Transformasi Linear Misalkan V dan W adalah ruang vektor, T : V W dinamakan transformasi linear, jika untuk setiapdan berlaku :Jika V = WmakaT dinamakan operator linear04/07/2011 22:25 1V b a e ,R e o( )= +b a T . 1( ) ( ) b T a T +( ) = a T o . 2( ) a T oContoh :Tunjukan bahwa T : R2 R3, dimanamerupakantranformasi linear.Jawab :Ambil unsursembarang di R2, Misalkan(i)Akan ditunjukan bahwa04/07/2011 22:25 2|||.|

\|=((

||.|

\|yxy xyxT,21||.|

\|=uuu221Rvvv e||.|

\|=( ) ( ) ( ) v T u T v u T + = +Rumus TransformasiTerbukti bahwa04/07/2011 22:25 3( ) = +v u T((||.|

\|+

||.|

\|2121vvuuT( ) ( )( )|||.|

\|++ + +=2 21 12 2 1 1v uv uv u v u( ) ( )|||.|

\|+ + +=2 21 12 2 1 1v uv uv u v u|||.|

\|+|||.|

\|=212 1212 1vvv vuuu u( ) ( ) ( ) v u v u T + = +(ii)Ambil unsur sembarangJadi, T merupakan transformasi linear.04/07/2011 22:25 4R R u e e o dan2( )((

||.|

\|T = T21uuuooo|||.|

\| =212 1uuu uooo o( )( )( )|||.|

\|=212 1uuu uooo|||.|

\|=212 1uuu uo( ) u =Contoh 2 :Misalkan T merupakan suatu transformasi dari M2x2ke Ryang didefinisikan oleh T(A) = det (A), untuksetiap A e M2x2, Apakah T merupakan Transformasi linier.Jawab :Misalkanmakauntuk setiap oe Rberlakudet (oA) = 04/07/2011 22:25 52 24 32 1

xMa aa aA e||.|

\|=||.|

\|4 32 1

deta aa ao oo o( ) ) det(24 3 2 12A a a a a o o = =Perhatikan bahwa det(oA) o det(A)Jadi T bukan transformasi linier.Contoh 3 :Diketahui T : R3 R2,dimanaa. Apakah T merupakan transformasi linear b. Tentukan 04/07/2011 22:25 MA-1223 Aljabar Linear 6||.|

\|=|||.|

\|c ab acbaT) 1 , 1 , 1 ( T( )3 2 1, , u u u u =( )3 2 1, , v v v v =Jawab :a.(i) Ambil unsur sembarang P2,SehinggaPerhatikan bahwa04/07/2011 22:25 7= + v u( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 1 1, , v u v u v u + + +( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 3 2 2 1 1, , v u v u v u T v u T + + + = +( ) ( )( ) ( )||.|

\|+ ++ +=3 3 1 12 2 1 1v u v uv u v u( ) ( )( ) ( )||.|

\| + + =3 1 3 12 1 2 1v v u uv v u u||.|

\|+||.|

\|=3 12 13 12 1v vv vu uu u( ) ( )3 2 1 3 2 1, , , , v v v T u u u T + =Ambil unsur sembarang R3,dan o e R, sehinggaJadi, T merupakan transformasi linear04/07/2011 22:25 8( )3 2 1, , u u u u =( ) ( ) ( )3 2 1, , u u u T u T o o =( )( )||.|

\|=3 12 1u uu uo oo o( )( )||.|

\|=3 12 1u uu uoo||.|

\|=3 12 1u uu uo( )3 2 1, , u u u T o =b.Suatu transformasi linear T : Rn Rm dapat direpresentasikan dalam bentuk :Amxndinamakan matriks transformasi dari T.Contoh :Misalkan,suatu transformasi linear T : R2 R3didefinisikan oleh :04/07/2011 22:25 9= ) 1 , 1 , 1 ( T||.|

\|=||.|

\|001 11 1( ) u A u T =u untuk setiap e V.|||.|

\|=((

||.|

\|Tyxy xyxJawab :Perhatikan bahwaJadi matriks transformasi untuk T : R2 R3adalahJika T : Rn Rmmerupakan transformasi linearmaka ukuran matriks transformasi adalah m x n04/07/2011 22:25 10||.|

\||||.|

\|=|||.|

\|=((

||.|

\|Tyxyxy xyx1 00 11 1|||.|

\|=1 00 11 1A04/07/2011 22:25 11||.|

\|+=|||.|

\|c ab acbaT2Latihan1. Suatu transformasiT : 9392didefinisikan olehPeriksa apakah T merupakan transformasi linear