DR. IR. SUWARNODR. IR. SUWARNO

MEDAN ELEKTROMAGNETIK IMEDAN ELEKTROMAGNETIK I

EL 2090

Vektor & Sistem Koordinat

EL 2090

Vektor & Sistem Koordinat

STEI

INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG2009

Vektor dan Skalar

• Besaran skalar : besaran yang cukup dinyatakan dengan besarnya saja

Mis: panjang, luas, suhu, ketinggian

• Besaran vektor : besaran yang tidak cukup dinyatakan dengan besarnya saja. Perlu informasi arah.

Mis: kecepatan, percepatan, gaya,

VektorVektor

Suatu vektor dinyatakan dengan besarnya dan arahnya

AaAA

AAaAA

A

Aa A

Vektor arah satuan

Electromagnetics

ElectrostaticsElectrostatic force• Proportional to the product of charges • Inversely as the square of the distance• In the direction of the line connects

between charges • Depending on the medium• Charges of same polarity : repulsive and

different polarity : attractive

4

1, aF 122

21 kR

QQk Coulomb’s law

Two charges of same polarity

Q1Q2

a21 a12

F1 F2

a

a

12221

2

12221

1

R

QQkF

R

QQkF

Charge densities

dl

dldq

lq

Line

ds

dsdq

sq

Surface

dv

dvdq

vq

Volume

l

s

v

l

0l

s

2

0s

v

3

0v

q

C/m lim

q

C/m lim

q

C/m lim

Czdzzdl

zIf

01,02Q

charge totalC/m, 2 1,0

0

21,0

0

1,0

0l

l

mCrxrdrdrds

r

If

rS

31,113/100 x 2 2)200(Q

C/m 2000,036r density Charge

3)rat C/m 6 andcenter at (0r h linear wit

03,0

0

303,0

0

2

0s

2s

2s

Electric Field intensity, E (Field Strength) V/m, kV/m, V/cm etc

R2122a

4a

4

FE

R

q

R

q

Q

E : force exerted on a positive charge introduced into the field per unit of positive charge

positive

Garis gaya dan medan E

Medan oleh muatan positif dan negatif

Intensitas medan oleh muatan titik

F=-0.15 N ax

Medan oleh muatan titik - Kartesian

Suatu muatan titik Q= 1 nC berada di (-0.5 , -1 , 2) di ruang bebas.

a. Tentukan besar intensitas medan E di titik sejauh 1 m dari muatan tsb.

b. Tentukan E di titik (0.9 , 1.2, -2.4)

CNaR

QE

oR

o

/ 94

10

4

9

2

a.

E a Q

QToQ T4 2 ( )

QT=QT - OQ=(0.9 - (-0.5)) ax + (1.2 - (-1)) ay + (-2.4 - (2)) az

=1.4 ax + 2.2 ay - 4.4 az

aa a a

a a a

QT

E x x

a

0.094a 0.148a 0.296a N / C

T

T

x y z

Qx y z

x y z

Q

QT

14 2 2 4 4

14 2 2 4 4

0 274 0 43 086

2616

10

41

3610 2616

2 2 2

9

9

. . .

( . ) ( . ) ( . )

. . .

.

.

b. E di (0.9 , 1.2 , -2.4)

Carilah gaya dan intensitas medan pada muatan Q1= 20 C di titik (0,1,2) m oleh muatan Q2=-300 C di (2,0,0) m.

(2,0,0)

(0,1,2)

Q2

Q1

x

y

z

N/C10.3Elistrik medan Intensitas

berlawananarah dengan N 6 gaya Jadi

N 6N)a4a2a4(

3/)a2aa2(

F

3/)a2aa2(

a2aa2R

51

21

21

3)36/10(410300.20x10

2141

21

21

1

1

29

66-

221

21

QF

zyx

zyxx

R

QQ

zyx

zyx

a

a

a

a

o

3

2

223

1

1121

3

2

223

1

11

)()(4

1EEE

)(

42

)(4

1

RR

RRq

RR

RRq

RR

RRqE

RR

RRqE

N

i i

ii

RR

RRqiSuperposis

13

)(4

1Emuatan n

Medan oleh banyak muatan

Muatan q1=2x10-5C dan q2=-4x10-5 C terletak di ruang bebas di (1,3,-1) dan (-3,1,-2). Tentukan E di

(3,1,-2).

V/m a2a4a108

10

10216

)a6(4

27

)aa2a2(2

41E

a2aa3R

a2aa3R

aa3aR

RR

)R(R

RR

)R(R4

1EEE

zyx

5

5xzyx

zyx

zyx2

zyx1

3

2

223

1

1121

o

o

o

x

qq

Muatan Garis

ρa2

El

Suatu muatan garis terletak pada sumbu z dari z=-5 m sampai z=5 m. Kerapatan muatan 20 nC/m. tentukan E di (2,0,0) dalam Kartesian dan silinder.

V/m a167Esilinder koordinat Dalam

V/m a167a180E

kanmenghilang saling zkomponen maka 0z bidang terhadapsimetri Karena

dE

xx

5

5)z(4

dz 2

4

aa2

)4)(36/10(410 20.

2/32

2

zx29

-9

z

z

zdz

(2,0,0)

dQ=ldz

x

y

z

R

E -5

5

Bagaimana E di (2,0,0) bila muatan garis tersebar pada z= 5 sampai + tak hingga dan dari z= - tak hingga

sampai z=-5 dengan kerapatan 20 nC/m

Pada garis lurus yang ditentukan x=2 m dan y = -4 m tersebar muatan serbasama dengan kerapatan 20 nC/m. Tentukan E di (-2,-1,4)

V/m a2.43-57.6aE

a3-4a]a)41(2)a-(-2[z.arah Edan jarak komponen ada

tidakmaka zsejajar garis pada beradamuatan Karena

yx5

a34a-

5220.10

yxyx

yx

o

-9

Tentukan E di (2,2,2) akibat muatan garis sepanjang garis x=4 m dan y=3 m dengan kerapatan muatan 10 nC/m dan suatu muatan titik + 2 C di titik (0,0,0)

s

dydy sL

dE dEx

dEy

Z

X

Y

P

Komponen yang ada hanya Ex, karena Ey dan Ez saling menghilangkan

~

~

~

~

1

22

220

22o

tan2

2

2cos

2

dy

x

y

o

s

o

sx

yssx

yx

xdyE

yx

xd

yxdE

2 bidang muatan Kerapatan m

Cs

o

s

o

sxE

2E 0 x

2x

Na 2 o

sE

r gantung tidak ter E permukaan Muatan r

1 E garisMuatan

r

1 Etik Muatan ti

2

Muatan bidang tak hingga serbasama dengan kerapatan s berada pada bidang x= -1 dan bidang x =1. Tentukan E di sembarang tempat.

s x=1

1 xa

1x1- 0

-1 xa-

E

x

x

o

s

o

s

s x=-1

Garis Medan

Penggambaran garis medan listrik

D=k/ a

X

Y

A=K ax

Uniform

X

Y

B=Kx ay

Non-Uniform

Hukum Biot Savart Bila suatu kutub magnet dengan kekuatan m berada pada medan magnet dengan kerapatan flux B maka gaya yang dialami oleh kutub tersebut (F) adalah F = mB Ekspresi ini merupakan analogi pada medan listrik F = QE. Eksperimen Biot Savart menunjukkan bahwa gaya dF yang diakibatkan oleh dB yang berasal dari elemen

differensial Idseperti pada gambar 1.28 mempunyai ciri-ciri : a. sebanding dengan perkalian antara arus, differensial panjang dan elemen arus

dengan titik observasi b. berbanding terbalik dengan kuadrat jarak antara elemen arus dan titik observasi c. arah gaya normal terhadap bidang yang mengandung dI dan garis penghubung dI

dengan titik observasi. Secara matematis dinyatakan sebagai :

d mdm I d

roF B

4 2

sin

Dalam notasi vektor menjadi

d md md a

RoRF B

I x

4 2

dimana o/4 merupakan suatu konstanta

Vektor satuan pada arah garis penghubung antara dz dan adalah : aQP = a cos - az sin

= a a

r

z

rQPz

QP

dimana r zQP 2 2

. Medan magnet oleh elemen arus ini adalah :

dIdz x

ro z QP

QP

Ba a

4 2

Subtitusi aQP dan az x a = a dan az x az = 0 maka

dI dz

ro

QP

B a 4 3

Medan magnet total diperoleh dengan integrasi dari z = - sampai z = dan didapat :

BI dz

z

I z

z

BI

I

o

o

z

o

o

z4

4

2

2

2 2 3 2

2 2 2 1 2

( )

( )

/

/

Wb / m

atau

B a

2

Gaya Lorentz• Bila suatu muatan listrik Q bergerak pada medan

magnet B maka muatan akan mengalami gaya yang sebanding dengan Q, kecepatan V, rapat fluks magnetik B dan sudut antara V dan B. Arah gaya akan tegak lurus baik pada V maupun B. Secara matematis dinyatakan dengan :

F = Q v x B• Dengan demikian bila suatu muatan bergerak di dalam

ruangan dengan medan listrik dan medan magnet maka akan mengalami gaya

F = Q (E + v x B) Gaya Lorentz

Hk. Gauss

iterlingkupSQ dS.D

iterlingkupSQ dS.D

Flux Listrik

Muatan titik q di pusat bola

qRR

q

R

q

2

2

R2

4.4

ortogonal)permukaan karena( S.DdS.D

Gauss Integral

a4

D

Rradius pada GaussPermukaan

E

r

Mencari E dari muatan garis uniform

r

r

rr

2

00

a2

Eatau

a2

D

2

a.a

muatanD.dS

silinder Gausspermukaan Lihat

r

r

hrhD

hdzrdD

o

l

l

lr

lr

h

z

E

Medan Listrik oleh bola Bermuatan

Di luar bola

Di dalam bola

r) hadaplinier ter(medan a3

aE

3

44

ortogonalmedan Karena

.

rrUntuk

rr

32o

o

rE

rEr

QdSD

o

vr

vr

S

bolapusat diik muatan titoleh medan dengan Mirif

)r

1 hadaplinier ter(medan a

1

3aE

3

44

ortogonalmedan Karena

.

rrUntuk

2r2

3

r

32o

o

r

rE

rQEr

QdSD

o

ovr

vototr

S

E

rro

Silinder bermuatan

a 2

E 2

2

QD.dS

)(silinder dalam Di

2

S

o

o

v

o

vr

vor

E

LLE

v

o

a 2

E 2

2

QD.dS

)(silinder luar Di

22

2

S

o

o

ov

o

ovr

voor

E

LLE

E

Bola konduktif berongga dan muatan titik

konduktor

+Q Ri

Ro

konduktor dalampermukaan

di tersebar Q-muatan munculakan itu karenaOleh

0E

)rr (rkonduktor dalam diDaerah oi

r2o

o

a4

QE

ikmuatan titakibat medan sepertiBerlaku

)r (r berongga bolaluar diDaerah

r

r2o

i

a4

QE

ikmuatan titakibat medan sepertiBerlaku

)r (r berongga bola dalam diDaerah

r

konduktor

+Q Ri

Ro

r

E

ro

-Q

+Q

Profil E vs r

Muatan permukaan

Latihan 1

• Suatu silinder pejal panjang bermuatan dengan rapat v C/m3 berdiri tegak di sumbu Z. Tentukan intensitas medan listrik di dalam dan di luar silinder.

Latihan 2

• Diketahui distribusi muatan sebagai berikut

• Tentukan E di semua tempat

lain tempat di 0

4r 2 C/m

bolapusat di 3

oq

Hk Gauss utk Medan Magnet

S

0dS.B

Fluksi magnet yang keluar dari permukaan tertutup sama dengan nol

Atau

Fluksi masuk sama dengan keluar

Hk Faraday

SC dt

demf dS.Bdl.E

B keluar bidang kertas

tabBdt

d

tabBdydxtB

dydxtBdSB

tB

om

o

b

y

a

x

om

b

y

oS

a

x

m

o

sin-E.dlemf

emf Induksi

coscos

a.acos.

magnetik Fluksi

acosB

C

00

z

0

z

0

z

Hk Ampere

current)ent (displacempergeseran arus:dS.Ddt

d

konduksi arus:dS.J

dS.Ddt

ddS.Jarus Totaldl.

μ

B

S

S

SSC o

Rapat arus pergeseran JD= dD/dt

Medan Magnet oleh filemen arus

I Baρ

2B

2B I2 B

sehingga ortogonal) (saling

Zsbarah dldan angular berarah B

dlB

Ampere

I

I

IHkC o

B

Medan Magnet oleh arus terdistribusi uniform pada konduktor silinder

φo

φ2o

2o

2

22

2o

enc

C1

a2π

IμB

filamen arusdengan serupakonduktor luar Di

a2ππ

IμB

2ππ

IμB

a

I)(

πa

I2.

B

Idl.B

a)(silinder dalam Di

o

B

a

Pers Maxwell utk medan statik dalam bentuk integral

SC o

C

S

S

Id

Q

dS.Jl.B

0dl.E

0ds.B

ds.D

(Silinder) 1

zaz

Ta

Ta

TT

(bola) sin

11

aT

ra

T

ra

r

TT r

Gradient formula

)(Kartesian zyx az

Ta

y

Ta

x

TT

Gradient of a scalar function is conservative i.e. : 0 =dr .

From the figure :

0

ddddd

12

21 122

112

PP

PPPP

PP

)(

)(

Example

4 z-sin 2V 2.

6xy-10xz5xV 1.

:berikut Vskalar fungsi darigradien Tentukan

z

zz

z

yx

a-a cos2

a -z

4)a z-sin (2

4)a z-sin (21

4)a z-sin (2V 2.

(10x)a(-x)a10z)a(5

6)axy-10xz(5x

6)axy-10xz(5x6)axy-10xz(5xV 1.

:Jawab

zyx

z

yx

DIVERGENCE OF VECTOR FIELD

Vector F and flux

sink and source No

0F.dS

flux outwardflux inward

S

source As

0F.dS

flux outwardflux Inward

S

sink As

0F.dS

flux outwardflux Inward

S

Divergence of a vector F is defined as

z

F

y

F

x

FF Div zyx

If operator nabla is zyx az

ay

ax

then

z

F

y

F

x

F=

)aFaFaF(az

ay

ax

F

zyx

zzyyxxzyx

..

(Cylinder) 1)(1

z

FFFdivF z

(Sphere) sin

1)sin(

sin

1)(1 2

2

F

r

F

rr

rF

rdivF r

)(Cartesian F Divz

F

y

F

x

F zyx

Divergences for each coordinate systems

DIVERGENCE THEOREM

s v dvFdsF ...

EXAMPLE

A(1,1,1)at .A)A( Determine

a a axAGiven zyx2

xyyz

3.A A(1,1,1),At

z2x

)(z

)(y

)(x

A. 2

xyyzx

O(0,0,0)at .D Determine

a 2 cos2a sin D If z2

za

0.D O(0,0,0)At

4z 2sin-2sin

)2()cos2(1

)sin(1

.D

:Ans

22

zz

Gradient and divergence in electrostatics

Potential V Field ECharge density

Gradient Divergence

VE vE.D.

Integration

ExampleIn free space potential is expressed as V=2x2y+3z +100 V

Determine E and at A(1,1,1) m

30

00

zyx

zy2

x

C/m -4 A(1,1,1)At

y-4E..D.

V/m a 3a2a-4E , A(1,1,1)At

V/m a3a2a-4xyV-E b.

V 105 is A(1,1,1)at Potential a.:Ans

c

x

Potential in free space is independent on y and z and only a function of x and expressed graphically

below

0 2 4 6 8 x (m)

V (volt)

Determine

a. Electric field between x=0 and x = 8

b. Charge density

c. Total charge in a sphere with radius of 1 m centered at (6,6,6)

CURL OF A VECTOR FIELD

Curl indicates net circulation of a vectior field around closed contour( or about a point). For example water flow in a canal with non uniform velocity

If F is a vector as function of x, y and z then curl of F can be expressed as

Curl F = Curl Fx ax + Curl Fy ay + Curl Fz az

Curl meter for water flow in a canal

Curl V = 0 Curl V > 0 Curl V < 0

Z

Y

Y

Z

Curl releases a vertical force

Cylindrical zz2 a

F1F

1a

F

z

Fa

z

FF1curlF

)(

Spherical

aF

rF r

r

1 +

arF r

F

1

r

1 a

Fsin F

sin r

1 curlF

r

rr

sin

zxy

yzx

xyz a

yx

Fa

xz

Fa

zy

FcurlF

Cartesian

Curl in different coordinate systems

Illustration of divergence and Curl

Example

zyx

zyx

x

a -aaxA maka (0,0,0) titik Di

aax cos-aa

)e(y0ax) cos(y

///xA

:Jawab

x

zyx

e

dzyx

aaa

(0,0,0)at xA Determine)ae(yax)a cos(y A vector aGiven z

xx

zyx

zyx

x

a -aaxA , (0,0,0)At

aax cos-aa

)e(y0ax) cos(y

///xA

:Ans

x

zyx

e

dzyx

aaa

From chapter I for a conductor with radius of a and uniform current I

conductor outside and inside B of Curl Determine

a 2

Iμ

a 2

IμB

o

2o

a

aa

Ja

02

0

///

//

xB

conductor Inside

z2

2

a

I

a

Iz

aaao

o

z

0

02

0

///

//

xB

conductor Outside

Iz

aaa

o

z

STOKES THEOREM

Surface Integral relates with line integral as

S c d . F = ds . F x

AMPERE’s AND FARADAY’S LAWS IN THE FORM OF DIFFERENTIAL

Ampere’s Law

c S oSo

ds . E dt

d + ds . J = d .

B

Another approach is using Stokes theorem

s s so

oc

ods .

t

E + ds . J = ds .

B x = d .

B

Taking surface element of s

s t

+ s J = s B

x ox

xo

xE

And then

t

E + J =

B o

o

curl

For Faraday’s law

sc

dsBdt

ddE . .

Using Stokes theorem

sc s ds t

B ds . E x d E ..

c ss ds . t

B = ds . E x dE

.

And for surface element s s t

B - = s E x n

n

Ort

BxE

t

B- = E x

t

E + J = H =

B

O

oxx

0

xE

JB

xo

For static field then (dt) = 0 And therefore

t

x o

v

B- = E x

t

E + J = H =

B x

0B.

ρD.

O

Summary of Maxwell Equations in differential

forms

CONTINUITY EQUATION AND DISPLACEMENT CURRENT

Electric charge is conservative i.e. can not be created and can not be destroyed. The possibility is displacement of charges to form electric current. For a volume enclosed by a surface S with a charge density of v and a current density J

ρv

J

S

Net flux outward from closed surface S is equal with the decrease of charge in the volume enclosed by S

dvdt

ddsJ v vs .

Divergence of J . . x B

J o

In vector mathematics the divergence of a curl should be zero then

.J = 0

This is inconsistent with continuity equation. Maxwell introduced JD as

x B

J + J D o

t- =

J . - = J .

v

D

t = J . v

D

Then continuity equation is satisfied

or

This is displacement current introduced by Maxwell.

Thus Ampere‘s law can be expressed as

t

E + J =

B x o

tEε

DoJ

tEε

ottDov )Eε.(J.

tEε

DoJ

For steady current div J=0 because d/dt=0 then

current)for Law s(Kirchoff' 0I 0J.dS

0.J

S jj

conductor quasior insulator conduktor, is

medium whether determines J

J Ratio

EEJ , frequency angular For t

DEJJJ :medium ain Current

D

C

DC

j

ExampleIn a material with = 5S/m and relative permittivity of 1 electric field is expressed as E=250 sin 1010 t (V/m). Determine conduction current and displacement current. At which frequency the 2 currents are the same ?

GHz 89,9fat occurs which then JJ)(A/m )901022,1sin( 1022,1cos

)10sin250(Jdensity current nt Displaceme

)/( 10sin1250EJdensity current Conduction

:Ans

DC

21010

10D

210c

tt

ttt

DmAt

ro

sdielectricinsulator/ Good 01,0106,2 MHz, 1fAt

1,2 , S/m3x10 Plastic

conductor goodVery 10010 , MHz 1 fAt

, MS/m 58Copper

4

o8-

12

o

x

100 0,01 /insulatorconductor Quasi

sdielectric insulator/ Good 01,0 Insulator

conductor Good 100 , Conductor

120 . = = H

E

rr

r

Beberapa parameter gelombang yang perlu diketahui adalah