1  

1. Analisis Galat

a. Solusi Analitik dan Solusi Numerik

Matematika merupakan bahasa ilmu pengetahuan, sehingga banyak sekali

permasalahan dalam dunia ilmu pengetahuan yang perlu diselesaikan secara

matematis. Dalam berbagai mata kuliah di jurusan Matematika telah diberikan

berbagai alat matematika untuk menyelesaikan permasalahan. Misalnya dalam

mata kuliah kalkulus, telah diajarkan pencarian turunan suatu fungsi

(derivatif) dan integral suatu fungsi (anti derivatif). Pada mata kuliah aljabar

linier, telah diberikan pencarian solusi sistem persamaan linier menggunakan

eliminasi, substitusi dan operasi baris elementer. Hal-hal tersebut merupakan

penyelesaian analitik atau solusi eksak. Namun pada kenyataannya tidak

setiap permasalahan yang ditemui mampu diselesaikan secara analitis,

disebabkan tingkat kerumitannya. Oleh karena itu diperlukan metode numerik

untuk menyelesaikannya.

Metode numerik merupakan suatu metode untuk menyelesaikan masalah-

masalah matematika dengan menggunakan sekumpulan aritmatik sederhana

dan operasi logika pada sekumpulan bilangan atau data numerik yang

diberikan. Metode komputasi yang digunakan disebut algoritma. Proses

penyelesaiannya mungkin memerlukan puluhan bahkan sampai jutaan operasi,

tergantung pada kompleksitas masalah yang harus diselesaikan, tingkat

keakuratan yang diinginkan dan seterusnya.

Pendekatan yang digunakan dalam metode numerik tidak keluar dari

dasar pemikiran analitis, namun teknik perhitungan yang mudah yaitu hanya

menggunakan proses aljabar yang dasar seperti penjumlahan dan perkalian.

Mengingat bahwa algoritma yang dikembangkan dalam metode numerik

adalah algoritma pendekatan maka dalam algoritma tersebut akan muncul

istilah iterasi yaitu pengulangan proses perhitungan. Dengan kata lain

perhitungan dengan metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan

secara berulang-ulang untuk terus-menerus memperoleh hasil yang semakin

  2  

mendekati nilai penyelesaian yang sebenarnya. Hasil yang dihasilkan dari

perhitungan numerik disebut hasil numerik/hampiran/aproksimasi.

b. Pengertian Galat/error

Dengan menggunakan metode pendekatan semacam ini, akan muncul

perbedaan antara solusi eksak dan solusi numerik. Selisih nilai hasil

perhitungan tersebut disebut dengan galat (error) atau nilai kesalahan.

Kesalahan ini penting artinya, karena kesalahan dalam pemakaian algoritma

pendekatan akan menyebabkan nilai kesalahan yang besar, tentunya ini tidak

diharapkan. Sehingga pendekatan metode numerik selalu membahas tingkat

kesalahan dan tingkat kecepatan proses yang akan terjadi.

Misalnya nilai 𝜋 yang merupakan perbandingan keliling lingkaran dengan

diameternya. Dengan menggunakan meteran, suatu lingkaran dengan diameter

7 cm menghasilkan keliling lingkaran 22 cm. Hasil numerik akan memberikan

nilai 3,14 jika dibulatkan sampai dua angka desimal. Maka selisih antara 22/7

dengan 3,14 disebut sebagai galat.

c. Sumber-sumber Galat

Secara umum terdapat beberapa sumber penyebab galat dalam perhitungan

numerik

1) Galat pembulatan

Perhitungan dengan metode numerik hampir selalu menggunakan bilangan

riil. Masalah timbul bila komputasi numerik dikerjakan oleh mesin (dalam hal ini

komputer) karena semua bilangan riil tidak dapat disajikan secara tepat di dalam

komputer. Keterbatasan komputer dalam menyajikan bilangan riil menghasilkan

galat yang disebut galat pembulatan.

Sebagai contoh 1/6 = 0.166666666… tidak dapat dinyatakan secara tepat oleh

komputer karena digit 6 panjangnya tidak terbatas. Komputer hanya mampu

merepresentasikan sejumlah digit (atau bit dalam sistem biner) saja. Bilangan riil

yang panjangnya melebihi jumlah digit (bit) yang dapat direpresentasikan oleh

komputer dibulatkan ke bilangan terdekat. Misalnya sebuah komputer hanya dapat

merepresentasikan bilangan riil dalam 6 digit angka berarti, maka representasi

  3  

bilangan 1/6 = 0.1666666666… di dalam komputer 6-digit tersebut adalah

0.166667. Galat pembulatannya adalah 1/6 – 0.166667 = -0.000000333.

2) Galat Pemotongan

Galat pemotongan adalah galat yang ditimbulkan oleh pembatasan jumlah

komputasi yang digunakan pada proses metode numerik. Banyak metode dalam

metode numerik yang penurunan rumusnya menggunakan proses iterasi

yang jumlahnya tak terhingga, sehingga untuk membatasi proses penghitungan,

jumlah iterasi dibatasi sampai langkah ke n.

Hasil penghitungan sampai langkah ke n akan menjadi hasil hampiran dan

nilai penghitungan langkah n keatas akan menjadi galat pemotongan. dalam hal

ini galat pemotongan akan menjadi sangat kecil sekali jika nilai n di perbesar.

Konsekuensinya tentu saja jumlah proses penghitungannya akan semakin banyak.

Namun, kita dapat menghampiri galat pemotongan dengan perhitungan deret

Taylor dengan rumus suku sisa:

𝑅!(𝑥) <!!!! !!!

!!! !𝑓 !!! (𝑐) , 𝑥! < 𝑐 < 𝑥

Nilai Rn yang tepat hampir tidak pernah dapat kita peroleh, karena kita

tidak mengetahui nilai c sebenarnya terkecuali informasi bahwa c terletak pada

suatu selang tertentu. Nilai maksimum yang mungkin dari |Rn| untuk c dalam

selang yang diberikan itu, yaitu:

𝑅! 𝑥 < max!!!!!!

𝑓 !!! (𝑐) ×(𝑥 − 𝑥!)(!!!)

(𝑛 + 1)!

3) Galat Total

Galat akhir atau galat total atau pada solusi numerik merupakan jumlah galat

pemotongan dan galat pembulatan.

4) Galat eksperimental.

Galat yang timbul dari data yang diberikan, misalnya karena kesalahan

pengukuran, ketidaktelitian alat ukur dan sebagainya.

  4  

5) Galat Pemrograman

Galat yang terdapat di dalam program sering dinamakan dengan kutu (bug).

Dan proses penghilangan galat dinamakan penirkutuan (debugging).

d. Galat Mutlak dan Galat Relatif

Hubungan antara hasil yang eksak atau yang sebenarnya, hasil

aproksimasinya serta galatnya dapat dirumuskan sebagai berikut :

Nilai sebenarnya (true value) = aproksimasi + galat

Galat numerik adalah ketidaksesuaian (dispency) antara yang sebenarnya dan

aproksimasi:

𝜀 t = nilai sejati – aproksimasi

Didefinisikan galat mutlak sebagai nilai mutlak selisi antara nilai eksak (x) dengan

nilai aproksimasi (𝑥) :

𝜀 = 𝑥 − 𝑥

Kelemahan definisi ini adalah bahwa tingkat besaran dari nilai yang

diperiksa sama sekali tidak diperhatikan, misalnya galat satu sentimeter akan jauh

lebih berarti jika yang diukur adalah paku bukan jembatan.

Untuk mengatasi kelemahan tersebut, dihitung galat relatif, yang dihitung dengan

membandingkan nilai galat dengan nilai sebenarnya.

Galat relatif pecahan = !"#"$!"#$"  !"#"$%&$'%

Galat relatif juga dapat dinyatakan dalam persen

  5  

𝜀! =𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡

𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖  𝑠𝑒𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟𝑛𝑦𝑎  x  100%

Dalam kehidupan nyata seringkali jarang ditemukan kondisi dimana nilai

sejati sudah diketahui. Apabila kita menemui masalah nilai sejati yang belum

diketahui, kita dapat melakukan cara alternatif yaitu dengan menormalkan

galat menggunakan taksiran terbaik dari nilai sebenarnya, yang kemudian

disebut galat relatif hampiran.

𝜀   =!"#"$

!"#$%&'(!&'

Atau dalam persentase

𝑒! =𝑔𝑎𝑙𝑎𝑡  𝑎𝑝𝑟𝑜𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠𝑖

𝑎𝑝𝑟𝑜𝑘𝑠𝑖𝑚𝑎𝑠𝑖  x  100%

Dimana indeks a menandakan bahwa galat dinormalkan terhadap nilai

aproksimasi.

e. Perambatan Galat

Galat dapat merambat disebabkan operasi aljabar yang dilakukan.

Penjumlahan :

Kita mempunyai dua bilangan pendekatan  𝑥 dan 𝑦, dua nilai sebenarnya 𝑥

dan 𝑦  , masing-masing dengan galat 𝑒! dan 𝑒! . Maka

𝑥 + 𝑦 =  𝑥 +  𝑒! +  𝑦 +  𝑒! =  𝑥 + 𝑦   + (  𝑒! + 𝑒!  )

Galat dalam penjumlahan, yang akan dinyatakan dengan 𝑒 adalah :

𝑒!!! = 𝑒! + 𝑒!

Pengurangan :

Dengan cara yang sama didapat :

𝑒!!! = 𝑒! −  𝑒!

  6  

Akan tetapi, baik 𝑒! maupun 𝑒! dapat bernilai positif ataupun negatif dan galat

yang dipilih adalah galat mutlak terbesar, maka

𝑒!!! = 𝑒! + 𝑒!

Perkalian :

Di sini kita mempunyai :

𝑥.𝑦 = 𝑥 + 𝑒!   ∙ 𝑦  + 𝑒!

=  𝑥𝑦 +  𝑥𝑒! + 𝑦𝑒! + 𝑒!𝑒!

Kita anggap bahwa galat jauh lebih kecil dari pada pendekatannya, sehingga hasil

kali galat dapat diabaikan. Jadi

𝑥.𝑦 ≈ 𝑥𝑦 +  𝑥𝑒! + 𝑦𝑒!

Dan

𝑒!" ≈  𝑥𝑒! + 𝑦𝑒!

Pembagian : 𝑥𝑦 =  

 𝑥 + 𝑒!𝑦+  𝑒!

Kalikan penyebut dengan 𝑦 𝑦 dan setelah disusun kembali akan didapat bentuk

𝑥𝑦 =  

 𝑥 + 𝑒!𝑦   .

11+ 𝑒! 𝑦

Faktor dalam kurung dapat diuraikan dalam bentuk suatu deret :

𝑥𝑦 =  

 𝑥 + 𝑒!𝑦   . 1−

𝑒!𝑦 +

𝑒!𝑦

!−⋯

Dengan mengalikan dan membuang semua bentuk perkalian atau pangkat yang

lebih besar dari 1 pada 𝑒! dan 𝑒! didapat

𝑥𝑦 ≈  

𝑥𝑦 +

𝑒!𝑦 −

𝑥𝑦!   . 𝑒!

Sehingga

𝑒! ! ≈1𝑦   . 𝑒! −

𝑥𝑦!   . 𝑒!

Contoh :

Diberikan nilai sebagai berikut:

  7  

𝑥 = 0.333333  dan 𝑦 = 0.666666

dengan pembulatan sampai 4 angka desimal diperoleh nilai hampiran

𝑥 = 0.3333 dan 𝑦 = 0.6667  

dengan nilai galat masing-masing

𝜀! = 3.3 ∙ 10!!    dan 𝜀! = 3.4 ∙ 10!!

Apabila bilangan x dan y dikalikan maka diperoleh hasil

𝑥 ∙ 𝑦 = 0.333333 ∙ 0.666666 = 0.22221977778

𝑥 ∙ 𝑦 = 0.3333 ∙ 0.6667 = 0.22221111 ≃ 0.2222

Sehingga

𝜀!" = 0.22221977778− 0.2222 = 0.00001977778 = 1.977778 ∙ 10!!

Dalam hal ini terlihat bahwa dengan operasi perkalian galat merambat menjadi

lebih kecil.