BAB VI

INTEGRAL TAK TENTU

6.1. Pengantar

Jika anda mengetahui posisi benda pada saat t, misalkan S(t), dengan

menggunakan turunan anda dapat menentukan kecepatan dan percepatan benda

tersebut pada saat t. Demikian pula, jika anda mempunyai persamaan kurva, maka

anda akan dapat menentukan gradien garis singgung kurva tersebut. Akan tetapi

sering kali anda hanya mengetahui kecepatan benda pada saat t atau dalam kasus

lainnya anda hanya mengetahui gradien garis singgung kurva di setiap titik. Lalu

bagaimana anda dapat mencari letak posisi benda atau bagaimana anda menentukan

bentuk kurvanya.

Jawaban permasalahan di atas dapat anda jawab dengan menggunakan integral

tak tentu.

Hubungan Dengan Pokok Bahasan Lain

Hubungan pokok bahasan dengan pokok bahasan lainnya digambarkan dalam

diagram di bawah ini.

Tujuan Instruksional Khusus:

Setelah mempelajari pokok bahasan integral tak tentu anda diharapkan dapat

menentukan integral tak tentu fungsi yang diberikan..

172

Persamaan DifferensialIntegral Tak Tentu Turunan

Test Kemampuan Awal

Test Kemampuan Awal ini dimaksudkan untuk mengetahui sejauh mana

kesiapan anda untuk mempelajari pokok bahasan integral tak tentu. Materi tes ini

meliputi identitas trigonometri, turunan fungsi dan fungsi.

Kerjakan soal test kemampuan awal ini secara mandiri selama satu jam

dengan tingkat kejujuran yang tinggi. Jika ada satu soal saja yang salah, anda

dinyatakan tidak lulus, hal ini berarti anda akan mengalami kesulitan yang cukup

besar dalam mempelajari pokok bahasan ini. . Oleh karena itu, jika anda tidak lulus

segeralah anda mempelajari materi-materi yang bersesuaian dengan materi tes

kemampuan tersebut. Selamat mengerjakan.

Test Kemampuan Awal

Waktu: 60’

1. Misalkan f(x) = x2 + 4x + C. Tentukan nilai C, jika f(1) = 4

2. Tentukan nilai C, jika kurva f(x) = (1/2)x3 – 4x2 – 8x +C melalui titik (2,1)

3. Tentukan nilai C, jika posisi benda S(t) = t2 – (3/2)t + C pada saat t = 2 adalah

S(t) = 5 cm.

4. Nyatakan sin2 x sebagai fungsi dari cos 2x

5. Nyatakan cos2 x sebagai fungsi dari cos 2x

6. Tentukan turunan fungsi di bawah ini.

a. f(x) = (x2 + 1)1/2

b. f(x) = sin 2x

c. f(x) = sin2 x

d. f(x) = cos x sin 2x

e. f(x) = esin 2x

f. f(x) = ln (tan x)

g. f(x) = arcsin 2x

h. f(x) = arctan ex

i. f(t) = arc sec 4t

173

6.2. Integral Tak Tentu Sebagai Anti Turunan

Jika turunan dari fungsi F adalah fungsi f, maka anda akan menuliskan hal ini

dengan:

F’ (x) = f (x)

Jika yang anda ketahui adalah adalah turunannya, misalkan f, dan setelah dicari

misalkan fungsi semula adalah F, maka dalam kasus ini anda dapat menuliskannya

sebagai:

∫ f(x) dx = F(x) + C, dengan C konstanta sebarang.

Keberadaan konstanta sebarang C disebabkan karena turunan C adalah nol.

Dalam kasus di atas anda dapat katakan bahwa anti turunan atau integral tak

tentu dari fungsi f adalah F(x) + C. Hal ini berarti integral tak tentu suatu fungsi f

tidaklah tunggal (karena ada konstanta C).

Contoh :

Tunjukkan bahwa:

1. ∫ x2 dx = (1/3)x3 + C

2. ∫ (x3 – 6x) dx = (1/4)x4 – 3x2 + C

3. ∫ (1/x) dx = ln x + C

4. ∫ ex dx = ex + C

Penyelesaian :

1. Karena turunan dari (1/3)x3 + C adalah x2, maka ∫ x2 dx = (1/3)x3 + C

2. Karena turunan dari (1/4)x4 – 3x2 + C adalah x3 – 6x, maka

∫ (x3 – 6x) dx = (1/4)x4 – 3x2 + C

3. Karena turunan dari ln x adalah (1/x), maka ∫ (1/x) dx = ln x + C

4. Karena turunan dari ex adalah ex, maka ∫ ex dx = ex + C

Latihan 6.2.

Tunjukkan bahwa:

174

1. ∫ sin 2x dx = - (1/2) cos 2x + C

2. ∫ cos 4x dx = (1/4) sin 4x + C

3. ∫ e2x dx = (1/2) e2x + C

4. ∫ x5 dx = (1/6) x6 + C

5. ∫ dx / (2x-1) = (1/2) ln(2x-1) + C

6. ∫ dx / (4x2 + 1) = (1/2)arctan 2x

+ C

7. ∫ dx/(1 – 9x2)1/2 = (1/3) arcsin 3x

+ C

8. ∫ dx / x (4x2 - 1)1/2 = arcsec 2x +

C

9. ∫ sin2 x dx = (1/2)x – (1/4)sin 2x

+ C

10. ∫cos2 x dx = (1/2)x + (1/4)sin 2x

+ C

11. ∫ esin2 x sin 2x dx = esin2 x + C

12. ∫ sin 2x dx = -cos2 x + C

13. ∫ x2 ex3 dx = (1/3) ex3 + C

14. ∫ ln x dx = x ln x - + C

15. ∫ sec t dt = ln (sec t + tan t) + C

16. ∫ tan t dt = ln sec t + C

17. ∫ cot t dt = ln sin t + C

18. ∫ ex cos ex dx = sin ex + C

6.3. Rumus Dasar Integral dan Sifat-sifat Integral Tak Tentu

Dari pokok bahasan turunan anda telah mempelajari tentang sifat dan rumus

dasar turunan, sehingga rumus integral sebagai anti turunan akan mengikuti sifat dan

rumus dasar tersebut.

Sifat integral diberikan di bawah ini.

1. ∫ c dx = c ∫ dx , dengan c adalah konstanta

2. ∫ c f(x) dx = c ∫ f(x) dx, dengan c adalah konstanta

3. ∫ (f(x) + g(x)) dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx

Rumus dasar integral diberikan di bawah ini.

1. ∫ dx = x + C

2. ∫ xn dx = (xn+1 / (n+1) ) + C, n –1

3. ∫ (1/x) dx = ln x + C

4. ∫ sin x dx = -cos x + C

5. ∫ cos x dx = sin x + C

6. ∫ sec2 x dx = tan x + C

175

7. ∫ csc2 x dx = -cot x + C

8. ∫ sec x tan x dx = sec x + C

9. ∫ csc x cot x dx = -csc x + C

10. ∫ ex dx = ex + C

11. ∫ ax dx = (ax / ln a) + C, a > 0 , a 1

12. ∫ dx / (1 + x2) = arctan x + C

13. ∫ dx / (1 - x2) ½ = arcsin x + C

14. ∫ dx / x (x2 - 1) ½ = arcsec x + C

Contoh: Carilah:

1. ∫ (x3/2 + sin x – cos x + (1/2x) – 4) dx

2. ∫ (2 sec2 t – 3 csc2 t + ex) dt

3. ∫ (-4.3z + sec z tan z) dz

4. ∫ [4 csc y cot y – 1/(4 + 4y2)] dy

5. ∫ [1 / 3(1-θ2)1/2 + 1 / 2θ (θ2-1)1/2 ] dθ

Penyelesaian:

Dengan menggunakan sifat dan rumus dasar integral anda akan memperoleh

jawaban soal di atas seperti jawaban di bawah ini.

1. ∫(x3/2+sin x–cos x+(1/2x)–4)dx = ∫x3/2 dx + ∫sin x dx – ∫cos

x dx +(1/2)∫1/x dx – 4∫dx

= x(3/2)+1/[(3/2)+1] +(-cos x)–sin x +(1/2)ln x – 4x +C

= (2/5)x5/2 – cos x – sin x + (1/2) ln x – 4x +C

2. ∫ (2 sec2 t – 3 csc2 t + ex) dt = 2 ∫ sec2 t dt – 3 ∫ csc2 t dt + ∫

ex dt

= 2 tan t – 3(-cot t) + et + C

= 2 tan t + 3 cot t + et + C

3. ∫ (-4.3z + sec z tan z) dz = -4∫3z dz + ∫sec z tan z dz

= -4.(3z / ln 3) + sec z + C

= -4.3z / ln 3 + sec z + C

176

4. ∫ [4 csc y cot y – 1/(4 + 4y2)] dy = 4 ∫ csc y cot y dy – ¼ ∫

1/(1 + y2) dy

= -4 csc y – ¼ arctan y + C

5. ∫ [1 / 3(1-θ2)1/2 + 1 / 2θ (θ2-1)1/2 ] dθ = 1/3 ∫ 1/(1-θ2)1/2 dθ +

½ ∫ 1/ θ (θ2-1)1/2 dθ

= 1/3 arcsin θ + ½ arcsec y + C

Jika anda perhatikan kelima contoh di atas, anda tentu menyadari bahwa variabel

x pada rumus di atas dapat diganti variabel lain, seperti t, y, z, dan , bahkan dapat

diganti dengan fungsi, misalkan diganti f(x). Sebagai contoh rumus 1, 2, dan 3 di atas

dapat diubah menjadi:

1. ∫ df(x) = f(x) + C

2. ∫ [f(x)]n df(x) = 1/(n+1) [f(x)] n+1 + C, n –1

3. ∫ 1/ f(x) . df(x) = ln f(x) + C

Contoh: Carilah !

1. ∫ (cos y (cos y)1/2 – 1 / 2cos y) d cos y

2. ∫ [1 / 3(1-4θ2)1/2 + 1 / 2θ(4θ2-1)1/2 ] d(2θ)

3. ∫ 1 / (1+9y2) d(3y)

Penyelesaian:

1. ∫ (cos y (cos y)1/2 – 1 / 2cos y) d

cos y = ∫ (cos y)3/2 d cos y – ½ ∫ 1/cos y d cos y

= 2/5 cos5/2 y – ½ ln cos y + C

2. ∫[1/3(1-4θ2)1/2+1/ 2θ(4θ2-1)1/2] d(2θ)

=1/3 ∫1/(1-(2θ)2)1/2 d(2θ)+∫1/2θ((2θ)2-1)1/2d(2θ)

= 1/3 arcsin 2θ + arcsec 2θ + C

177

3. ∫ 1 / (1+9y2) d(3y) = ∫ 1 / (1 + (3y)2

) d(3y) = arctan 3y + C

Latihan 6.3.

Carilah !

1. ∫x3 x1/2 – x.x1/2 -1/(x.x1/2) + x3–5

dx

2. ∫ sin x d sin x + ∫ sin x dx

3. ∫ sin2 x d sin x + ∫ sin2 x dx

4. ∫ cos2 x d cos x + ∫ cos2 x dx

5. ∫ sin et d et + ∫ sin t dt

6. ∫ dy/y + ∫ d sin y/sin y

7. ∫ ecos t d cos t + ∫ et dt

8. ∫ dx/(1 + x2)+∫ d(1+x) / [1 +

(1+x)2]

9. ∫ dx/(1-x2)1/2 +∫ d sec x /(1-sec2

x)1/2

10. ∫ dz/z(z2-1)1/2 - ∫d ln z/ln z(ln2z-

1)1/2

6.4. Integral Tak Tentu dengan Metode Substitusi

Anda dapat mencari dengan terlebih dahulu menguraikan bentuk

menjadi kemudian dengan menggunakan sifat integral dan rumus

dasar integral anda akan dapatkan bahwa:

.

Cara menguraikan bentuk fungsi yang akan diintegralkan seperti di atas akan tidak

efektif jika fungsi yang diintegralkan mempunyai pangkat yang lebih tinggi, seperti

. Untuk mengatasi hal ini, anda harus memahami cara pengintegralan yang

disebut dengan cara substitusi.

Contoh: Selesaikan integral di bawah ini.

1.

178

2.

3.

Penyelesaian:

1.

Misalkan , maka , sehingga Oleh karena itu:

= .

2.

Misalkan , maka , sehingga Oleh karena itu:

= .

3.

Misalkan , maka , sehingga Oleh karena itu:

= .

Ada cara lain yang dapat digunakan untuk menyelesaikan integral di atas. Cara

ini menggunakan identitas . Identitas ini diperoleh dengan cara sebagai

berikut.

.

Selanjutnya jika anda mencoba mengerjakan contoh soal di atas dengan

menggunakan identitas di atas, anda akan memperoleh jawaban sebagai berikut:

179

1. =

2. =

3. =

Latihan 6.4.

Selesaikan integral di bawah ini.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

180

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

6.5. Integral Parsial

Pada pembahasan sebelumnya anda telah mempelajari tentang cara menyelesaikan

integral dengan menggunakan sifat dan rumus integral serta terakhir anda telah dapat

menggunakan metode substitusi. Teknik yang anda kenal tersebut ternyata tidak dapat

anda gunakan dalam mencari selesaian . Untuk itu, pada sub pokok bahasan

ini anda akan diperkenalkan dengan cara pengintegralan lainnya, yang dikenal sebagai

integral parsial. Integral parsial ini dikembangkan dari aturan perkalian dalam turunan..

Karena , maka

.

Contoh: Carilah selesaian dari:

1.

181

2.

3.

Penyelesaian :

1. .

Cara I:

Misalkan dan , maka dan , sehingga

Cara II:

2.

Cara I;

Misalkan u = x dan dv = ex dx maka du = dx dan v = ex , sehingga

Cara II:

3.

Cara I:

Misalkan u = x2 dan maka du = 2xdx dan

. Sehingga

182

Cara II:

=

=

Latihan 6.5.

Selesaikan integral di bawah ini :

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

183

11. Misalkan gradien garis singgung kurva f di setiap titik x adalah . Jika

kurva tersebut melalui titik (1,3), tentukan titik yang dilalui oleh kurva pada saat

absisnya sama dengan 2.

12. Diketahui . Tentukan fungsi F, jika .

13. Diketahui partikel bergerak dengan percepatan pada saat t adalah 5t2 + 6t + 1.

Tentukan persamaan posisi partikel jika kecepatan awal dan posisi awal adalah 0.