2. Matematika Diskrit - Relasi
-
Upload
onggo-wiryawan -
Category
Documents
-
view
237 -
download
0
Transcript of 2. Matematika Diskrit - Relasi
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
1/22
Matematika Diskrit
Relasi
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
2/22
Definisi
Definisi 1
n-pasangan terurut(a1, a2, ..., an) adalahsekumpulan anggota terurut yang memiliki a1
sebagai anggota pertama, a2 sebagai anggotakedua, ... dan an sebagai anggota ke-n.
3Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
3/22
Definisi
Definisi 2
Misalkan A dan B suatu himpunan.
Hasil kali Cartesian dari A dan B, dinotasikan
dengan A B, adalah himpunan dari seluruhpasangan terurut (a, b), dengan a A dan b B.
Sehingga,
A B = {(a,b) | a A b B}
4Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
4/22
Definisi
Contoh
Misalkan A = {1, 2} dan B = {a, b, c}.
A B = {(1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c)}
Catatan
A B B A
5Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
5/22
Definisi
Definisi
Misalkan A dan B suatu himpunan.
Suatu relasi biner dari A ke B adalah
subhimpunan dari A B. Artinya, suatu relasi biner dari A ke B adalah
sebuah himpunan R berupa pasangan terurut
yang anggota pertamanya berasal dari A, dananggota keduanya berasal dari B.
6Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
6/22
Definisi
Notasi
a R b
(a,b) R
a direlasikan ke b oleh relasi R.
Contoh
A = {0, 1, 2}, B = {a, b}, lalu didefinisikan bahwa
{(0,a), (0,b), (1,a), (2,b)},ini berarti 0 berrelasi dengan a, tapi 2 tidakberrelasi dengan a.
7Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
7/22
Definisi
Contoh
A adalah himpunan kota di Indonesia.B adalah himpunan pulau di Indonesia.
Didefinisikan relasi R dimana (a,b) adalah anggota Rjika kota a berada di pulau b.
Beberapa contoh anggota R adalah :(Lampung, Sumatera),
(Samarinda, Kalimantan),(Cirebon, Jawa),(Mataram, Lombok)
8Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
8/22
Definisi
Relasi dapat direpresentasikan dengan gambar,
atau tabel.
Contoh
A = {0, 1, 2}, B = {a, b}, jika {(0,a), (0,b), (1,a), (2,b)},
9Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
0
1
2
a
b
R a b
0
1
2
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
9/22
Definisi
Definisi
Suatu relasi pada suatu himpunan A adalah suatu relasidari A ke A.
Fungsi sebagai Relasi Jika R adalah suatu relasi dari A ke B sedemikian
sehingga setiapanggota di A adalah anggotapertama dari pasangan terurut pada R, maka R
adalah suatu fungsi. Dengan memasangkan suatu aanggota dari A ke tepat suatu b anggota dari Bsedemikian sehingga (a,b) R.
10Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
10/22
Sifat Relasi
Definisi
Suatu relasi R pada suatu himpunan A disebutrefleksifjika (a,a) R untuk a A.
11Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
11/22
Sifat Relasi
Contoh
Perhatikan relasi-relasi berikut pada himpunan {1, 2, 3,4}
R1 = {(1,1), (1,2), (2,1), (2,2), (3,4), (4,1), (4,4)} R2 = {(1,1), (1,2), (2,1)}
R3 = {(1,1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3,3), (4,1), (4,4)}
R4 = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,2), (2,3), (2,4), (3,3),
(3,4), (4,4)}Dari kelima relasi tersebut, hanya R3 dan R4 yangmerupakan relasi refleksif.
12Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
12/22
Sifat Relasi
Definisi
Suatu relasi R pada suatu himpunan A disebutsimetrisjika (b,a) R jika (a,b) R untuk a, b
A. Suatu relasi R pada suatu himpunan A disebut
antisimetrisjika (a,b) R dan (b,a) R hanyajika a = b untuk a, b A.
13Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
13/22
Sifat Relasi
Contoh
Perhatikan relasi-relasi berikut untuk suatuhimpunan bilangan bulat
R1= {(a,b) | a b}
R2 = {(a,b) | a = b}
R3 = {(a,b) | a = b + 1}
Dari ketiga relasi tersebut, hanya R2 yangmerupakan relasi simetris. Sedangkan relasi R1, R2dan R3 merupakan relasi antisimetris.
14Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
14/22
Sifat Relasi
Definisi
Suatu relasi R pada suatu himpunan A disebuttransitifjika (a,b) R dan (b,c) R maka (a,c) R
untuk a, b, c A.
15Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
15/22
Sifat Relasi
Contoh
Perhatikan relasi-relasi berikut untuk suatuhimpunan bilangan bulat
R1= {(a,b) | a b} R2 = {(a,b) | a = b}
R3 = {(a,b) | a = b + 1}
Dari ketiga relasi tersebut, hanya R2 yangmerupakan relasi simetris. Sedangkan relasi R1, R2dan R3 merupakan relasi antisimetris.
16Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
16/22
Sifat Relasi
Contoh
R1 = {(1, 1), (1,2), (2,1), (2, 2), (3,4), (4,1), (4, 4)}
R2 = {(1, 1), (1, 2), (2,1)}
R3 = {(1, 1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3, 3), (4,1), (4, 4)}
R4 = {(2, 1), (3,1), (3, 2), (4,1), (4, 2), (4, 3)}
R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,4), (2, 2), (2, 3), (2,4), (3,
3), (3,4), (4, 4)}R6 = {(3, 4)}.
17Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
17/22
Sifat Relasi
Contoh
Refleksifadalah
R3 = {(1, 1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3, 3), (4,1), (4, 4)}
R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,4), (2, 2), (2, 3), (2,4), (3,3), (3,4), (4, 4)}
18Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
18/22
Sifat Relasi
Contoh
Simetris adalah
R2 = {(1, 1), (1, 2), (2,1)}
R3 = {(1, 1), (1,2), (1,4), (2,1), (2,2), (3, 3), (4,1), (4, 4)}
19Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
19/22
Sifat Relasi
Contoh
AntiSimetris adalah
R4 = {(2, 1), (3,1), (3, 2), (4,1), (4, 2), (4, 3)}
R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,4), (2, 2), (2, 3), (2,4), (3,3), (3,4), (4, 4)}
R6 = {(3, 4)}.
20Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
20/22
Sifat Relasi
Contoh
Transitifadalah
R4 = {(2, 1), (3,1), (3, 2), (4,1), (4, 2), (4, 3)}
R5 = {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1,4), (2, 2), (2, 3), (2,4), (3,3), (3,4), (4, 4)}
R6 = {(3, 4)}
21Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
21/22
Sifat Relasi
ContohR1 = {(a, b) | a < b}(refleksif, antisimetris, transitif)R2 = {(a, b) | a > b}
(antisimetris , transitif)R3 = {(a, b) | a = b atau a = -b}(refleksif, simetris , transitif)R4 = {(a, b) | a = b}(refleksif, simetris, antisimetris , transitif)
R5 = {(a, b) | a = b + 1}(antisimetris)R6 = {(a, b) | a + b < 3}(simetris)
22Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo
-
8/2/2019 2. Matematika Diskrit - Relasi
22/22
Latihan
1. Misal A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {0, 3, 6}, tentukan
a. A B c. A B
b. A B d. B A
2. Misal A dan B adalah himpunan, buktikana. (A B) A
b. A (A B)
c. (A B) A
Matematika Diskrit | Relasi | oleh: Onggo Wiryawan | @_Onggo 23