145592030-bahan-kuliah-mektek-2.pdf
-
Upload
ibnu-nanda-wicaksono -
Category
Documents
-
view
286 -
download
47
Transcript of 145592030-bahan-kuliah-mektek-2.pdf
-
DAFTAR ISI
Daftar Isi. ....................................................................................................
Prakata.........................................................................................................
1. Tegangan tarik dan tegangan tekan.......................................................
Sasaran belajar......................................................................................
Pendahulan............................................................................................
Tegangan dan regangan........................................................................
Elastisitas dan plastisitas.......................................................................
Hukum HOOKE....................................................................................
Faktor keamanan...................................................................................
Angka poissons (u)..............................................................................
Tegangan akibat berat sendiri...............................................................
Tegangan batang akibat beban aksial...................................................
Tegangan akibat perubahan temperatur................................................
Tegangan pada batang tirus..................................................................
2. Tegangan geser.................................................................................... .
Sasaran belajar....................................................................................
Pengertian dan tegangan geser...........................................................
Tegangan geser yang diizinkan..........................................................
Tegangan geser pada batang yang mendapat beban tarik dan
Tekan murni......................................................................................... .
Tegangan geser pada bidang yang letaknya tegak lurus satu sama
Lain....................................................................................................
3. Momen inersia....................................................................................
Sasaran belajar
Pengertian momen intersia.................................................................
Momen inersia polar...........................................................................
Jari-jari girasi......................................................................................
Teorema sumbu sejajar.......................................................................
Momen inersia penampang.................................................................
Momen inersia penampang komposit.................................................
1
-
Hasil kali inersia.................................................................................
Soal perlatihan....................................................................................
4. Tegangan normal akibat momen lentur (tegangan lentur)..................
Sasaran belajar....................................................................................
Pendahuluan........................................................................................
Distribusi tegangan penampang simetri.............................................
Distribusi tegangan penampang tak simetri........................................
Tegangan geser dalam balok..............................................................
Tagangan-tegangan dalam balok dengan penampang tak konstan.....
5. Tegangan akibat momen puntir
Sasaran belajar....................................................................................
Pendahuluan........................................................................................
Penurunan rumus puntir......................................................................
Torsi pada tabung berdinding tipis.....................................................
Soal perlatihan....................................................................................
6. Tekanan bidang...................................................................................
Pendahuluan........................................................................................
Tekanan pada bidang miring..............................................................
Tekanan pada bidang datar.................................................................
Tekanan pada tabung berdinding tipis................................................
Soal perlatihan....................................................................................
7. Tegangan gabungan............................................................................
Sasaran belajar ...................................................................................
Pendahuluan........................................................................................
Kombinasi beban aksial dan lentur.....................................................
Persamaan transformasi tegangan bidang...........................................
Lingkaran tegangan mohr...................................................................
Pembuatan lingkaran mohr.................................................................
Soal perlatihan....................................................................................
8. Lendutan.............................................................................................
Sasaran belajar......................................................................................
Pendahuluan........................................................................................
2
-
Moroda integrasi ganda.........................................................................
Metode luas momen..............................................................................
Metode superposisi...............................................................................
Soal perlatihan......................................................................................
9. Struktur statis tak tentu.........................................................................
Sasaran belajar......................................................................................
Pendahuluan..........................................................................................
Balok dengan tempuan jepit-ngsel dan jepit rol.................................
Balok dengan tumpuan jepit.................................................................
Balok menerus......................................................................................
Soal perlatihan......................................................................................
10. Buckling (Tekuk)................................................................................
Sasaran belajar....................................................................................
Pendahuluan........................................................................................
Kolom panjang dengan rumus euler...................................................
Kolom sedang.....................................................................................
Rumus kolom dengan pembebanan eksentris.....................................
Soal perlatihan
Daftar Pustaka............................................................................................
3
-
PRAKATA
Dengan mengucapkan syukur alhamdulillah ke hadirat Tuhan Yang Maha
Esa, dan atas berkah rahmat serta hidayah-Nya, maka penyusun dapat
menyelesaikan buku ajar mekanika Teknik II ini dengan baik meskipun masih
banyak kekurangannya.
Buku ini diperuntukkan bagi kalangan mahasiswa yang ingin mempelajari
Mekanika Teknik sebagai lanjutan dari Mekanika Teknik I (satistika) pada
kurikulum jurusan teknik mesin di Universitas/ Institut umumnya dan Politeknik
khususnya.
Pengembangan, koreksi, modifikasi dan lain-lain perbaikan akan
diusahakan dikemudian hari. Oleh karena itu, segala kritik dan saran yang
bersifat membangun akan sangat berguna bagi kami, mengingat bahwa buku ini
masih jauh dari kesempurnaan.
Mudah-mudahan buku ini bermanfaat bagi mahasiswa Politeknik
khususnya dan bagi pembaca umumnya.
Penulis
4
-
1. Tegangan tarik dan tagangan tekan
Sasaran belajar
Setelah mempelajari dan menyelesaikan soal perlatihan bab ini, anda dapat
menentukan ukuran batang yang menerima beban tarik maupun tekan.
Anda dapat menjelaskan diagram tegangan dan regangan
Anda dapat menentukan besarnya tegangan berdasarkan pengaruh
temperatur.
Anda dapat menyebutkan paramater yang berhubungan dengan Hukum
Hooke.
Pendahuluan
Kekuatan merupakan bagian dari ilmu kekuaan bahan, sedangkan tegangan
merupakan perluasan dari pelajaran ilmu gaya (statistika), tetapi terdapat
perbedaan yang nyata antara keduanya. Pada dasarnya, statistika membahas
hubungan antara gaya yang bekerja pada benda kaku dan benda dalam keadaan
setimbang. Sedangkan kekuatan bahan meliputi hubungan antara gaya luar yang
bekerja dan pengaruhnya terhadap gaya dalam benda tersebut. Di samping itu,
analisis kekuatan benda tidak anggap kaku, sehingga deformasi kecil tetap
diperhitungkan. Jadi kekuatan bahan adalah kemampuan suatu benda untuk
menahan gaya yang terjadi padanya sampai pada batas yang ditentukan,
sedangkan tegangan adalah reaksi dalam (gaya dalam) persatuan luas penampang.
Gaya dalam adalah reaksi bagian dalam benda terhadap gaya luar. Tegangan
dilambangkan dengan huruf yunani : (sigma), misal untuk kasus benda yang
ditarik unilaksial (seperti pada uji tarik).
5
AF
=
-
Gambar 1.1 Benda ditarik uniaksial
Dengan : = Tegangan tarik (pa = N/m2)F = Gaya normal yang besarnya
sama dengan gaya luar (N)A = Luas penampang yang
menahan gaya luar (m2)
Dengan diketahuinya tegangan, kita dapat mengukur kemampuan benda untuk
manahan beban.
Jenis tegangan
1. Berdasarkan arah gaya dikenal tegangan normal dan tegangan geser.
Tegangan normal adalah tegangan yang diakibatkan oleh gaya luar yang
arahnya tegak lurus penampang atau sejajar normal penampang. Tegangan
geser adalah tegangan yang diakibatkan oleh gaya luar yang arahnya
sejajar atau sebidang dengan penampang yang menahan.
2. Berdasarkan pembebanan dikenal dengan tegangan tarik, tegangan tekan,
Tegangan geser, tegangan dukung, tegangan lentur dan tegangan puntir
Tegangan tarik adalah tegangan yang dikakibatkan oleh beban tarik, sedangkan
tegangan tekan diakibatkan oleh beban tekan. Bila benda tarik akan terjadi
pemanjangan dan bila ditekan akan terjadi pemendekan
Tegangan dan regangan
Konsep dasar tegangan dan regangan dapat dijelaskan dengan
menggunakan sebuah batang yang diberi gaya aksial (axial force) P speerti
diperlihatkan pada gambar 1.2 di bawah ini.
6
-
Akibat gaya aksial P akan timbul tegangan (internal stress). Untuk menghitung
tegangan perlu dilakukan pemotongan khayal pada penampang m-n (gambar 1.2
a) dengan arah tegak lurus sumbu batang.
Potongan sebelah kanan dipisahkan sebagai benda bebas (gambar 1.2 b).
Pada ujung sebelah kanan bekerja gaya P (aksi), sedangkan pada bagian sebelah
kiri timbul gaya reaksi yang besarnya sama dengan gaya aksinya.
Tegangan normal yang terjadi dapat dihitung.
= )11....(.............................. AP
Dengan : = Tegangan normal tarik (Pa)
P = Gaya tarik (N)
A = Luas penampang bahan (m2)
Akibat gaya tarik P, batang akan mengalami pemanjangan (elongation),
sedangkan apabila beban P berupa gaya tekan batang akan mengalami
pemendekan. Perubahan panjang batang baik yang mengalami pemanjangan
maupun pemendekan dinyatakan dengan huruf yunani (delta) yang digambarkan dalam gambar 1.2 a untuk batang dengan beban tarik. Perbandingan
antara perubahan panjang ( ) dengan panjang semula (L) disebut sebagai regangan (strain) yang dinyatakan dengan huruf yunani = (epsilon)
Dalam persamaan :
)22..(...................................................................... =L
7
Lo
L
P
P P
n
n
n
n P
(a)
(b)
-
Dengan : = Regangan
= Remanjangan (mm)L = Panjang semula (mm)
Regangan untuk kasus di atas dinamakan regangan normal (normal strain)
karena beban yang diberikan arahnya tegak lurus penampang. Regangan
merupakan besaran tak berdimensi (dimensionless quality) karena bagian
regangan merupakan perbandingan antara dua ukuran panjang. Jika batang
mengalami pemanjangan atau terikan, maka reganganya disebut regangan tarik
(tenssile train) dan reganganya dinyatakan berharga positif, sedangkan bila batang
mengalami pemendekan atau penekanan regangan disebut regangan tekan
(compressive strain) dan regangannya dinytakan berharga negatif.
Hubungan tegangan dan regangan
Hubungan antara tegangan dan regangan dapat dinytakan dengan diagram
TEGANGAN-REGANGAN. Diagram ini sangat penting karena kita dapat
mengatahui berbagai sifat materia dari diagram tersebut.
Di bawah ini diberikan contoh diagram tegangan regangan untuk baja
karbon rendah (low carbon steel).
Diagram tegangan regangan
8
-
Keterangan :
Batas kesebandingan (proportional limit) merupakan batas atas daerah
regangan yang tegangannya berbanding lurus dengan regangan. Titik luluh (yield
point) adalah suatu titik yang dicapai bila bahan dibebani, maka akan terjadi
diformasi plastis atau deformasi permanen, artinya benda tidak akan kembali ke
bentuk semula bila beban dihilangkan.
Titik patah adalah titik tempat terjadi patahan. Regangan patah dapat
dipakai sebagai ukuran untuk sifat mampu bentuk suatu bahan. Suatu bahan
dengan regangan patah yang lebih besar akan mudah dibentuk tanpa mengalami
kerusakan. Kekuatan tarik (Ultimete strength) adalah tegangan maksimum yang
dapat ditahan oleh material.
Bahan dengan kekuatan tarik yang tinggi disebut kuat dan sebaliknya.
Tegangan patah adalah tegangan sebenarnya (true stress) yang terjadi tepat pada
saat benda akan patah. Bila kita perhatikan diagram tegangan regangan, garis OA
adalah garis lurus, ini menandakan bahwa pertambahan tegangan berbanding lurus
dengan pertambahan regangan. Hal ini menggambarkan kelakuan elestitas bahan
atau material yang diuji. Artinya apabila tegangan yang terjadi pada bahan tidak
melampaui batah tengah luluh, maka benda akan kembali ke bventuk semula pada
saat beban dihilangkan. Setelah melawati titik A, tegangan dan regangan tidak lagi
berbanding lurus. Oleh sebab itu, tegangan di titik A disebut btas kesebandingan
(proportional limit). Dengan benda diberi beban di atas batas kesebandingan,
maka akan bertambah lebih cepat daripada tegangan. Keadaan tersebut menankan
kalau sudah mulai mengalami keluluhan.
(Yielding). Tegangan yang terjadi disebut tegangan lulu (yielding stress)
atau titik luluh (yield point). Keadaan ini terjadi pada derah B hingga C, di tempat
benda mengalami regangan plastis, artinya benda akan mengalami perubahan
bentuk permanen setelah batang melawati titik C. pembenan lebih lanjut akan
menyebabkan tegangan naik hingga mencapai titik D yang merupakan batas
maksimum kekuatan suatu bahan. Selanjutnya, akan disebut kekuatan tarik
(ultimete stress). Setelah melawati titik D, regangan akan terus bertambah tanpa
perlu menambah besarnya beban sampai akhirnya material yang diuji patah yaitu
pada titik E (titik patah).
9
-
Untuk bahan yang rapuh (getas) pada saat patah regangan atau
pengurangan luas penampang yang terkadi kecil. Di bawah ini dapat diberikan
contoh diagram tegangan dan regangan dari berbagai macam bahan atau meterial.
Elastitas dan plastitas
Tegangan dan regangan di atas menggambarkan kelakuan dari berbagai
bahan yang mengalami pembebanan. Bila pada saat beban dihilangkan sedikit
demi sedikit, tegangan dan regangan bergerak dari titik A ke titik O secara linier
(pada kurva tegangan regangan), maka sifat bahan seperti ini disebut elastis.
Apabila suatu bahan yang mengalami pembebanan, dan beban diambil bahan
tidak bisa kembali seperti keadaan semula, maka sifat bahan tersebut disebut sifat
plastitas (plasticity) dan bahannya disebut sudah plastis (sudah mengalami
perubahan bentuk permanen). Hal ini ditunjukkan pada diagram tegangan
regangan pada daerah A hingga D.
Hukum HOOKE
Apabila suatu bahan yang mengalami pembenanan menunjukkan suatu hubungan
linier antara tegangan dan regangan, maka bahan dikatakan elestis, sedangkan
perbandingan antara tegangan dan regangan pada derah elastis linier dikenal
sebagai modulus elastisitas (modulus elesticity) dari bahan yang dinyatakan
dalam persamaan :
E = )31....(..............................
Dengan E : modulus elestisitas (N/m2) : Tegangan normal (N/m2) : Ragangan
10
-
Modulus elestisitas seringkali disebut modulus young (youngs modulus) yang dinakaman untuk menghargai ilmuwan kebangsaan Inggris bernama bernama Thomas Young yang hidup pada tahun (1773-1829). Modulus elastisitas adalah kemiringan dari diagram tegangan-regangan dalam daerah linier, yang harganya
tergantung pada bahan yang digunakan. Persamaan : tg
E= dikenal sebagai
hukum Hooke. Hukum ini diberikan untuk menghargai ilmuan kebangsaan Inggris Robert Hoooke yang hidup pada tahun (1635-1703). Makin besar sudut kemiringan atau modulus elastisitas (E) berarti bahan akan sulit untuk dibentuk, sebaliknya kalau sudut kemiringan makin kecil, maka bahan akan mudah untukj dibentuk.
Maka; E = )41.......(......................
.1/
/==
EAF.Latau
ALFAF
Dengan; F : Gaya normal (N) L : Panjang semula (mm2)
A : Luas penampang (mm2) E : Modus elastisitas (N/mm2)
Dari uraian di atas, untuk memenuhi Hukum Hooke dapat disimpulkan sebagai
berikut:
Perpanjangan ( )
sebanding dengan gaya (F).
Perpanjangan ( )
sebanding dengan panjang bahan (I)
Perpanjangan ( )
berbanding terbalik dengan luas penampang bahan (A)
11
-
Perpanjangan ( )
berbanding terbalik dengan modulus elastisitas bahan (E)
Contoh soal
Sebuah batang silinder baja yang modulusnya elastisitasnya 2,1.106 kg/cm2
mempunyai panjang 400cm, sedangkan diameternya adalah 25 mm,diberi beban
4500 kg pada ujung bawahnya. Tentukan besarnya :
tegangan normal
regangan
pertambahan panjang
Penyelesaian
Luas penampangan batang (A) pi
/42.2,5 = 4,909 cm
Tegangan: ot = F/A = 909,4
4500
= 91,68 kg/cm2
Regangan :
= Et
= 610.1,2
68,916
= 0,0004365
Pertambahan panjang = o =
. L = 0,0004365 . 4000 = 0,1746 cm
Faktor Keamanan
Faktor keamanan adalah angka yang menjamin agar benda yang dipakai atau
direncanakan aman.
Faktor keamanan = hkanyangdibutukekuasebenarnyakekua
tantan
Faktor keamanan haruslah lebih besar daripada 1,0. Untuk menghindari
kegagalan, biasanya,angka ini berkisar antara 1,0 sampai 15.
Faktor keamanan dapat ditentukan dengan mempertimbangkan berikut ini.
Kemungkinan pembebanan melampaui batas dari struktur
12
-
Jenis pembebanan (statis,dinamis)
Ketidaktelitian dalam struktur
Variasi dalam sifat-sifat bahan.
Keburukan yang disebabkan kondisi atau efek-efek lingkungan yang lain.
Apabila pengambilan faktor keamanan sangat rendah, maka kemungkinan
kegagalan akan menjadi tinggi. Karena itu, rancangan strukturnya mungkin tidak
diterima. Sebaliknya, apabila faktor keamanan sangat besar, maka pemakaian
bahan akan boros dan struktur menjadi berat sehingga tidak cocok dari segi
fungsi. Dalam praktek terdapat beberapa cara melaksanakan faktor keamanan.
Untukkebanyakan struktur, perlu diperhatikanagar bahannya tetap berada dalam
jangkauan elastis untuk menghindari adanya deformasi permanen
apabilabebannya diambil.Oleh karena itu, metode perencanaan yang lazim adalah
menggunakan faktor keamanan terhadap tegangan luluh maupun tegangan batas
dari bahan, sehingga diperoleh tegangan izin (allowable stress) atau tegangan
kerja (working stress), yang tak boleh dilampaui di setiap bagian dalam struktur.
Tegangan yang diizinkan pada suatu benda
Tegangan izin oleh pembebanan tetap
Pembebanan tetap sebenarnya dibagi 2 macam, yaitu :
Pembebanan tetap dalam keadaan diam (statis)
Pembebanan tetap dalam keadaan bergerak (dinamis).
Kedua hal di atas mempunyai faktor keamanan yang berlainan, dan untuk beban
dinamis faktor keamanannya harus lebih besar daripada yang statis karena pada
pembebanan dinamis selain menerima beban gaya luar benda juga mengalami
kelelahan akibat beban yang berubah-ubah.
Tegangan izin oleh pembebanan tidak tetap.
Pembebanan tidak tetap yang dimaksud adalah bebannya bergerak tetapi
bendanya sewaktu-waktu mengalami penambahan beban maupun pengurangan
beban. Oleh karena itu, faktor keamanannya lebih besar dari beban dinamis.
13
-
Tegangan izin oleh pembebanan impak (kejut).
Karena bendanya mengalami impek, maka faktor keamanannya lebih besar
daripada benda yang menerima pembebanan tetap dan tidak tetap. Hal ini
disebabkan bendanya tidak sempat mengalami gaya tegang akibat adanya beban
yang tiba-tiba.
Tegangan izin = Tegangan luluh Faktor keamana
izin = nu
.(1-5)
Tegangan izin = keamanan Faktor
batas Tegangan
izin = nu
..(1-6)
Faktor keamanan terhadap tegangan batas (Ultimate Stress) harus lebih besar
daripada terhadap tegangan luluh (yield stress), Hal ini disebabkan karena
tegangan batas lebih besar daripada tegangan luluh untuk semua bahan.
Contoh soal 2
Sebuah kolom pendek berongga terbuat dari besi tuang, mempunyai garis tengah
bagian luar 22 cm dan mendapat beban sebesar 45 ton.Kekuatan tekan dari besi
tuang adalah 7200 kgf/cm. Bila faktor keamanan adalah 4, hitunglah tegangan
tekan yang diizinkan dan berapakah tebal dinding minuman yang diperlukan
supaya tegangan yang diizinkan jangan sampai dilampaui?
Penyelesaian
Kekuatan tekan : u = 7200 kg/cm
14
-
Tegangan tekan yang diizinkan ( )
= ananfaktorkeamtekanKekua tan
= nu
= 4
7200 = 1800 kg/cm
Misal garis tengah lingkaran dalam adalah x cm, maka luas penampang kolom
pendek adalah :
A = 4pi ( D- X)
= 4pi (22- X)(a)
Apabila benda diharapkan mampu menahan beban, tegangan yang terjadi harus lebih kecil atau sam dengan tegangan izinnya :
AP 1800
A 1800
P A 180045000 25 cm (b)
Dari persamaan a dan b didapat :.
4pi (22-X ) 25 X (22- 1,27.25) X 452,17 X 17,452 x 21,26 cmJadi, tebal dinding minimum = t =
2XD =
226,2122
= 0,368 cm = 3,68 mmContoh soal 3Suatu kabel baja menanggung beban 400 kg pada salah satu ujungnya. Jika tegangan luluh kabel baja adalah 960 kg/cm dan faktor keamanannya 1,2. Berapakah diameter minimum yang diperlukan.
15
-
Penyelesaian Tegangan izin kabel : 8002,1
960==
ny kg/cm
Luas penampang kabel : A : 4pi d2
Agar kabel aman,artinya tidak mengalami perubahan penampangan bila beban diambil, maka tegangannya yang terjadi harus lebih kecil atau sama dengan tegangan izinnya : A
F 800
2.4
400
dpi 800, maka d 0,7979
Jadi, diameter minimum kabel = 0,7979 cm 0,8 cm
Angka poissons ( )Apabila sebuah batang ditarik (seperti pada gambar 1.8), maka pemanjangan aksial akan diikuti dengan kontraksi lateral dalam arah tegak lurus arah kerja gaya.
Pada gambar 1.8, garis putus-putus menyatakan bentuk sebelum pembebanaan dan garis tebal menyatakan bentuk setelah pembebanan.
Kontrasaksi lateral dapat dilihat dengan mudah pada karet yang direnggangkan, tetapi pada logam perubahan dimensi lateral biasanya sangat kecil untuk dapat dilihat, walaupun dapat diamati dengan peukur. Perbandingan regangan lateral (melintang) dengan regangan aksial (memanjang) dikenal sebagai angka nisbah (perbandingan) Poissons (poissons ration), dan dinyatakan dengan huruf yunani (nu).
= )71(.................... ==
aksial reganganlateral regangan
Angka poissons dinamakan untuk menghargai ilmuan matematika kenamaan Prancis, yaitu Simon Denis Poisson yang hidup pada tahun 1781-1940. Untuk batang dalam keadaan tarik,
16
-
regangan lateral menyatakan penurunan dalam ukuran besar (regangan negatif), sedangkan regangan aksial menyetakan pemanjangan (regangan positif). Besarnya angka poisson untuk kebanyakan bahan berada dalam jangkauan : 0,10 + 0,50 (lihat lampiran 1).
17
-
Perubhan volume
Karena dimensi suatu batang dalam keadaan tarik atau tekan berubahapabila dibebani, maka volume batang juga berubah. Perubahan ini dapat dihitung dari regangan lateral dan aksial
Pada gambar 1.9 diperlihatkan sebuah elemen kecil dari bahan yang dipotong pada sebuah batang yang mengalami beban tarik. Bentuk awal dari elemen diperlihatkan oleh jajaran genjang (pararel epiped) siku- siku seperti di perlihatkan garis putus-putus pada gambar, sedangkan bentuk akhir elemen diperlihatkan dengan garis tebal.
Gambar 1.9 Perubahan bentuk dari sebuah elemen dalam keadaan tarik
Pemanjangan elemen dalam arah pembebanan adalah a1 1 dengan adalah regangan aksial. Karena regangan lateral = v . , dimensi-dimensi lateral berkurang dengan b1 v. ; c. v. , berturut-turut dalam arah z . jadi dimensi terakhir dari elemen adalah a1 (1 + ) ; b1(1-v ); dan c1 (1-v )dan volume terakhirnya adalah
Vf = a1 b1 c1 (1+ )(1-v )(1-v )
Apabila pernyataan ini di selesaikan suku-suku yang mengandung kuadrat dan pangkat tiga dari dank arena sangat kecil, maka kuadrat dan pangkat tiga dapat di abaikan sehingga persamaannya menjadi :
Vf = a1b1c1(1+ -2 )..(1-8)
Dan perubahan volumenya adalah :
V = Vf + V = a1b1c1(1+ -2 ) a1b1c1
= a1b1c1 (1-2v).(1-9)
Perubahan volume satuan (e) didefenisikan sebagai purahan volume dibagi dengan volume semula.
18
-
E = = (1-2v) = (1- 2v)..(1-10)
Contoh soal 4 :
Sebuah batang baja yang panjangnya 2,5 m berpenampangan bujursangkar yang panjang rusuk-rusuknya 100 mm dikenekan sebuah gaya aksial tarik p = 1300kN (lihat gambar). Dengan mengansumsikan bahwa modulus elastisitasnya = 200GPa dan angka poissonsnya adalah 0,3.
Tentukan
a. Pemanjangan batang
b. Pengurangan penampang
c. Perubahan volume
Gambar 1.10. Contoh soal
Penyelesaian :
1 GPa = 1 . 109 Pa = 1 . 109 N/m2 = 1kN/ mm2
a. Panjag batang :
= = = 1,625 mm
tegangan tarik yang terjadi :
= = = 0,13 kN/mm2
19
-
regangan aksial yang terjadi :
= = = 6,5 .10-4
b. Pengurangan ukuran penampang pada bagian tebal
c = lateral . c = v . . c = 0,3 . 6,5 . 10-4 . 100 = 0,0195 mm
Karena lebar benda sama dengan tebal benda, maka pengurangan penampang bagian lebar sama dengan pengurangan penampang bagian teba ; b = c = 0.0195 mm
Volume awal dari benda sebelum ditarik :
V = 1 . b . c . = 2,5 . 103 . 100 . 100 = 2,5 . 107
c. Perubahan volume benda setelah benda di tarik :
V = V . (1-2v)
= 2,5 . 10 7 . 6.5 5 10 -4 (1-2 . 0,3)
= 6500 mm3
Karena batang mengalami tarik , maka V menyatakan suatu pertambahan dalam volume, sehingga volume benda setelah mengalami tarik adalah :
Vf = V + V = (2,5 . 107 + 6500) mm3 = (0,025 + 6,5 . 10-6) m3
= 0,0250065 m3
Soal perlatihan 1
Sebuah pipa yang panjangnya 1,8 m , memiliki diameter d = 116 mm, dan tebal dindingnya (t) = 8mm, dikenakan beban aksial P = 180 kN. Dengan menganggap bahwa modulus elastisitas nya 200 Gpa dan angka poissons.
Tentukan
a. Pemendekan dari pipa
20
-
b. Pertambahan dalam diameter luar
c. Penambahan dalam ketebalan pipa
Gambar soal perlatihan 1
Soal perlatihan 2
Tentukan besarnya gay P minimum dari suatu batang baja yang ber diameter 125 mmdan pengurangan diameter nya = 0,025 mm, apabila modulus elastisitas 2,1 . 105 Mpa dan angka poissons = 0,4
Gambar soal perlatihan 2
Tegangan akibat berat sendiri
Jika suatu benda atau batang digantung, maka benda akan mengalami tarikanyang disebabkan karena beratnya sendiri. Tegangan maksimum yang terjadi adalah berat benda sendiri dibagi luas penampangnya.
Tegangan yang paling besar adalah pada bagian teratas.
t = W/A W = V .
=
Dengan ; t = Tegangan tarik yang terjadi (N/m2)
W = Berat benda (N)
A = Luas penampang (m2)
V = Volume benda ( mm3)
= Masa jenis benda (N/m3)
21
-
Batang pejal
Contoh soal 5
Pada gambar 1.11 di tunjukkan sebuah batang baja berpenampangan lingkaran yang dipasangkan tetep pada salah satu ujung nya, sedang ujung yang lainya bebas. Berapakah tegangan maksimum yang terjadi jika massa jenis dari batang baja adalah .
Penyelesaian
Luas penampang batang:
A = /4 . d2
Volume batang :
V = A . x
Berat batang :
W = V . = A . X .
Gambar 1.11 contoh soal 5
Tegangan tarik akibat berat sendiri
= = = x .
Tegangan minimum terjadi bila x mendekati nol, sedangkan tegangan bila x mendekati nol, sedangkan tegangan maksimum terjadi bila x = L Jadi min = 0 dan max = L.
Batang berlubang
Contoh soal 6
Sebuah batang kuningan yang panjangnya L ber penampang lingkaran berlubang, diameter bagian luar dan dalamnya berbanding 3 : 2 (seperti ditunjukkan pada gambar 1.12).
22
-
Carilah tegangan maksimum yang terjadi akibat berat sendiri bila massa jenis batangan .
Penyelesaian :
Misal diameter batang adalah d
diameter bagian dalam = 2d
Diameter bagian luar
Gambar 1.12 contoh soal 6
Luas penampang batang :
Bagian dalam = A2 = /4 (2d)2 = d2
Bagian luar = A = /4 (3d)2 = 2,25 . . d
Luas penampang batang = A =A1 - A2 = .d2(2,25-1) = 1,25 d2
Volume batang :
Bagian dalam = V2 = A2 . L/2 = 0,5 d2. L
Bagian luar = V1 = A1 . L = 2,25 . . d2. L
Volume batang =V = V1 .V2 = d2.L(2,25 . 0,5) = 1,75 . d2..L
23
-
Berat batang W = V . = 1,75 . .d2L.
Tegangan tarik akibat berat batang :
= = =1,4 . L .
Jadi, kesimpulan semangkin kecil volume lubang yang terjadi pada batang, tegangan yangterjadi semangkin besar.
Contoh soal 7
Sebuah batang kuningan ( = 540 kN/m3) dengan panjang 1,2 m berpenampang bujur sangkar yang sebagian sisinya berlubang (seperti pada gambar 1.13) Tentukan besarnya tegangan maksimum yang terjadi akibat berat benda itu sendiri.
Gambar 1.13 contoh soal
Penyelesaian :
Luas penampang : A = A1-A2 = 14 x14 -14 x 6 = 112 cm2
Volume = V1 V2 = A1 L1 A2.L2
V = 14 x 14 . 120 -14 x 6 x40
24
-
= 20160 cm3
Berat kuningan : W = V .
= . 10,8864 .102
= 10,8864 kN
Tegangan tarik yang terjadi pada kuningan :
t = N/nm2
= 0,972 N/nm2
= 0,972 MPa
Tegangan batang akibat beban aksial
25
-
Pada umumnya , untuk menentukan besarnya tegangan yang diakibatkan oleh beban aksial berat batang sering diabaikan tetapi ada kalanya berat batang harus diperhitungkan seperti pada perencanaan suatu alat.
Berat batang di perhitungkan
Benda yang tergantung dan mendapat tarikan yang sama dengan tarikan akibat berat sendiri. Jika ditambah dengan beban pada ujung nya, maka tegangan tarik yang terjadi :
t = =
Dengan :
t = Tegangan tarik yang terjadi (N/m2)
W = Gaya akibat berat sendiri (N)
F = Gaya luar (N)
A = Luas penampang (m2)
V = Volume benda (m)
= Massa jenis benda (N/m3)
Pada gambar 1.14, :
Bila ditinjau berat benda dibawah ini penampang m- n sepanjang x : Wx = Vx.
26
-
= A . x .
Gambar 1.14 Batang digantung dan mendapat tarikan
Tegangan pada penampang
t = = =F/a + X.
Tegangan tarik minimum bila x = 0 min = F/A
Tegangan tarik minimum bila x = L max=F/A + L .
Tegangan yang terjadi = tegangan maksimum
= F/A + L . (N/m2)
Luas penampang A = (m)2
Berat batang diabaikan
27
-
Batang bebas
Contoh soal 8
Sebuah batang baja yang apnjangnya 0,9 m dan berdiameter 20 mm, mengalami beban tarik 20 kN (Lihat gambar 1.15).
Gambar 1.15 contoh soal 8
Panjang batang bertambah 0,5 mm akibat beban 20 kN .
Tentukan tegangan dan renggangan normal !
Penyelesaiaan :
Luas penampang batang = A = /4 . d2 = /4 .202 = 3,14 mm2
Tegangan tarik btang = t = F/A = = 63,66 N/.m2
Regangan normal = = / L = = 5,56 . 10-4
Contoh soal 9
Batang baja berongga berdiameter bagian luarnya 150 mm, sedangkan tebal batang adalah 1/8 dari diameter luarnya mengalami gaya tekan sebesar 1200 kN
28
-
Gambar 1.16 contoh soal 9
Tetukan tegangan yang terjadi pada batang tersebut!
Penyelesaian :
Luas penampang batang = A = A1-A2
Dengan ; A1 = luas penampang bagian luar
= /4 d2
A2 = Luas penampang bagian dalam
= /4 (d-2t)2 = /4 (d-2.d/8)2
= /4 ( 3d/4)2 = /4 (9d2/16)
A = A1 A2 = /4 (d2-9d2/16) = /4 (7/16 d2)
= 0,3434 d2 = 0,3434 . 1502 = 7726,5 mm2
Tegangan tekan yang terjadi c = = = 155,31 N/m2 = 155,31 Mpa
Contoh soal 10 :
Batang baja AD ( lihat gambat 1.17) memiliki panjang 6 meter dan berpenampangan bujur sangkar yang panjang sisi nya 16 mm, batang di bebani gaya-gaya aksial 16 kN. Dengan menganggap modulus, elastisitas adalah 200 Mpa. Hitunglah perudbahan panjang dan tentukan apakah batang memanjang atau memendek !
29
-
Gambar 1.17 contoh soal 10
Penyelasaian
Untuk menghitung tegangan pada persoalan diatas dapat di uraikan gaya-gaya yang berkerja pada setiap segmen, yaitu dengan cara membagi bagian batang sehingga didapatkan diagram benda bebas, dan untuk menentukan gaya-gaya aksial yang terjadi pada setiap penampang kita dapat memulai dengan gaya yang sudah diketahui pada ujung sebelah kiri maupun ujung sebelah kanan.
Dari kiri:
Pa = 24 kN
Pb = Pa 16 = 18 kN
Pc = Pb + 8 = 18 kN
E = 200 Gpa =200 . 103 N/mm2
Gambar 1.18 uraian gaya pada batang dari kiri
Pemanjangan
AB = a = = = 1,4063 mm
AB = a = = = 0,3125 mm
AB = a = = = 0,3125 mm
30
-
AD = a + d + c = (1,406 + 0,3125 + 0,3125) = 2,03 mm
Batang mengalami pemanjangan sebesar 2,03 mm
Dari kanan
Pc = 16 kN
Pb = Pc 8 = 9 kN
Pa = Pb + 16 kN
Pa = 24 kN
Gambar 1.19 uraian gaya pada batang dari kanan
Dengan cara yang sama seperti penyelesaian dari sebelah kiri di dapat kan
pemanjangan sebesar = = 2,03 mm
Contoh soal 11
Batang ABC tersusun dari dua buah bahan dan memiliki panjang tptal 0,9 m (lihat gambar 1.20). Bagian AB terbuat dari baja Es = 200 GPa , dan batng BC terbuat dari aluminium EAE = 75 GPa masing-masing bahan berdiameter 500 mm, sedang kedua batang dikenakan gaya aksial sebesar 125 kN
Tentukan :
a. Panjang LS dan LAC berturut turut untuk bagian baja dan aluminium agar suapay kedua bagian memiliki pemendekan yang sama.
b. Pemendekan total batng
c. Teganganyangterjadi pada masing-masing batang
31
-
Gambar 120 contoh soal 11
Penyelesaian
FS = 125 kN
FS = FAL =215 kN
a. Pemanjangan yang sama : s = AL
=
= EAL . L = ES.AAL
75 LS = 200 LAL
= 200/75 LAL = 2,67 LAL
Karena = LS + LAL = 900
2,67 LAL + LAL = 900 LAL 900/3,67 = 245,45 mm
Sehingga = LS = 900 245 ,45 = 654,55 mm
b. Pemendekan = = = 0
AL = = =0,7 mm
Pemendekan total : = S + AL = 0,208 + 0,701 = 0,909 mm
c. Tegangan yang terjado masing- masing batang :
32
-
s = = 63,66 MPa
AL sama dengan s disebabkan karena gaya-gaya yang di terima dan penampangnya sama pada kedua batang tersebut.
Soal latihan 3
Sebuah batang aluminium dikatakan antara batang baja dan batang perunggu seperti yang diperlihatkan pada gambar. Carilah harga P yang tidak akan melebihi deformasi maksimum 2mm bila s= 140 MPa dan AL = 80 MPa b = 120 MPa asumsi bahwa rakitan dipatri secara sempurna guna menghindari local buckling guna Es = 200 GPa ; EAL =70 GPa dan Eb = 83 GPa
Gambar soal perlatihan 3
Soal perlatihan 4
33
-
4. sebuah batang di bebani gaya aksial P = 4ton ( seperti yang diperlihatkan pada gambar ) modulus elastisitas adalah E = 2.106 kg/cm2. Tentukan pemanjangan total dari batang tersebut!
Gambar soal perlatihan 4
Salah satu ujung batang dijepit
Contoh soal 12 :
Sebuah batang baja (E = 200 GPa) disangga dan dibebani seperti yang diperlihatkan pada gambar. Luas penampang batang 250 mm2.
34
-
Tentukan :
Penampang batang AD
Ganbar 1.21 contoh soal 12
Penyelesaian :
Untuk menyelesaikan persoalan diatas di uraikan terlebih dahulu gaya-gaya yang bekerja pada setiap penampang dengan cara membagi batang atas beberapa segman, sehingga didapatkan diagram benda bebas, dengan pembagian yang di mulai dari ujung bebas. Pada ujung yang dijepit dapat dimisalkan mengalami tarikan atau tekanan, tetapi untuk menghindari nkesalahan sebaiknya dimisalkan sesuai dengan arah gaya pada ujung bebas.
35
-
Jika gaya hasil perhitungan berharga negative, berarti arah gaya yang sebenarnya kebalikan dari pemisalan.
Gambar Gaya-gaya yang bekerja pada penampang
Fa = 6 Kn
Fb = Fc + 15 = 24 Kn
Fc = Fb 10 = 14 Kn
Pemanjangan batang
DC = = = = 0,054 mm
DC = b = = = 0.096 mm
BA = c = = = 0, 096 mm
36
-
Jadi, pemanjangan batang AD = + b + c
= 0,054 + 0,096 + 0,112
= 0,262 mm
Contoh soal 13
Poros bertingkat AD yang terbuat dari baja(liat gambar 1.23) memiliki panjang 9 m dan mempunyai penampang lingkaran(D = 10cm, d =7 cm). Batang dibebani gaya-gaya aksial dengan menganggap E =200 GPa
Contoh soal 13
a. Hitunglah tegangan normal maksimum.?
b. Hitunglah perubahan panjang batang yang disebabkan oleh beban- beban tersebut dan tentukan apakah batangnya memanjang atau memendek ?
37
-
Penyelesaian
Tegangan normal pada masing masing batang :
3,82 MPa
Gambar 1.24
Uraian gaya pada masing-masing batang
Jadi, tegangan normal maksimum terjadi pada batang CD = 46,8MPa(tarik).
=
=
38
-
=
+ + -0,057 +0,234 +0,702 = 0,879 mm
Jadi batang mengalami pemanjangan sebesar = 0,879 mm
Contoh soal 14
Sebuah kaki kolom beton berpenampang bujur sangkar (150x150)mm ditulangi oleh empat buah baja yang berdiameter 20mm (seperti pada gambar 1,25).
Gambar 1.25 Contoh soal 14
Hitunglah beban maksimum P yang diperkenankan bila tegangan izin dalam baja & beton masing-masing adalah 124MPa dan 14MPa(asumsikan E baja +200 MPa dan E beton +24 GPa).
Penyelesaian
Untuk menganalisis struktur ini kita mengganti gaya aksinya pada kaki tiang dengan dua buah gaya Ps dan Pc yang menyatakan beban-beban yang dipilul oleh baja dan beton.
39
-
( P = Ps + Pc) dan arena bentuknya simetris,pelat dukung menyebabkan baja dan beton berdeformasi(d) sama besar yaitu :
Sehingga : . atau
Untuk menentukan besarnya tegangan yang terjadi pada masing-masing batang, masukkan tegangan izinj pada salah satu batang dan apabila tegangan yang terjadi lebih besar dari tegangan izinnya, berarti tidak memenuhi sebab diharapkan batang mampu menahan balok sehingga tegangan yang terjadi harus lebih kecil atau sama dengan tegangan izinnya.
Bila kita masukkan tegangan izin beton = = 14 MPa
= (200/24) . 14 = 116,67 MPa
< s (memenuhi )
Bila kita masukkan tegangan izin baja = = 124 MPa
= (24/200)
> c (tidak memenuhi )
40
-
Tegangan kerja sebenarnya: =14 MPa
=116,67 MPa
Luas penampang masing masing bahan:
Baja : = 4 ( =4 ( .20)=1256,64mm
Beton : =(150.150)- =22500-1256,64=21243,36mm
Jadi, beban maksimum P yang diperkenalkan adalah :
P = + = . + .
= 116,67.1256,64+14.21243,36 = 146612,19+297407,04 = 444019,23 N = 444 KN
Contoh soal 15
Balok kaku dengan massa M ditumpu oleh tiga batang yang terbuat dari baja dan tembaga dipisahkan secara simetris seperti ditunjukkan pada gambar 1,26. Batang tembaga mempunyai luas penampang 900mm, modulus elastisitas :Ecu = 120 GPa dan tegangan izin = 70 MPa, dan batang baja mempunyai luas penampang As = 1200 mm, modulus elastisitas Es =200 GPa dan tegangan izin = 140 MPa.
41
-
Hitung massa M terbesar yang dapat ditumpu bila percepatan gravitasi g= 9,81 m/s !
Penyelesaian :
Karena balok kayu tahan ditahan oleh tiga batang, maka berat balok (aksi) sama dengan jumlah gaya reaksi ketiga batang tersebut.
W = Ps + 2Pcu.
Gambar 1.26 Contoh soal 15
Pemendekan batang tembaga = pemendekan batang baja.
=
dengan : = .
= . = 2,22
42
-
Untuk tegangan izin tembaga = cu = 70 MPa
= 2,22 . 70 = 155,40 MPa
> s ( tak memenuhi )
Untuk tegangan izin baja = = 140 MPa
= = = 63,06 MPa
< cu (memenuhi )
Tegangan kerja sebenarnya = 63,06 MPa, = 140 MPa, Jadi beban maksimum W yang di izinkan adalah :
W = 2 Pcu + PS = 2 . Acu + As
= 2 . 63,06 . 10-3 . 900 +140 . 10-3 . 1200 = 281,5 Kn
Massa balok m = w/g = = 28,7 ton
43
-
Contoh soal 16
Pelat baja diletakkan di atas kolom berukuran(10 x10) cm. Kolom tengah lebih pendek 0,05 cm daripada dua kolom yang lain (seperti pada gambar). Tentukan besarnya P yang di izinkan jika tegangan tekan beton b = 200kg/cm2 dan Eb = 12.104 kg/cm2.
Penyelesaian
P = 2 Pb + Ps
Deformasi batang beton = deformasi batang baja + 0,05.
Gambar 1.27 Contoh Soal 16
= + 0,05
+ 0,05
+ 0,05
44
-
+ 0,05
= 0,6 +100
Untuk tegangan izin beton = = 200 kg/cm2
200 = 0,6 . + 100 s = 100/0,6 = 166,67 kg/cm2
< s (memenuhi)
Untuk tegangan izin baja = s = 250 kg/cm2
= 0,6 . 250 + 100 = 250 kg/cm2 > b (tidak memenuhi)
Tegangan kerja actual = 200 kg/cm2
= 166,67 kg/cm2
Beban P yang diizinkan : P = 2 Pb + Ps
= 2 . Ab + . As
=2.200(10x10) + 166,67(10x10)
=56667 kg
= 56,67 ton
45
-
Contoh soal 17
Batang mendatar dengan massa yang dapat diabaikan, diberi engsel pada ujung A seperti pada gambar 1.28 dan dianggap baku, disokong oleh batang perunggu dengan panjang 2 m dan batang baja dengan panjang 1 m. Hitunglah tegangan pada setiap batang bila baja dan perunggu mempunyai sifat sebagai berikut :
Batang baja : E = 200GPa A = 600mm2
= 240 GPa
Batang perunggu : E = 300GPa A = 83mm2
= 140 GPa
Penyelesaian :
46
-
MA = 0
0,6 Ps + 1,6 Ps = 50.2,4 = 120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a)
Karena batang dianggap kaku maka diperoleh deformasi elastic batang akibat gaya 50kN seperti pada gambar 1,28, sehingga diperoleh persamaan :
/ = 0,6/1,6
0,6 = 1,6
atau : 0.6 ( = 1,6 s
0.6 ( = 1,6
0,819 . Pb = 1,25 . Ps
Ps = 3,85 Pb . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b)
Dari persamaan a dan b didapat
0,6 . 3,85 Pb + 1,6 Pb =120
Pb = 120/3,91 = 30,69 Kn
47
-
Dari persamaan b :
Ps = 3,85 . 30,69 = 118 . 159 Kn
Besarnya masing masing tegangan :
= Pb / Ab = = 102,30 MPa
= Ps / As = = 196,93 MPa
Karena kedua tegangan yang terjadi masih di bawah tegangan izin, maka kedua batang tersebut aman. Apabila tegangan yang terjadi melebihi batas ijinnya, perlu dilakukan perencanaan ulang dengan cara memperbesar penampang batang.a
Contoh soal 18
Tiga batang masing-masing luasnya 300 mm bersama-sama menumpu 10kN,
48
-
Seperti diperlihatkan pada gambar 1,29. Andaikan sebelum beban terpasang tidak terdapat pengencangan, hitung tegangan pada setiap batang bila E2 = 200GPa
Dan Eb = 83 GPa.
Gambar 1.29 Contoh soal 18
Penyelesaian
Karena titik A mengalami tarikan, maka di titik A aka turun sebesar
(vertical) sehingga batang baja akan bertambah sebesar s dan batang
perunggu akan bertambah panjang sebesar b.
Pada gambar a :
Kedua batang perunggu simetris terhadap batang baja, sehingga kesetimbangan gaya di titik A adalah :
Fy = 0 Ps + 2 Pb . cos 250 = 20Kn
Ps + 1.813 Pb = 20 Kn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a)
49
-
Pada gambar b :
= . cos 250
Ls = Lb . cos 250
) . cos 250 =
Sehingga . = . = 2,838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. b)
Dari persamaan a dan b didapat :
2,938 + 1,813 =20
4,752 = 20 = 4,210 kN
Dari persamaan a didapat :
+ 1,83 . 4,210 = 20, maka = 20 7,631 = 12,369 kN
Tegangan masing masing batang :
= 41,23 MPa
= 14,03 MPa
50
-
Contoh soal 19
Batang AB kaku sekali, digantung oleh tiga kabel yang panjangnya sama, yaitu 30 cm, seperti diperlihatkan pada gambar 1.30.
Masing-masing kabel mempunyai ketentuan sebagai berikut :
Kabel 1 (baja) Kabel 2 (tembaga) kabel 3 (perunggu)
Es = 200 GPa Eb = 110 GPa E = 83 GPa
As = 4 cm2 Ab = 2,4 cm2 A = 3 cm2
Tentukan gaya pada masing-masing penggantung
51
-
Gambar 1.30 Contoh soal 19
Penyelesaian
Karena letak kabel 3 dan 1 tidak simetris terhadap kabel 2, demikian juga luas penampang dan modulus elastisitas setiap kabel tidak sama, maka titik berat system kabel akan berada di antaraa kabel 1dan 2 misal di titik D berjarak x dari B (gambar b):
Menentukan x :
Statis momen perkalian AE terhadap kabel 2 = 0, M(2) = 0
E1 A1 (60) . E3 A3(40) (A1 E1 + A2 E2 + A3 E3) = 0
X = = = = 28,97 CM
Gaya P dipindahkan dari titik B ke titik D ( titik berat kabel ), timbul momen : M= P.X = 10 . 28,97 = 289,7 kN cm.
Akibat P sentries terhadap D,maka perpanjangan ketiga batang sama besar.
= =
Gaya- gaya batang akibat P sentries diberi notasi F
52
-
=
Dengan, + + = P
sehingga
F10 = . P = = = 6,09 kN (tarik)
F20 = . P = = 1,90 kN(tarik)
Akibat momen, kabel 2 dan 3 akan tertekan sedang kabel 1 akan tertarik.
53
-
Pemanjangan batang :
=
Gambar 1.31 Pemanjangan akibat momen
Dengan ; = +
= Panjang semula
D = Pemanjangan akibat P sentries
: = 28,97 : ( 60 28,97 )
: =28,97 : 31,03
: 28,97 : 31,03
= 3,25 . . . . . . . . . . . . . . . .a)
54
-
: = 28,97 = 68,97
: = 28,97 : 68,97
: = 28,97 : 68,97
= 2,28 .. . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . .a)
55
-
Gambar 1.32 Uraian gaya
Kesetimbangan momen terhadap titik D :
. 31,03 + . 28,97 + . 68,97 M = 0
3,25 . 31,03 + 28,97 + 2,28 . 68,97 289,7 = 0
= = 1,01 KN (tarik)
Dari persamaan a = 3,25 = 3,25 . 1,01 = 3,28 KN (tarik)
Dari persamaan b = 2,28 = 2,28 . 1,01 = 2,30 KN (tarik)
Gaya dalam pada masing-masing kabel :
Kabel 1 P1 = P10 - = 6,09 - 3,28 = 2,81 KN (tarik)
Kabel 2 P2 = P20 + = 2,01 + 1,01 = 3,04 KN (tarik)
Kabel 3 P3= P30 + = 1,90 + 2,30 = 4,20 KN (tarik)
56
-
Total = 10,03 KN
Syarat = P = P1 + P2 +P3 = 10 kN
10,03 = 10 (memenuhi)
Soal perlatihan 5
Hitunglah lendutan horizontal dan vertical h, dan v, berturut- turut dari bagian atas tonggak kayu yang diseababkan oleh beban horizontal P = 30kN(seperti gambar soal perlatihan 5). Tonggak kayu memiliki luas penampang 32.000 mm2 dan modulus elastisitas 10 GPa. Tonggaknya disokong oleh sebuah baja AC yang berdiameter 25 mm dan modulus elastisitasnya 210 GPa.
Gambar Soal perlatihan 5
Soal perlatihan 6
Sebuah rangka batang ABC menyangga sebuah beban P = 13Kn (seperti gambar sal perlatihan 6), batang AB dan BC berturut-turut memiliki luas penampang AAB= 900 mm2
57
-
Dan ABC= 2600 mm2. Bahan batang adalah alumunium dengan modulus elastisitas E = 70 GPa. Hitunglah lendutan horizontal h dan lendutan
vertical v dari titik B !
Gambar soal perlatihan 6
Soal perlataihan 7
Batang ABC kaku sekali, digantung oleh tiga kabel 1, 2, 3
Kabel 1 terbuat dari baja :
A= 2 cm2 ; E= 210 GPa
58
-
Kabel 2 terbuat dari tembaga:
A= 2,8 cm2 ; E= 110 GPa
Kabel 3 terbuat dari besi tuang:
A= 3,5 cm2 ; E= 70 GPa
Gambar soal perlatihan 7
Gaya P bekerja di titik O (P= 8 kN). Berapakah gaya dalam pada masing-masing penggantung !
Soal perlatihan 8
Sebuah batang baja (E= 200 GPa) disangga dan dibebani seperti diperlihatkan B. Luas penampang batang adalah 250 mm2 dan 500 mm2. Tentukan tegangan pada masing-masing batang bila ujung batang terbawah(D) dibatasi untuk tidak bergerak secara vertical apabila dikenakan beban .
Gambar soal perlatihan 8
59
-
Soal perlatihan 9
Sebuah beton berlubang diperkuat secara aksial dengan batang baja yang ditempatkan secara simetris ( seperti gambar soal perlatihan 9 ). Apabila beban terpasang P = 100 kN, hitung tegangan yang terjadi pada baja tersebut !
Kedua ujung batang dijepit
Dalam menyelesaikan persoalan dari suatu bahan yang mendapat tarikan maupun tekanan yang kedua ujungnya dijepit,kita dapat menguraikan terlebih dahulu gaya-gaya yang berkerja pada setiap penampang mulai dari jepitan kanan.karena kedua ujungnya dijepit,maka deformasi total dari batangnya sama dengan nol ( tot = 0)
Contoh soal 20
Sebuah batang terbuat dari baja dan aluminium yang dirangkai seperti ditunjukan pada gambar 1.33.batang mengalami beban aksial P1 = 25 kN dan P2 = 50 kN.
Hitunglah tengangan maksimum yang terjai pada batang!
Penyelesaian
Kaena kedua ujung dijepit, perubahan panjang total (tot) = 0
Dari jepitan sebelah kanan
Penyelesaian :
Pb = Pa +P2 = Pa + 50
Pc = Pb P1 = Pa + 50 25
60
-
= P + 25
Perubahna panjang total = a + b + c = 0
+ + = 0
+ + = 0
0,00635 Pa + 0,0025 Pa + 0,125 + 0,00475 Pa + 0,0119 = 0
0,01361 Pa = -0,244
Pa = = -17,93 kN (tekan)
Pb = Pa + 50 = -17,93 + 50 = 32,07 kN (tarik)
Pc = Pa 25 = -17,93 + 25 = 7,07 kN (tarik)
a. Tegangan yang terjadi pada masing-masing batang :
a = CD = Pa / Aa = = 19,92 MPa
b = BC = Pb / Ac = = 26,73 MPa
c = AB = Pc / Ac = = 7,86 MPa
Tegangan maksimum terjadi pada batang BC : BC = 26,73 MPa
Cara lain :
Jepitan sebeleh kiri
Penyelesaian
Pb = Pc . P1 = Pc . 25
Pa = Pb + P2 = Pc . 25 + 50
= Pc + 25
Perubahan panjang total :
a + b + c = 0
61
-
+ + = 0
+ + = 0
4,76 . 10-3 Pc + 2,5 . 10-3 Pc 0,0625 + 6,35 . 10-3 Pc + 0,1587 = 0
13,61 . 10-3 Pc = -0,0962
Pc = . 10-3 = -7,07 kN (tarik)
Pb = Pc 25 = -7,07 25 = 32,07 kN (tarik)
Pa = Pc + 25 = =7,07 +25 = 17,93 kN (tarik)
Tegangan yang terjadi masing-masing :
b = BC = Pc / Ac = = 26,73 MPa
a = CD = Pa / Aa = = 19,92 MPa
Tegangan maksimum terjadi pada batang BC = 26,73 MPa
Soal pelatihan 10
Batang aluminium dan soal pelatihan baja yang diperlihatkan dalam gambar dipsangkan ke penyangga-penyangga kaku pada salah satu ujung-ujungnya dank e pelat tegar C pada ujung-ujung lainny. Dua buah beban P yang sama besar dikenalkan secara simetris pada pelat.
Hitunglah :
a. Tegangan aksial maksimum yang terjadi dari kedua batang tersebut.
b. Ukuran-ukuran batang ( dAL ; ds ; LAL dan Ls) setelah terjadi pembebanan.
62
-
Catatan :
Berat batang diabaikan
Angka poisson : baja (s) : 0,3 ; Aluminium (Al) = 0,33
P = 48 kN ; d = 50 mm ; L = 100 mm
E = 200 GPa ; EAl = 70 GPa
Soal pelatihan 11
Sebuah batang baja AD berpenampang bervariasi (seperti pada gambar soal pelatihan 11)
Ditahan antara peyangga-penyangga kokoh dan dibebani di B dan C oleh gaya yang besarnya berturut-turut adalah :
Tentukan : Tegangan maksimum batang, jika diameter batang baja : d = 50 mm
Tegangan akibat perubahan temperature
Perubahan temperature dari suatu benda akan menghasilkan perubahan dimensi. Misalkan sebuah balok seperti pada gambar 1.36 dari suatu bahan yang homogen dapat memuai secara bebas ke semua arah. Jika bahan dipanaskan, maka rusuk-rusuk balok akan memanjang.
Pada gambar 1.36 gars teabl menunjukkan benda sebelum mengalami pemanasan, sedangkan garis putus-putus menunjukkan benda setelah mengalami pemanasan.
Dengan demikian, batang mengalami suatu regangan termal merata (t) yang diberikan oleh pernyataan :
t = (t)
Dengan ;
63
-
= Regangan termal
= Koefisien mual termal
= Perubahan temperature (0C)
Regangan termal (t) berharga positif bila ia menyatakan permuaian dan berharga negatif bila menyatakan penyusutan. Benda akan memuai bila dipanaskan, dan menyusut bila didinginkan. Oleh karena itu, kenalkan temperatur akan menghasilkan regangan negatif.
Dari rumus di atas jika satu dimensinya L maka :
= t = t . = . (t) .
= t = (t1 t2) .
Dengan; t : Menyatakan perubahan panjang yang disebabkan oleh perubahan temperature (t)
Menurut : Hukum Hooke
= = = ; = = . E = t . E
= (t1 t2) . E
Dengan : = Tegangan normal yang terjadi (N/mm2)
E = Modulus elastisitas (N/mm2)
Contoh soal 21
Sebuah batang baja ACB memiliki dua buah penampang yang berbeda yang ditahan antara penyangga-penyangga tegar (seperti gambar 1.37) luas penampang bagian kiri dan kanan berturut-turut : Aac = 1300 mm2 dan Abc = 1940 mm2, Modulus elastisitasnya E = 200 GPa dan = 12 . 10-6 / 0C. Batang dikenakan suatu kanalkan teperatur merata t = 24 0C
Tentukan :
a. Gaya aksial dalam batang P ,
b. Tegangan aksial maksimum ,
64
-
c. Perpindahan dari titik c.
Penyelesaian
Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menguraikan terlebih dahulu menurut bagian dari batang. Kemudian kita gambarkan gaya yang terjadi karena pengaruh temperatur dan pengaruh gaya. Karena kedua ujung dijepit, salah satu batang akan mengalami pemendekan yang sama bessarnya denga pemanjangan batang yang lainnya.
a Pemanjangan :
Karena pengaruh temperature
ac = . t . Lac = 12 . 10-6 . 24 . 600
= 0,173 mm
bc = . t . Lbc = 12 . 10-6 . 24 . 900
= 0,259 mm
Karena pengaruh gaya :
Lac = =2,308 . 10-6 . P (mm)
Lbc = = 2,320 . 10-6 . P (mm)
Pemanjangan yang sama untuk kedua batang
= bc . Lbc . ac
0,259 . 2,320 10-6 . P = 2,309 . 10-6 . P . 0,173
P = = 94219,34 N
b bc = P/Aa = = 72,48 N/mm2
bc = P/Abc = = 48,57 N/mm2
c = bc Lbc = 0,259 2,320 . 10-6 . 94219,34
= 0,04 mm
Perpindahan dari titik C = 0.04 mm (ke kiri)
65
-
Contoh soal 22
Sebuah selubung (sleeve) berbentuk sebuah pipa yang panjang 15 cm ditempatkan di sekitar sebuah baut dan mur yang diputar sehingga ia benar-benar pas (seperti pada gambar 1.38). Baut berdiameter 25 mm an selubung berdiameter dalam 26 mm dan diameter luar 36 mm. Hitunglah kenaikan temperatur(t)yang dibutuhkan untuk menghasilkan tegangan tekan 3 dibutuhkan untuk menghasilkan tegangan tekan 30MPa, bila :
Selubung :
k = 20 . 10-6/0C
Ek = 100 GPa
Ak = /4 (362 - 262)
= 486,95 mm2
Baut : s = 12 . 10-6/0C
Es = 200 GPa
A = /4 . 25 = 490,87 mm2
Karena mur dan selubung terbuat dari bahan yang berbeda, jika mereka dapat memuai secara bebas maka masing-masing bahan akan memanjang dengan tambahan yang berbeda, tetapi mereka ditahan oleh susunannyaoleh karena itu akan timbul tegangan-tegangan termal.
Cara sederhana untuk memacahkan masalah ini dengan memisahkan kepala baut(seperti gambar 5), kemudian dianggap terjadi perubahan temperature T, yang menghasilkan pemanjangan berturut-turut dari selubung dan baut.
k = k (T)k . Lk ; s = s (T)s . Ls
Dengan s dan k adalah koefisien koefisien muai termal. Gaya- gaya pada selubung dan baut dalam susunan semula haruslah seemikian rupa mereka memendekkan selun=bung an memanjangkan baut hingga pemanjangan terakhir dari selubung dan baut sama.
66
-
Dalam gambar c ditunjukan bahwa Ps gaya tekan dalam selubung dan Pb gaya tarik dalam baut. Pemendekkan Lk yang bersangkutan dari selubung dan pemanjangan Ls dari baut.
Lk = ; Lk =
Dengan Es, As dan Ek adalah kelakuan aksial baut an selubung. Sekarang dapat ditulis sebuah persamaan kesepadanan yang menyatakan kenyataan pemanjangan (d) yang sama untuk kedua batang. Pemanjangan dari selubung adalah k-Lk dan dari baut s + Ls oleh karena itu :
= k Lk = s + Ls
k . ( T)k . Lk - = s . ( T)s . Ls +
Gaya-gaya aksial diperoleh dari kesetimbangan statis :
P = 0 Ps Pk = 0
Gaya tekan dalam selubung sama dengan gaya tarik dalam baut, sehingga diperoleh persamaan :
Ps = Pk = . . . . . . . . . . . . . . . . . . a)
Jika s lebih dari k , gaya Ps adalah tekan dan gaya Pk adalah tarik. Apabila kedua batang tersebut dari bahan yang sama s = k maka Ps = Pk = 0 dan = k (T) . L karena tegangan tekan dalam selubung 30 MPa maka :
k = Pk = k . k = 30 . 486,95
Pk = 14,601 kN. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .b)
Dari persamaan a dan b didapat :
T = = 14,60( + )
= 56,07 0C
Contoh soal 23
67
-
Pada suhu 200C terdapat gap = 0,2 mm antara ujung terendah batang perunggu dengan piringan kaku yang disokong oleh dua batang baja seperti pada gambar 1.39.
Hitung tegangan pada masing-masing batang apabila suhu rakitan bertambah 1000C, jika diketahui :
Batang perunggu : A = 800 mm2 ; E = 83 GPa ; = 18,9.10-6 / 0C
Batang baja :A = 400 mm2 ; E = 200 GPa ; = 11,7.10 / 0C
Massa pelat (m) diabaikn.
Penyelesaian :
Karena perunggu mempunyai koefisien mual termal () yang lebih besar dari koefisien mual termal baja maka pemanjangannya lebih besar dari baja pada suhu yan sama.
Pemanjangan karena pengaruh temperature :
batang baja :s = s . T . Ls = 11,7 . 10-6 (100 . 20) . 0,8
= 7,488 . 10-4 m = 0,7488 mm
Batang perunggu :
b = b . T (Ls - ) = 18,9 . 10-6 (100 - 20) (0,8 2. 10-4)
= 1,209 . 10-3 m
= 1,209 mm
Pemanjangan karena pengaruh gaya :
Batang baja :
s = = = 0,01 Pa (mm)
batang perunggu :
68
-
s = = = 0,012 Pb (mm)
Untuk menghasilkan pemanjangan yang sama pada kedua batang :
= s + s + = b . b
0,7488 Ps + 0,01 Ps + 0,2 = 1,209 = 0,012 Pb
0,01 Ps + 0,012 Pb = 0,2602. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a)
Pb = 2Ps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . b)
Dari persamaan a dan b didapat :
0,01 Ps + 0,012 (2 Ps) = 0,2602
0,034 Ps = 0,2602
Ps = = 7,56 kN
Pb = 2 . Ps = 7,65 = 15,3 kN
Jadi, tegangan pada masing-masing batang :
s = = = 19,125 MPa
b = = = 19,125 N/mm2 = 19,125 MPa
s = b
Soal pelatihan 12
Pipa kuningan dengan diameter bagian dalam 14 mm dan diameter bagian luar 20 mm, serta pipa baja berdiameter 10 mm
dipasang pada sebuah tiang. Pada saat pemasangan awal temperatur
ruang 300C, dalam keadaan tersebut tidak terdapat tegangan baik pada pipa
kuningan maupun pipa baja. Peralatan tersebut digunakan di suatu
ruangan dengan temperatur 900C.
69
-
Hitung tegangan yang terjadi pada pipa baja pada saat digunakan diruangan yang lebih panas tersebut.
Catatan :
- kuningan : Ek = 1,2 . 105 N/mm2 ; k = 18 . 10-6 / 0C
- baja Es = 2,1 . 105 N/mm2 ; s = 12 . 10-6 / 0C
Soal pelatihan
Sebuah batang baja ACB memiliki dua penampang yang berbeda ditahan dengan penyangga-
penyangga kaku seperti diperlihatkan paa gambar
soal pelatihan 13 luas penampang batang A = 1300 mm2 modulus elastisitas batang E =
200 GPa, koefisien mual termal = 12 . 10-6 / 0C.
Batang dikenalkan suatu kenaikan temperatur merata t = 35 0C
Hitunglah = a. Gaya aksial (F) pada batang
b. Tegangan aksial maksimum
c. Perpindahan dari titik C
Soal pelatihan 14
Batang aluminium dengan diameter 80 mm, silinder baja dengan diameter dalam 85 mm dan diameter
luar 140 mm dengan panjang masing-masing 500 mm
(diperoleh dari hasil pengukuran pada temperature 30 0C).
Tentukan :
a. Tegangan yang terjadi pada silinder baja dan batang aluminium.
b. Panjang aluminium dan silinder baja pada kondisi kerja (500)
Catatan :
- Aluminium = EAl = 120 kN/mm2 ; Al = 23 . 10-6 / 0C
- Baja = Es = 210 kN/mm2 ; s = 11 .10-6 / 0C
70
-
Soal pelatihan 15
Sebuah batang tembaga AB yang panjangnya 1 m ditempatkan pada kedudukan ruang dengan celah 0,01 mm antara ujung A dan sebuah dinding kaku (lihat gambar soal pelatihan 15)
Hitunglah tegangan tekan dalan batang jika temperaturnya naik 40 0C. anggap = 17.10-6 / 0C dan E = 110 Gpa
Tegangan pada batang tirus
Contoh soal 24
Sebuah batang AB yang sedikit diruncingkan dengan penampang berbentuk lingkaran dan panjang L disangga di ujung B dan dikenakan beban P pada ujung bebas (lihat ganbar 1.40). Diameter batang pada ujung A dan d1 dan pada ujung B adalah d2.
Tentukan sebuah rumus untuk pemanjangan dari batang yang disebabkan oleh beban P, bila berat batang diabaikan.
Penyelesaian :
Ambil elemen setebal dx sejarak x dari ujung kiri.
dL
xLdxd )(. 12 +=
LLd
Ldd x 12 )( +
=
)( 121 ddLxd +=
71
-
Akibat beban P, elemen akan bertambah panjang sebesar :
d EAdxP
..
=
..
.)(
...
0
1214
+
==
L
o
L
EddLxd
dxPEAdxP
pi
+
+
=
L
ddLxd
ddLxdd
ddL
EP
0 2
121
121
21 )(
)(
).(.
.4
pi
L
Odd
LxdddE
LP
+
=
)(
1)(..
.4
12112pi
=
+
+
)(01
)(
1)(.
..4
12112112 dd
Lddd
LLdddE
LPpi
72
-
=
+
)(01
)(
1)(.
..4
12112112 dd
Lddd
LLdddE
LPpi
=
21
21
12 .)(....4
dddd
ddELP
pi
= 21 ...
..4ddE
LPpi
Contoh soal 25
Sebuah balok dengan panjang AB ( seperti gambar 1.41 ) berpenampang bujur sangkar dan terbuat dari baja ( E = 2,1 . 106 kg/cm2 ) mendapat beban P = 10 ton yang bekerja sentris.
Penyelesaian
Ambmil elemen sejarah x dari ujung J
Lebarnya = b dan tebalnya : dx
b = L
xbxb .)1( 21 +
= 240
.4)240(3 xx +
= 240
3 X+
Gambar 1.41 Contoh soal 25
Pemanjang batang akibat ditarik :
d () = L EA dxP ..
73
-
= +
=
240
62
4
2
10.1,2.)240
3(
10.
. x
dxEb
dxPL
= +
+240
22 10.1,2.)240
3(
)240
3(
o x
xd
=
240
0
3
2403
1)240(10.75,4
+
+x
=
=
12114,1
31
4114,1
= 0,095 cm
Jadi pemanjangan batang = 0,95 mm 1 mm
Soal perlatihan 16
Sebuah tiang beton penampangnya berbentuk bujur sangkar tingginya 6 cm ( seperti gambar ) soal perlatihan 16 yang sisi sisinya meruncing secara merata dari lebar 0,5 m pada bagian atas hingga 1 m pada bagian bawah. Tentukan pemendekan tiang akibat aksi sebuah beban tekan 1400 KN. Anggap Ebeton = 24 Gpa
74
-
Gambar soal perlatihan 16
Soal perlatihan 17
Sebuah batang baja yang panjangnya 100 cm dibebani gaya aksial tarik P = 5 KN, bekerja di sumbu batang. Diameter penampang atas ( d1 ) = 2 cm diameter penampang bawah ( d2 ) = 6 cm Gambar soal 17 Tentukan pemanjangan batang, bila modulus elastisitas batang ( E ) = 2,1 . 105 Mpa, dan berat batang diabaikan
75
-
Gambar soal perlatihan 17
2 Tegangan geser
Sasaran belajarSetelah mempelajari dan mengerjakan soal perlatihan di bab ini, anda diharapkan :
dapat menghitung besarnya tegangan geser ; dapat menentukan besarnya gaya potong yang seharusnya
terjadi pada suatu elemen mesin yang menerima beban geser ; dapat menetukan ukuran batang yang menerima beban geser.
Pengertian tegangan geserTegangan geser berbeda dengan tegangan tarik dan tekan karena tegangan geser ditimbulkan oleh gaya yang bekerja sejajar atau searah dengan bidang penahan gaya, sedangkan tegangan tarik dan tekan ditimbulkan oleh gaya yang tegak lurus terhadap luas bidang penahan gaya. Oleh karena itu, tegangan geser dapat juga disebut
76
-
tegangan tangensial, sedangkan tegangan tarik dan tekan disebut tegangan normal.
Tegangan geser terjadi apabila beban terpasang menyebabkan salah satu penampangan benda cenderung menggelincirkan pada penampang yang bersinggungan.
Gambar 2.1 contoh geser
Beberapa contoh diperlihatkan pada gambar 2.1. Gambar (a) paku keling menahan geser sepanjang luas penampang. Gambar (b) baut menahan geser sepanjang kedua luas penampang. Kasus (a) bisa disebut geser tunggal dan kasus (b) disebut geser ganda. Tegangan
77
-
geser merata terjadi bila resultan gaya geser F melalui titik pusat penampangan yang bergeser.
Tegangan geser dilambangkan dengan huruf yunani
g = F/A . (2.1)
Dengan ;
g = Tegangan geser rata rata (Mpa)
F = Gaya geser ( N )
A = Luas penampang penahan (mm2)
Pada praktiknya tegangan geser tidak pernah terbagi secara merata ( lihat butir 4.4 )
Contoh soal 1
Sebuah batang baja yang berpenampang d = 20mm, diletakkan di atas papan aluminium yang mempunyai tebal t = 5 mm ( seperti pada gambar 2.2 )
Berapa besarnya tegangan geser rata rata
yang terjadi pada aluminium tersebut,
apabila dikenakan beban sebesar P = 120
KN?
78
-
Gambar 2.2 contoh soal 1
Penyelesaian
g = AP
A = keliling lubang x tebal
= . d . t = . 20 . 5 = 314,16 mm2
Maka : g = P/A = 87,38116,31410.120 3
= MPa
Tegangan geser yang dizinkan Jika kita dihadapkan pada persoalan menetukan gaya maupun ukuran yang terjadi akibat geseran, maka tegangan geser harus diketahui terlebih dahulu. Dalam hal semacam ini, tegangan geser () yang terjadi, biasanya tidak boleh melampui nilai tertentu, yaitu yang disebut tegangan geser yang diizinkan () maka rumusnya :
batang rusak = batang aman =
Contoh soal 2
Pelat baja berukuran 3 x 100 x 200 mm akan
Dibentuk dengan membuang bagian yang diarsir.
Proses pembentukan dengan proses tekan
( proses punching ) dengan satu kali penekanan.
79
-
Tegangan maksimum baja ( u ) = 1200 MPa
dengan faktor koreksi v = 3, dan tegangan geser
pelat baja yang diizinkan : = 0,6 . . Hitung gaya
yang harus diberikan pada penekanan?
Gamabr 2.3 contoh soal 2
Penyelesaian
= u/v = 1200/3 = 400 MPa
= 0,6 = 0,6 . 400 = 240 MPa
Luas total A = keliling x tebal pelat
= tt
Rd .)..2.20.2( pipi ++
= 3.)15.20.40( pipi ++
= 449,867 mm2
Karena diharapkan patah :
g, dengan g = F/A
maka = F . A
240 . 449,867 . 103
80
-
107,968 kN
108 kN
Jadi, gaya minimum yang harus diberikan pada penekan adalah = 108 kN
Contoh soal 3
Sebuah batang baja dengan penampang berbentuk empat persegi panjang ( 15 x 45 ) mm memikul sebuah beban tarik P dan digantungkan pada sebuah pnyangga dengan mempergunakan sebuah pasak bundar pejal yang berdiameter 20 mm ( lihat gambar 2.4 )
Tegangan izin untuk batang dalam keadaan tarik dan pasak dalm keadaan geser adalah berturut turut : = 120 MPa dan = 60 MPa.
Berapakah harga P maksimum yang diperoleh ?
Gambar 2.4 Contoh soal 3
Penyelesaian
Untuk tegangan tarik :
Batang aman :
81
-
P1/A1 , maka P1 A .
Dengan : A1 = ( 45 20 ) . 15 = 375 mm2
Jadi, P2 120 . 375 45000 N 45
Untuk tegangan geser :
Batang aman : <
P2 ( 2 . A2 ) maka : P ( 2 . A2 )
Dengan ; A . /4 . d2 = /4 . 202 = 314,16 mm2
Jadi, P2 60 . 314,16 37699,11 N 37,7 KN
Dengan membandingkan kedua harga P di atas, maka harga P maksimum yang diizinkan adalah : 37,7 KN.
Soal perlatihan 1
Sebuah benda pada gambar soal 1 dibuat dari pelat aluminium dengan tebal 2 mm pembuatannya dengan mesin punch ( potong ). Tegangan geser yang diizinikan adalah 150 MPa. Te3ntukan gaya tekan minimum yang harus diberikan pada mesin punch !
Gambar Soal perlatihan 1
82
-
Soal perlatihan 2
Sebuah benda ( seperti gambar soal perlatihan 2 ) dibuah dari pelat baja st 37 dengan kekuatan tarik 37 kg/mm2 mempunyai tebal 3 mm, pembuatannya dengan mesin punch ( potong ). Tentukan gaya minimum yang harus diberikan pada mesin punch bila tegangan geser yang diizinkan adalah 0,6 dari tegangan tarik izin dengan faktor keamanan 4 !
Gambar Soal perlatihan 2
Soal perlatihan 3
Sebuah balok kayu diuji dalam keadaan geser langsung, dengan mempergunakan contoh bahan uji ( seperti gambar soal perlatihan 3 ) beban P diberikan pada balok kayu, bidang AB punya lebar 50 mm dan tinggi h adalah 50 mm. Berapakah tegangan geser rata rata dalam kayu?
83
-
Gambar Soal perlatihan 3
Soal perlatihan 4
Ujung busur truss kayu disusun ke busur dasar seperti gambar soal perlatihan 4, dengan mengabaikan gesekan :
a. hitung ukuran b apabila tegangan geser izin 900 Kpa !b. tentukan ukuran c sehingga tegangan dukung tidak melebihi 7
MPa !
Gambar soal perlatihan 4
Soal perlatihan 5
Bell crank pada gambar soal perlatihan 5 berada dalam keadaan setimbang
84
-
a. Tentukan diameter batang AB apabila tegangan aksial hingga 100 MPa.
b. Tentukan tegangan geser di pin D apabila diameter pin 20 mm!
Gambar soal perlatihan 5
Tegangan geser pada batang yang mendapat beban tarik dan tekan murniDalam pembahasan mengenai tarik dan tekan dalam sebuah batang, tegangan yang ditinjau adalah tegangan tegangan normal yang bekerja pada penampang m-m dari batang AB.
Baiklah sekarang diselidiki tegangan tegangan yang bekerja pada penampang m m ( seperti gambar 2.5 )
85
-
Gambar 2.5 Dua batang direkatkan menerima beban tarik
Tegangan geser yang terjadi pada penampang m m :
m =
AaSinF
AaaF
aAaF
AF
m
gm
22
cos.sin.cos/sin
=
==
Dengan,
Ftm = Gaya tarik pada penampang m m
Fgm = Gaya geser pada penampang m m
Tegangan tarik maksimum terjadi bila sudut : a = 0o
m = AF
AF
Aa
==
0.cos.cos 22
Tegangan geser maksimum terjadi bila sudut : a = 450
m = AF
ASinF
AaSinF
2245.2.
22. 0
==
Sehingga didapat : ( )maks = . (m)maks
Contoh soal 4
86
-
Sebuah batang prismatik yang mengalami beban tarik memiliki luas penampang A = 1200 mm2 dan memikul sebuah beban P = 90 kN ( seperti gambar 2.6 ).Tentukan tegangan yang bekerja pada semua permukaan elemen yang diputar dengan sudut = 250!
Penyelesaian
x = F/A = 7500.1210.90
2
3
=
mmN MPa
Gambar 2.6 Contoh soal 4
Tegangan tarik yang terjadi pada penampang m m
= x Cos2 = 75 . Cos2 . 25 = 61,6 MPa
Tegangan geser yang terjadi pada penampang m m
= x sin Cos = 75 sin 250 . Cos 250 = 28,7 MPa
Soal perlatihan 7
Sebuah batang tarik dibuat dari dua potong bahan yang direkatkan bersama ( lihat gambar soal perlatihan 7 ). Karena alasan praktis sudut normal bidang potong dibatasi pada jangkauan = 0 sampai dengan 60o.
87
-
Tegangan geser izin pada sambungan rekat besarnya dari tegangan tarik izin Berapa seharusnya harga agar batang dapat memikul beban terbesar?
Gambar soal perlatihan 7
Soal perlatihan 8
Sebuah batang baja prismatik yang berpenampang empat persegi panjang ( 100 x 75 ) mm, dikenakan sebuah beban tarik P = 500 kN ( seperti gambar soal perlatihan 8 ). Tentukan tegangan normal dan geser pada semua permukaan dari sebuah elemen yang diputar melalui sudut = 250
Gamabr Soal perlatihan 8
88
-
Tegangan geser pada bidang yang letaknya tegak lurus satu sama lain
Tinjau sebuah kubus yang ditarik pada sisi sisinya dengan gaya sebesar F
Gambar 2.7 tegangan dan regangan geser
Jika bahannya elastis linier, maka diagram tegangan regangan untuk keadaan geser ( tehadap ) berbentuk serupa dengan diagram tegangan regangan untuk keadaan tarik/ tekan ( terhadap ) untuk bahan bahan yang sama.
= tan = LDADD /1
1
=
Karena adalah sudut yang kecil maka : tan
= GA
FL
GALF
L ...
==
89
-
= G
g
Dengan,
= Perubahan sudut akibat geseran ( radian )
g = Tegangan geser ( MPa )
g = Modulus elastisitas geser ( MPa )
Contoh soal 5
Sebuah bantalan luncur dari suatu bahan fleksibel ( seperti gambar 2.8 ) yang bagian atasnya ditutupi oleh sebuah pelat baja tipis dengan ukuran a x b yang sama, dikenakan sebuah gaya geser horizontal 20 kN. Tentukan tegangan dan regangan geser rata rata dalam bantalan dan penggeseran horizontal d dari pelat bila modulus elastisitas geswer (G) = 0,8 . 105 MPa.
90
-
Gambar 2.8 Contoh soal 5
Penyelesaian
Tegangan geser = 67,6615.20000.20
.===
baP
AP
g MPa
Regangan geser = tan = 35 1033,1108,067,66
==
Gg
Pergeseran horizontal :
= d/h d = d = h . = 10 . 1,33 . 103
= 1,33 . 102 mm
Soal perlatihan 9
Hitunglah perubahan sudut, jika diketahui tegangan geser = 20 MPa dan modulus geser G = 8 . 10 MPa dihitung dalam radian. !
Soal perlatihan 10
Sebuah batang dengan ukuran ( seperti gambar soal perlatihan 10 mendapat gaya geser P. Tegangan geser yang diizinkan 25 MPa dan modulus geser : 8 . 104 MPa. Tentukan besarnya gaya P bila sudut geser = 250!
91
-
Gambar soal perlatihan 10
92
-
3 Momen inersia
Sasaran belajar
Setelah mempelajari dan mengerjakan soal perlatihan bab ini, anda diharapkan :
- dapat menjelaskan contoh-contoh pengguaan momen inersia pada komponen permesinan;
- dapat mencari inersia suatu benda baik terhadap sumbu x,y maupun sumbu polarnya;
- dapat menentukan tegangan yang terjadi pada suatu elemen mesin yang berhubungan dengan momen inersia.
93
-
Pengertian momen inersia
Tujuan penggunaan momen inersia yang biasa dinyatakan dengan simbol l. Dalam banyak rumus teknik yang berhubungan dengan momen inersia adalah menjelaskan arti rumus tersebut, seperti pada rumus lentur, tegangan bending, tegangan puntir, tekuk, dan sebagainya.
Dalam pembahasan momen inersia dari suatu batang, kita harus mengetahui terlebih dahulu letak titik berat batang tersebut. Apabila letak titik berat batang tersebut tidak diketahui kita tidak dapat menentukan koordidat bidang x & y dari suatu batang.
Sebelum mendefenisikan momen inersia, kita perhatikan terlebih dahulu mengenai pembahasan titik berat suatu batang yang sebernarnya sudah dibahas di mekanika teknik satu secara luas.
Untuk menentukan koordinat-koordinat titik berat ini, marilah kita melihat luas elemen dA dengan koordinat-koordinat x & y yang diperlihatkan dalam gambar 3.1.
Gambar 3.1. Luas biodang datar A dengan titik berat C
94
-
Luas total A di defenisikan sebagai integrasi berikut : A = dA. Begitu pula momen-momen pertama dari luas ini berturut-turut terhadap sumbu-sumbu x dan y adalah :
Qx = y dA dan Qy = x dA
Koordinat-koordinat x dan y dari titik berat benda ( C ) sama dengan momen-momen pertama dibagi luasnya :
titik berat terhadap sumbu X =
= x . dA / dA = Qy / A(3.1)
titik berat terhadap sumbu Y =
= y dA / dA = Qx / A(3.2)
Dengan ;
95
-
; = titik berat terhadap sumbu x ; y
Qx ; Qy = Momen pertama luas terhadap sumbu x ; y
A = Luas penampang
Demikian juga mengenai momen inersia suatru penamang tehadap sumbu x dan y berturut-turut didefenisikan oleh integral-integral :
momen inersia terhadap sumbu x :
Ix = y-2 dA(3.3)
momen inersia terhadap sumbu y :
Iy = x2 dA(3.4)
Dengan,
Ix ; Iy = Momen inersia terhadap sumbu x ; y
x ; y = Koordinat-koordinat dari elemen luas penampang (dA)
dA = Elemen luas penampang
Karena dA dikalikan kuadrat jaraknya, momen inersia disebut juga momen kedua penampang sehingga dapat di defenisikan bahwa momen inersia adalah integral dari pada perkalian antara luas penampang dengan jarak kuadrat suatu titik atau garis lurus.
96
-
Momen inersia polar
Momen inersia polar adalah momen inersia penampang relatif terhadap garis atau sumbu yang tegak lurus bidang dan ditunjukkan dengan rumus :
Ip = p2 dA = ( x2 + y2 ) dA
= x2 dA + y2 dA(3.5)
Ip = Iy + Ix
Sehingga dapat dinyatakan bahwa momen inersia polar suatu penampang terhadap sumbu tegak lurus bidang sama dengan jumlah momen inersia terhadap dua sumbu lainnya yang terletak pada bidang dan tegak lurus sumbu polar.
Jari-jari girasi
Jari-jari garis dipergunakan untuk menjelaskan ekspresi matematis lain yang terdapat pada rumus kolom. Jari-jari garis biasayanya dinyatakan dengan lambang k atau r. Peninjauan suatu bidang luas A yang bermomen inersia Ix terhadap sumbu x. Kita anggap bidang A merupakan suatu pita tipis yang sejajar dengan sumbu x ( lihat gambar 3.2. ). Jadi supaya bidang A yang berkonsentrasi mempunyai momen inersia ( kelembaman ) terhadap sumbu x. Pita itu harus di letakkan pada jarak Kx dari sumbu x yang di defenisikan melalui hubungan :
97
-
Ix = ( K )2 . A
Kx =
(3.6)
Gambar 3.2. Jari-jari girasi terhadap sumbu x
Demikian juga untuk sumbu y dan polarnya :
Ky
(3.7)
Kp =
(3.8)
Dengan = Kx ; Ky ; Kp adalah jari-jari girasi
Toerema sumbu sejajar
Sering kali kita memindahkan momen inersia suatu penampang terhadap sembarang sumbu yang sejajar sumbu penampangnya. Untuk menurunkan rumus ini, ditinjau gambar 3-3 Xc dan Yc diukur dari salib sumbu koordinat yang melalui titik berat benda C, sedang X dan Y diukur dari salib sumbu koordinat yang melalui 0.
98
-
Gambar 3.3 Penurunan teorema sumbu sejajar
Jarak antara sumbu-sumbu beraturan adalah d1 dan d2. Dari defenisi momen inersia terhadap sumbu X diperoleh persaan :
Ix = y2 dA = ( yc + d1 )2 dA
= yc2 dA + 2d1 yc dA +d12 dA
Integral pertama adalah momen inersia terhadap sumbu Xxc (1) integral kedua sama dengan nol karena sumbu Xc melalui titik berat, dan integral ketiga adalah luas A. sehingga momen inersia terhadap sumbu X adalah :
Ix = Ixc + 0 + d12 . A
99
-
= Ixc + d12 . A
Dengan,
Ix = Momen inersia terhadap sumbu X (mm4)
Ixc = Momen inersia terhadap sumbu Xc (mm4)
d1 = Jarak dari sumbu X ke sumbu Xc (mm)
A = Luas penampang (mm2)
Demikian pula momen inersia terhadap sumbu Y dan momen inersia polar nya :
Iy = Iyc + d22 . A
Ip = Ipc + (d12+d22) A
Kesimpulan
Momen inersia suatu penampang terhadap sembarang sumbu yang terletak pada bidang penampang sama dengan momen inersia suatu sumbu yang melalui titik berat ditambah hasil kali luas dan kuadrat jarak antara kedua sumbu itu.
Momen inersia penampang
Penampang empat persegi panjang
100
-
momen inersia terhadap sumbu X :
Ix = y2 dA,
Karena : dA = b . dy, maka
Ix = y2 . b . dy
=
-h/2
Gambar 3.4 Penampang empat persegi panjang
Ix = b [y3/3]h/2 = b/3 [(h/2)3 (-h/2)3]
-h/2
= b/3 (h3/8 + h3/8) = b/3 (h3/4) = bh3/12
Momen inersia terhadap sumbu Y :
Iy = x2 dA, dengan; dA = h.dx
101
-
= x2 . h . dx
Iy =
-b/2
Iy = h [x3/3]b/2 = h/3 [(b/2)30 (-b/2)3]
-b/2
= h/3 (b3/8 + b3/8) = h/3 (b3/4) = hb3/12
Cara lain :
Dengan membagi luas bidang menjadi beberapa bagian terkecil yang sama. Mangkin kecil pembagian luas harga momen inersia akan lebih teliti.
Panjang h dibagi menjadi 8 bagian yang sama, jadi setiap bagian panjangnya h/8
(lihat gambar 3.5).
Panjang : Luas :
Y1 = 1/16 . h A1 = 1/8 . bh
102
-
Y2 = 3/16 . h A2 = 1/8 . bh
Y3 = 5/16 . h A3 = 1/8 . bh
Y4 = 7/16 . h A4 = 1/8 . bh
Gambar 3.5
Sehingga Ix = A .Y2 atas + . Y2 bawah
= 2 . A . Y2
Ix = 2 ( A1 . + A2 . + A3 . + A4 . )
Ix = 2 A ( )
= 2 . bh/8 (h/16)2 + (3h/16)2 + (5h/16)2 + (7h/16)2
= bh/4 (h2 /256 + 9h2 /256 + 25h2 /256 +46h2 /256)
Ix = bh3/12,2
Kalau pembagian luas tersebut mangkin kecil akan didapatkan harga momen inersia terhadap sumbu x yaitu :
103
-
Ix = bh3/12
Demikian pula untuk momen inersia terhadap sumbu y.
Ix = hb3/12
Penampang bujur sangkar
Karena sisi-sisinya sama yaitu a, maka momen inersia terhadap sumbu x dan sumbu y adalah sama:
Ix = Iy = a4 / 12
Gambar 3.6 Penampang bujur sangkar
104
-
Penampang segi tiga siku-siku
Untuk bentuk segi tiga siku-siku sebenarnya terbuat dari setengah segi enam atau setengah jajaran genjang. Jadi, momen inersia segi tiga siku-siku yang melalui garis setengah tinggi (h/2) sama dengan setengah momen inersia segi empat Ix = . bh3/12 = bh3 /24. Sekarang mencari momen inersia yang melalui titik berat (G) dari segi tiga yang sejajar sumbu x.
Jarak antara x ke x adalah d.
d = 2h/3 h/2 = h/6
Ix = Ix + Ad2 (teorema sumbu sejajar)
Ix = Ix Ad2
= bh3 /24 (bh/2) (h/6)2
= bh3/24 bh3 /72 = bh3/36
105
-
Gambar 3.7
Jadi, momen inersia terhadap sumbu x adalah Ix = bh3/36 dengan cara yang sama untuk sumbu y didapat kan :
Iy = hb3/36
Cara lain :
Momen inersia terhadap sumbu x.
Ix = y2 d A, karena dA = dy dari kesebangunan segi tiga diperoleh
I/b = (h y) / h I = b (h-y) / h
106
-
Gambar 3.8
dA = b (h-y)/h dy
Ix = y2 . b . (h-y/h) dy
= b/h (y2 .h y3)dy = b/h [ h. - ]h
0
= b/h ( h4/3 h4/4) = b/h (h4/12)
= bh3/12
Ix = Ix + Ad2
Ix = Ix Ad2
= bh3/12 (bh/2) (h/3)2 = bh3/ 12 bh3/ 18
= 3 bh3 /36 2 bh3 36
= bh3/ 36
107
-
Atau dapat dikatakan momen inersia bentuk segi tiga terhadap titik beratnya sama dengan sepertiga dari momen inersia bentuk segi empat terhadap titik beratnya.
Ix (segi tiga) = 1/3 Ix (segi empat)
Ix = 1/3 . bh3/12
= bh3/36
Demikian pula untuk momen inersia terhadap sumbu y = Iy = b3 h/36
Penampang lingkaran
Momen inersia terhadap sumbu x :
Ix = y2 .dA
108
-
Gambar 3.9 Penampang lingkaran
dengan :
y = ro . sin