3 Prediktor Korektor (1)
description
Transcript of 3 Prediktor Korektor (1)
-
09/03/2015
1
Penyelesaian PDB
Metode Multi Step & Predictor - Corrector
Pendahuluan Metode P-C multi-step:
predictor : Menaksir yr+1 dari yr , yr-1, yr-2,...
corrector : Memperbaiki nilai yr+1 dari predictor
Metode P-C yang banyak ditulis dalam literatur danakan bahas di sini adalah:
1. Metode Adams-Bashforth-Moulton.2. Metode Milne-Simpson3. Metode Hamming
Predictor - Corrector2
-
09/03/2015
2
Pendahuluan (Cont.) Metode Heun adalah salah satu metode predictor
corrector (P-C)satu-langkah (one-step).
Metode satu-langkah (one-step): untuk menaksir nilai y(xr+1) dibutuhkan satu buah taksiran nilai sebelumnya, y(xr).
Terdapat metode P-C yang banyak-langkah (multi-step).
Metode banyak-langkah (multi-step): perkiraan nilaiy(xr+1) membutuhkan beberapa taksiran nilai sebelumnya, y(xr), y(xr-1), y(xr-2), ... .
Predictor - Corrector3
Metode multi step
Predictor - Corrector4
Diberikan persamaan diferensial non linear orde satu sebagai berikut :
......... (1)Persamaan (1) diintegralkan dari didapat :
00dengan,' yxyxyxfy 1 nn xx
dxxyxfxyxy
dxxyxfxyxy
dxxyxfdxyxy
n
n
n
n
n
n
n
n
x
xnn
x
xnn
x
x
x
x
1
1
11
,
,
,'
1
1
-
09/03/2015
3
Metode multi step (Cont.)
Predictor - Corrector5
Misal
Untuk mendapatkan nilai A digunakan interpolasi polinomial untuk pendekatan dari yang mungkin sulit diintegralkan.
Interpolasi polinomial dalam Lagrange adalah kombinasi linier berbentuk :
dimana
dxxyxfAn
n
x
x
1
,
xP xyxf ,
k
jjj xlyxL
0
mj
m
jmkmj xx
xxxl
0
Metode multi step (Cont.)
Predictor - Corrector6
Interpolasi dinyatakan dengan :
Sehingga :
1 1
1
111
1
1 ,,
,
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x nn
nnn
nn
nnn
t
t
dxxx
xxyxfxxxxyxfdxxP
dxxyxfA
xP
nn
nnn
nn
nnn xx
xxyxfxxxxyxfxP
111
1
1 ,,
-
09/03/2015
4
Metode Adams-Bashforth dua-step
Predictor - Corrector7
Ruas kanan diintegral kemudian disederhanakan didapat :
nnnnnnn
nn
nnnnnnn
nn
x
xn
nn
nnx
xn
nn
nn
x
x nn
nnn
nn
nnn
x
x
xxxxxxxyxf
xxxxxxxyxf
xxxxxyxfxxx
xxyxf
dxxx
xxyxfxxxxyxfdxxP
n
n
n
n
n
n
n
n
122
11
11
1122
11
2
1
111
2
1
111
1
1
21,
21,
21,
21,
,,
11
11
Metode Adams-Bashforth dua-step
Predictor - Corrector8
Hasil integral disederhanakan didapat :
111111
111
11
1111
11
11111
,221,2
21
2,21
2,21
2,21
2,211
nnnnnnnnnn
nnnnn
nnnnn
nnnnnnnnn
nn
nnnnnnnnn
nnx
x
yxfxxxyxfxxx
hxxxhh
yxf
hxxxhh
yxf
xxxxxxxxxyxf
xxxxxxxxxyxfdxxP
n
n
-
09/03/2015
5
Metode Adams-Bashforth dua-step
Predictor - Corrector9
Karena : Maka :
Sehingga
Jadi persamaan yang berbentuk :
Disebut persamaan Adams-Bashfort dua-step dengan truccation error
hxxxx nnnn 11
11,21,
23
nnnn yxfhyxfhA
111 ,21,
23
nnnnnn yxfhyxfhxyxy
111 ,21,
23
nnnnnn yxfhyxfhxyxy
3hO
Metode Adams-Bashforth tiga-step
Predictor - Corrector10
Perhatikan bentuk multi step
Dengan
Polinomial dikembangkan sampai 3 suku didapat :
dxxyxfxyxyn
n
x
xnn
1
,1
dxxyxfAn
n
x
x
1
,
122
122
211
2111
21
21
,
,,
nnnn
nnnn
nnnn
nnnn
nnnn
nnnn
xxxxxxxxyxf
xxxxxxxxyxf
xxxxxxxxyxfxP
xP
-
09/03/2015
6
Metode Adams-Bashforth tiga-step
Predictor - Corrector11
Karena : Maka :
nnx
xnn
nnx
x
yxhfdxxxxxh
yxfdxxPn
n
n
n
,1223
2, 11
2121
hxxxxxx nnnnnn 1121
1122 112 ,34, 11
nn
x
xnn
nnx
x
yxhfdxxxxxh
yxfdxxPn
n
n
n
22122 223 ,125
2, 11
nn
x
xnn
nnx
x
yxhfdxxxxxh
yxfdxxPn
n
n
n
Metode Adams-Bashforth tiga-step
Predictor - Corrector12
Pendekatan dari A adalah :
Jadi :
Merupakan rumus Adams Bashforth tiga-step dengan truncation error
dxxPdxxPdxxPdxxPAn
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
1111
321
22111 ,125,
34,
1223
nnnnnnnn yxhfyxhfyxhfxyxy
2211 ,125,
34,
1223
nnnnnn yxhfyxhfyxhfA
4hO
-
09/03/2015
7
Metode Adams-Bashforth empat-step
Predictor - Corrector13
Untuk metode Adams Bashforth empat-step :
truncation error
,...4,3,],9,37
,59,55[24
3322
111
nyxfyxf
yxfyxfhyy
nnnn
nnnnnn
5hO
Algoritma Multi step
Predictor - Corrector14
Untuk metode Adams-Bashforth dua-step
Untuk dapat menggunakan rumus Adam-Boshfort dibutuhkan nilai
Nilai merupakan nilai awal Untuk mencari nilai menggunakan metode
Euler Runge Kutta Lainnya
...4,3,2,1,,21,
23
111 nyxfhyxfhxyxy nnnnnn
10 , xyxy 0xy
1xy
-
09/03/2015
8
Contoh
Predictor - Corrector15
Diberikan PD :
Nilai : Dengan didapat
Iterasi berikutnya untuk mendapat dicari nilaidengan menggunakan Euler
21y awalsyarat dengan ,1' 2 xyy 1untuk ,2 00 xxy
2.0h 4000.22.1 y
111 ,21,
23
nnnnnn yxfhyxfhxyxy
22.02111.14000.22.0
234000.24.1 2 y
7920.24.1,4000.22.1 yy 4.1y
Algoritma Metode Multi - Step
Predictor - Corrector16
Untuk Adams-Bashfort tiga step
Dibutuhkan : Nilai
Nilai merupakan nilai awal Nilai dicari dengan menggunakan metode :
Euler Runga Kutta Lainnya
22111 ,125,
34,
1223
nnnnnnnn yxhfyxhfyxhfxyxy
210 ,, xyxyxy 0xy 21 , xyxy
-
09/03/2015
9
Metode Predictor-Corrector
Predictor - Corrector17
Persamaan Adams-Boshfort dua step digunakan sebagai predictor dan dinyatakan dengan :
Untuk corretor digunakan persamaan Adam-Moulton sebagai berikut :
Dua persaman diatas dikenal sebagai Metode Predictor-Corrector Adams-Boshfort-Moulton
c 111 ,21,
23
nnnnnn yxfhyxhfyP
c nnnnnn yxfPxhfyy ,,21
111
Metode Predictor-Corrector
Predictor - Corrector18
Persamaan Adams-Boshfort tiga step sebagai predictor dan persamaan Adams-Moulton sebagai corrector silahkan dicari sendiri.
Persamaan Predictor Corrector Adams-Boshfort-Moulton untuk empat step adalah :
Predictor :
Corrector :
CatatanUntuk mendapat persamaan P-C Adams-Boshfort-Moulton diatas P(x) disekati dengan persamaan beda Newton maju atau mundur
3311111 ,9,37,59,5524 nnnnnnnnnn yxfyxfyxfyxf
hyP
2211111 ,,5,19,924 nnnnnnnnnn yxfyxfyxfPxf
hyy
-
09/03/2015
10
Galat Pemotongan Adams-Boshfort-Moulton
Predictor - Corrector19
Galat pemotongan untuk Predictor AdamsBoshfort adalah :
dengan adalah nilai prediksi
Galat pemotongan untuk Corrector AdamsMoulton adalah :
dengan adalah hasil iterasi pertama Corrector
Hasil eksak dari
*....720251 550
11 yhyxyE nnAB
**....72019 551
11 yhyxyE nnAM
01ny 1ny
11ny
1nxy 1nx
Galat Pemotongan Adams-Boshfort-Moulton
Predictor - Corrector20
Persamaan (*) dikurangi (**) didapat :
Galat Pemotongan :
550 11 720251 yhyxy nn
551 11 72019 yhyxy nn
550 11 1 720270 yhyy nn
0 11 155 270720
nn yyyh
-
09/03/2015
11
Algoritma Adams-Boshfort-Moulton
Predictor - Corrector21
1. Diberikan PD non Linier :dengan
2. Hitung empat nilai awalnilai syarat awal
dengan Runge Kutta orde empat 3. Tentukan sebagai berikut :
00awal nilai,,' yxyxyxfy hxx nn 1
0y
321 ,, yyy...,4,3,,,, 321 nffff nnnn
333
2221
1112
0003
,,,,
yxfffyxfffyxfffyxfff
n
n
n
n
Algoritma Adams-Boshfort-Moulton
Predictor - Corrector22
4. Tentukan solusi numerik dari predictor Adams-Boshfort orde empat :
5. Masukan hasil no. 4 ke corrector Adams-Moulton
6. Corrector diiterasi ke k sampai menghasilkan galat :
dengan bilangan yang sangat
kecil yang ditentukan, misal
3322110 1 ,9,37,59,5524 nnnnnnnnnn yxfyxfyxfyxf
hyy
22110 111 ,,5,19,924 nnnnnnnnnn yxfyxfyxfyxfhyy
...,2,1,1
111
k
y
yyk
n
kn
kn
8105
-
09/03/2015
12
Contoh
Predictor - Corrector23
1 Diberikan PD :
2 Nilai :Dengan dan dengan Runge Kutta didapat
, , 3. Predictor
Corrector
21y awalsyarat dengan ,1' 2 xyy 1untuk ,2 00 xxy
2.0h 3972.22.1 y 7798.24.1 y 1349.36.1 y
293972.2377798.2591349.35524
2.01349.304 y
3972.27798.251349.319,924
2.01349.3 0 114 nn yxfy
Metode Milne-Simpson
Predictor - Corrector24
Predictor
Corrector
Galat Predictor :
Corrector :
dengan adalah nilai prediksi adalah hasil iterasi pertama Corrector
,...4,3,,2,,23
4112231 nyxfyxfyxf
hyP nnnnnnnn
,...3,2,,,4,3 111111
nyxfyxfyxfhyy nnnnnnnn
550 11 9028 yhyxyE nnMS
551 11 901 yhyxyE nnMS
01ny 1ny
11ny
-
09/03/2015
13
Metode Hamming
Predictor - Corrector25
Predictor
Corrector
,...4,3
,2,,23
4112231
n
yxfyxfyxfhyP nnnnnnnn
,...3,2
,,2,8
38
98 1111
21
n
yxfyxfyxfhyyy nnnnnnnnn