1. TEORI PENDUKUNG

•1.1 Pendahuluan•1.2 Variabel acak •1.3 Distribusi variabel acak diskrit•1.4 Distribusi variabel acak kontinu•1.5 Distribusi multivariat

1

Definisi 1: Ruang sampel adalah Himpunan semua hasil yang mungkin dari suatu percobaan acak. Notasi : S

2

Definisi 2: Kejadian adalah himpunan bagian dari ruang sampel. Sifat : Kejadian A dan B dikatakan saling lepas jika

A B

Prostok-1-firda

1.1 Pendahuluan

3

Jika A suatu kejadian, maka peluang kejadian A, ditulis dengan sifat:

( ) atau { }P A P A

( )0 ( ) 1i P A ( ) ( ) 1 dan ( ) 0.ii P S P

( ) Untuk setiap kejadian A, ( ') 1 ( ).iii P A P A

• Jika

,maka ( ) ( ).A B P A P B

• Untuk setiap kejadian A dan B berlaku • Kejadian A dan B dikatakan saling bebas jika

( ) ( ) ( ) ( ).P A B P A P B P AB

( ) ( ) ( ).P AB P A P BProstok-1-firda

4

• Jika A dan B dua kejadian , dengan

( )

( )

P A BP B A

P A

( ) 0,P A

peluang bersyarat B diberikan A, didefinisikan sebagai:

Jika kejadian-kejadian adalah partisi dari ruang sampel S maka untuk kejadian B sembarang dari S sedemikian sehingga P(B)>0 berlaku:

1 2, ,..., kA A A

Teorema Bayes :

1

( ). ( )( )( )

( ) ( ). ( )

i ii

i k

i ii

P B A P AP A BP A B

P B P B A P A

Definisi 3:Variabel acak adalah suatu fungsi dari ruang sampel ke himpunan bilangan real. (R)

Jika X variabel acak, maka nilainya dinyatakan dengan x, dan peluang kejadian X bernilai kurang dari atau sama dengan x dinyakan dengan

Variabel acak dinyatakan dengan huruf kapital, sedangkan nilainya dinyatakan dengan huruf kecil.

5

1.2 Variabel Acak

( ).P X x

Klasifikasi Variabel Acak:

1. Variabel Acak Diskrit

2. Variabel Acak Kontinu

Variabel acak X dikatakan variabel acak diskritjika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan bilangan terbilang (berupa bilangan cacah) .

Variabel acak X dikatakan variabel acak kontinu jika semua nilai yang mungkin dari X membentuk himpunan bilangan tak terbilang (berupa bilangan real).

6

7

Definisi 4: Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak diskrit disebut

fungsi massa peluang (fmp) atau probability mass function(pmf), atau fungsi peluang, ditulis :

( ) ( )p x P X x

Fungsi kepadatan peluang untuk variabel acak kontinu disebut fungsi padat peluang (fpp) atau probability density function (pdf) atau fungsi densitas, ditulis f(x).

( ) ( )b

a

P a X b f x dx

8

( ) ( ),F x P X x x

( ) ( ) ( )t x

F x P X x p t

( ) ( ) ( )x

F x P X x f t dt

Definisi 5: Fungsi distribusi komulatif (cdf) dari variabel acak X adalah:

• Untuk variabel acak diskrit :

• Untuk variabel acak kontinu :

9

Definisi 6:

(i) Jika X variabel acak diskrit dengan fungsi masa peluang p(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:

( ) ( )x

E X xp x (ii) Jika X variabel acak kontinu dengan fungsi densitas peluang f(x), maka nilai ekspektasi dari X didefinisikan sebagai:

( ) ( )E X x f x dx

Prostok-1-firda

10

22( ) ( ) ( )Var X E X E X

Definisi 7: Variansi dari variabel acak X dinyatakan sebagai:

Definisi 8: Fungsi pembangkit momen (fpm/mgf) dari variabel acak X

merupakan salah satu bentuk khusus ekspektasi, yaitu

( ) tXXM t E e

( ) ,txe f x dx

( ),tx

x

e p x

X variabel acak kontinu

X variabel acak diskrit

1.3 Distribusi variabel acak diskrit

11

a. Distribusi Bernoulli

1( ) , 0,1x xp x p q x

( ) E X p

( ) (1 ) Var X p p pq

• pmf:

• mean:

• variansi:

12

b. Distribusi Binomial

• pmf:

• mean:

• varians:

( ) , 0,1,...,x n xnp x p q x n

x

( )E X np

( )Var X npq

Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha percobaan binomial

13

c. Distribusi Geometri

• pmf:

• mean:

• varians:

1( ) , 1, 2,3,...xp x pq x

1( )E X

p

2( )

qVar X

p

Peubah acak X yang menyatakan banyaknya usaha sampai terjadinya sukses pertama kali

14

d. Distribusi Poisson

• pmf:

• mean:

• varians:

( ) , 0,1,2,...!

xep x x

x

( )E X

( )Var X

Peubah acak X menyatakan banyaknya sukses dalam n usaha percobaan poison

1.4 Distribusi variabel acak kontinu

15

a. Distribusi Uniform

• pdf:

• mean:

• varians:

1( ) ,f x a x b

b a

( )2

a bE X

2( )Var ( )

12

b aX

16

b. Distribusi Eksponensial

• pdf:

• mean:

• varians:

( ) , 0xf x e x

1( )E X

2

1( )Var X

17

c. Distribusi Normal

• pdf:

• mean:

• varians:

2( )1

212

( ) ,x

f x xe

( )E X

2Var( ) X

18

Fungsi peluang (Pmf) Mean Variansi Mgf

Distribusi Peluang Diskrit

1( ) , 0,1x xp x p q x p pq tq pe

( ) ,

0,1,...,

x n xnp x p q

x

x n

np npq (ntq pe

1( ) ,

1, 2,3,...

xp x pq

x

1

p 2

q

p (1 )

t

t

pe

qe

( ) ,!

0,1,2,...

xep x

x

x

(1 )tee

( , )X B n p

( )X Bernoulli p

( )X GEO p

( )X POI

19

Fungsi densitas (Pdf) Mean Variansi Mgf

1( ) ,f x a x b

b a

2( )1

212

( ) ,x

f x

x

e

2 2 21

2t t

e

1

( ) , 0( )

k k xx ef x x

k

k

2

k

k

t

( ) , 0xf x e x 1

2

1

t

2

a b 2( )

12

b a

( )

bt ate e

t b a

( , )X U a b

( )X EXP

( , )X GAM k

2( , )X N

Distribusi Peluang Kontinu

20

1.5 Distribusi multivariata. Jika X dan Y variabel acak diskrit, maka

(i) Pmf bersama (gabungan) dari X dan Y :

(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :

(iii) Pmf marjinal dari X :

(iv) Pmf marjinal dari Y :

( , ) ( , )XYp x y P X x Y y

( , ) ( , )XY XYa x b y

F x y p a b

( ) ( , )X XYy

p x p x y

( ) ( , )Y XYx

p y p x y

21

(v) Pmf bersyarat dari X diberikan Y=y :

(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :

(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :

|

( , )( | ) , ( ) 0

( )XY

X Y YY

p x yp x y p y

p y

|

( , )( | ) , ( ) 0

( )XY

X Y Ya x Y

p a yF x y p y

p y

[ | ] . ( )XYx

E X Y y x p x y Prostok-1-firda

22

b. Jika X dan Y variabel acak kontinu, maka

(i) Pdf bersama (gabungan) dari X dan Y :

(ii) Distribusi bersama dari X dan Y :

(iii) Pdf marjinal dari X :

(iv) Pdf marjinal dari Y :

2 ( , )( , )XY

F x yf x y

y x

( , ) ( , )y x

XY XYF x y f s t ds dt

( ) ( , )X XY

y

f x f x y dy

( ) ( , )Y XY

x

f y f x y dx

23

(v) Pdf bersyarat dari X diberikan Y=y :

(vi) Distribusi bersyarat dari X diberikan Y=y :

(vii) Ekspektasi bersyarat dari X diberikan Y=y :

|

( , )( | ) , ( ) 0

( )XY

X YY

f x yf x y f y

f y

|

( , )( )

( )

xXY

X YY

f t yF x y dt

f y

| ( | )X YE X Y y xf x y dx

24

[ ] [ ] [ ]E X Y E X E Y

Kovariansi dari X dan Y:

( , ) [ ] [ ] [ ]Cov X Y E XY E X E Y

Koefisien korelasi dari X dan Y:

( , )( , )

( ). ( )

Cov X YX Y

Var X Var Y

Soal

1. Jika X,Y variabel acak saling bebas dan masing- masing berdistribusi Poisson dengan mean Tunjukkan bahwa variabel acak X+Y berdistribusi Poisson dengan mean

25

1 2dan .

1 2 .

2. Jika X variabel acak non negatif dengan distribusi Asumsikan , tunjukkan bahwa ( ).F x

0

. ( ) (1 ( ))a E X F x dx

1

0

. ( ) (1 ( ))n nb E X nx F x dx

(0) 0,F

Prostok-1-firda