) �� A(}) dikatakan sama jika koefisien dari }? sama untuk masing-masing polynomial (}) �� A(}), �� ≥ 0 (}) dikatakan sebagai polynomial nol, jika dan hanya jika semua �µ = 0

Derajad polynomial

polynomial (}) dikatakan berderajad �, jika � adalah bilangan bulat terbesar, dengan �? ≠ 0, dan selanjutnya �? ini disebut koefisien pemimpin (leading coefficient) dari (}). Jika .{}| mempunyai elemen satuan u, dan �? = �, maka (}) disebut polynomial monik

Contoh 5.1 (}) = 4}1 − 2 adalah polynomial

berderajad 2 (}) = �}; − (2 + �)}: + 4} adalah

polynomial atas C yang berderajad 4 (}) = }l + }D + }; + 1 adalah polynomial atas 81 yang berderajad 7 (}) = 7 adalah polynomial atas Z yang berderajad 0

132

Polynomial nol dan polynomial yang

berderajad nol disebut polynomial konstan.

Teorema 5.1

Himpunan .{}| dari polynomial dalam } dengan koefisien dalam ring R, adalah Ring

Polynomial terhadap operasi penjumlahan

dan perkalian.

Bukti:

- (.{}|, +) adalah Grup abelian - Sifat operasi penjumlahan dan

perkalian pada .{}| ditunjukkan

sebagai berikut: ∀(}), A(}) ∈ .{}| (}) + A(}) = ¼ (�µ + �µ)}µ¿ÀÁ W,?

µ¾�

Sedangkan untuk operasi perkalian

adalah sebagai berikut: ∀(}), A(}) ∈ .{}| (}) × A(})= ¼ #7}7, �� #7 = ¼ �µ�Âµ�Â¾7

W�?µ¾�

Sifat asosiatif pada operasi perkalian

dapat kita tuliskan sebagai berikut: ∀(}), A(})�� (}) ∈ .{}| Misal

133

(}) = ¼ �µ}µ½µ¾�

A(}) = ¼ �Â}Â½Â¾�

�(}) = ¼ #7}7½7¾�

Maka berlaku: {(}). A(})|. �(}) = (}){A(}). �(})| = Ã¼ �µ}µ½

µ¾� . ¼ �Â}Â½Â¾� Ä ¼ #7}7½

7¾�

= b¼ Y¼ �µ�?%µ?

µ¾� ] }?½?¾� c Y¼ #7}7½

7¾� ] = ¼ b¼ Y¼ �µ�?%µ

?µ¾� ]Å

?¾� #Å%?c½Å¾� }Å

= ¼ g ¼ �µ�Â#7

µ�Â�7¾Å j½Å¾� }Å

= ¼ Ã ¼ �Å%W g¼ �Â#W%ÂW

Â¾� jÅW¾� Ä½

Å¾� }Å

= Y¼ �µ}µ½µ¾� ] Ã ¼ g¼ �Â#W%Â

WÂ¾� j }W½

W¾� Ä

134

= Y¼ �µ}µ½µ¾� ] Ã g¼ �Â}Â½

Â¾� j Y¼ #7}7½7¾� ]Ä

Contoh 5.2.

Dalam 8D{}| yaitu polynomial ring dengan koefisien bilangan bulat modulo 5

Misal (}) �� A(}) ∈ 8D{}| Misal (}) = 2}: + 2}1 + 1 Dan A(}) = 3}1 + 4} + 1 (}) + A(}) = (2}: + 2}1 + 1)+ (3}1 + 4} + 1) = 2}: + 4} + 2 (}). A(}) = (2}: + 2}1 + 1). (3}1+ 4} + 1) = }D + 4}; + 4} + 1 Contoh 5.3

Dalam 81{}| yaitu polynomial ring dengan koefisien bilangan bulat modulo 2. Misal (}) = } + 1 Akan kita dapatkan 1(}) dalam 81{}| 1(}) = (} + 1)1 = (} + 1)(} + 1) = }1 + 2} + 1 = }1 + 1

135

Sedangkan apabila kita hitung untuk (}) + (}) = (} + 1) + (} + 1) = 2} + 2 = 0

Proposisi

Jika R suatu daerah integral, dan (}), A(}) ∈ .{}| dengan masing-masing (}) �� A(}) bukan polynomial nol, maka: degh(}). A(})i = deg (}) + deg A(}) Jika polynomial .{}| bukan daerah integral, derajad dari hasil suatu perkalian polynomial

bisa lebih kecil dari derajad hasil

penjumlahan polynomial tersebut.

Contoh 5.4

Misal (}) �� A(}) dalam 8�{}| (}) = 2}: + } Dan A(}) = 3} (}). A(}) = (2}: + }). 3} = 6}; + 3}1 = 3}1

136

5.2.2. Ring Euclide

Cara pembagian panjang dari bilangan bulat untuk

memperoleh hasil dan sisa suatu pembagian. Jika � �� > 0 adalah bilangan bulat tak nol, maka: � = A� + � �� 0 ≤ � ≤ �

Algoritma pembagian untuk Polynomial

Misalkan 9(}) , �(}) ∈ �{}| dengan �{}| polynom atas Field F. Jika �(}) ≠ 0, maka akan ada dengan tunggal A(}) , �(}) ∈ �{}| Sehingga 9(}) = A(}). �(}) + �(}) Dengan �(}) = 0 �� deg �(}) < deg �(}) Contoh 5.5

Dalam 8:{}| yaitu polynomial atas 8:. Misal 9(}) , �(}) ∈ 8:{}| Misal 9(}) = }: + 2}1 + } + 2 �(}) = }1 + 2 Akan kita lakukan pembagian 9(}) oleh �(}), kemudian akan kita dapatkan hasil bagi dan sisa

pembagian

Dengan menggunakan pembagian panjang, kita

dapatkan:

137

}: + 2}1 + } + 2= (} + 2)(}1 + 2)+ (2} + 1)

5.2.3. Teorema sisa dan teorema Faktor

Teorema 5.2

Polynomial 9(}) jika dibagi oleh (} − �) dalam Polynomial �{}| maka sisanya adalah 9(�) Bukti:

Dengan menggunakan algoritma pembagian, maka ∃A(}), �(}) ∈ �{}| Dengan 9(}) = A(})(} − �) + �(}), dimana jika �(}) = 0 atau derajad dari �(}) kurang dari 1. Jadi sisa pembagian adalah konstan, �� ∈ � dan 9(}) = A(})(} − �) + ��, sehingga didapat 9(�) = ��

Teorema 5.3

Polynomial (} − �)adalah faktor dari 9(}) dalam Polynomial �{}| jika dan hanya jika 9(�) = 0 Suatu elemen � ∈ �{}| dikatakan akar dari

polynomial 9(�) = 0. Sehingga berdasarkan

teorema faktor tersebut, (} − �) adalah faktor dari 9(}) jika dan hanya jika 9(�) = 0. Suatu polynomial 9(}) ≠ 0 dan 9(}) bukan unit, 9(}) disebut ireducibel (irreducible) di �{}| jika 9(}) = �(}). ℎ(})

138

Sehingga �(}) unit atau ℎ(}) unit di �{}|. Suatu polynomial 9(}) disebut reducibel di �{}| jika 9(}) tidak ireducibel di �{}|.

5.2.4. Latihan

1. Tentukan hasil kali, hasil bagi dan sisa dari

polinom-polinom berikut terhadap 8�{}| dimana (}) = 2}1 + 2 dan �(}) = 3} + 2 dengan (}) sebagai polinom yang dibagi, dan �(}) sebagai polinom pembagi

2. Tentukan hasil bagi dan sisa dari polinom-

polinom berikut tergadap 8;{}| dimana (}) = 3}: + }1 + 2} + 2 dan �(}) =}1 + 3 dengan (}) sebagai polinom yang dibagi, dan �(}) sebagai polinom pembagi

3. Diketahui polinom 9(}) = 3}; + 4}: −}1 + 3} − 1 dan �(}) = 2}1 + } + 1 , carilah:

a. 9(}) × �(})��3 p{}| b. 9(}): �(})��3 p{}|

139

4. Diketahui polinom 9(}) = 2}l + }� + }D +}; + 2} + 1 dan �(}) = }: + 2} + 1 , carilah:

a. 9(}) × �(})��3 8:{}| b. 9(}): �(})��3 8:{}|

5. Tentukan semua akar-akar dari polynomial

berikut didalam 8�, 9(}) = }: − }

6. Tentukan semua akar-akar dari polynomial

berikut didalam 8D, 9(}) = 2}; + }: + 3}1 + 2} + 4

7. Tentukan hasil bagi dan sisa , 9(}) ∈8:(}), 9(}) = }D + 2 �� ℎ 2}; + 2

5.3. PENUTUP

5.3.1. Tes Formatif

1. Tentukan jumlah dan hasil kali dari: 9(}) = 2}: + 4}1 + 3} + 2 Dan �(}) = 3}; + 2} + 4 , dengan 9(}) �� (}) ∈ 8D{}|

2. Tentukan hasil penjumlahan polynomial

berikut dalam 8l{}|, (3}1 + 5} + 6) + (4}1 + 3} + 6) 3. Tentukan hasil perkalian polynomial berikut

dalam 8l{}| (3}1 + 5} + 2)(4} + 4)

140

4. Dalam Ring Polynomial 8�{}|, tunjukkan bahwa {1| + {2|} adalah unit 5. Tentukan apakah 1 + 5} merupakan suatu unit

di 8{}| 6. Dalam polynomial ring 8�{}|, buktikan bahwa:

a. 4 + 2} + 4}1 adalah suatu elemen pembagi nol

b. 2} adalah suatu elemen nilpotent c. 1 + 4} dan 3 + 4} adalah unit

7. Buktikan bahwa jika � adalah daerah integral, maka �{}| daerah integral pula

8. Nyatakan pernyataan berikut benar atau salah,

berikan argumen anda:

a. Polynomial (�?}? + ⋯ + �&} + ��) ∈.{}| adalah nol, jika dan hanya jika �µ = 0, � = 0,1,2,3 … , � b. Jika R adalah Ring komutatif maka .{}|

juga komutatif

c. Jika R adalah Ring dengan elemen pembagi

nol maka .{}| juga memiliki elemen pembagi nol

d. Jika R sembarang Ring, dan 9(}) �� (}) ∈ .{}|, dimana masing-

masing berderajad 3 dan 4, maka 9(}). �(}) mungkin berderajad 8 dalam .{}|

e. Jika R sembarang Ring, dan 9(}) �� (}) ∈ .{}|, dimana masing-

141

masing berderajad 3 dan 4, maka 9(}). �(}) selalu berderajad 7

9. Temukan unit dalam 8{}| 10. Apakah polinomial 9(}) = }: + 2} + 1

dalam 8:{}| ireducibel atas 8:?


1. Tentukan hasil kali, hasil bagi dan sisa dari polinom-

polinom berikut terhadap 8;{}| dimana (}) = 2}1 + 2 dan �(}) = 3} + 2 dengan (}) sebagai polinom yang dibagi, dan �(}) sebagai polinom pembagi

Jawab.

Hasil kali: (}) × �(}) = 4}1 + 4 Hasil bagi: (})�(}) = 2}1 + 2 3} + 2 = 2} − 4 + '�� Sisa pembagian: '(}) = 2

2. Tentukan hasil bagi dan sisa dari polinom-polinom

berikut tergadap 8;{}| dimana (}) = 3}: + }1 + 2} + 2 dan �(}) = }1 + 3 dengan (}) sebagai polinom yang dibagi, dan �(}) sebagai polinom pembagi

142

Jawab.

Hasil bagi: (})�(}) = 3}: + }1 + 2} + 2 }1 + 3 = 3} + 1 + '�� Sisa pembagian: '(}) = } + 3

3. Diketahui polinom 9(}) = 3}; + 4}: − }1 + 3} − 1 dan �(}) = 2}1 + } + 1 , carilah: a. 9(}) × �(})��3 p{}|

Jawab: 9(}) × �(}) = (3}; + 4}: − }1 + 3} − 1)× (2}1 + } + 1) = 6}� + 11}D + 5}; + 9}: + 2} − 1 b. 9(}): �(})��3 p{}|

Hasil bagi: :1 }1 + D; } − &D�

Sisa pembagian: 1�� } − l�

4. Diketahui polinom 9(}) = 2}l + }� + }D + }; +2} + 1 dan �(}) = }: + 2} + 1 , carilah: a. 9(}) × �(})��3 8:{}|

Jawab.

143

9(}) × �(}) = 2}&� + }� + 2}� + }: + }1+ } + 1

b. 9(}): �(})��3 8:{}| Jawab.

Hasil bagi: 6(}) = 2}; + }: + 5 Sisa pembagian: '(}) = } + 2

5. Tentukan semua akar-akar dari polynomial berikut

didalam 8�, 9(}) = }: − } Jawab. }: − } = 0 }(}1 − 1) = 0 }(} − 1)(} + 1) = 0 } = 0, } = 1, } = −1 Akar-akar dalam 8� = 40,1,75

6. Tentukan semua akar-akar dari polynomial berikut

didalam 8D, 9(}) = 2}; + }: + 3}1 + 2} + 4 Jawab.

Akar-akar dalam 8D adalah 2 7. Tentukan hasil bagi dan sisa , 9(}) ∈ 8:(}), 9(}) =}D + 2 �� ℎ 2}; + 2

144

Jawab.

Hasil bagi: 6(}) = 2} Sisa Pembagian: '(}) = 2} + 2






dengan menggunakan rumus berikut: �� = �� × 100%






80% - 89% : Baik

70% - 79% : Sedang ≤ 69% : Kurang




kuasai.

9 786025 680137 - bpm.umg.ac.idbpm.umg.ac.id/aset/images/download/Buku Teori Ring OKE.pdf · dalam...

Documents

Transcript of 9 786025 680137 - bpm.umg.ac.idbpm.umg.ac.id/aset/images/download/Buku Teori Ring OKE.pdf · dalam...