BAB I

PENDAHULUAN

Bilangan kompleks merupakan bagian penting dalam fisika. Bilangan

kompleks merupakan bahasan lanjutan dari fisika matematika. bilangan kompleks

sangat penting penggunaannya dalam menentukan beberapa bidang ilmu disiplin

lainnya seperti dalam teknik elektro dimana penulisan i digunakan untuk

menentukan kuat arus.

Masih banyak lagi kegunaan atau aplikasi dari penggunaan bilangan

kompleks ini. Pada makalah ini penulis akan menjelaskan beberapa penggunaan

bilangan kompleks dalam bidang ilmu fisika.

1

Daftar isi

BAB 1

Pendahuluan..............................................................................................................1

Daftar isi. ...................................................................................................................2

BAB 2

Bilangan Kompleks..................................................................................................3

Sifat aljabar bilangan kompleks ..............................................................................4

Penerapan bilangan kompleks.............................................................................. 5

Daftar pustaka............................................................................................................8

2

BAB 2

BILANGAN KOMPLEKS

Istilah bilangan kompleks digunakan untuk menunjukkan set bilangan real, imaginer

atau gabungan keduanya, seperti 1± i . Maka i + 5, 17i, 4 mewakili contoh-contoh

bilangan kompleks. Bilangan kompleks dirumuskan sebagai

z = x+iy

Dalam matematika, bilangan kompleks adalah bilangan yang berbentuk

dimana a dan b adalah bilangan riil, dan i adalah bilangan imajiner  tertentu yang

mempunyai sifat i 2 = −1. Bilangan riil a disebut juga bagian riil dari bilangan

kompleks, dan bilangan real b disebut bagian imajiner. Jika pada suatu bilangan

kompleks, nilai b adalah 0, maka bilangan kompleks tersebut menjadi sama dengan

bilangan real a.

Sebagai contoh, 3 + 2i adalah bilangan kompleks dengan bagian riil 3 dan bagian

imajiner 2i. Bilangan kompleks dapat ditambah, dikurang, dikali, dan dibagi seperti

bilangan riil. Sebuah bilangan kompleks seperti 5 + 3i adalah jumlah dari dua suku.

Suku real (tidak mengandung i) disebut bagian real dari bilangan kompleks.

Koefisien i dalam suku yang lain disebut bagian imaginer dari bilangan kompleks.

Dalam bilangan 5 + 3i, 5 adalah bagian real, sementara 3 adalah bagian imaginer.

Penting. Adapun bagian imaginer dari suatu bilangan kompleks, bukan imaginer

tetapi real.

Salah satu dari bagian real atau bagian imeginer dari suatu bilangan kompleks dapat

bernilai nol. Jika bagian real bernilai nol, bilangan kompleks tersebut murni imaginer.

Bagian real yang nol dapat diabaikan, sehingga misalnya 0 + 5i cukup ditulis 5i. Jika

3

bagian imaginer dari bilangan kompleks tersebut lenyap, maka bilangan kompleks

tersebut murni real. Sehingga misalnya, 7 + 0i cukup ditulis dengan 7.

Dalam aljabar, sebuah bilangan kompleks biasanya ditulis sebagai suatu jumlahan,

seperti 5 + 3i. Bentuk ini dapat pula ditulis dalam bentuk (5, 3). Jadi kalau kita ingin

menjumlahkan antara dua buah bilangan kompleks, misalnya 5 + 3i dengan 4 + 2i,

kita dapat menuliskannya dalam bentuk (5 + 3i) + (4 + 2i) = 9 + 5i atau dalam bentuk

(5, 3) + (4, 2) = (9, 5).

Dalam pembahasan mekanika, kita juga dapat menggunakan konsep bilangan

kompleks, misalnya penyajian vektor posisi partikel dalam dua dimensi, dimana

posisi x dan y berturut-turut merupakan bagian real dan imaginer dari vektor posisi z.

1. Beberapa sifat aljabar bilangan kompleks

1. Dua bilangan kompleks dikatakan sama :

z1 = z2

jika dan hanya jika keduanya memiliki bagian real yang sama :

Re(z1) = Re(z2 ) ,

demikian pula dengan bagian imaginernya :

Im(z1) = Im(z2 ) .

2. Penjumlahan dua bilangan kompleks z1 = x1 + iy1 dan z2 = x2 + iy2 juga

menghasilkan bentuk bilangan kompleks

z = z1 + z2 = (x1 + x2 )+ i( y1 + y2 ) .

Demikian pula untuk pengurangan berlaku

z = z1 - z2 = (x1 - x2 ) + i( y1 - y2 ) .

3. Penjumlahan bilangan kompleks memenuhi kaedah ketaksamaan segitiga

II z1 I - I z2 II I z1 + z2 I I z1I + I z2 I

4. Himpunan C bilangan kompleks membentuk suatu grup terhada

penjumlahan, karena :

a. Himpunan tersebut bersifat tertutup terhadap operasi penjumlahan,

4

yaitu untuk setiap pasangan 1, 2 C z z maka 1 2 C z z z .

b. Bersifat asosiatif terhadap aturan penjumlahan yaitu

(z1 + z2 ) + z3 = z1 + (z2 + z3 ) = z1 + z2 + z3

c. Terdapat unsur netral yaitu 0 C yang memenuhi

z + 0 = 0 + z = z

d. Untuk setiap z C terdapat inversinya terhadap kaedah penjumlahan

(disebut -z) sedemikian sehingga berlaku z C dan z + (z) = z z = 0

5. Karena berlaku z1 + z2 = z2 + z1 maka grup tersebut bersifat komutatif

terhadap penjumlahan.

Didefinisikan konjugat kompleks untuk bilangan kompleks z = x + iy dengan lambang

z* = x – iy sehingga

Re z* = Re z,

Im z* = - Im z,

Konjugat kompleks ini dapat langsung diperoleh dengan menukar tanda +i menjadi

−i. Sebagai contoh konjugat kompleks dari 2 + 3i adalah 2 − 3i. Konjugat kompleks

ini merupakan pencerminan bilangan kompleks terhadap sumbu x.

2. Penerapan Bilangan Kompleks

Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa penerapan bilangan kompleks pada

bidang ilmu fisika, misalnya pada mekanika, kelistrikan dan optika. Pada bagian

tersebut bilangan ompleks sangat penting guna mencari variabel-variabel yang ada

2.1 Mekanika

Mekanika merupakan bagian atau bab dalam fisika, di universitas mekanika

merupakan bahasan mata kuliah yang wajib diambil bagi mahasiswa fisika.

Mekanika mempalajari suatu sistem benda yang bergerak. Dalam pembahasan

mekanika, kita juga dapat menggunakan konsep bilangan kompleks, misalnya

penyajian vektor posisi partikel dalam dua dimensi, dimana posisi x dan y berturut-

turut merupakan bagian real dan imaginer dari vektor posisi z. Berikut ini adalah

5

beberapa contoh soal dalam mekanika yang menggunakan konsep bilangan

kompleks.

Contoh soal :

Sebuah partikel bergerak di dalam bidang (x, y) sedemikian sehingga posisi (x, y)

sebagai fungsi waktu t disajikan oleh persamaan

z = x + iy = 2t +it−i

Carilah besar kecepatan dan percepatannya sebagai fungsi t !

Jawab :

Dari bentuk z = x + iy di atas, kecepatan kompleks dan percepatan kompleks

berturut-turut dirumuskan sebagai

v = dzdt

dan

a = d2 zdt 2

Karena itu besar kecepatan dan besar percepatan masing-masing sama dengan

I v I Idz / dt I

Dan

I a l = l d 2z / dt2 l.

Untuk nilai z di atas :

dzdt = -

3 i

(t−i)2

Maka

d2 zdt 2 = 6 i

(t−i)3

Sehingga

6

l a l = 6

(t 2−1)3 /2

contoh mekanika diatas adalah salah satu bentuk apliaksi dan penerapan bilangan

kompleks di bidang ilmu fisika. Sebenarnya masih bnyak lagi penerapan dan aplikasi

dari bilangan kompleks, diatarnya pada optika, kelistrikan dan bidang ilmu fisika

lainnya. Bukan hanya di bidang fisika bilangan kompleks juga digunakan dalam

disiplin ilmu lainnya seperti teknik elektro sebagai contohnya.

7

DAFTAR PUSTAKA

Id.wikipedia.org/bilangankompleks

Buku pengantar fisika, Dr. Eng. Rinto Anugraha Nqz Jurusan Fisika Fmipa Ugm Yogyakarta 2011

8