2 Dasar Teori - Perpustakaan Digital ITB - · PDF file2.1.1 Data Angin Posisi bumi terhadap...

Simulasi Sedimentasi di Alur Masuk Pelabuhan Pulau Baai dengan Perangkat Lunak SMS 8.1 2-1

2 Dasar Teori

Untuk melakukan analisis mengenai permasalahan sedimentasi yang terjadi di sekitar alur

masuk Pelabuhan Pulau Baai berdasarkan data mentah yang tersedia (berupa data angin

jam-jaman, data batimetri, peta lokasi dan data seri waktu dari elevasi pasang surut di

lokasi studi) diperlukan beberapa metoda pengolahan data untuk mendapatkan data yang

siap digunakan dalam pemodelan numerik.

Berikut ini akan diuraikan beberapa teori yang mendasari metode pengolahan data dan

analisis yang digunakan dalam penyusunan model numerik untuk permasalahan

sedimentasi di sekitar alur masuk Pelabuhan Pulau Baai.

2.1 Hindcasting

Angin merupakan faktor dominan dalam mekanisme pembentukan gelombang. Untuk

melakukan peramalan gelombang, maka dibutuhkan data gelombang. Namun karena

data gelombang sulit diperoleh dikarenakan oleh berbagai faktor seperti sulitnya metode

pelaksanaan, alat dan biaya yang sangat mahal karena gelombang adalah proses acak

yang terjadi dalam satuan detik sehingga diperlukan storage dan baterai yang sangat

besar karena data ini harus diambil untuk beberapa tahun kedepan jadi dapat

dibayangkan berapa banyak storage yang diperlukan untuk menampung data tersebut.

Dalam peramalan data gelombang, data gelombang hanya dapat diramal sesuai dengan

banyaknya data yang didapat (data gelombang 2 tahun hanya dapat meramal data

gelombang 2 tahun kedepan). Karena data gelombang sulit didapatkan maka data

gelombang diperoleh dari data angin melalui proses hindcasting. Dalam hindcasting,

gelombang laut yang timbul dianggap hanya dibangkitkan oleh hembusan angin saja. Hal

Bab

2


ini masih dapat diterima karena angin merupakan faktor terbesar yang dapat membentuk

gelombang walupun tidak seakurat meramal data gelombang dari data gelombang yang

diperoleh dari lapangan. Adapun gelombang-gelombang laut yang terjadi pada umumnya

diakibatkan oleh hal-hal sebagai berikut :

• Gelombang akibat angin

• Gelombang akibat pasut

• Gelombang akibat gempa/longsor/pergerakan di dasar laut

• Gelombang akibat kapal laut, dan lain-lain.

Data-data yang dibutuhkan untuk meramal gelombang terdiri dari :

1. Data angin

2. Panjang fetch efektif (daerah pembentukan gelombang)

2.1.1 Data Angin

Posisi bumi terhadap matahari yang berubah-ubah sepanjang tahun akan menyebabkan

terjadinya perbedaan temperatur dan tekanan udara di setiap bagian bumi. Peristiwa

tersebut menyebabkan terjadinya gerakan udara. Gerakan udara dari tekanan tinggi

menuju tekanan rendah disebut dengan angin. Angin merupakan salah satu pembangkit

gelombang laut. Oleh karena itu data angin dapat digunakan untuk memperkirakan tinggi

dan arah gelombang di lokasi studi.

Data angin yang digunakan untuk perhitungan tinggi gelombang adalah data yang dicatat

oleh BMG (Badan Meteorologi dan Geofisika). Pada umumnya data ini diperoleh dari

Pelabuhan Udara.

Data angin yang diperlukan adalah kecepatan dan arahnya. Data tersebut selanjutnya

diolah secara statistik dan kemudian digunakan sebagai data masukan perhitungan tinggi

dan perioda gelombang. Pada umumnya data angin yang diperoleh pelabuhan udara

berupa kecepatan angin berikut arah untuk tiap-tiap jam. Selanjutnya data angin jam-

jaman ini diolah menjadi data angin harian maksimum, sehingga untuk satu hari

pengamatan terdapat satu data kecepatan angin maksimum berikut arahnya. Selanjutnya

data angin tersebut dikelompokkan berdasarkan arah berhembusnya ke dalam delapan

penjuru mata angin seperti yang disajikan dalam Tabel 2.1.


Tabel 2.1 Pengelompokan Arah Angin Berhembus

No. Arah Angin Sudut (derajat)

1. Utara 337, 5 ≤ x < 22,5

2. Timur Laut 22,5 ≤ x < 67,5

3. Timur 67, 5 ≤ x<112,5

4. Tenggara 112,5 ≤x<157,5

5. Selatan 157, 5 ≤ x < 202,5

6. Barat Daya 20,5 ≤ x < 247,5

7. Barat 247,5 ≤ x < 292,5

8. Barat Laut 292, 5 ≤ x < 337,5

Jadi dapat disimpulkan secara umum data angin yang digunakan untuk peramalan atau

hindcasting gelombang adalah sebagai berikut :

Data angin yang dipersiapkan harus terdiri dari :

- Arah datang angin

- Kecepatan hembusan angin

- Durasi/lama hembusan angin.

Data angin tersebut harus berasal dari hasil catatan stasiun pencatat angin yang dapat

mewakili kondisi angin di lokasi studi dengan kriteria :

1. Stasiun berada tepat pada kawasan studi.

2. Jika tidak ada, pilih lokasi stasiun yang terdekat dengan kawasan studi dengan syarat

kedua lokasi tersebut memiliki kesamaan gradien tekanan udara dan perbedaan

kekasaran yang tidak terlalu besar.

Data angin yang digunakan dalam hindcasting dapat dihasilkan dari pengukuran langsung

di atas permukaan laut, misalnya dengan menggunakan kapal, ataupun pengukuran di

darat, misalnya di bandara dekat lokasi yang ditinjau, yang kemudian dikonversikan

menjadi data angin di laut. Perlu diperhatikan bahwa data kecepatan angin yang diperoleh

di Pelabuhan Udara terdekat ke lokasi perairan kajian pada umumnya dalam satuan knot

(mil/jam) sedangkan yang digunakan dalam perhitungan adalah suatu nilai rata-rata

dalam satuan m/s , sehingga untuk ini perlu dilakukan konversi satuan dari knot ke m/s


dimana 1 mil laut setara dengan 1853,15 meter.

Berdasarkan Shore Protection Manual 1984 (SPM 1984), data angin yang diperoleh dari

pengukuran harus dikoreksi terlebih dahulu. Setelah dikoreksi kemudian dikonversi

menjadi UA yaitu wind stress factor (faktor tegangan angin). Koreksi data angin meliputi

tahap-tahap berikut:

A. Koreksi Elevasi

Jika posisi stasiun tidak terletak pada elevasi 10 m, maka dilakukan koreksi terhadap data

yang akan digunakan yaitu :

7/1

(z))10(10 U= ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛×

zU (2.1)

di mana :

U(z) = Kecepatan angin menurut pencatatan stasiun pada elevasi z

U(10) = Kecepatan angin pada elevasi 10 m di atas permukaan laut

B. Koreksi Lokasi

Data angin yang diperoleh di stasiun pengamat angin (biasanya di bandara) merupakan

data angin yang dicatat di daratan, sedang terbentuknya gelombang adalah akibat dari

angin yang terbentuk dan berhembus di laut, sehingga perlu dilakukan koreksi terhadap

data hasil pencatatan dengan suatu reduksi yang diberi notasi RL. Jadi selain diperlukan

faktor konversi satuan dari knot ke meter/detik, juga diperlukan pemberian faktor reduksi

RL untuk mengubah angin darat menjadi angin laut. Rumusan untuk menghitung faktor

reduksi RL diperoleh dari acuan Shore Protection Manual (SPM 1984), yaitu persamaan

(2.2) sebagai berikut :

L

WL U

UR = (2.2)

dimana:

RL = Rasio antara kecepatan angin dilautan dengan kecepatan angin di daratan.

Uw = Kecepatan angin di lautan.

UL = Kecepatan angin di daratan.

Harga RL ini didapat dari grafik hubungan antara RL vs UL yang terdapat pada SPM 1984

berdasarkan data kecepatan angin di daratan UL dalam satuan knot. Dari persamaan (2.2)


di atas, dengan diketahuinya harga RL dan UL maka besar kecepatan angin di laut dapat

dihitung sebagai berikut:

LLW URU .= (2.3)

Jadi, kecepatan angin lautan setelah dikoreksi dan dikonversikan adalah:

360015,1853 L

LwU

RU = (2.4)

dimana:

Uw = Kecepatan angin setelah dikoreksi dan dikonversi, (meter/detik)

RL = Faktor reduksi dari kecepatan di daratan menjadi di lautan, non dimensi

UL = Kecepatan angin maksimum harian dari stasiun pengamat (knot)

Harga RL diperoleh dari Gambar 2.1 dibawah ini.

Gambar 2.1 Perhitungan harga rasio RL sebagai fungsi dari UL

C. Koreksi Durasi

Data angin yang tersedia biasanya tidak disebutkan durasiya atau merupakan data hasil

pengamatan sesaat. Kondisi sebenarnya kecepatan angin adalah selalu berubah-ubah

meskipun pada arah yang sama. Untuk melakukan hincasting, diperlukan juga durasi atau


lama angin bertiup, dimana selama dalam durasi tersebut dianggap kecepatan angin

adalah konstan. Oleh karena itu, koreksi durasi ini dilakukan untuk mendapatkan

kecepatan angin rata-rata selama durasi angin bertiup yang diinginkan.

Berdasarkan data hasil pengamatan angin sesaat, dapat dihitung kecepatan angin rata-

rata untuk durasi angin tertentu, dengan prosedur sebagai berikut:

1. Perhitungan u3600 ( kecepatan rata-rat pada durasi 3600 detik)

ff u

t 1609= uf = kecepatan angin hasil pengukuran (2.5)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

ff t

c 45log9.0tanh296.0277.1 ; 1 < tf < 3600 s

5334.1log15.0 +−= ff tc ; 3600 < tf < 36000 s (2.6)

f

f

cu

u =3600 (2.7)

2. Perhitungan ut

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

tct

45log9.0tanh296.0277.1 ; 1 < tf < 3600 s

5334.1log15.0 +−= tct ; 3600 < tf < 36000 s (2.8)

3600ucu tt = (2.9)

D. Koreksi Stabilitas

Jika udara (tempat angin berhembus) dan laut (tempat pembentukan gelombang) memiliki

perbedaan temperatur, maka harus ada koreksi terhadap stabilitas kecepatan angin

akibat kondisi ini, yang didefinisikan sebagai:

)10(TR = UU × (2.10)

dimana :

RT = Besar koreksi (dibaca dari grafik pada SPM 1984)

U = Kecepatan angin setelah dikoreksi dalam m/s

Grafik untuk menentukan nilai RT dapat dilihat pada Gambar 2.2.


Gambar 2.2 Grafik Nilai RT vs ΔT (SPM 1984)

E. Koreksi Tegangan Angin

Setelah data kecepatan angin melalui koreksi-koreksi di atas, maka data tersebut

dikonversi menjadi wind stress factor (UA) dengan menggunakan persamaan berikut ini :

23.171.0 uuA ⋅= (2.11)

2.1.2 Daerah Pembentukan Gelombang (Fetch Efektif)

Fetch adalah daerah pembentukan gelombang yang diasumsikan memiliki arah dan

kecepatan angin yang relatif konstan. Karakteristik gelombang yang ditimbulkan oleh

angin ditentukan juga oleh panjang fetch. Fetch efektif di titik tertentu adalah area dalam

radius perairan yang melingkupi titik tersebut dimana dalam area tersebut angin bertiup

dengan kecepatan konstan dari arah manapun menuju titik tertentu.

Penghitungan panjang fetch efektif ini dilakukan dengan meggunakan bantuan peta

topografi lokasi dengan skala yang cukup besar, sehingga dapat terlihat pulau-pulau atau

daratan yang mempengaruhi pembentukan gelombang disuatu lokasi. Penentuan titik

fetch diambil pada posisi laut dalam dari lokasi perairan yang ditinjau. Ini karena

gelombang yang dibangkitkan oleh angin terbentuk dilaut dalam, kemudian merambat

kearah pantai dan pecah seiring dengan mendangkalnya dasar perairan didekat pantai.

Pada peramalan gelombang, data angin yang digunakan adalah data angin maksimum

jam - jaman berikut arahnya yang dibuat dalam delapan arah mata angin. Setelah itu,


panjang fecth efektif dapat ditentukan kemudian.

Prosedur penentuan panjang fetch efektif adalah sebagai berikut:

1. Menentukan titik dan lokasi yang hendak ditinjau.

2. Tarik garis fetch untuk suatu arah.

3. Garis-garis fetch dibagi dengan selang 5˚ untuk delapan arah mata angin, dengan tiap

arah mata angin memiliki daerah pengaruh sebesar 22,5˚ ke arah kiri (berlawanan

arah jarum jam) dan 22,5˚ ke arah kanan (searah jarum jam).

4. Ukur panjang fecth yang telah dibuat, hasil perhitungan panjang fecth yang dihitung

harus dalam skala 1:1 (dalam panjang sebenarnya).

5. Mengukur panjang fetch efektif adalah:

∑

∑

=

== k

ii

k

iii

eff

FF

1

1

cos

cos

α

α (2.12)

Dimana :

Fi = Panjang fetch ke-i

α = sudut pengukuran fetch ke i

i = nomor pengukuran fetch

k = jumlah pengukuran fetch

Beberapa hal yang perlu diperhatikan dalam penarikan garis fetch yaitu:

a. Tidak ada fetch di daratan

b. Tidak ada fetch sejajar pantai, minimum 15˚ dari garis pantai.

2.1.3 Peramalan Data Gelombang

Setelah dilakukan koreksi data angin dan penghitungan fetch efektif, selanjutnya

dilakukan peramalan data gelombang. Data angin yang telah dikoreksi (UA) dan data

panjang fetch efektif digunakan untuk memperkirakan data tinggi gelombang (H) dan

perioda gelombang (T) yang dibangkitkan oleh hembusan angin tersebut.

Dalam melakukan peramalan tinggi dan perioda gelombang, digunakan langkah-langkah

perhitungan berdasarkan SPM 1984 dengan menggunakan persamaan-persamaan

berikut:


42 1015.7

.8.68 x

U

FgUgt

A

eff

A

≤⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛= (2.13)

dimana :

g = Percepatan gravitasi bumi = 9.81 (m/s2)

UA = Wind stress factor (m/s)

Feff = Panjang fetch efektif (m)

T = Durasi angin yang bertiup (detik)

Adapun prosedur peramalan gelombang berdasarkan SPM 1984 adalah sebagai berikut:

1. Lakukan perhitungan sesuai persamaan (2.13). Jika hasil perhitungannya tidak

memenuhi persamaan tersebut, maka gelombang yang terjadi merupakan hasil

pembentukan gelombang sempurna. Oleh karena itu perhitungan tinggi dan perioda

gelombangnya menggunakan persamaan berikut:

gU

H Amo

2.2403.0= (2.14)

gU

T Ap

2314.8= (2.15)

dimana:

Hmo = Tinggi gelombang signifikan menurut energi spektral (m)

TP = Perioda puncak spektrum (detik)

G = Percepatan gravitasi bumi = 9.81 (m/s2)


Jika hasil perhitungan memenuhi persamaan (2.13), maka gelombang yang terjadi

merupakan hasil pembentukan gelombang tidak sempurna. Pembentukan gelombang

tidak sempurna ini ada dua jenis, yaitu ;

a. Pembentukan gelombang terbatas fetch (fetch limited)

b. Pembentukan gelombang terbatas durasi (time limited)

Untuk membedakannya perlu diketahui terlebih dahulu durasi kritis (tc), yaitu:


32

2

2 .8.68⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

A

effAc U

FggU

t (2.16)

2. Periksa durasi data angin (t), lalu bandingkan terhadap durasi kritis (tc).

Jika t > tc, maka gelombang yang terjadi merupakan gelombang hasil pembentukan

terbatas fetch (fetch limited). Pada pembentukan jenis ini, durasi angin yang bertiup

cukup lama. Perhitungan tinggi dan perioda gelombangnya dilakukan dengan

menggunakan persamaan berikut :

2

2

2 ..0016.0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

A

effAmo U

Fgg

UH (2.17)

2

2

..2857.0⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

A

effAp U

Fgg

UT (2.18)

dimana:

Hmo = Tinggi gelombang signifikan menurut energi spektral (m)

TP = Perioda puncak spektrum (detik)

g = Percepatan gravitasi bumi = 9.81 (m/s2)


Jika t < tc, maka gelombang yang terjadi merupakan gelombang hasil pembentukan

terbatas durasi (time limited). Pada pembentukan ini, durasi angin yangbertiup tidak

cukup lama. Perhitungan tinggi dan perioda gelombangnya dilakukan dengan

menggunakan persamaan (2.17) dan (2.18) namun dengan terlebih dahulu mengganti

panjang Feff dengan Fmin berikut ini :

23

2

2

min 6.68 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

A

A

Ugt

gU

F (2.19)

Proses peramalan tinggi dan periode gelombang metode hindcasting dapat dilihat

pada bagan alir dalam Gambar 2.3 di bawah ini.


Gambar 2.3 Flowchart peramalan tinggi dan periode gelombang

2.1.4 Analisis Frekuensi Gelombang

Tinggi gelombang rencana ditentukan dengan mencari tinggi gelombang perioda ulang

tertentu yang dapat dihitung menggunakan metoda analisa frekuensi. Beberapa metoda

yang sangat dikenal antara lain adalah Metoda Normal, Gumbell, Pearson Type III dan

Log Pearson Type III. Metoda ini digunakan untuk mengetahui tinggi dan perioda

gelombang untuk beberapa perioda ulang tahun kedepan yaitu 2, 5, 10, 25, 50 serta 100

tahun, metoda yang digunakan dalam penentuan tinggi dan perioda gelombang

perencanaan yaitu metode yang memiliki kesalahan relatif (error) terkecil.

A. Metode distribusi normal

Distribusi normal atau kurva normal dikenal pula dengan nama distribusi Gauss yang

mempunyai rumus sebagai berikut:

Xt SKXX .+= (2.20)

dimana:

Xt = Tinggi gelombang untuk periode ulang T tahun (m)

X = Gelombang maksimum rata-rata

SX = Standar deviasi


K = Faktor variabel reduksi Gauss untuk distribusi normal

B. Metode distribusi log normal 2 parameter

Distribusi log normal merupakan hasil transformasi dari distribusi normal, yaitu dengan

mengubah nilai variat X menjadi nilai logaritmik variat X. Untuk distribusi log normal dua

parameter mempunyai persamaan transformasi:

LogXt SKLogXX .log += (2.21)

dimana:

log Xt = Nilai logaritmik tinggi gelombang untuk periode ulang T tahun (m)

LogX = Nilai logaritmik tinggi gelombang maksimum rata-rata

LogXS = Standar deviasi logaritmik nilai X

K = faktor variabel reduksi Gauss untuk distribusi log normal 2 parameter

Apabila perhitungan tanpa nilai logaritmik, dapat digunakan persamaan berikut:

Xt SKXX .+= (2.22)

dimana:

Xt = Nilai tinggi gelombang untuk periode ulang T tahun (m)

X = Nilai tinggi gelombang maksimum rata-rata

SX = Standar deviasi nilai X

K = Nilai karakteristik distribusi Log Normal 2 Parameter yang nilainya bergantung

dari koefisien variasi (CV)

XS

C XV =

C. Metode distribusi log normal 3 parameter

Distribusi log normal 3 parameter dapat dituliskan sebagai:

Xt SKXX .+= (2.23)

dimana:





K = Nilai karakteristik distribusi Log Normal 3 Parameter yang nilainya bergantung dari

koefisien variasi (CS)

D. Metode distribusi Gumbell

Metoda distribusi Gumbell yang banyak digunakan dalam analisa frekuensi

mempunyai rumus:

Xt SKXX .+= (2.24)

( ) nnt SYYK /−= (2.25)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+−=

1303.2834.0

TTLogYt (2.26)

dimana:

Xt = Tinggi gelombang untuk periode ulang T tahun (m)

X = Tinggi gelombang maksimum rata-rata

SX = Standar deviasi

K = Faktor frekuensi

Yn = Nilai rata-rata dari reduksi variat, nilainya tergantung dari jumlah data

Sn = Deviasi standar dari reduksi variat, nilainya tergantung dari jumlah data

E. Metode distribusi Pearson III

Distribusi Pearson III mempunyai bentuk kurva seperti bel. Persamaan distribusi Pearson

III dapat dijelaskan sebagai berikut:

Xt SKXX .+= (2.27)

dimana:





K =Faktor sifat distribusi Pearson III yang merupakan fungsi dari CS (koefisien

skewness)

Nilai Cs yang diperoleh digunakan untuk mendapatkan nilai KT dari tabel. Persamaan

distribusi Pearson III akan merupakan garis lengkung apabila digambarkan pada kertas

peluang normal.

F. Metode distribusi log Pearson tipe III

Metoda ini mempunyai persamaan sebagai berikut:

LogXt SKLogXX .log += (2.28)

dimana :

LogXt = Logaritmik tinggi gelombang untuk periode ulang T tahun

LogX = Logaritmik tinggi gelombnag maksimum rata-rata

= ∑ nLogX

LogXS = Standar deviasi = ( )

1

2

−−

nLogXLogX

K = Karakteristik dari distribusi Log Pearson III yang nilainya bergantung

pada harga CS

CS = koefisien Skewness = ( )

( )( ) 3.2.1 iSnn

LogXLogX

−−

−∑

Apabila nilai CS = 0, maka distribusi log Pearson III identik dengan distribusi log normal

sehingga distribusi kumulatifnya akan tergambar sebagai garis lurus pada kertas grafik

log normal. Perioda gelombang rencana bisa didapatkan dengan cara memetakan tinggi

gelombang yang didapat dari analisa frekuensi di atas ke scatter diagram perioda

gelombang terhadap tinggi gelombang.

2.2 Transport Sedimen Sejajar Pantai

Gelombang yang datang dengan kemiringan sudut tertentu dan pecah didekat pantai,

akan diteruskan dalam dua komponen (Gambar 2.4), yaitu fluks energi gelombang yang

tegak lurus pantai dan fluks energi gelombang yang sejajar pantai. Komponen fluks energi

gelombang yang tegak lurus pantai akan hancur membentur pantai sedangkan komponen


fluks energi gelombang yang sejajar pantai akan membangkitkan arus sejajar dengan

garis pantai. Gelombang dan arus inilah yang menyebabkan terjadinya transpor sedimen

baik yang sejajar dengan garis pantai maupun ke arah laut dalam. Namun yang

mempunyai pengaruh lebih banyak untuk jangka panjang ialah tranpor sedimen sejajar

pantai sedangkan yang tergak lurus pantai bila dirata-ratakan hasilnya sangat kecil

sehingga bisa diabaikan.

Gelombang yang pecah akan menyebabkan sedimen terangkat dan melayang-layang.

Arus mengangkut sedimen sesuai dengan kapasitasnya dalam arti bahwa yang

menentukan bergerak tidaknya sedimen adalah besarnya arus dan ukuran butiran.

Besarnya tingkat transpor sedimen ini dapat dinyatakan dalm Q (debit sedimen) yaitu

banyaknya material sedimen yang melalui suatu penampang tilik per satuan waktu.

Transpor sedimen sejajar pantai umumnya mempunyai satuan meter kubik per tahun.

Karena pergerakannya sejajar pantai, maka ada dua kemungkinan arah pergerakan, yaitu

ke arah kanan dan kiri relatif terhadap seorang pengamat yang berdiri di pantai

menghadap ke arah laut. Pergerakan dari kanan ke kiri diberi notasi Qlt, dan pergerakan

dari kiri ke kanan Qrt, sehingga didapat tingkat transpor sedimen ”kotor”(gross), ialah

Qg = Qlt + Qrt, dan transpor sedimen ”bersih” (net) IQnI = Qlt - Qrt.. Nilai Qg digunakan untuk

meramalkan tingkat pendangkalan pada suatu alur perairan yang terbuka, Qn untuk

desain alur yang dilindungi dan perkiraan erosi pantai, dan Qlt serta Qrt untuk penumpukan

sedimen di ”belakang” sebuah struktur pantai yang menahan pergerakan sedimen.

Untuk menaksir debit sedimen dapat didekati dengan faktor fluks energi sejajar garis

pantai. Dalam perhitungan ini asumsi yamg digunakan adalah :

1. Transpor sedimen hanya terjadi di daerah surf zone saja

2. Garis pantai dengan kontur berupa garis sejajar


Breaker line

Energi gelombang sejajar pantai

Energi gelombangtegak lurus pantai

Garis pantai

Darat

Q = Debit SedimenSurf zone

Perairan dalam

Refraksi

α

Gelombangdatang

Breaker line

Energi gelombang sejajar pantai

Energi gelombangtegak lurus pantai

Garis pantai

Darat

Q = Debit SedimenSurf zone

Perairan dalam

Refraksi

α

Gelombangdatang

Gambar 2.4 Ilustrasi Komponen Energi Gelombang Setelah Pecah

Daerah pantai adalah daerah yang sangat rentan terhadap terjadinya proses erosi dan

sedimentasi, kejadian ini terjadi karena adanya perbedaan transport sedimen yang terjadi

di pantai oleh karena suatu benda baik berupa bangunan ataupun yang lainnya. Dengan

adanya penghalang ini transport sedimen menjadi tidak seimbang sehingga dapat

menjadikan pantai mengalami erosi dan sedimentasi. Daerah yang ditinjau untuk masalah

transport sedimen ini yaitu berada diantara garis pantai dan daerah gelombang pecah

(breakerline), dimana kriteria gelombang pecah adalah saat tinggi gelombang mencapai

0.78 kedalamannya atau dengan persamaan:

78.0≈hH

Persamaan transport sedimen yang digunakan dalam pemodelan transport sedimen

meliputi tiga persamaan dasar, yaitu

1. persamaan kontinuitas sedimen

0yx qqyt x y

∂∂∂+ + =

∂ ∂ ∂ (2.29)

Seperti yang terlihat pada persamaan di atas, persamaan kontinuitas ini memerlukan

input persamaan distribusi sedimen long-shore dan persamaan distribusi sedimen

cross-shore dimana masing-masing persamaan ini saling terkait.


2. persamaan distribusi sedimen longshore

Persamaan yang dipakai untuk persamaan ini yaitu persamaan yang telah

dikembangkan oleh Fulford (1982) berdasarkan hasil penelitian laboratorium Savage

(1959) dengan asumsi struktur bangunan pantai berlaku sebagai total litoral barier dan

transport sedien cross-shore diabaikan. Rumus yang dipakai dapat ditulis sebagai

berikut:

)exp()( )1( nnx yByyq −= −

(2.30)

Dengan mengambil nilai konstanta B tertentu, persamaan diatas diintegralkan dari y=0

sampai y=y1 (lokasi tertentu dalam surfzone) dikalikan dengan persamaan longshore

transport total. Dimana persamaan longshore transport total diambil dari US Army

Corps Of Engineers, Coastal Engineering Research Center (Shore Protection Manual,

1984), adalah sebagai berikut:

)2sin(' 25

bbHCQ α= (2.31)

Hb = Tinggi gelombang pecah

bα = Sudut Gelombang pecah

C’ = Koefisien CERC 2

1

21

16)1).(( κρρρ

ρ

−−=

s

gK

κ = 0.78

ρs = rapat massa sedimen

K = 0.77 (SPM,1984)

ρ = massa jenis air laut

P = porositas sedimen

Pada penelitian lebih lanjut nilai n = 3 menunjukan hasil yang lebih mendekati,

sehingga persamaan distribusi long-shore menjadi:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

−+=3

2 exp)()(b

x cyayayByq (2.32)

Yb = jarak dari sumbu referansi ke titik gelombang pecah (dalam arah offshore)

a = Suatu konstanta yang menggambarkan trasport sedimen di atas Mean Water


Level

c = Konstanta yang menentukan lebar pengaruh longshore transport (dalam arah

offshore)

33

3

bYcB = sehingga dipenuhi 0.1)(

0

=∫∞

dyYqx

Dengan asumsi bahwa harga a sebanding dengan nilai tinggi gelombang pecah Hb

dibagi dengan kemiringan (slope) pantai, a= SHb .

Nilai c diambil = 1.25, nilai ini ditentukan dari persamaan regresi kuadrat tekecil non-

linier dari nilai-nilai hasil penelitian Fulford.

Sehingga bentuk akhir persamaan distribusi sedimen longshore pada suatu titik y

dalam surfzone untuk kontur pantai lurus dan sejajar adalah.

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ +

−+=3

233 25.1

exp)(25.1

3)(bb

x yayay

yyq (2.33)

3. persamaan distribusi sedimen cross-shore

2.3 Persamaan Kontinuitas

Hukum kekekalan massa menetapkan bahwa massa tidak dapat diciptakan atau

dimusnahkan, walaupun dapat ditransformasi. Untuk mengembangkan konsep matematis

mengenai masalah ini, tinjau suatu ruang berbentuk kubus dalarn sistem koordinat

kartesian seperti ditunjukkan Gambar 2.5.

Persamaan dan hukum kekekalan massa dapat dinyatakan sebagai berikut:

Laju perubahan massa (terhadap waktu) dalam ruang waktu =

Laju aliran massa yang masuk - Laju aliran massa yang keluar dari ruang tilik tersebut


Gambar 2.5 Ruang tilik kubus dalam fluida

Ditinjau dari ruang tilik, aliran massa yang masuk pada sisi AEHC dan keluar dari sisi

BFGD (dalam arah x) dapat ditulis sebagai berikut:

Besarnya fluks massa masuk =

( ) ( ) ( ) zyxxuzyxuzyx ΔΔ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Δ− ...

2,,,,

δρδρ (2.34)

Besarnya fluks massa keluar =

( ) ( ) ( ) zyxxuzyxuzyx ΔΔ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Δ+ ...

2,,,,

δρδρ (2.35)

Selisih aliran yang masuk dengan yang keluar adalah persamaan (2.34) dikurangi dengan

persamaan (2.35), yaitu:

( ) zyxxu

ΔΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

δρδ

(2.36)

Ditinjau dari ruang tilik, aliran massa yang masuk dari sisi ABCD dan keluar dari sisi

EFGH (dalam arah y) dapat ditulis sebagai berikut:


( ) ( ) ( ) zxyyvzyxvzyx ΔΔ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ− ...

2,,,,

δρδρ (2.37)



( ) ( ) ( ) zxyyvzyxvzyx ΔΔ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

Δ+ ...

2,,,,

δρδρ (2.38)



( ) zyxyv

ΔΔΔ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

δρδ

(2.39)

Ditinjau dari ruang tilik, aliran massa yang masuk dari sisi AEFB dan keluar dari sisi

CHGD (dalam arah z) dapat ditulis sebagai berikut:


( ) ( ) ( ) yxzzwzyxwzyx ΔΔ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Δ− ...

2,,,,

δρδρ (2.40)


( ) ( ) ( ) yxzzwzyxwzyx ΔΔ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

Δ+ ...

2,,,,

δρδρ (2.41)



( ) zyxzw

ΔΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

δρδ

(2.42)

Besarnya fluks aliran massa netto dalam ruang tilik = fluks masuk – fluks keluar =

( ) ( ) ( ) zyxzw

yv

xu

ΔΔΔ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

δρδ

δρδ

δρδ

(2.43)

Laju perubahan massa di ruang tilik selama ∆t dapat dituliskan sebagai berikut:

( ) ( ) ( )zyxt

tzyxttzyx ΔΔΔ+ΔΔΔ=Δ+ΔΔΔδδρρρ (2.44a)

atau dapat ditulis dalam bentuk:

( ) ( ) ( )zyxt

tzyxttzyx ΔΔΔ=ΔΔΔ−Δ+ΔΔΔδδρρρ (2.44b)

Dengan menggunakan hukum kekekalan massa yang berbunyi:


Fluks aliran massa netto = laju perubahan massa dalam ruang tilik, maka persamaan

(2.10) dan (2.11b) dapat disubstitusi ke dalam persamaan massa menjadi seperti di

bawah ini:

( ) ( ) ( ) ( ) tzyxt

tzyxzw

yv

xu

ΔΔΔΔ=ΔΔΔΔ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−

δδρ

δρδ

δρδ

δρδ

(2.45)

( ) ( ) ( ) 0=+++zw

yv

xu

t δρδ

δρδ

δρδ

δδρ

(2.46)

0=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

zw

yv

xu

zw

yv

xu

t δδρ

δδρ

δδρ

δδ

δδ

δδρ

δδρ

(2.47)

Jika persamaan (2.14) dibagi dengan ρ, maka persamaan tersebut akan menjadi:

01=+++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

zw

yv

xu

zw

yv

xu

t δδ

δδ

δδ

δδρ

δδρ

δδρ

δδρ

ρ (2.48)

Karena ( )tzyx ,,,ρρ = ; ( )txx = ; ( )tyy = ; ( )tzz = , maka:

txuδδ

= ; tyvδδ

= ; tzwδδ

=

Nilai di dalam kurung pada persamaan (2.48) dapat dituliskan dalam bentuk turunan total

terhadap waktu (t) atau DtDρ

.

Sehingga persamaan kekekalan massa atau hukum kontinuitas dapat ditulis menjadi:

01=+++

zw

yv

xu

DtD

δδ

δδ

δδρ

ρ (2.49)

Untuk fluida yang tak mampat

0=DtDρ

Maka persamaan kontinuitas akan menjadi seperti di bawah ini:

0=++zw

yv

xu

δδ

δδ

δδ

(2.50)

Persamaan (2.50) merupakan persamaan kontinuitas, persamaan ini menyatakan bahwa

laju pertambahan terhadap waktu untuk massa di suatu titik tinjauan adalah tepat sama

dengan laju bersih aliran masuk massa ke dalam titik tersebut. Untuk mendapatkan


persamaan dalam dua dimensi, maka persamaan tiga dimensi di atas diintegrasikan

terhadap kedalaman dengan asumsi tidak terdapat variasi kecepatan terhadap

kedalaman.

Persamaan (2.50) di atas diintegrasikan terhadap kedalaman hingga persamaan tersebut

menjadi sebagai berikut:

( ) ( )hyxwyxwdzyvdz

xudz

zw

yv

xu

hhh

−−++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ ∫∫∫

−−−

,,,, ηδδ

δδ

δδ

δδ

δδ ηηη

(2.51)

Untuk mengintegralkan suku ke 1 dan suku ke 2 pada ruas kanan dari persamaan (2.51) di atas, digunakan Leibniz Rule, bentuk umum Leibniz Rule dapat dituliskan sebagai

berikut:

( )( )

( )

( )( )

( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( )xxxxQ

xxxxQdyyxQ

xdyyxQ

x

x

x

x

x δδαα

δδββ

δδ

δδ β

α

β

α

,,,, −+= ∫∫ (2.52)

Penerapan metode Leibniz Rule untuk suku ke 1 persamaan (2.51) akan menghasilkan

persamaan sebagai berikut:

( ) ( )xhhyxu

xyxudz

xudzu

x hh δδ

δδηη

δδ

δδ ηη

−++= ∫∫−−

,,,, atau

( ) ( )xhhyxu

xyxudzu

xdz

xu

hh δδ

δδηη

δδ

δδ ηη

−−−= ∫∫−−

,,,, (2.53)

Penerapan metode Leibniz Rule untuk suku ke 2 persamaan (2.51) akan menghasilkan


( ) ( )yhhyxv

yyxvdz

yvdzv

y hh δδ

δδηη

δδ

δδ ηη

−++= ∫∫−−

,,,, atau

( ) ( )yhhyxv

yyxvdzv

ydz

yv

hh δδ

δδηη

δδ

δδ ηη

−−−= ∫∫−−

,,,, (2.54)

Substitusikan persamaan (2.53) dan persamaan (2.54) ke dalam persamaan (2.51), maka

akan didapat persamaan sebagai berikut:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 0,,,,,,

,,,,,,

=−−+−+

−+−+− ∫∫−−

hyxwyxwyhhyxv

yyxvdzv

yxhhyxu

xyxudzu

x hh

ηδδ

δδηη

δδ

δδ

δδηη

δδ ηη

(2.55)


Besarnya kecepatan rata-rata terhadap kedalaman dalam arah sumbu x dan dalam arah

sumbu y adalah sebagai berikut:

dzuh

Uh∫−+

=η

η1

(2.56) dan dzvh

Vh∫−+

=η

η1

(2.57)

dimana:

U = kecepatan rata-rata terhadap kedalaman dalam arah sumbu x

V = kecepatan rata-rata terhadap kedalaman dalam arah sumbu y

Definisi h dan η dapat dilihat pada Gambar 2.6 di bawah ini.

Gambar 2.6 Definisi h dan η

Substitusikan persamaan (2.56) dan (2.57) ke persamaan (2.55), maka akan didapat


( )[ ] ( ) ( ) ( )[ ] ( )

( ) ( ) ( ) 0,,,,,,

,,,,,,

=−−+−+

−++−+−+

hyxwyxwyhhyxv

yyxvhV

yxhhyxu

xyxuhU

x

ηδδ

δδηηη

δδ

δδ

δδηηη

δδ

(2.58)

Dengan syarat batas kinematis di permukaan bebas adalah:

( ) ( ) ( )ηδδηη

δδηη

δδη ,,,,,, yxw

yyxv

xyxu

t=++ (2.59)

Syarat batas di dasar perairan adalah:


( ) ( ) ( )yhhyxv

xhhyxu

thhyxw

δδ

δδ

δδ

−−−−−=− ,,,,,, (2.60)

Untuk mendapatkan persamaan kontinuitas dalam dua dimensi, syarat batas pada

persamaan (2.59) dan (2.60) disubstitusikan ke dalam persamaan (2.58). Maka akan

didapat persamaan sebagai berikut:

( )[ ] ( )[ ] ( ) ( )th

thV

yhU

x δδ

δηδη

δδη

δδ

−−=+++ (2.61a)

Karena H = h + η, maka persamaan kontinuitas dalam dua dimensi menjadi sebagai

berikut:

( ) ( ) 0=++y

HVx

HUxH

δδ

δδ

δδ

(2.61b)

dimana:

U = kecepatan rata-rata terhadap kedalaman dalam arah sumbu x; dzuh

Uh∫−+

=η

η1

V = kecepatan rata-rata terhadap kedalaman dalam arah sumbu y; dzvh

Vh∫−+

=η

η1

Persamaan (2.61b) dapat ditulis menjadi:

0=++⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

yHV

xHU

yV

xUH

xH

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

(2.62)

dimana:

H = kedalaman perairan

U, V = komponen kecepatan arah x dan y

2.4 Persamaan Kekekalan Momentum

Persamaan momentum dapat diturunkan dari hukum II Newton yang berbunyi:

Besarnya total gaya yang bekerja: ∑ = amF .

Untuk arah x, total gaya dapat dituliskan menjadi: xx amF∑ = . (2.63)

dimana:


ax = percepatan dalam arah sumbu x = DtDu

u = kecepatan dalam arah sumbu x dan merupakan fungsi dari ruang dan waktu

( )tzyxuu ,,,=

Karena u merupakan fungsi dari ruang dan waktu, maka turunan total dari u terhadap

waktu adalah:

tz

zu

ty

yu

tx

xu

tu

DtDuax δ

δδδ

δδ

δδ

δδ

δδ

δδ

+++== (2.64)

dimana:

utx=

δδ

; vty=

δδ

; wtz=

δδ

sehingga persamaan (2.64) dapat ditulis menjadi:

zuw

yuv

xuu

tu

DtDuax δ

δδδ

δδ

δδ

+++== (2.65)

Maka Hukum II Newton atau persamaan gerak dalam arah sumbu x dapat dituliskan

sebagai berikut:

DtDumF∑ = . (2.66)

Untuk melihat gaya-gaya yang bekerja pada fluida, tinjau suatu elemen fluida seperti pada

Gambar 2.7 berikut ini.


Gambar 2.7 Gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida

Jika tegangan normal di pusat elemen fluida dalam arah sumbu x adalah σxx, maka

dengan ekspansi deret Taylor hingga orde ke 1, dapat diketahui besarnya tegangan

normal pada sisi x yaitu pada ( )2xx Δ+ dan pada ( )2xx Δ− . Besarnya adalah:

Pada ...22x

xxx xx

xxΔ

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+δδσ

σ (2.67)

Pada ...22x

xxx xx

xxΔ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−δδσ

σ (2.68)

Tegangan geser yang bekerja dalam arah sumbu y adalah:

Pada ...22y

yyy yx

yxΔ

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+δδσ

σ (2.69)

Pada ...22y

yyy yx

yxΔ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−δδσ

σ (2.70)

Tegangan geser yang bekerja dalam arah sumbu z adalah:

Pada ...22z

zzz zx

zxΔ

+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+δδσ

σ (2.71)


Pada ...22z

zzz zx

zxΔ

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−δδσ

σ (2.72)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.67) hingga persamaan (2.72) ke dalam

persamaan Hukum II Newton, maka persamaan kesetimbangan dalam arah sumbu x

akan menjadi seperti berikut:

DtDuzyxzXyx

yxzz

yxzz

zxyy

zxyy

zyxx

zyxx

zxzx

zxzx

yxyx

yxyx

xxxx

xxxx

ΔΔΔ=ΔΔΔ+

ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−−ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

++ΔΔ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ−−

ΔΔ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ Δ++ΔΔ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

−−ΔΔ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Δ

+

ρρ

δδσ

σδδσ

σδδσ

σ

δδσ

σδδσ

σδδσ

σ

222

222

(2.73)

dimana:

X = notasi body force (aksi gaya badan) persatuan massa dalam arah sumbu x

Persamaan (2.73) dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut:

DtDuX

zyxzxyxxx ρρ

δδσ

δδσ

δδσ

=+++ (2.73a)

Persamaan (2.37a) merupakan persamaan momentum arah sumbu x, dengan cara yang

sama maka akan diperoleh persamaan momentum untuk sumbu y dan z seperti berikut:

DtDvY

zyxzyyyxy ρρ

δδσ

δδσ

δδσ

=+++ (2.73b)

DtDwZ

zyxzzyzxz ρρ

δδσ

δδσ

δδσ

=+++ (2.73c)

Dimana Y dan Z merupakan notasi body force (aksi gaya badan) persatuan massa dalam

arah sumbu y dan z.

Persamaan Navier-Stokes diturunkkan dari persamaan momentum dengan memasukkan

Hukum Newton untuk tegangan geser dan Hukum Stokes untuk tegangan normal pada

fluida. Hukum Newton untuk tegangan geser pada fluida adalah:

dyduμτ = ; μ = kekentalan mutlak

Untuk problem tiga dimensi, tegangan geser merupakan fungsi linier dari gradien

kecepatan:


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

i

j

j

iy dx

dudydu

μτ ; ji ≠ (2.74)

Dengan menggunakan persamaan (2.74), maka didapatkan:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

dxdv

dydu

xy μτ ; ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

dydw

dzdv

yz μτ ; ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

dzdu

dxdw

zx μτ (2.75)

dimana: xyyx ττ = ; zyyz ττ = ; zxxz ττ =

Hukum Stokes untuk tegangan normal pada fluida adalah:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−+−=

zw

yv

xu

xuPxx δ

δδδ

δδμ

δδμσ

322 (2.76a)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−+−=

zw

yv

xu

yvPyy δ

δδδ

δδμ

δδμσ

322 (2.76b)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−+−=

zw

yv

xu

zwPzz δ

δδδ

δδμ

δδμσ

322 (2.76c)

Selanjutnya substitusikan persamaan (2.75) dan persamaan (2.76a) ke persamaan

(2.73a), sehingga diperoleh persamaan gerak Navier-Stokes untuk arah x seperti di

bawah ini:

Xxw

zu

z

xv

yu

yzw

yv

xu

xuP

xDtDu

ρδδ

δδμ

δδ

δδ

δδμ

δδ

δδ

δδ

δδμ

δδμ

δδρ

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++−+−=

322

(2.77)

Persamaan (2.77) di atas bila dibagi dengan ρ akan diperoleh:

Xzxw

zu

yxv

yu

zxw

yxv

xu

xu

xP

DtDu

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++−+−=

δδδ

δδ

ρμ

δδδ

δδ

ρμ

δδδ

δδδ

δδ

ρμ

ρδμδ

δδ

ρ2

2

2

2

2

222

2

2

2

2

3221

(2.78)

Xzw

yv

xu

xzu

yu

xu

xP

DtDu

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−=

δδ

δδ

δδ

δδ

ρμ

δδ

δδ

δδ

ρμ

δδ

ρ 311

2

2

2

2

2

2

(2.79)

dimana: μ = kekentalan dinamik


Pada persamaan (2.50), dapat dilihat bahwa untuk aliran tak mampat, 0=++zw

yv

xu

δδ

δδ

δδ

,

sehingga persamaan (2.79) menjadi:

Xzu

yu

xu

xP

DtDu

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−= 2

2

2

2

2

21δδ

δδ

δδ

ρμ

δδ

ρ (2.78)

Bila persamaan (2.78) dijabarkan lebih lanjut, maka akan diperoleh:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−=+++ 2

2

2

2

2

21zu

yu

xu

xPX

zuw

yuv

xuu

tu

δδ

δδ

δδ

ρμ

δδ

ρδδ

δδ

δδ

δδ

(2.79a)

Dengan menggunakan cara yang sama, maka untuk arah y dan arah z akan diperoleh:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−=+++ 2

2

2

2

2

21zv

yv

xv

yPX

zvw

yvv

xvu

tv

δδ

δδ

δδ

ρμ

δδ

ρδδ

δδ

δδ

δδ

(2.79b)

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++−=+++ 2

2

2

2

2

21zw

yw

xw

zPX

zww

ywv

xwu

tw

δδ

δδ

δδ

ρμ

δδ

ρδδ

δδ

δδ

δδ

(2.79c)

Persamaan (2.79a), (2.79b), (2.79c) merupakan persamaan gerak (momentum) rata-rata

Navier-Stokes untuk arah x, arah y, dan arah z.

Dalam proses penurunan persamaan momentum 2 dimensi, diasumsikan bahwa

percepatan arah vertikal nilainya mendekati nol.

0≈DtDw

Persamaan (2.79c) akan menjadi seperti berikut:

01=−

zPZδδ

ρ (2.80)

Integralkan persamaan (2.80), maka akan diperoleh:

( )ηρ += hZP (2.81)

Dari persamaan (2.80), akan diperoleh:

( )

xhZ

xP

δηδ

δδ

ρ+

=1

(2.82)

( )

yhZ

yP

δηδ

δδ

ρ+

=1

(2.83)


Dengan mengalikan persamaan (2.50) dengan u, kemudian jumlahkan ke ruas kiri

persamaan (2.79a) dan substitusikan persamaan (2.82), maka akan diperoleh persamaan

berikut:

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

+−=+++ 2

2

2

2

2

22

zu

yu

xu

xhZX

zuww

yuvv

xu

tu

δδ

δδ

δδ

ρμ

δηδ

δδ

δδ

δδ

δδ

(2.84a)

Dengan mengalikan persamaan (2.50) dengan v, kemudian jumlahkan ke ruas kiri

persamaan (2.79b) dan substitusikan persamaan (2.83), maka akan diperoleh persamaan

berikut:

( )

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

+−=+++ 2

2

2

2

2

22

zv

yv

xv

yhZY

zvww

xuv

yvv

tv

δδ

δδ

δδ

ρμ

δηδ

δδ

δδ

δδ

δδ

(2.84b)

Untuk memperoleh persamaan kekekalan momentum dua dimensi, maka persamaan

(2.84a) dan (2.84b), diintegrasikan terhadap kedalaman. Persamaan (2.84a) diintegrasikan terhadap kedalaman, maka akan didapat sebagai berikut:

dzzu

yu

xu

dzx

ZdzXdzz

uwdzyuvdz

xudz

tu

h

hhhhhh

∫

∫∫∫∫∫∫

−

−−−−−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

−=+++

η

ηηηηηη

δδ

δδ

δδ

ρμ

δδη

δδ

δδ

δδ

δδ

2

2

2

2

2

2

2

(2.85)

Untuk menyederhanakan proses pengintegralan, ruas kiri dan ruas kanan persamaan

(2.85) diselesaikan secara terpisah, untuk menyelesaikan ruas kiri, digunakan metoda

Leibniz Rule sebagai berikut:

Suku 1

( ) ( )thhyxu

tyxudzu

tdz

tu

hh δδ

δδηη

δδ

δδ ηη

−−−= ∫∫−−

,,,, (2.86)

Suku 2

( ) ( ) ( ) ( )xhhyxuhyxu

xyxuyxudzu

xdz

xu

hh δδ

δδηηη

δδ

δδ ηη

−−−−= ∫∫−−

,,,,,,,,22

(2.87)

Suku 3

( ) ( ) ( ) ( )yhhyxvhyxu

xyxvyxudzuv

ydz

yuv

hh δδ

δδηηη

δδ

δδ ηη

−−−−= ∫∫−−

,,,,,,,, (2.88)

Suku 4


( ) ( ) ( ) ( )hyxwhyxuy

yxwyxudzz

uw

h

−−−=∫−

,,,,,,,,δδηηη

δδη

(2.89)

Substitusi persamaan (2.86) sampai (2.89) ke ruas kiri persamaan (2.85), diperoleh

sebagai berikut:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) dzzu

yu

xudz

xhZ

dzXhyxwhyxuy

yxwyxuyhhyxv

hyxux

yxvyxudzuvyx

hhyxu

xyxudzu

xthhyxu

tyxudzu

t

hh

h

h

hh

∫∫

∫

∫

∫∫

−−

−

−

−−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++

+−

=−−−+−

−−−+−−

−+−−−

ηη

η

η

ηη

δδ

δδ

δδ

ρμ

δηδ

δδηηη

δδ

δδηηη

δδ

δδ

δδηη

δδ

δδ

δδηη

δδ

2

2

2

2

2

2

2

22

,,,,,,,,,,

,,,,,,,,

,,,,,,

(2.90)

Berdasarkan asumsi bahwa u dan v konstan terhadap kedalaman, maka:

( )ηη

+=∫−

hUdzuh

(2.91)

( )ηη

+=∫−

hUdzuh

22 (2.92)

( )ηη

+=∫−

hUVdzuvh

(2.93)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.91) sampai dengan persamaan (2.92) dan

persamaan (2.56) dan (2.88) ke persamaan (2.90), maka diperoleh persamaan:

( )( ) ( )( ) ( )( )

( ) dzzu

yu

xuXdz

xhZ

dzXUVhy

Uhx

yxUt

hh

h

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+++

++

=++++

∫∫

∫

−−

−

2

2

2

2

2

2

2,,

δδ

δδ

δδ

ρμ

δηδ

ηδδη

δδη

δδ

ηη

η

(2.94)

Pengintegrasian ruas kanan persamaan (2.85) menghasilkan persamaan sebagai berikut:

( ) ( ) dz

zu

yu

xuXh

xhZX

h⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+ ∫−

2

2

2

2

2

2

δδ

δδ

δδ

ρμη

δηδ η

(2.95)

Dalam aliran turbulen, viskositas dinamik dapat diganti dengan koefisien viskositas eddy.

Perbedaan dibuat antara tekanan yang bekerja pada bidang x-y, bidang x-z, dan bidang


y-z. Suku ke 2 persamaan (2.95) dapat ditulis sebagai berikut:

∫∫∫−−− ∂

∂+

∂

∂+

∂∂ ηηη

hxz

hxy

hxx z

uEdzyu

EdzxuE 2

2

2

2

2

2

(2.96)

dimana Exx, Exy dan Exz adalah koefisien Viskositas Eddy. Penyelesaian persamaan diatas

adalah sebagai berikut.

( ) 2

2

2

2

xuhE

xuE xx

hxx ∂

∂+=

∂∂

∫−

ηη

(2.97)

( ) 2

2

2

2

yuhE

yuE xy

hxy ∂

∂+=

∂∂

∫−

ηη

(2.98)

hxy

hxy z

uzuE

yuE

−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛∂∂

=∂∂

∫η

η

2

2

hxx −−= ττη (2.99)

dimana:

=xητ Tegangan geser yang bekerja di permukaan air

=−hxτ Tegangan geser yang bekerja di dasar perairan

Tegangan geser yang bekerja di permukaan air disebabkan oleh kecepatan angin, gaya

geser ini dapat dinyatakan sebagai berikut:

ψρξτη cos2ax V= (2.100a)

ψρξτη sin2ay V= (2.100b)

Tegangan geser yang terjadi di dasar perairan dihitung dengan menggunakan rumus

empiris.

( )33.12

222

HCVUUn

gHu

hx+

=− ρτ (2.101)

Dengan mensubstitusikan persamaan (2.97), (2.98), (2.99), (2.100a) dan (2.101) ke ruas

kanan persamaan (2.94), diperoleh hasil sebagai berikut:


( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 2

22

xuhEh

xhZXUVh

yUh

xhU

txx

∂∂

+++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂+∂

+=+∂∂

++∂∂

++∂∂ η

ρηηηηη

( ) ( )ψξη

ρcos2

33.120

222

2

2

axy V

HCVUUn

gHyuh

E+

+−

∂∂

++ (2.102)

dimana,

Hh =+η

=X Gaya coriolis untuk arah x ( Φ= sin2ων dengan =ω 7.292x10-5 rad/s

=0C 1.486

=n koefisien manning

=Z gaya gravitasi

=ξ koefisien tegangan geser angin empiris

=aV kecepatan angin

Persamaan (2.102) dapat disederhanakan menjadi sebagai berikut:

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

22

yuE

xuEH

xHgHUVH

yHU

xUH

t xyxxρ

( )Φ++

+− sin2cos2

33.120

222

νωψξ hVHC

VUgHUna (2.103a)

Dengan cara yang sama, diperoleh persamaan kekekalan momentum dua dimensi untuk

arah y.

( ) ( ) ( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

+∂∂

=∂∂

+∂∂

+∂∂

2

2

2

22

yvE

xvEH

yHgHHV

yUVH

xVH

t yyyxρ

( )Φ++

+− sin2cos2

33.120

222

νωψξ hVHC

VUgHVna (2.103b)

Persamaan kekekalan momentum yang digunakan oleh RMA2 adalah:

Arah x:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

xh

xagH

yuE

xvEh

yvhv

xvhu

tuh xyyx 2

2

2

2

ρ


( )( ) 0sin2cos

486.122/122

26/1

2

=−−++− φωψξ vhVvuh

guna (2.104a)

Arah y:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

∂∂

+∂∂

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∂∂

+∂∂

−∂∂

+∂∂

+∂∂

xh

xagH

yuE

xvEh

yvhv

xvhu

tvh xyyx 2

2

2

2

ρ

( ) ( ) 0sin2cos486.1

22/12226/1

2

=−−++− φωψξ vhVvuh

gvna (2.104b)

2.5 Pasang Surut

2.5.1 Analisis Pasang Surut

Analisa pasang surut dilakukan terhadap data pasang surut untuk mengetahui

karakteristik pasang surut di lokasi kajian yang akan sangat berguna untuk keperluan

desain.

Seperti yang telah diketahui, bahwa pasang surut dipengarui oleh beberpa macam gaya

yang disebut gaya pembangkit pasang surut. Masing-masing gaya akan merupakan

komponen yang menentukan karakteristik dari pasang surut pada tempat tertentu.

Tiap-tiap komponen akan berulang untuk suatu periode tertentu dan mempuyai kecepatan

sudut tertentu yang selalu tetap untuk setiap tempat di bumi ini, karena gaya pembentuk

pasang surut berasal dari gerakan bumi, bulan dan matahari yang mengikuti suatu aturan

yang tetap. Tiap-tiap komponen akan menghasilkan amplitudo dan perbedaan fasa

masing-masing dan untuk tempat tertentu hal tersebut akan selalu tetap.

Pada tempat yang berbeda, komponen tersebut akan menghasilkan amplitudo dan beda

fasa yang berbeda, bergantung pada lokasi dan keadaan geografisnya. Besarnya

amplitudo dan beda fasa pada tempat tertentu disebut dengan konstanta pasang surut

untuk tempat tersebut. Konstanta pasang surut akan menentukan karakteristik dari

pasang surut yang terjadi pada suatu tempat dan besarnya akan dapat diketahui dengan

pengamatan pasang surut dan analisanya.

Analisa pasang surut dilakukan berdasarkan persamaan di bawah ini:

( )∑=

−+=k

iiiit atZZZ

10 cos ω (2.105)

Keterangan:


Zt = Tinggi muka air pada waktu t

Z0 = Tinggi muka air rata-rata

k = Jumlah komponen pasang surut

Zi = Amplitdo dari komponen ke-i

ωi = Kecepatan sudut dari komponen ke – i

t = Waktu

ai = Beda fasa dari komponen ke-i

2.5.2 Persamaan Regresi

Analisis regresi pada dasarnya adalah studi mengenai ketergantungan satu variabel

dependen (terikat) dengan satu atau lebih variabel independen (variabel penjelas/bebas),

dengan tujuan untuk mengestimasi dan atau memprediksi rata-rata populasi atau nilai

rata-rata variabel dependen berdasarkan nilai variabel independen yang diketahui

(Gujarati, 1995). Pada proses pengolahan data pasang surut metode regresi yang biasa

digunakan adalah admiralty dan least square. Metode yang akan dijelaskan dalam tugas

akhir ini adalah metode least square.

( )∑=

++=K

kkkkkoi tBtAAy

1sincosˆ ωω (2.106)

A0, Ak, Bk = Koefisien yang harus dihitung dengan Metoda Kuadrat Terkecil

K = Jumlah konstituen yang diperhitungkan.

k = Nomor konstituen.

ω = T2π .

T = Periode konstituen pasang surut.

t = Waktu (data lapangan).

Model pasang surut diatas dapat dinyatakan sebagai berikut.

∑∑==

++=K

kkk

K

kkkoi tBtAAy

11sincosˆ ωω (2.107)

dimana:

A0 = Harga elevasi muka air rata-rata


= N

yN

iii∑

=

Ak, Bk = Harga yang dicari.

K = Jumlah konstituen yang diperhitungkan.

k = Konstituen ke-i.

ωk = Frekuensi sudut konstituen ke-k.

t = Waktu (data lapangan).

Error (selisih antara data dan model) dapat didefinisikan sebagai berikut:

eldata yy mod−=ε (2.108)

ii yy ˆ−=ε

Jumlah Kuadrat Error didefinisikan sebagai berikut:

J = ( )∑∑==

−=εN

1i

2ii

N

1i

2 yy

Metoda kuadrat terkecil menyatakan bahwa model terbaik memberikan jumlah kuadrat

error terkecil.

J = ∑ ∑∑= ==

⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ω+ω+−

N

1i

2K

1kikk

K

1kikkoi tsinBtcosAAy (2.109)

J = ∑ ∑∑= ==

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−ω−−

N

1i

2K

1kikk

K

1kikkoi tsinBtcosAAy

Variabel yang tidak diketahui adalah Ak dan Bk, sementara yang diketahui adalah ωk, ti

dan yi.

J minimum jika turunan pertama J terhadap seluruh parameter yang berpengaruh bernilai

nol. Dalam hal ini parameter-parameter yang berpengaruh adalah Ak dan Bk.

Sehingga:

1. kAJ

∂∂ = 0

0tcostsinBtcosAAy2AJ N

1itk

K

1kikk

K

1kikkoi

k=ω⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−ω−−−=

∂∂ ∑ ∑∑

= ==

(2.110)


2. kBJ

∂∂ = 0

0tsintsinBtcosAAy2BJ N

1itk

K

1kikk

K

1kikkoi

k=ω⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω−ω−−−=

∂∂ ∑ ∑∑

= ==

(2.111)

Dari persamaan di atas dapat diuraikan sebagai berikut.

∑∑∑ ∑∑∑=== ===

−=+N

iiki

N

iik

N

i

K

kik

N

itkk

K

kiktkk tytAttBttA

110

1 111coscossincoscoscos ωωωωωω

∑∑∑ ∑∑∑=== ===

−=+N

iiki

N

iik

N

i

K

kik

N

itkk

K

kiktkk tytAttBttA

110

1 111sinsinsinsincossin ωωωωωω

Dalam bentuk matrik dinyatakan sebagai berikut:

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

K

kik

N

itk

K

kik

N

iik

K

kik

N

iik

K

kik

N

iik

tttt

tttt

1111

1111

sinsincossin

sincoscoscos

ωωωω

ωωωω

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

k

k

B

A

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

∑∑

∑∑

==

==

N

iiki

N

iik

N

iiki

N

iik

tytA

tytA

110

110

sinsin

coscos

ωω

ωω

Untuk 1 buah konstituen, K=1

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑

∑∑

==

==

N

iii

N

ii

N

iii

N

ii

ttt

ttt

11

21

11

111

11

2

sincossin

sincoscos

ωωω

ωωω

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

1

1

B

A

=

⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

∑∑

∑∑

==

==

N

iii

N

ii

N

iii

N

ii

tytA

tytA

11

110

11

110

sinsin

coscos

ωω

ωω

Untuk 2 buah konstituen, K=2

dalam persamaan matrik [ ]{ } { }CXM =

Dimana:

[ ]M =


⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

∑∑∑∑

====

====

====

====

N

iii

N

ii

N

iiii

N

ii

N

iit

N

it

N

iit

N

iii

N

iiii

N

ii

N

iii

N

ii

N

iit

N

iit

N

iit

N

ii

ttttttt

ttttttt

ttttttt

ttttttt

12

22

12

1121

12

122

12

2

112

112

1212

11

11

21

11

121

121

111

11

2

sincossinsinsincossin

sincoscossincoscoscos

sinsincossinsincossin

sincoscoscossincoscos

ωωωωωωω

ωωωωωωω

ωωωωωωω

ωωωωωωω

{ }X =

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

2

2

1

1

B

A

B

A

{ }C =

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎭

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

−

−

−

−

∑∑

∑∑

∑∑

∑∑

==

==

==

==

N

iii

N

ii

N

iii

N

ii

N

iii

N

ii

N

iii

N

ii

tytA

tytA

tytA

tytA

12

120

12

120

11

110

11

110

sinsin

coscos

sinsin

coscos

ωω

ωω

ωω

ωω

Untuk jumlah konstituen yang lain ditentukan dengan cara yang sama. Ukuran matrik

dengan N buah konstituen adalah Matrik 2N x 2N.


2 Dasar Teori.................................................... 1

2.1 Hindcasting.......................................................................................................... 1

2.1.1 Data Angin....................................................................................................... 2

2.1.2 Daerah Pembentukan Gelombang (Fetch Efektif)........................................... 7

2.1.3 Peramalan Data Gelombang........................................................................... 8

2.1.4 Analisis Frekuensi Gelombang...................................................................... 11

2.2 Transport Sedimen Sejajar Pantai .................................................................... 14

2.3 Persamaan Kontinuitas ..................................................................................... 18

2.4 Persamaan Kekekalan Momentum ................................................................... 24

2.5 Pasang Surut..................................................................................................... 34

2.5.1 Analisa Pasang Surut .................................................................................... 34

2.5.2 Persamaan Regresi....................................................................................... 35

Gambar 2.1 Perhitungan harga rasio RL sebagai fungsi dari UL ..................................... 5

Gambar 2.2 Grafik Nilai RT vs ΔT (SPM 1984)............................................................... 7

Gambar 2.3 Flowchart peramalan tinggi dan periode gelombang................................. 11

Gambar 2.4 Ilustrasi Komponen Energi Gelombang Setelah Pecah ............................ 16

Gambar 2.5 Ruang tilik kubus dalam fluida................................................................... 19

Gambar 2.6 Definisi h dan η.......................................................................................... 23

Gambar 2.7 Gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida ............................................ 26

Tabel 2.1 Pengelompokan Arah Angin Berhembus ........................................................ 3

2 Dasar Teori - Perpustakaan Digital ITB - · PDF file2.1.1 Data Angin Posisi bumi terhadap...

Documents

Transcript of 2 Dasar Teori - Perpustakaan Digital ITB - · PDF file2.1.1 Data Angin Posisi bumi terhadap...