8.1_WIYOGI W U_372398

7/25/2019 8.1_WIYOGI W U_372398

http://slidepdf.com/reader/full/81wiyogi-w-u372398 1/10

MAKALAH TEORI MEDAN POTENSIAL

POTENSIAL GRAVITASI, PERSAMAAN LAPLACE

DAN PERSAMAAN POISSON

Disusun untuk Memenuhi Tugas Mata Kuliah Teori Medan Potensial

Dosen Pengampu

Prof. Dr. Kirbani Sri Brotopuspito

Disusun oleh

Wiyogi Waskithaningtyas U (!"#$%#&'"PP"!)')*

PASCASARJANA ILMU FISIKA

FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM

UNIVERSITAS GADJAH MADA

2016

BAB 8

TEORI MEDAN POTENSIAL

8.1 Huku G!"#$%"&$ N'(%)*

Teori medan gra+itasi didasarkan pada ,ukum -eton tentang medan

gra+itasi /agat raya. ,ukum medan gra+itasi -eton menyatakan baha gayatarik antara dua titik massa m0 dan m yang ber/arak r sebanding dengan perkalian

massa m0 dengan m dan berbanding terbalik dengan kuadrat /araknya0 dapat

dituliskan dalam bentuk persamaan sebagai berikut 1

7/25/2019 8.1_WIYOGI W U_372398


r r r

mmGr F

r

r

r r

mmG

r r

r r

r r

mmGr F

2*(

*(

%

3

3

%

3

3

3

3

%

3

3

−−=

−−=

−−

−−=

Persamaan ('.* menyatakangaya tarik yang dialami partikel m akibat partikel m0

maka tanda negatif menyatakan baha gaya tarik tersebut memiliki arah yang

berlaanan denganr

yang menyatakan arah dari partikel m0 menu/u m seperti

ditun/ukkan pada 4ambar 0 dimana3r r r −=dan

r

r r =2

0 dengan G adalah

konstanta gra+itasi yang besarnya adalah

."3)$%0)%%

kg Nm−×

G"+"! 1. 4aya 4ra+itasi antara dua buah titik massa

Besaran yang terukur dalam metode gra+itasi adalah medan gra+itasi.

4aya persatuan massa yang mempunyai /arak r dari m0disebut medan gra+itasi

dari partikel m0 yang memiliki besar1

1

('.*

7/25/2019 8.1_WIYOGI W U_372398


r r

mGr E

r

r

r

mG

m

r r

mmG

m

r F r E

2*(

2

*(*(

%

3

%

3

%

3

−=

−=

−

=

=

dengan mengganggap bumi homogen0 berbentuk sferis dan tidak berotasi0 maka

besarnya medan gra+itasi g dipermukaan bumi adalah 1

r R

M Gr E g

e

e 2*(%

−==

M e adalah massa bumi0 Re adalah /ari5/ari bumi danr 2

adalah +ektor satuan yang

arahnya dari mke m0.Medan gra+itasi g biasa disebut sebagai per6epatan gra+itasi

atau per6epatan /atuh bebas. Satuan g dalam cgs adalah gal ( gal 7 6m"s%*.

8.2 P)%'*&$" G!"#$%"&$

Usaha adalah energi kinetik yang dikeluarkan oleh medan gaya dalam

menggerakkan partikel dari titik ke titik yang lainnya.

dt

dvm F =λ

dengan F merupakan medan gaya0 apabila persamaan ('.!* ruas kanan dan kiri

dikalikan dengan v, maka didapatkan

dt Fv E E

E dt

d

dt

dvm Fv

t

t

∫ =−

=

=

3

3

%

%

dengan E merupakan energi.

2

'.%*

('.#*

('.!*

('.8*

7/25/2019 8.1_WIYOGI W U_372398


G"+"! 2. 9intasan partikel dari posisi P 0 menu/u titik P

Partikel berpindah dari posisi P 0 menu/u titik P, dengan inter+al aktu t 0 ke t.

( )30

3

3

P P W W

ds F

dt FvW

P

P

t

t

=

=

=

∫ ∫

Perubahan energi kinetik dari partikel adalah sama dengan besarnya

usaha yang diker/akan oleh F (konser+atif* artinya perubahan usaha dalam arah

manapun sama dengan komponen gaya pada arah tersebut

( )

=

dz

dW

dy

dW

dx

dW z y x F 0000

.

Medan gra+itasi bersifat konser+atif diperoleh dari gradien dari fungsi

usaha.

( )

( ) ( ) ( )33

3

0

0

3

3

3

P W P W P P W

dW

dz z W dy

yW dx

xW

ds F P P W

P

P

P

P

P

P

−=

=

∂∂

∂∂

∂∂=

=

∫

∫

∫

Persamaan ('.$* menyatakan baha usaha hanya ditentukan pada posisi akhir dan

posisi aal tidak bergantung pada bentuk lintasan. Medan gra+itasi bersifat

3

('.)*

('.$*

7/25/2019 8.1_WIYOGI W U_372398


konser+atif sehingga dapat dinyatakan sebagai gradien dari fungsi potensial skalar

*(r U

0 yaitu1

*(*( r U r E −∇=

maka persamaan ('.'* men/adi1

r

mGr U

r

Gm

dr r Gm

r

dr mG

dr r r

mG

dr r r

mG

dr g r U

r

r

r

r

r

r

3

3

%

3

%3

%

3

%

3

*(

2

2

.*(

−=

−−=

−=

−=

−=

−=

=

∞

∞

−

∞

∞

∞

∞

∫

∫

∫

∫

∫

Persamaan ('.&* merupakan potensial gra+itasi dari massa m0 atau potensial yang

masih berada pada benda anomali atau belum terukur dipermukaan. Potensial

disuatu titik pada ruang bersifat pen/umlahan0 sedangkan potensial gra+itasi dari

suatu distribusi massa yang kontinyu disuatu titik P diluar distribusi massatersebut merupakan suatu bentuk integral. Potensial di titik P diluar distribusi

massa yang kontinyu merupakan potensial dititik pengukuran.

4

('.'*

('.&*

7/25/2019 8.1_WIYOGI W U_372398


G"+"! -. Potensial tiga dimensi

Potensial gra+itasi dari suatu distribusi massa yang kontinu dalam

dimensi ruang adalah integral elemen massa suatu materi dengan densitas

*( 3r ρ

.

:ika titik P berada se/auh r dari distribusi massa kontinu0 maka nilai potensial

gra+itasi di titik P adalah 1

∫

∫ ∫

−=

=→=→−=

−=

r

r d r Gr U

r d dvdvdmr

dmG

r

dm

Gr U

#

3

#

*(*(

*(

ρ

ρ

dimana

γ 6os% 3

%

3

%

3 r r r r r r r −+=−=dengan

r adalah +e6tor posisi

pengamat0 dan3r

adalah +e6tor posisi elemen massa. :ika integral +olume diambil

untuk seluruh bumi0 didapatkan potensial gra+itasi bumi di ruang bebas0 sedang

medan gra+itasinya kita dapatkan dengan menurunkan potensial tadi. :ika P

berada dipermukaan bumi0 medan gra+itasi pada titik P adalah 1

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )[ ]∫

−+−+−

−−−=

∂

∂=

v

p

z

Z Z Y Y X X

r d Z Z r G

Z

r U r g

%

#%

3

%

3

%

3

3

#

33 ρ

5

('.3*

('.*

7/25/2019 8.1_WIYOGI W U_372398


Medan gra+itasi g disebut /uga per6epatan gra+itasi atau per6epatan /atuh

bebas. Satuan g dalam ;4S adalah ga 0 dimana gal 7 6m"det%. Per6epatan

medan gra+itasi bumi ber+ariasi di permukaan bumi0 dan harganya bergantung

pada1

a* Distribusi massa di baah permukaan0 sebagaimana ditun/ukkan oleh fungsi

densitas

( )3r ρ

.

b* Bentuk bumi yang sebenarnya0 sebagaimana ditun/ukkan oleh batas integral.

<ariasi harga medan gra+itasi di permukaan bumi tidak hanya disebabkan

oleh distriubusi massa /enis yang tidak merata0 tetapi /uga oleh posisi titik amat di

permukaan bumi. ,al ini disebabkan oleh adanya bentuk bumi yang tidak bulat

sempurna dan relief bumi yang beragam. Untuk itu diperlukan metode5metode

tertentu untuk mereduksi pengaruh selain dari distribusi massa /enis.

Potensial gra+itasi di atas permukaan bumi akan memenuhi persamaan

9apla6e sedanglam potensial gra+itasi di dalam bumi memenuhi persamaan

Poisson. Untuk titik diluar +olume !, integral pada fungsi potensial

*(r U

bersifat

"#"$s%"g&ar sehingga memenuhi persamaan 9apla6e0 yaitu1

3%

%

%

%

%

%% =

∂∂

+∂∂

+∂∂

=∇ z

U

y

U

x

U U

( )

( ) %

%%%%

3

3

2

2

2

222

*(*(

z y xr z y xr de"ga"

k r z 'r y%r xGm

r

mGk

z '

y%

x

r U r E g

++=⇒++=

∂∂

+∂∂

+∂∂

−−=

−

∂∂

+∂∂

+∂∂

−=

−∇==

mengitung besarnya komponen x

r

∂∂ −

,

y

r

∂∂ −

,

z

r

∂∂ −

6

('.%*

7/25/2019 8.1_WIYOGI W U_372398


( )

( )

( )

#

#

#

%

%%%%%

%%%%

%

%%%%

%

==

%%

r z

z r

r y

yr

r x

xr

r

x

r

z y x

x

r

x z y xr

z y xdx

d

r

dx

dr

r

r

x

r

−=∂∂−=∂∂−=∂∂

−=

++−=

++−=

++−=

∂∂

=∂

∂

−−−

−

−−

mensubsitusikan nilai x

r

∂∂ −

,

y

r

∂∂ −

,

z

r

∂∂ −

yang telah didapatkan di atas0 sehingga

mendapatkan nilai dari persamaan 9apla6e

3% =∇ U

.

( )

3

##

##

##

###

%

##

%

8#

%%%

8#

8

%

#8

%

#8

%

#

%

=∇

−=

−=

++−=

−+

−+

−=∇

U

r r Gm

r r r

Gm

z y xr r

Gm

r

z

r r

y

r r

x

r GmU

>ntegral +olume pada fungsi potensial

*(r U

di dalam +olume ! bersifat singular r

( r 0. Titik5titik singularitas dilokalisir men/adi sebuah bola ke6il dengan +olume +

dan /ari5/ariε

sehingga potensial pada titik diluar +olume ! dan titik5titik didalam

+olume v men/adi 1

7

7/25/2019 8.1_WIYOGI W U_372398


∫ ∫

∫ ∫

−

−

−−=

−−

−−=

vv!

v! v

d! r

r Gd!

r

r G

r r

r d r G

r r

r d r Gr U

*(*(

*(*(*(

33

3

3

#

3

3

3

#

3

ρ ρ

ρ ρ

[ ] [ ]

( ) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

−−∇=∇

−=

−=

−−−=

−−−=

−−=

∫

∫

−

v

v

P

vv!

r r

r d r Gr U

r

r d r Gr U

vr

r G

v

r

r Gvv

r

r G

vr

r Gv!

r

r G

! r

r G!

r

r Gr U

3

3

#

3%%

3

#

3

3

33

33

33

*(3

*(*(

*(*(

*(*(*(

ρ

ρ

ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

Tin/auan Teorema 4auss digunakan untuk membaa integral +olume ke bentuk luasan (permukaan* sehingga0

3

#

3

33

% *(*( r d

r r r Gr U

v

∫∫∫ −∇∇−=∇

ρ

3

%

3

33

% .2*(*( r d

r r "r Gr U

)

∫∫ −∇−=∇

ρ

Pada permukaan ) merupakan luasan dengan /ari5/ariε

maka

ε ε

∂∂

=∇=− .23 "da"r r

untuk luasan diasumsikan merupakan permukaan bola

dengan luas permukaan bola adalah

%%!! πε π →r

0 ketika limit

03→ε

maka

persamaan ('.8* men/adi 1

8

('.!*

('.#*

('.8*

7/25/2019 8.1_WIYOGI W U_372398


*(!*(

!

*(

!

*.(*(

33

%

%

%3

%

33

%

r Gr U

r G

r Gr U

ρ π

πε ε

ρ

πε ε ε

ρ

=∇

−−=

∂∂

−=∇

Persamaan ('.)* merupakan persamaan Poisson untuk potensial gra+itasi yang

terukur pada titik pengukuran (titik P*.

DAFTAR PUSTAKA

4rant0 ?. S @ West0 ?. 4. &)8. *"terpretat%#" +e#ry %" -pp%ed Ge#pys%cs.

-e Aork 1 M64ra5,ill Book ;ompany

Telford0W.M0 4eldart0 9.P0 dan Sheriff0 0C. &$). -pp%ed Ge#pys%cs st

Ed%t%#". ;ambridge Uni+ersity Press1 -e Aork

9

('.)*

8.1_WIYOGI W U_372398

Documents

Transcript of 8.1_WIYOGI W U_372398