1. Introduction · STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringroad Utara Condong Catur Yogyakarta. Telp. 0274...

Mata Kuliah:

Aljabar Linear dan MatriksSemester Pendek TA 2009/2010

S1 Teknik Informatika

Dosen Pengampu:Heri Sismoro, M.Kom.

STMIK AMIKOM YOGYAKARTAJl. Ringroad Utara Condong Catur Yogyakarta. Telp. 0274 884201 Fax 0274‐884208Website: www.amikom.ac.id

1. Introduction


Sistem Persamaan LinearSistem Linear m kali n : suatu himpunan m persamaan linear dalam n peubah

Solusi bagi sistem linear : susunan rangkap n peubah‐peubah tersebut yang memenuhi setiap persamaan di dalam sistem ini


Seorang produsen membuat 3 produk boneka, yaitu beruang, kelinci dan ayam. Setiap boneka harus melalui 3 tahap pembuatan, yaitu menjahit, mengisi dan menghias. Untuk beruang memerlukan waktu menjahit 24 menit, mengisi 18 menit dan menghias 9 menit. Kelinci memerlukan waktu menjahit 16 menit, mengisi 12 menit dan menghias 8 menit. Sedangkan ayam memerlukan waktu menjahit 18 menit, mengisi 9 menit dan menghias 4 menit.Bagian menjahit menyediakan 50 jam orang per hari. Bagian mengisi menyediakan 33 jam orang per hari.Bagian menghias menyediakan 18 jam orang per hari.

Berapa banyak setiap boneka harus dihasilkan setiap hari untuk memaksimumkan ketersediaan tenaga kerja tersebut?

Gambaran Kasus


Untuk menganalisa keadaan ini, kita misalkan:x = banyaknya boneka beruang yang dihasilkany = banyaknya boneka kelinci yang dihasilkanz = banyaknya boneka ayam yang dihasilkan

Dengan demikian,Pemanfaatan total bagian menjahit = 24x + 16y + 18z menit, tanaga tersedia 50 jam atau 3000 menit, sehingga: 24x + 16y + 18z = 3000Pemanfaatan total bagian mengisi = 18x + 12y + 9z menit, tanaga tersedia 33 jam atau 1980 menit, sehingga: 18x + 12y + 9z = 1980Pemanfaatan total bagian menghias = 9x + 8y + 4z menit, tanaga tersedia 18 jam atau 1080 menit, sehingga: 9x + 8y + 4z = 1080


Jadi, unsur-unsur x,y, dan z yang tidak diketahui harus memenuhi semua persamaan berikut:

24x + 16y + 18z = 300018x + 12y + 9z = 19809x + 8y + 4z = 1080


BENTUK UMUM

Sebuah persamaan dapat dikatakan berbentuk linear apabila jika memiliki bentuk:

a1x1 + a2x2 + a3x3 + …….. + anxn = b

(ak koefisien dari xk )

Persamaan ax + by = c merupakan sebuah garis lurus pada bidang –xy

(solusi bagi persamaan ax + by = c adalah koordinat titik‐titik yang terletak pada garis tersebut)

Sistem Persamaan Linear


Himpunan solusi dari persamaan 3x – 4y = 12 adalah:

3x – 4y = 12 setara dengan Untuk sembarang bilangan nyata bagi x, katakanlah x = c, maka:

Himpunan solusi bagi persamaan tersebut adalah:

433 xy +−=

ataunyatabilanganccc ___|433,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +− nyatabilangancxx __|

433,


Latihan 1

Tentukan persamaan linear yang melalui titik A(2,2) dan B(3,4)

Untuk menentukan pers. Kurva linear yang melalui A(X1,Y1) dan B(X2,Y2), maka digunakan rumus:

211

211

xxxx

yyyy

−−

=−−


Latihan 2

Gambarkan grafik (garis) dari pers. linear berikut:

1. x + y = 4

2x – 2y = 8

2. x + y = 4

x – y = 8

2x + 3y = 6


Latihan 3

Selesaikan persamaan:

2x + 3 y = 6

x + y = 2,

dengan metode:

1. Metode Substitusi

2. Metode Eleminasi


Latihan 4

Tentukan himpunan solusi bagi persamaan:

1. 3x – 5y = 15

2. 4x1 + 3x2 = 9

3. 3x + 5y – 7z = 10


Latihan 5

Selesaikan persamaan:24x + 16y + 18z = 300018x + 12y + 9z = 19809x + 8y + 4z = 1080

Mata Kuliah:

Aljabar Linear dan MatriksSemester Pendek TA. 2009/2010




2. Matriks & Vektor (1)

Matrix

• Matrix : kumpulan bilangan yang disajikan secara teratur dalam baris dan kolom yang membentuk suatu persegi panjang, serta termuat diantara sepasang tanda kurung.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

Atau

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

mnmm

n

n

aaa

aaaaaa

A

L

MMMM

L

L

21

22221

11211

Baris

KolomUnsur Matrix

Matrix berukuran m x n atau berorde m x n

Jika ( m = n ) dinamakan matrix bujursangkar (square matrix)

VektorVektor : bentuk matrix khusus yang hanya mempunyai satu baris atau satu kolom. vektor baris (berbaris tunggal) dan vektor kolom (berkolom tunggal)Contoh :

[ ][ ]

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

==

97

5

263

kolomVektor

736542 barisvektor

dc

b - a

Kesamaan matrix dan vektor• Dua matrix dikatakan sama apabila keduanya berorde sama dan semua

unsur yang terkandung di dalamnya sama (aij = bij, untuk setiap i dan j)

contoh :

• Dua buah vektor dikatakan sama apabila keduanya sejenis, sedimensi dan semua unsur yang terkandung di dalamnya sama.

Contoh :

C B C, A B, A maka428532

428532

428532

≠≠=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −= CBA

[ ]

[ ]532

53

2

842

532

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−=

b

vuaMaka a = b,

u ≠ v, a ≠ u ≠ v

dan b ≠ u ≠ v

• Matrix dapat dikatakan sebagai kumpulan vektor Amxn adalah matrix A yang merupakan kumpulan dari m buah vektor baris dan n buah vektor kolom.

[ ]

[ ]42845

,23

,82

dan 53-2

vektor - vektordarikumpulan

merupakan yangmatrix adalah 428532

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=A

Pengoperasian Matrix dan Vektor• Penjumlahan dan PenguranganDua buah matrix hanya dapat dijumlahkan dan dikurangkan apabila keduanya berorde sama.A + B = C dimana cij = aij + bij

• Berlaku kaidah Komutatif : A + B = B + A• Kaidah Asosiatif : A + (B + C) = (A + B) + C = A + B + C

Perkalian Matrix dengan Skalar

• λA = B dimana bij = λaij

• Contoh :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡===

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1815126

6.35.34.32.3

3 maka

36542

BAA

A

λ

λ

Kaidah Komutatif : λA = A λ

Kaidah Distributif : λ(A+B) = λA + λB

Perkalian Antar Matrix• Dua buah matrix hanya dapat dikalikan apabila jumlah kolom dari matrix yang dikalikan sama dengan jumlah baris dari matix pengalinya.

• Amxn x Bnxp = Cmxp

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡53392317

8.47.36.45.38.27.16.25.1

8675

4321

Kaidah Asosiatif : A(BC) = (AB) C = ABC

Kaidah Distributif : A(B+C) = AB + AC

(A + B) C = AC + BC

Perkalian Matrix dengan Vektor

• Sebuah matrix yang bukan berbentuk vektor hanya dapat dikalikan dengan sebuah vektor kolom, dengan catatan jumlah kolom matrix sama dengan dimensi vektor kolom yang bersangkutan, hasilnya adalah berupa sebuah vektor kolom baru.

• Amxn x Bnx1 = Cmx1 n > 1

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡5323

8.47.38.27.1

87

4321

Bentuk‐bentuk Khas Matrix

• Matrix Satuan / Identitas : Matrix bujursangkar yang semua unsur pada diagonal utamanya adalah angka 1 sedangkan unsur lainnya nol.

• Contoh

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

100010001

I 1001

I 32

Matrix Diagonal

• Matrix diagonal adalah matrix bujursangkar yang semua unsurnya nol kecuali pada diagonal utama.

• Contoh :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡1001

400030003

5003

Matrix Identitas

Matrix Nol

• Matrix nol : Matrix yang semua unsurnya NOL. 0

• Contoh :

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

000000

0 0000

0 2x322x

Matrix Ubahan (transpose)

• Matrix ubahan ialah matrix yang merupakan hasil pengubahan matrix lain yang sudah ada sebelumnya, dimana unsur‐unsur barisnya menjadi unsur‐unsur kolom dan sebaliknya.

• Amxn=[aij] matrix ubahannya A′nxm =[aji]

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

4312

' 4132

AA (A′) ′ = A

Matrix Simetrik

• Matrix simetrix adalah matrix bujursangkar yang sama dengan ubahannya.

• A = A′

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

7331

' 7331

AA

AA′ = AA = A2

Matrix simetrik miring (skew symmetric)

• Matrik ini merupakan matrix bujursangkar yang sama dengan negatif ubahannya.

• A = ‐A′ atau A′ = ‐A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−−

=024205450

024205450

024205450

-A'A'A

Matrix Balikan (inverse matrix)

Matrix balikan : matrix yang apabila dikalikan dengan suatu matrix bujursangkar menghasilkan sebuah matrik identitas.

A balikannya adalah A‐1

AA‐1 = I

A‐1 = adj.A ÷ |A|

Bentuk khas yang lain• Matrix skalar : matrix diagonal yang unsurnya sama atau seragam (λ). Jika λ = 1 matrix identitas

• Matrix ortogonal : matrix yang apabila dikalikan dengan matrix ubahannya menghasilkan matrix identitas (AA′=I)

• Matrix singular : matrix bujursangkar yang determinannya sama dengan nol. Matrik semacam ini tidak memiliki inverse

• Matrix non‐singular : matrix bujusangkar yang determinannya tidak nol, memiliki balikan (inverse)

Mata Kuliah:

Aljabar Linear dan MatriksSemester Pendek TA 2009/2010




3. Matriks dan Vektor (2)


Matriks Bersekat


Determinan

213213312312332211

333231

232221

131211

aaaaaaaaaaaaaaaaaa

A ++==

322311331221132231 aaaaaaaaa −−−

)()()( 132231213213331221312312322311332211 aaaaaaaaaaaaaaaaaaA −+−+−=

)()()( 223132211333213123123223332211 aaaaaaaaaaaaaaa −+−+−=

)()()( 223132211323313321122332332211 aaaaaaaaaaaaaaa −+−−−=

3231

222113

3331

232112

3332

232211 aa

aaa

aaaa

aaaaa

a +−=

11M 12M 13M

∑

==+−= ijij

n

jiMaMaMaMa1.

131312121111



Minor dan kofaktor


Adjoint Matriks


Pembalikan Matriks (Inverse)

1. Introduction · STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringroad Utara Condong Catur Yogyakarta. Telp. 0274...

Documents

Transcript of 1. Introduction · STMIK AMIKOM YOGYAKARTA Jl. Ringroad Utara Condong Catur Yogyakarta. Telp. 0274...