1

9 Transformasi Tegangan

KL2203, Kelas 02Semester II 2009/2010

General State of Stress

2

General State of Stress – Plane Stress

Konvensi Tanda

Bekerja pada arah koordinat positif pada permukaan yang normalnya juga ke arah koordinat positif, atauBekerja pada arah koordinat negatif pada permukaan yang normalnya juga ke arah koordinat negatif.

Tegangan bernilai positif jika:

3

Transformasi Tegangan Bidang

( ) ( )( ) ( )

' '0 : cos cos cos sin

sin sin sin cos 0x x x xy

y xy

F A A A

A A

σ σ θ θ τ θ θ

σ θ θ τ θ θ

= Δ − Δ − Δ

− Δ − Δ =∑

2 2' cos sin 2 sin cosx x y xyσ σ θ σ θ τ θ θ= + +

( ) ( )( ) ( )

' ' '0 : cos sin cos cos

sin cos sin sin 0y x y x xy

y xy

F A A A

A A

τ σ θ θ τ θ θ

σ θ θ τ θ θ

= Δ − Δ − Δ

− Δ + Δ =∑

' cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ

+ −= + +

( ) ( )2 2' ' sin cos cos sinx y x y xyτ σ σ θ θ τ θ θ= − − + −

' ' sin 2 cos22

x yx y xy

σ στ θ τ θ

−= − +

4

' cos 2 sin 22 2

x y x yx xy

σ σ σ σσ θ τ θ

+ −= + +

' ' sin 2 cos 22

x yx y xy

σ στ θ τ θ

−= − +

' cos 2 sin 22 2

x y x yy xy

σ σ σ σσ θ τ θ

+ −= − −

Transformasi Tegangan Bidang

Invarians: ' 'x y x yσ σ σ σ+ = +

Tegangan Utamadan Tegangan Geser Maksimum

Dalam perencanaan, tegangan kritis di suatu titik umumnya adalah tegangan normal maksimum dan minimum (σmax, σmin) serta tegangan geser (τmax).σmax dan σmin disebut tegangan utama (principal stresses).Bidang di mana tegangan utama bekerja disenut bidang utama (principal planes).

5

Tegangan Utama

22

max,min 1,2 2 2x y x y

xy

σ σ σ σσ σ τ

+ −⎛ ⎞= = ± +⎜ ⎟

⎝ ⎠

1 21 tan2

xyp

x y

τθ

σ σ− ⎛ ⎞

= ⎜ ⎟−⎝ ⎠

Pada kondisi ini, tegangan geser = 0.

Tegangan Geser Maksimum

22

max 2x y

xy

σ στ τ

−⎛ ⎞= +⎜ ⎟

⎝ ⎠

11 tan2 2

y xs

xy

σ σθ

τ− ⎛ ⎞−

= ⎜ ⎟⎝ ⎠

Bidang geser maksimum membentuksudut 45o dengan bidang utama.

6

Contoh 9.1

Untuk kondisi tegangan seperti tergambar, tentukan:

bidang utamategangan utamategangan geser maksimumtegangan normal pada kondisi tegangan geser maksimum.

Komponen tegangan 50 MPa 40 MPa

10 MPax xy

y

σ τ

σ

= =

= −

Bidang utama( )( )

1 12 2 401 1tan tan2 2 50 10

26.6 dan 116.6

xyp

x y

o o

τθ

σ σ− −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟− − −⎝ ⎠⎝ ⎠=

Tegangan utama

( ) ( )

22

max

22

2 2

50 10 50 1040

2 220 50 70 MPa

x y x yxy

σ σ σ σσ τ

+ −⎛ ⎞= + +⎜ ⎟

⎝ ⎠

+ − − −⎛ ⎞= + +⎜ ⎟⎝ ⎠

= + =

min 20 50 30 MPaσ = − = −

7

Tegangan geser maksimum

Bidang geser maksimum 1 11 1 60tan tan2 2 2 80

18.4 dan 71.6

y xs

xy

o o

σ σθ

τ− −⎛ ⎞− −⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠= −

Tegangan normal pada kondisi tegangan geser maksimum

22

max 50 MPa2

x yxy

σ στ τ

−⎛ ⎞= + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

' 20 MPa2

x yσ σσ

+= =

Lingkaran Mohr

Cara grafis untuk mentransformasikan tegangan σx, σ y, dan τxymenjadi σ x’, σ y’, and τ x’y’ serta tegangan utama dan tegangangeser maksimum.

Prosedur penggambaran lingkaran Mohr:Buat sumbu horizontal untuk σ dan sumbu vertikal untuk τ.Plot titik C pada sumbu σ pada jarak (σ x + σ y)/2 dari pusat koordinat. Titik C merupakan pusat lingkaran MohrPlot titik X (σ x, –τ xy).Gambar lingkaran dengan C sebagai pusat dan CX sebagai jari-jarinya.

8

Lingkaran Mohr

X

C σmaxσ

2θp

2θ

X’

τ 0 [MPa]skala

Y

Y’

τmax

σmin

2θs

σxσy

Lingkaran Mohr

C = pusat lingkaran = (σ x + σ y)/2

X = titik (σx , –τxy)

Y = titik (σy , τxy)

CX = jari-jari lingkaran Mohr

X’ = titik (σx’ , –τx’y’), setelah rotasi koordinat sebesar θ

Y’ = titik (σy’ , τx’y’), setelah rotasi koordinat sebesar θ

9

Contoh 9.2

Gunakan lingkaran Mohr untukmenentukan:

bidang utamategangan utamategangan geser maksimumtegangan normal pada kondisi tegangan geser maksimum

dari kondisi tegangan seperti tergambar.

10

Contoh 9.3

Gunakan lingkaran Mohr untuk menentukan:

bidang utama dan teganganutamakomponen tegangan jika elemendiputar 30o berlawanan denganputaran jarum jam.

11

( ) ( ) ( ) ( )

ave

2 2 2 2

100 60 80MPa2 2

20 48 52MPa

x y

R CF FX

σ σσ

+ += = =

= + = + =

• Principal planes and stresses

°=

===

4.672

4.220482tan

p

p CFXF

θ

θ

clockwise7.33 °=pθ

5280max

+=+== CAOCOAσ

5280max

−=−== BCOCOAσ

MPa132max +=σ MPa28min +=σ

°=′=

°+=+==°−=−==

°=°−°−°=

′′

′

′

6.52sin52

6.52cos52806.52cos5280

6.524.6760180

XK

CLOCOLKCOCOK

yx

y

x

τ

σσφ

48.4MPa111.6MPa

41.3MPa

x

y

x y

σσ

τ

′

′

′ ′

= +

= +

= −

12

Aplikasi Lingkaran Mohr untukKondisi Tegangan 3 Dimensi

Untuk tegangan 3-dimensi, dapat dibuat 3 lingkaran Mohr yang mewakili kondisitegangan pada bidangxy, xz, dan yz.

( )max max min12

τ σ σ= −

Aplikasi Lingkaran Mohr untukKondisi Tegangan 3 Dimensi

Untuk kasus teganganbidang yang dibahassebelumnya, dapatdigambarkan denganmenambahkan teganganutama ketiga = 0 pada arahsumbu z.

13

Aplikasi Lingkaran Mohr untukKondisi Tegangan 3 Dimensi

Untuk kasus teganganbidang yang dibahassebelumnya, dapatdigambarkan denganmenambahkantegangan utama ketiga= 0 pada arah sumbu z.