61016092 distribusi-chi-kuadrat
description
Transcript of 61016092 distribusi-chi-kuadrat
DISTRIBUSI CHI-KUADRAT
Disusun untuk memenuhi tugas Statistik Matematika 2
Oleh:
Weindy Pramita A. (070210101088)
Dimas Ariwibowo (080210101033)
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JEMBER
2011
DISTRIBUSI CHI-KUADRAT
DEFINISI
Peubah Acak X dikatakan berdistribusi Chi-Kuadrat dengan derajat kebebasan r,
dinotasikan ᵡr2, jika ia berdistribusi Gamma dengan parameter α = r2 dan β = 2.
Ingat, distribusi Gamma
f(x) = xα−1 . e
−xβ
Γ (α )βα , untuk α, β > 0
maka, distribusi Chi-Kuadrat dengan parameter α = r2
dan β = 2 adalah
f(x) = xr2−1. e
−x2
Γ ( r2)2
r2
, untuk α = r2
, β = 2 > 0 dan 0 ≤ x ≤ ∞
Distribusi Chi-Kuadrat merupakan pdf. Syarat suatu distribusi merupakan pdf, yaitu:
a) f(x) ≥ 0
b) ∫−∞
∞
f (x ) = 1
Bukti bahwa distribusi Chi-Kuadrat merupakan pdf.
a) Apakah f(x) ≥ 0?
YA, karena α = r2
> 0, β = 2 > 0 dan 0 ≤ x ≤ ∞ sehingga f(x) = xr2−1. e
−x2
Γ ( r2)2
r2
≥ 0
b) Apakah ∫−∞
∞
f (x ) = 1?
f(x) = xr2−1. e
−x2
Γ ( r2)2
r2
Misal, x = y2
dx = dy2
: Γ()
Γ(r2
) = ∫0
∞
( y2)r2−1. e
− y2 .dy2
Γ(r2
) = ∫0
∞
( y )r2−1. e
− y2 .( 1
2)r2−1.( 1
2)
1
dy
Γ(r2
) = ∫0
∞
( y )r2−1e
− y2 .( 1
2)r2 dy
Γ(r2
) = ∫0
∞e
− y2 .( y )
r2−1
2r2
dy
Γ(r2
) = ∫0
∞e
− y2 .( y )
r2−1
2r2
dy
Γ ( r2)
Γ (r2) = ∫
0
∞e
− y2 .( y )
r2−1
2r2
.1
Γ ( r2)dy
1 = ∫0
∞e
− y2 .( y )
r2−1
Γ ( r2 ) .2r2
dy
Oleh karena x = y, maka ∫0
∞e
− x2 .(x)
r2−1
Γ ( r2 ) .2r2
dx = 1
Jadi, YA ∫−∞
∞
f (x ) distribusi Chi-Kuadrat = 1
Fungsi Pembangkit Momen (M(t)) dari distribusi Chi-Kuadrat adalah
M(t) = (1 –2 t)−r2 , t<
12
Bukti:
M(t) = E(e tx)
= ∫0
∞
etx . f ( x )dx
= ∫0
∞
etx . e
−x2 .(x)
r2−1
Γ ( r2 ) .2r2
dx
= ∫o
∞e tx . e
−x2 . (x)
r2−1
Γ ( r2 ) .2r2
dx
= ∫o
∞e
− x2
(1−2 t ).( x)
r2−1
Γ ( r2 ) .2r2
dx
Misal, z = x2
(1 – 2t)
x = 2 z
(1−2t)
dx = 2
(1−2t) dz
maka, ∫o
∞e
− x2
(1−2 t ).( x)
r2−1
Γ ( r2 ) .2r2
dx
= ∫o
∞ e− z .( 2 z
(1−2 t))r2−1
Γ ( r2 ) .2r2
.( 2(1−2 t )
) dz
=
1
Γ ( r2 ) .2r2 ∫
o
∞
e−z .( 2 z(1−2t)
)r2−1.( 2
(1−2 t )) dz
=
1
Γ ( r2 ) .2r2 ∫
o
∞
e−z .(z)r2−1.( 2
(1−2 t))r2−1.( 2
(1−2t ))
1
dz
=
1
Γ ( r2 ) .2r2 ∫
o
∞
e−z .(z)r2−1.( 2
(1−2 t))r2 dz
=
1
Γ ( r2 ) .2r2
.( 2(1−2 t)
)r2
∫o
∞
e−z .(z)r2−1
dz
= 1
Γ ( r2 ) .2r2
.2r2
(1−2t )r2 . Γ ( r2 )
= 1
(1−2t)r2
= (1 –2 t)−r2
Jadi, terbukti bahwa M(t) = (1 –2 t)−r2 , t<
12
Mean (µ) distribusi Chi-Kuadrat
Mean untuk distribusi Chi-Kuadrat (χ 2) adalah turunan pertama M(t) pada saat
(t=0).
M(t) = (1-2t)-r/2 , t < ½M’(t) = (-r/2).(1-2t)-r/2-1 . (-2) , t < ½ = r.( 1-2t)-r/2-1 , t < ½
M’(t=0) = r.( 1-2.0)-r/2-1
= r
µ = r
Varians (σ2) distribusi Chi-KuadratVarians untuk distribusi Chi-Kuadrat (χ 2) adalah turunan kedua M(t) dikurangi
kuadrat turunan pertama pada saat (t=0).
M(t) = (1-2t)-r/2 , t < ½M’(t) = r.(1-2t)-r/2-1 , t < ½M’’(t) = r.(-r/2-1) .(1-2t)-r/2-1-1 . (-2) , t < ½ = (r2 + 2r). (1-2t)-r/2-2 , t < ½
M’’(t=0) = (r2 + 2r). (1-2.0)-r/2-2 , t < ½
= r2 + 2r
σ2 = M’’(t=0) – (M’(t=0)2) = r2 + 2r - r2
= 2r