www.belajar-matematika.com - 1

8. SOAL-SOAL DIMENSI TIGA

UN2004 1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 8 cm.

Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah A. 2 2 cm C. 4 2 cm E. . 8 2 cm B. 2 6 cm D. 4 6 cm jawab : H D’ G E F D C A B

Panjang proyeksi DE pada BDHF adalah DD’: DH = 8 ; D’H = ½ FH = ½ . 8 2 = 4 2 DD’ = 22 )()'( DHHD +

= 6432 + = 96 = 4 6 cm jawabannya adalah D EBTANAS1999 2. Perhatikan gambar kubus ABCD.EFGH di bawah ini. Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah….

H G E F D C A B

6 cm

A. 6 3 cm C. 3 6 cm E. . 3 2 cm B. 6 2 cm D. 3 3 cm Jawab : H F’ G E F D C A B 6 cm F’ F A Panjang proyeksi AF pada bidang ACGE adalah AF’. AF = 6 2 ; FF’ = ½ FH = ½ . 6 2 = 3 2 AF’ = 22 )'()( FFAF −

= 1872 − = 54

= 3 6 cm jawabannya adalah C

UAN2003 3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika P titik tengah EH, maka jarak titik P ke garis CF adalah… A. 20 cm C. 14 cm E. . 8 cm B. 18 cm D. 12 cm

www.belajar-matematika.com - 2

jawab: P H G E F P’ D C A B

4 cm P

6 20 C P’ F yang ditanyakan adalah PP’ : CF = 4 2 FP = 22 )()( EPEF +

= 22 )4.2/1(4 + = 20 CP = 22 )()( HPCH +

= 22 )4.2/1()24( + = 432 + = 6 cara 1 :

FP’ = CF

CPFPCF2

222 −+

= 28

362032 −+

= 28

16 = 2

2 = 2

2 .22 = 2

PP’ = 22 )'()( FPFP − = 220 − = 18 cm Cara 2 : misal FP’ = x, maka CP’ = 4 2 - x PP’ = FP 2 - FP’ 2 = CP 2 - (4 2 - x ) 2 20 – x 2 = 36 – (32 – 8 2 x + x 2 ) 20 – x 2 = 36 – 32 + 8 2 x - x 2 20 – 4 = 8 2 x 16 = 8 2 x

x = 28

16 = 2

2 = 2

2 . 22 = 2

PP’ 2 = FP 2 - FP’ 2 = 20 – ( 2 ) 2 = 20 – 2 = 18 PP’ = 18 cm hasil cara 1 = hasil cara 2 jawabannya adalah B EBTANAS1992 4. Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 6 cm. Jarak titik C dengan bidang BDG adalah… A. 2 2 cm C. 3 2 cm E. . 4 3 cm B. 2 3 cm D. 3 3 cm Jawab: H G E F C’ D C P A B

6 cm

www.belajar-matematika.com - 3

G C’ P C yang dicari adalah CC’. CP = ½ CA = ½ . 6 2 = 3 2 CG = 6 GP = 22 CGCP + = 3618 + = 54 = 3 6

GC’ = GP

CPCGGP2

222 −+

= 66

183654 −+

= 66

72 = 6

12 = 6

12 . 66 = 2 6

CC’ = 22 'GCCG − = 2436 − = 12 = 2 3 cm jawabannya adalah B UAN2005 5. Pada kubus ABCD.EFGH besar sudut antara garis AH dan bidang diagonal BDHF adalah… A. 30 0 B. 45 0 C. 60 0 D. 75 0 E. 90 0 jawab: H G E F D C P A B

H α A P misal panjang rusuk adalah a,

sin α = AHAP

AP = ½ AC = ½ a 2 AH = 22 EHEA + = 22 aa + = 22a = a 2

sin α = AHAP =

2

221

a

a =

21

α = 30 0 jawabannya adalah A EBTANAS 2001 6. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 4 cm. Jika sudut antara BF dan bidang BEG adalah α , maka sin α = ….

A. 241 C. 3

31 E. 6

21

B. 221 D. 3

21

Jawab: H G P E F D C A B

www.belajar-matematika.com - 4

4 cm P F α B

sin α = PBPF

PF = ½ FH = ½ . 4 2 = 2 2 PB = 22 FBPF +

= 22 4)22( + = 168 + = 24 = 2 6

sin α = PBPF

= 6222 =

62 =

62 .

66 = 12

61

= 3.461 = 3.

62 = 3.

31

jawabannya adalah C EBTANAS 1987 7. Besar sudut antara diagonal BG dan FH pada kubus ABCD.EFGH adalah ….. A. 30 0 B. 45 0 C. 60 0 D. 75 0 E. 90 0 jawab: H G α E F D C A B

AH sejajar dengan BG, sehingga sudut antara diagonal BG dan FH adalah juga sudut antara diagonal AH dan FH (∠ (BG,FH) = ∠ (AH,FH) ) dari gambar terlihat bahwa panjang AH = AF = FH sehingga ∆AFH adalah ∆ sama sisi. ∆ sama sisi. Mempunyai 3 sudut yang sama yaitu 60 0 Jawabannya adalah C UN2007 8. Jarak bidang ACH dan EGB pada kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 6 3 cm adalah…. . A. 4 3 cm C. 4 cm E. . 12 cm B. 2 3 cm D. 6 cm

Jawab: H Q G E F R S D C P A B 6 3 cm Lihat bidang BDHG : Q H F R S D B P

www.belajar-matematika.com - 5

yang ditanya adalah jarak SR. SR = DF – FR – DS DF = 6 3 . 3 = 18 (diagonal ruang) FR: ingat titik berat ∆ = 1/3 tinggi QR = 1/3 QB QB = 22 FQFB + FB = 6 3 = 6 3 FQ = ½ GH = ½ 6. 3 . 2 = 3. 6 QB = 54108 + = 162 = 9 2 QR = 1/3 QB = 1/3. 9 2 = 3 2 FR = 22 QRFQ − = 1854 − = 36 = 6 DS : ∆ DSP sebangun dengan ∆FQR sehingga DS = FR = 6 Kita cari dan buktikan : PS = 1/3 PH PH = 22 DPDH + DH = 6 3 DP = ½ DB = ½ 6. 3 . 2 = 3. 6 PH = 54108 + = 162 = 9 2 PS = 1/3 PH = 1/3. 9 2 = 3 2 DS = 22 PSDP − = 1854 − = 36 = 6 (terbukti)

Sehingga panjang SR = DF – FR – DS = 18 – 6 – 6 = 6 cm Jawabannya adalah D UNAS2006 9. Diketahui limas segitiga beraturan T.ABC. Panjang rusuk AB= 6 cm, dan TA= 6 3 cm. Sudut antara TC dan bidang ABC adalah α , maka tan α = …. A. 3 10 B. 4 2 C. 3 2 D. 10 E. 2 2 jawab : T 6 3 cm C Q A P B 6 cm Karena limas segitiga beraturan maka: panjang TA = TB = TC dan Bidangnya adalah segitiga sama sisi dengan panjang AB = BC = AC. Sudut TC dan bidang ABC ( ), ABCTC∠ = TCQ∠

Tan α = xy =

QCTQ

TQ = 22 QCTC − TC = 6 3 QC: Titik berat segitiga adalah 1/3 tinggi, PQ = 1/3 PC, maka CQ =(1- 1/3) PC = 2/3 PC PC = 22 BPBC − BC = 6 BP= ½ AB = ½ . 6 = 3

www.belajar-matematika.com - 6

PC = 22 36 − = 936 − = 27 = 3 3 QC = 2/3 PC = 2/3 ,. 3 3 = 2 3 TQ = 22 QCTC −

= 22 )32()36( − = 12108 − = 96 = 4 6

Tan α = QCTQ

= 3264 =

362

= 362 .

33 =

3182 =

323.2 = 2 2

Jawabannya adalah E UN2004 10. Pada limas segiempat beraturan T.ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah…. A. 15 0 B. 30 0 C. 45 0 D. 60 0 E. 75 0 jawab: T D C α A B

Misal panjang rusuk = a , maka TA=TB=TB=TC=AB=BC=CD=AD = a sudut antara TA dan bidang ABCD (∠ (TA,ABCD) ) adalah ∠ TAC AC = 22 aa + = 22a = a 2 TA = TC = a

T

a a α A C a 2

Aturan cosinus TC 2 = TA 2 + AC 2 - 2. TA. AC. cos α a 2 = a 2 + (a 2 ) 2 - 2. a. a 2 cos α a 2 = a 2 + 2 a 2 - 2. a 2 2 . cos α a 2 = 3 a 2 - 2. a 2 2 . cos α - 2. a 2 = - 2. a 2 2 . cos α 2. a 2 = 2. a 2 2 . cos α

cos α = 22

22

2

aa =

21

= 2

1 . 22 =

21 2

α = 45 0 Jawabannya adalah C