2 FungsiTransenden.pdf

Fungsi Transenden

F U N G S I T R A N S E N D E N

Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom

Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Jember

6 Februari, 2014

Ahmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014

Fungsi Transenden

1 Fungsi Invers

2 Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))

3 Fungsi Eksponen Asli (y = ex )

4 Fungsi Eksponen Umum (y = ax)

5 Fungsi Logaritma Umum (y = a log x)

6 Fungsi Invers Trigonometri

7 Fungsi Hiperbolik

Fungsi Transenden

1 Fungsi Invers

7 Fungsi Hiperbolik

Fungsi Transenden

1 Fungsi Invers

7 Fungsi Hiperbolik

Fungsi Transenden

1 Fungsi Invers

7 Fungsi Hiperbolik

Fungsi Transenden

1 Fungsi Invers

7 Fungsi Hiperbolik

Fungsi Transenden

1 Fungsi Invers

7 Fungsi Hiperbolik

Fungsi Transenden

1 Fungsi Invers

7 Fungsi Hiperbolik

Fungsi InversFungsi Logaritma AsliFungsi Eksponen Asli

Fungsi Eksponen UmumFungsi Logaritma Umum

Fungsi Invers TrigonometriFungsi Hiperbolik

Fungsi Invers

Definisi 1

Fungsi y = f (x) disebut satu-satu jika f (u) = f (v) maka u = vatau jika u 6= v maka f (u) 6= f (v).

Secara geometri, grafik fungsi satu-satu dan garis yang sejajardengan sumbu x berpotongan di satu titik.

Teorema 1

Jika fungsi f satu-satu maka f mempunyai invers yangdinotasikan f−1.

Fungsi Invers

Definisi 1

Teorema 1

Fungsi Invers

Definisi 1

Teorema 1

Fungsi Invers

Hubungan f dengan f−1

f−1(f (x)) = x

f (f−1(y)) = y

Df−1 = Rf , Rf−1 = Df

Teorema 2

Jika f monoton murni (selalu naik / selalu turun) maka fmempunyai invers.

Fungsi Invers

f−1(f (x)) = x

f (f−1(y)) = y

Df−1 = Rf , Rf−1 = Df

Teorema 2

Fungsi Invers

f−1(f (x)) = x

f (f−1(y)) = y

Df−1 = Rf , Rf−1 = Df

Teorema 2

Fungsi Invers

f−1(f (x)) = x

f (f−1(y)) = y

Df−1 = Rf , Rf−1 = Df

Teorema 2

Fungsi Invers

f−1(f (x)) = x

f (f−1(y)) = y

Df−1 = Rf , Rf−1 = Df

Teorema 2

Contoh Grafik Fungsi

−5 0 5−5

← y = x

−5 0 5−5

← y = −x

−5 0 50

← y = x2

Figure: Grafik Fungsi

Contoh

Diketahui f (x) = x−1x+2

Apakah f mempunyai invers

Jika ada maka tentukan inversnya

(x) = 1(x+2)−1(x−1)(x+2)2 = 3

(x+2)2 > 0,∀x ∈ Df

Karena f selalu naik (monoton murni) maka f mempunyaiinvers.

Contoh

(x) = 1(x+2)−1(x−1)(x+2)2 = 3

(x+2)2 > 0,∀x ∈ Df

Contoh

(x) = 1(x+2)−1(x−1)(x+2)2 = 3

(x+2)2 > 0,∀x ∈ Df

Contoh

(x) = 1(x+2)−1(x−1)(x+2)2 = 3

(x+2)2 > 0,∀x ∈ Df

Contoh

(x) = 1(x+2)−1(x−1)(x+2)2 = 3

(x+2)2 > 0,∀x ∈ Df

Contoh

Misalkan y = x−1x+2 , x 6= −2

xy + 2y = x − 1⇔ xy − x = −2y − 1⇔ x = −2y−1

f−1(y) = −2y−1y−1

f−1(x) = −2x−1x−1

Contoh

Misalkan y = x−1x+2 , x 6= −2

xy + 2y = x − 1⇔ xy − x = −2y − 1⇔ x = −2y−1

f−1(y) = −2y−1y−1

f−1(x) = −2x−1x−1

Tidak Mempunyai Invers

Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerahasalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan caramembatasi daerah asalnya.

Contoh

f (x) = x2

Untuk x ∈ R, f−1 tidak ada.Agar mempunyai invers maka dibatasi daerah asalanya.Sehingga untuk x > 0, maka f−1 ada, dan untuk x < 0, makaf−1 ada.

Tidak Mempunyai Invers

Suatu fungsi yang tidak mempunyai invers pada daerahasalnya dapat dibuat mempunyai invers dengan caramembatasi daerah asalnya.

Contoh

f (x) = x2

Untuk x ∈ R, f−1 tidak ada.Agar mempunyai invers maka dibatasi daerah asalanya.Sehingga untuk x > 0, maka f−1 ada, dan untuk x < 0, makaf−1 ada.

Grafik Fungsi Invers

Titik (x , y) terletak pada grafik fTitik (y , x) terletak pada grafik f−1

Titik (x , y) dan Titik (y , x) simetri terhadap garis y = xSehingga Grafik f dan f−1 simetri terhadap garis y = x

Figure: Grafik Fungsi InversAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014

Turunan Fungsi Invers

Teorema

Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan padaselang I. Jika f−1 6= 0, x ∈ I maka f−1 dapat diturunkan diy = f (x) danf−1′(y) = 1

f ′(x)

Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai dxdy = 1

Turunan Fungsi Invers

Teorema

Misalkan fungsi f monoton murni dan mempunyai turunan padaselang I. Jika f−1 6= 0, x ∈ I maka f−1 dapat diturunkan diy = f (x) danf−1′(y) = 1

f ′(x)

Bentuk diatas dapat juga dituliskan sebagai dxdy = 1

Contoh

Diketahui f (x) = x5 + 2x + 1 tentukan (f−1)′(4).

f ′(x) = 5x4 + 2, y = 4 jika dan hanya jika x = 1(f−1)′(4) = 1

f ′(1) = 17

Contoh

Diketahui f (x) = x5 + 2x + 1 tentukan (f−1)′(4).

f ′(x) = 5x4 + 2, y = 4 jika dan hanya jika x = 1(f−1)′(4) = 1

f ′(1) = 17

Fungsi Logaritma Asli (y = ln(x))

1 Fungsi Logaritma Asli (ln) didefinisikan sebagai:

ln(x) =

dt , x > 0

2 Dengan Teorema Dasar Kalkulus, diperoleh:

Dx [ln(x)] = Dx(

dt) =1x

3 Secara umum, jika u = u(x) maka

Dx [ln(u)] = Dx(

∫ u(x)

dt) =1u

ln(x) =

dt , x > 0

Dx [ln(x)] = Dx(

dt) =1x

Dx [ln(u)] = Dx(

∫ u(x)

dt) =1u

ln(x) =

dt , x > 0

Dx [ln(x)] = Dx(

dt) =1x

Dx [ln(u)] = Dx(

∫ u(x)

dt) =1u

ln(x) =

dt , x > 0

Dx [ln(x)] = Dx(

dt) =1x

Dx [ln(u)] = Dx(

∫ u(x)

dt) =1u

Fungsi Logaritma Asli

Contoh

Diketahuif (x) = ln(sin(4x + 2))

f ′(x) =1

sin(4x + 2)Dx (sin(4x + 2))

=4cos(4x + 2)

sin(4x + 2)

Integral Fungsi Logaritma Asli

Jika y = ln |x |, x 6= 0

y = ln(x), x > 0 → y ′ =1x

y = ln(−x), x < 0 → y ′ =−1−x

Jadi,d(ln |x |)

, x 6= 0

Dari sini diperoleh∫ 1

x dx = ln |x | + C

Sifat-Sifat Logaritma Asli

ln 1 = 0

ln(ab) = ln a + ln b

ln(a/b) = ln a − ln b

ln ar = r ln a

ln 1 = 0

ln ar = r ln a

ln 1 = 0

ln ar = r ln a

ln 1 = 0

ln ar = r ln a

ln 1 = 0

ln ar = r ln a

Contoh

Hitung∫ 4

x3 + 2dx

Misal u = x3 + 2 → du = 3x2dx → 1/3du = x2dx

x3 + 2dx =

du =13

ln |u| + c

ln |x3 + 2| + cAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014

Contoh

Hitung∫ 4

x3 + 2dx

Misal u = x3 + 2 → du = 3x2dx → 1/3du = x2dx

x3 + 2dx =

du =13

ln |u| + c

ln |x3 + 2| + cAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014

Lanjut....

sehingga∫ 4

x3 + 2dx

ln |x3 + 2|)4

=13(ln 66 − ln 2)

Grafik Fungsi Logaritma Asli

f (x) = ln(x) =

dt , x > 0

f ′(x) =1x

> 0,∀x ∈ Df

f selalu monoton naik pada Df

3 f ′′(x) = −1x2 < 0,∀x ∈ Df Grafik selalu cekung kebawah

f (1) = 0

f (x) = ln(x) =

dt , x > 0

f ′(x) =1x

> 0,∀x ∈ Df

f (1) = 0

f (x) = ln(x) =

dt , x > 0

f ′(x) =1x

> 0,∀x ∈ Df

f (1) = 0

f (x) = ln(x) =

dt , x > 0

f ′(x) =1x

> 0,∀x ∈ Df

f (1) = 0

f (x) = ln(x) =

dt , x > 0

f ′(x) =1x

> 0,∀x ∈ Df

f (1) = 0

Figure: Grafik Fungsi Logaritma AsliAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014

Fungsi Eksponen Asli (y = ex)

Fungsi logaritma asli merupakan fungsi monoton murni,sehingga mempunyai invers. Invers dari fungsi logaritma aslidisebut fungsi eksponen asli. Jadi berlaku hubungan

y = exp(x) ⇔ x = ln(y)

sehingga

y = exp(ln(y))

danx = ln(exp(x))

Fungsi Eksponen Asli

Definisi

Bilangan e adalah bilangan real positif yang bersifat ln(e) = 1.

Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh

er = exp(

er)) = exp(r ln(e)) = exp(r)

Sehingga exp(x) = ex

Fungsi Eksponen Asli

Definisi

Bilangan e adalah bilangan real positif yang bersifat ln(e) = 1.

Dari sifat (iv) fungsi logaritma diperoleh

er = exp(

er)) = exp(r ln(e)) = exp(r)

Sehingga exp(x) = ex

Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Asli

Turunan

y = ex ⇔ x = ln(y)⇒ dx

dy = 1y

⇒ dydx = 1

= y = ex

sehingga Dx (ex) = ex

Secara umum Dx (eu(x)) = euu′

Integral

Sehingga∫

exdx = ex + C

Turunan dan Integral Fungsi Eksponen Asli

Turunan

y = ex ⇔ x = ln(y)⇒ dx

dy = 1y

⇒ dydx = 1

= y = ex

sehingga Dx (ex) = ex

Secara umum Dx (eu(x)) = euu′

Integral

Sehingga∫

exdx = ex + C

Grafik Fungsi Eksponen Asli

Karena fungsi eksponen asli merupakan invers dari fungsilogaritma asli, maka grafi fungsi eksponen asli diperolehdengan cara mencerminkan grafik fungsi logaritma asliterhadap garis y = x .

Figure: Grafik Fungsi Eksponen AsliAhmad Kamsyakawuni, M.Kom - Matematika Lanjutan Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Jember 2014

Contoh

Turunan

Tentukan Dx(e3x ln(x))= e3x ln(x)Dx(3x ln(x))= e3x ln(x)(3 ln(x) + 3)

Integral

Tentukan∫

Misal u = 3x ⇒ du = −3

x2 dx ⇒ 1x2 dx = −1

Contoh

Turunan

Tentukan Dx(e3x ln(x))= e3x ln(x)Dx(3x ln(x))= e3x ln(x)(3 ln(x) + 3)

Integral

Tentukan∫

Misal u = 3x ⇒ du = −3

x2 dx ⇒ 1x2 dx = −1

Lanjut...

Integral

Sehingga∫

−13eudu = −1

3eu + c = −13e3/x + c

Latihan

A. Tentukan y’

1. y = sec e2x − e2 sec x 6. y = ln(x2 − 5x + 6)

2. y = x5e−3 ln x 7. y = ln(cos 3x)

3. y = tan e√

x 8. y = ln xx2

4. y2e2x + xy3 = 1 9. y = ln(sin x)

5. ey = ln(x3 + 3y) 10. y = sin(ln(2x + 1))

Latihan

B. Selesaikan Intergral Tak Tentu dibawah ini

1.∫ 4

2x+1dx 8.∫

e−x sec2(2 − e−x)dx

2.∫ ln2 3x

x dx 9.∫

(cos x)esin xdx3.

∫ x3

x2+1dx 10.∫

e2 ln xdx

4.∫ tan(ln x)

x dx 11.∫

x2e2x3dx

5.∫ 2

x(ln x)2 dx 12.∫ e2x

ex+3dx

6.∫ 4x+2

x2+x+5dx 13.∫ e3x

(1−2e3x )2 dx

(x + 3)ex2+6xdx

Latihan

C. Selesaikan Integral Tentu dibawah ini

1.∫ 4

1−2x dx 6.∫ ln(2)

0 e(−3x)dx

2.∫ 4

1 √x(1+

dx 7.∫ 2

3.∫ ln(3)− ln(3)

ex +4dx 8.∫ 2

0 xe4−x2dx

4.∫ ln(5)

0 ex (3 − 4ex)dx 9.∫ e2

x(ln(x))2 dx

5.∫ 1

0 e2x+3dx

Fungsi Eksponen Umum (y = ax)

Fungsi f (x) = ax , a > 0, a 6= 1 disebut fungsi eksponen umum.Untuk x > 0, a 6= 1 dan x ∈ R, didefinisikan ax = ex ln(a)

Turunan dan Integral Fungsi Eksponen

Dx(ax ) = Dx(ex ln(a)) = ex ln(a) ln(a) = ax ln(a)Jika u = u(x), makaDx(au) = Dx(eu ln(a)) = eu ln(a) ln(a)u′ = auu′ ln(a)Dari sini diperoleh

axdx =ax

ln(a)+ C, a 6= 1

Fungsi Eksponen Umum (y = ax)

Fungsi f (x) = ax , a > 0, a 6= 1 disebut fungsi eksponen umum.Untuk x > 0, a 6= 1 dan x ∈ R, didefinisikan ax = ex ln(a)

Turunan dan Integral Fungsi Eksponen

Dx(ax ) = Dx(ex ln(a)) = ex ln(a) ln(a) = ax ln(a)Jika u = u(x), makaDx(au) = Dx(eu ln(a)) = eu ln(a) ln(a)u′ = auu′ ln(a)Dari sini diperoleh

axdx =ax

ln(a)+ C, a 6= 1

Sifat-sifat Fungsi Eksponen Umum

Untuk a > 0,b > 0, x , y bilangan riil berlaku:1

axay = ax+y

ay = ax−y

3 (ax )y = axy

(ab)x = axbx

axay = ax+y

ay = ax−y

3 (ax )y = axy

(ab)x = axbx

axay = ax+y

ay = ax−y

3 (ax )y = axy

(ab)x = axbx

axay = ax+y

ay = ax−y

3 (ax )y = axy

(ab)x = axbx

axay = ax+y

ay = ax−y

3 (ax )y = axy

(ab)x = axbx

Contoh

Hitung turunan pertama dari f (x) = 32x+1 + 2sin 2x

f ′(x) = (2)32x+1 ln 3 + (2)2sin 2x ln 2 cos 2x

Hitung∫

4x2xdx

Misal u = x2 ⇒ du = 2xdx ⇒ xdx = 12du

4x2xdx =

4u du2 = 1

ln4 + C = 4x2

2ln4 + C

Contoh

Hitung∫

4x2xdx

4x2xdx =

4u du2 = 1

ln4 + C = 4x2

2ln4 + C

Contoh

Hitung∫

4x2xdx

4x2xdx =

4u du2 = 1

ln4 + C = 4x2

2ln4 + C

Contoh

Hitung∫

4x2xdx

4x2xdx =

4u du2 = 1

ln4 + C = 4x2

2ln4 + C

Grafik Fungsi Eksponen Umum

1 f (x) = ax , a > 0, Df = (−∞,∞)

2 f ′(x) =

ax ln a < 0, 0 < a < 1;

ax ln a > 0, a > 1;

f monoton naik jika a > 1f monoton turun jika 0 < a < 1

3 f ′′(x) = ax (ln a)2 > 0,∀x ∈ Dfgrafik f cekung keatas

4 f (0) = 1

1 f (x) = ax , a > 0, Df = (−∞,∞)

2 f ′(x) =

ax ln a < 0, 0 < a < 1;

ax ln a > 0, a > 1;

4 f (0) = 1

1 f (x) = ax , a > 0, Df = (−∞,∞)

2 f ′(x) =

ax ln a < 0, 0 < a < 1;

ax ln a > 0, a > 1;

4 f (0) = 1

1 f (x) = ax , a > 0, Df = (−∞,∞)

2 f ′(x) =

ax ln a < 0, 0 < a < 1;

ax ln a > 0, a > 1;

4 f (0) = 1

1 f (x) = ax , a > 0, Df = (−∞,∞)

2 f ′(x) =

ax ln a < 0, 0 < a < 1;

ax ln a > 0, a > 1;

4 f (0) = 1

Fungsi Logaritma Umum (y = a log x)

Fungsi eksponen umum monoton murni sehingga adainversnya. Invers dari fungsi eksponen umum disebut FungsiLogaritma Umum (logaritma dengan bilangan pokok a).Notasinya a log x , sehingga berlakuy = a log x ⇔ x = ay , a > 0, dan a 6= 1Dari hubungan ini didapatln x = ln ay = y ln a ⇒ y = ln x

ln a ⇒a log x = ln xln a

Turunan Fungsi Logaritma Umum

Dx(alog x) = Dx( ln xln a ) = 1

x ln a

Jika u = u(x), maka Dx (alog u) = Dx( ln uln a ) = u′

u ln a

Contoh

Tentukan turunan pertama dari f (x) =3 log(x2 + 1)

3 log(x2 + 1) =ln(x2 + 1)

⇒ f ′(x) =2x

x2 + 11

Contoh

Tentukan turunan pertama dari f (x) =3 log(x2 + 1)

3 log(x2 + 1) =ln(x2 + 1)

⇒ f ′(x) =2x

x2 + 11

Contoh

Tentukan turunan pertama dari f (x) =4 log(x+1x−1 )

4 log(x + 1x − 1

) =ln(x+1

x−1)

⇒ f ′(x) =1

x+1x−1

Dx (x + 1x − 1

ln 4x − 1x + 1

x − 1 − (x + 1)

(x − 1)2 =1

ln 4−2

(x + 1)(x − 1)

Contoh

Tentukan turunan pertama dari f (x) =4 log(x+1x−1 )

4 log(x + 1x − 1

) =ln(x+1

x−1)

⇒ f ′(x) =1

x+1x−1

Dx (x + 1x − 1

ln 4x − 1x + 1

x − 1 − (x + 1)

(x − 1)2 =1

ln 4−2

(x + 1)(x − 1)

Grafik Fungsi Logaritma Umum

Grafik fungsi logaritma umum diperoleh dengan mencerminkangrafik fungsi eksponen umum terhadap garis y = x

Soal Latihan

A. Tentukan y ′ dari

1 y = 32x4−4x

2 y = 10 log(X 2 + 9)

3 x 3 log(xy) + y = 2

B. Hitung

105x−1dx

x 2x2dx

Soal Latihan

1 y = 32x4−4x

2 y = 10 log(X 2 + 9)

3 x 3 log(xy) + y = 2

B. Hitung

105x−1dx

x 2x2dx

Soal Latihan

1 y = 32x4−4x

2 y = 10 log(X 2 + 9)

3 x 3 log(xy) + y = 2

B. Hitung

105x−1dx

x 2x2dx

Soal Latihan

1 y = 32x4−4x

2 y = 10 log(X 2 + 9)

3 x 3 log(xy) + y = 2

B. Hitung

105x−1dx

x 2x2dx

Soal Latihan

1 y = 32x4−4x

2 y = 10 log(X 2 + 9)

3 x 3 log(xy) + y = 2

B. Hitung

105x−1dx

x 2x2dx

Soal Latihan

1 y = 32x4−4x

2 y = 10 log(X 2 + 9)

3 x 3 log(xy) + y = 2

B. Hitung

105x−1dx

x 2x2dx

Soal Latihan

1 y = 32x4−4x

2 y = 10 log(X 2 + 9)

3 x 3 log(xy) + y = 2

B. Hitung

105x−1dx

x 2x2dx

Penggunaan Fungsi Logaritma Asli

Menghitung Turunan Fungsi Berpangkat Fungsi

Diketahui f (x) = (g(x))h(x)

Tentukan f ′(x) =?ln(f (x)) = h(x) ln(g(x))Dx(ln(f (x))) = Dx(h(x) ln(g(x)))f ′(x)f (x) = h′(x) ln(g(x)) + h(x)

g(x)g′(x)

f ′(x) =(

h′(x) ln(g(x)) + h(x)g(x)g′(x)

Penggunaan Fungsi Logaritma Asli

Menghitung Turunan Fungsi Berpangkat Fungsi

Diketahui f (x) = (g(x))h(x)

Tentukan f ′(x) =?ln(f (x)) = h(x) ln(g(x))Dx(ln(f (x))) = Dx(h(x) ln(g(x)))f ′(x)f (x) = h′(x) ln(g(x)) + h(x)

g(x)g′(x)

f ′(x) =(

h′(x) ln(g(x)) + h(x)g(x)g′(x)

Contoh

Tentukan turunan fungsi f (x) = (sin x)4x

Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsidengan menggunakan fungsi logaritma asli

ln(f (x)) = ln(sin x)4x = 4x ln(sin(x))

Turunkan kedua ruas Dx (ln f (x)) = Dx(4x ln(sin(x)))f ′(x)f (x) = 4 ln(sin(x)) + 4x

sin x cosx = 4 ln(sin(x)) + 4x cot x

f ′(x) = (4 ln(sin(x)) + 4x cot x) (sin x)4x

Contoh

Tentukan turunan fungsi f (x) = (sin x)4x

Ubah bentuk fungsi pangkat fungsi menjadi perkalian fungsidengan menggunakan fungsi logaritma asli

ln(f (x)) = ln(sin x)4x = 4x ln(sin(x))

Turunkan kedua ruas Dx (ln f (x)) = Dx(4x ln(sin(x)))f ′(x)f (x) = 4 ln(sin(x)) + 4x

sin x cosx = 4 ln(sin(x)) + 4x cot x

f ′(x) = (4 ln(sin(x)) + 4x cot x) (sin x)4x

Fungsi Invers Trigonometri

Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidaksatu-satu, jika daerah asalnya dibatasi maka fungsi trigonometribisa dibuat menjadi satu-satu sehingga mempunyai invers.

a. Invers Fungsi Sinus

Diketahui f (x) = sin x , −π2 ≤ x ≤ π

2Karena pada −π

2 ≤ x ≤ π2 , f (x) = sin x monoton murni maka

inversnya ada.Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus,notasinya arc sin(x) atau sin−1(x). Sehingga berlakuy = sin x ⇔ x = sin−1 y

Fungsi trigonometri adalah fungsi yang periodik sehingga tidaksatu-satu, jika daerah asalnya dibatasi maka fungsi trigonometribisa dibuat menjadi satu-satu sehingga mempunyai invers.

a. Invers Fungsi Sinus

Diketahui f (x) = sin x , −π2 ≤ x ≤ π

2Karena pada −π

2 ≤ x ≤ π2 , f (x) = sin x monoton murni maka

inversnya ada.Invers dari fungsi sinus disebut arcus sinus,notasinya arc sin(x) atau sin−1(x). Sehingga berlakuy = sin x ⇔ x = sin−1 y

Turunan dan Integral

Dari hubungan y = sin−1 x ⇔ x = sin y , −1 ≤ x ≤ 1,−π2 ≤ y ≤ π

2 dan rumus turunan fungsi invers diperolehdydx = 1

dx/dy = 1cos y = 1√

1−sin2 y= 1√

1−x2, |x | < 1 atau

Dx(sin−1 x) = 1√1−x2

Jika u = u(x), maka Dx (sin−1u) = u′√1−u2

Dari rumus turunan diperoleh∫

dx√1 − x2

= sin−1 x + C

b. Invers Fungsi Cosinus

Fungsi f (x) = cos x , 0 ≤ x ≤ π monoton murni (selalu monotonturun) sehingga inversnya ada.Invers dari fungsi cosinusdisebut arcus cosinus, notasinya arc cos(x) atau cos−1(x).Sehingga berlakuy = cos−1 x ⇔ x = cos y

Dari hubungan y = cos−1 x ⇔ x = cos y , −1 ≤ x ≤ 1,0 ≤ y ≤ π dan rumus turunan fungsi invers diperolehdydx = 1

dx/dy = −1sin y = −1√

1−cos2 y= −1√

1−x2, |x | < 1 atau

Dx(cos−1 x) = −1√1−x2

Jika u = u(x), maka Dx (cos−1u) = −u′√1−u2

dx√1 − x2

= − cos−1 x + C

Contoh

Dx(sin−1(x2)) = 1√1−(x2)2

Dx(x2) = 2x√1−x4

Dx(cos−1(tan x)) = −1√1−(tan x)2

Dx(tan x) = −sec2x√1−tan2 x

∫ 1√4−x2

dx =∫ 1q

4(1− X24 )

dx = 1/2∫ 1q

(1−( X2 )2

Misalkan u = x/2 → du = 1/2dx → dx = 2du=

∫ 1√4−x2

dx = 1/2∫ 2√

1−u2du = sin−1 u +C = sin−1(x/2)+C

c. Invers Fungsi Tangen

Dx(tan−1(x)) = 11+x2

Jika u = u(x), makaDx(tan−1u) = u′

dx1 + x2 = tan−1 x + C

Fungsi Hiperbolik

Definisi

a. Fungsi cosinus hiperbolik :

f (x) = cosh x =ex + e−x

b. Fungsi sinus hiperbolik :

f (x) = sinh x =ex − e−x

Fungsi Hiperbolik

Definisi

c. Fungsi tangen hiperbolik :

f (x) = tanh x =sinh xcosh x

=ex − e−x

ex + e−x

d. Fungsi cotangen hiperbolik :

f (x) = coth x =cosh xsinh x

=ex + e−x

ex − e−x

Fungsi Hiperbolik

Definisi

e. Fungsi secan hiperbolik :

f (x) = sechx =1

cosh x=

2ex + e−x

f. Fungsi cosecan hiperbolik :

f (x) = cschx =1

sinh x=

2ex − e−x

Fungsi Hiperbolik

Persamaan identitas pada fungsi hiperbolik

cosh x + sinh x = ex (1)

cosh x − sinh x = e−x (2)

Persamaan dan menjadi Persamaan

cosh2 x − sinh2 x = 1 (3)

1 − tanh2 x = sech2x (4)

coth2 x − 1 = csch2x (5)

Fungsi Hiperbolik

Dx(cosh x) = Dx

ex+e−x

= ex−e−x

2 = sinh x ⇒∫

sinh xdx = cosh x + c

Dx(sinh x) = Dx

ex−e−x

= ex+e−x

2 = cosh x ⇒∫

cosh xdx = sinh x + cDx(tanh x)

= Dx(sinh xcosh x

) =cosh2 x − sinh2 x

cosh2 x=

cosh2 x= sech2x

Lanjut...

Dx(coth x) = Dx (cosh xsinh x ) = sinh2 x−cosh2 x

sinh2 x

=−(cosh2 x − sinh2 x)

sinh2x=

sinh2 x= −csch2x

Dx(sechx) = Dx ( 1cosh x ) = − sinh x

cosh2 x= −sechx tanh x

Dx(cschx) = Dx ( 1sinh x ) = − cosh x

sinh2 x= −cschx coth x

Grafik f (x) = cosh x

Diketahui1 f (x) = cosh x = ex+e−x

2 , x ∈ R

2 f ′(x) = ex−e−x

2f ′(x) > 0, x < 0, f monoton turun, danf ′(x) < 0, x > 0, f monoton naik

3 f ′′(x) = ex+e−x

2 > 0,∀x ∈ Rgrafik f selalu cekung keatas

4 f (0) = 1

2 , x ∈ R

2 f ′(x) = ex−e−x

3 f ′′(x) = ex+e−x

4 f (0) = 1

2 , x ∈ R

2 f ′(x) = ex−e−x

3 f ′′(x) = ex+e−x

4 f (0) = 1

2 , x ∈ R

2 f ′(x) = ex−e−x

3 f ′′(x) = ex+e−x

4 f (0) = 1

2 , x ∈ R

2 f ′(x) = ex−e−x

3 f ′′(x) = ex+e−x

4 f (0) = 1

−4 −2 0 2 40

Figure: Grafik Fungsi Cosinus Hiperbolik

Grafik f (x) = sinh x

Diketahui1 f (x) = sinh x = ex−e−x

2 , x ∈ R

2 f ′(x) = ex+e−x

2 > 0f selalu monoton naik

3 f ′′(x) = ex−e−x

2f ′′(x) > 0, x > 0, Grafik f selalu cekung keatasf ′′(x) < 0, x < 0, Grafik f selalu cekung kebawah

4 f (0) = 0

2 , x ∈ R

2 f ′(x) = ex+e−x

3 f ′′(x) = ex−e−x

4 f (0) = 0

2 , x ∈ R

2 f ′(x) = ex+e−x

3 f ′′(x) = ex−e−x

4 f (0) = 0

2 , x ∈ R

2 f ′(x) = ex+e−x

3 f ′′(x) = ex−e−x

4 f (0) = 0

2 , x ∈ R

2 f ′(x) = ex+e−x

3 f ′′(x) = ex−e−x

4 f (0) = 0

−5 0 5−100

Figure: Grafik Fungsi Sinus Hiperbolik

Contoh

Tentukan y’ dari1. y = tanh(x2 + 1)2. x2sinhx + y2 = 8

Jawab1 y ′ = sech2(x2 + 1)Dx(x2 + 1) = 2xsech2(x2 + 1)

2 Dx(x2 sinh x + y2) = Dx(8)2x sinh x + x2 cosh x + 2yy ′ = 0

y ′ = −2x sinh x + x2 cosh x2y

Contoh

Latihan

A. Tentukan turunan pertama dari:

1 f (x) = tanh 4x2 g(x) = sinh2x3 g(x) = 1−cosh x

1+cosh x

4 h(t) = coth√

1 + t2

5 g(t) = ln (sinh t)6 f (x) = x cosh x2

Latihan

1+cosh x

4 h(t) = coth√

1 + t2

Latihan

1+cosh x

4 h(t) = coth√

1 + t2

Latihan

1+cosh x

4 h(t) = coth√

1 + t2

Latihan

1+cosh x

4 h(t) = coth√

1 + t2

Latihan

1+cosh x

4 h(t) = coth√

1 + t2

Latihan

1+cosh x

4 h(t) = coth√

1 + t2

Referensi

Purcell, E. J dan Varberg, D. 1987. Kalkulus dan GeometriAnalitis,Jilid 1. Jakarta: Penerbit Airlangga.

Fungsi Transenden, MA1114 KALKULUS I. STTTelkom.

Referensi

2 FungsiTransenden.pdf

Documents

Transcript of 2 FungsiTransenden.pdf