08 Fourierd

Analisis FourierSinyal & Sistem - 08

2Analisis Fourier

Menurut Fourier, kita bisa menyatakan :

Setiap sinyal sebagai penjumlahan sinyal

sinusoid yang frekuensinya merupakan

kelipatan frekuensi dasarnya.

3Analisis Fourier

Setiap fungsi, baik itu diskrit maupun

kontinu, dapat dinyatakan sebagai

penjumlahan sinyal sinusoid.

Dalam karyanya, Thorie analytique de la chaleur (1822) :

4Analisis Fourier

Apabila pernyataan Fourier dibalik,

Setiap sinyal dapat dipecah-pecah menjadi

sinyal-sinyal sinusoid yang apabila

dijumlahkan akan membentuk sinyal semula.

Semakin banyak sinyal yang dijumlahkan, hasilnya akan semakin mendekati harapan.

5Analisis Fourier Konsep penting dalam analisis Fourier adalah konsep frekuensi

fundamental.

Frekuensi fundamental merupakan frekuensi yang utama yang seharusnya berada dalam sistem.

Frekuensi fundamental cukup mudah didapatkan dengan osiloskop.

Frekuensi yang lain merupakan kelipatan dari frekuensi fundamental dengan faktor pengali bilangan bulat.

Faktor pengali yang dipergunakan untuk mendapatkan frekuensi lain dari frekuensi fundamental disebut harmonic number.

Diberi lambang k, sehingga nilai k disebut frekuensi harmonik ke k.

6Dekomposisi Sinyal

7Dekomposisi Sinyal

8Dekomposisi Sinyal

9Dekomposisi Sinyal

10

Dekomposisi Sinyal

11

Analisis Fourier

Hal ini penting karena pengolahan sinyal dalam domain waktu biasanya tidak cukup, dan kita memerlukan pengolahan sinyal dalam

domain frekuensi.

Ide besar di balik deret Fourier adalah menemukan informasi tersembunyi dalam sinyal, yaitu frekuensi.

Secara umum, pengolahan sinyal dalam domain frekuensi lebih mudah daripada dalam domain waktu.

12

Analisis Fourier

Contoh analisis frekuensi :

Saat kita mendengar dentingan piano, sebenarnya kita tidak terlalu

peduli dengan seberapa cepat getaran udara yang merambat masuk

ke telinga kita karena semuanya telah dirancang Tuhan untuk

memprosesnya secara otomatis. Di dalam proses tersebut

sebenarnya terdapat analisis frekuensi karena kita pada akhirnya

bisa membedakan dentingan itu bernada tinggi atau rendah.

13

Analisis Fourier

Salah satu dampak analisis Fourier adalah kemungkinan untuk menganalisis sinyal selain sinusoid dengan menggunakan komputer.

Dengan

menggunakan

analisis

Fourier,

kita bisa

mendapatkan

pendekatan

dari sinyal

apa pun

sebagai

penjumlahan

sinyal-sinyal

sinusoid

sehingga

analisis

terhadap

sinyal

tersebut

dapat

dilakukan.

14

Analisis Fourier

Analisis Fourier dipergunakan untuk mendekomposisi sinyal menjadi sinyal sinusoid. Sehingga, sinyal apa pun dapat dicari pendekatannya

berdasarkan sinyal sinusoid.

Contoh :

Sinyal kotak merupakan sinyal yang sangat umum karena

dipergunakan pada banyak peralatan digital.

Untuk dapat menganalisis sinyal kotak, komputer memerlukan fungsi

sinyalnya.

Oleh karena fungsi sinyal kotak tidak didefinisikan secara khusus,

maka dekomposisi yang dilakukan menggunakan sinyal sinusoid ini

akan memungkinkan pendekatan terhadap sinyal kotak.

15

Analisis Fourier

Berdasarkan prinsip sistem LTI, setelah melakukan dekomposisi

sinyal, maka respons dari masing-masing komponen sinyal tetap

dapat dijumlahkan untuk mendapatkan keluaran total.

16

Analisis Fourier

17

Deret Fourier

Dengan kata lain, kita tidak bisa sembarangan menentukan amplitudo

sinyal sinusoid untuk membentuk sinyal lain.

Rumus deret Fourier dipergunakan untuk

menghitung amplitudo sinyal sinusoid yang akan

dijumlahkan.

18

Deret Fourier

Continuous Time Fourier Series (CTFS)

Bentuk deret Fourier sinyal kontinu berbasis eksponensial

Syarat proses integrasi :

1. Hasil integral harus konvergen

2. Sinyal x(t) adalah sinyal periodik

Koefisien X(k) disebut koefisien deret Fourier / koefisien spektral x(t)

19

Deret Fourier

Contoh soal :

Sinyal x(t) = 1 untuk n < t < (n+1) dan n bilangan genap. Selain itu,

x(t) bernilai nol. Carilah X(k) untuk x(t) !

20

Deret Fourier

Contoh soal :

Sinyal x(t) = 1 untuk n < t < (n+1) dan n bilangan ganjil. Selain itu,

x(t) bernilai nol. Carilah X(k) untuk x(t) !

21

Deret Fourier

Contoh soal :

Sinyal x(t) = sin 0t mempunyai frekuensi dasar 0.

Tentukanlah deret Fourier untuk menyatakan x(t) !

Identitas Euler

X(-1) = -1/j2

X(0) = 0

X(1) = 1/j2

X(k) = 0 untuk k yang lain

22

Deret Fourier

Continuous Time Fourier Series (CTFS)

Deret Fourier sinyal kontinu dalam bentuk trigonometri

23

Deret Fourier

Contoh soal :


x(t) bernilai nol. Tentukan deret Fourier dalam bentuk trigonometri !

24

Deret Fourier

Contoh soal :



25

Deret Fourier

Contoh soal :



26

Deret Fourier

Contoh soal :



27

Deret Fourier

Discrete Time Fourier Series (DTFS)

Deret Fourier sinyal diskrit dirumuskan sebagai :

NF = periode fundamental

F = 2 / NF

28

Transformasi Fourier

Transformasi Fourier merupakan bentuk umum analisis Fourier

sehingga kita bisa menggunakannya untuk sinyal periodik juga.

Dengan menggunakan transformasi Fourier, kita dapat memodelkan sinyal dalam domain frekuensi.

Deret Fourier adalah sebuah proses dekomposisi sinyal yang

dipergunakan untuk sinyal periodik. Sedangkan transformasi Fourier

digunakan untuk semua sinyal, baik periodik maupun tidak periodik.

Grafik sinyal dalam domain frekuensi disebut dengan spektrum. Hasil analisis Fourier dapat ditampilkan oleh spectrum analyzer

yang berfungsi seperti oscilloscope untuk sinyal pada domain

waktu.

29


Apabila sebuah sinyal periodenya diperbesar menjadi tak terhingga,

sebuah sinyal yang sepertinya tidak berulang dapat dikatakan

berulang setelah tak terhingga.

Ini adalah cara melihat sinyal tidak periodik berdasarkan cara pandang sinyal periodik.

30


Jika lebar pulsa adalah a dan amplitudo sinyal A, hitung deret Fourier !

31


Continuous Time Fourier Transform (CTFT)

Contoh Soal :

32


Mengingat :

33


Discrete Time Fourier Transform (DTFT)

34


Oleh karena semua sinyal dalam dunia nyata adalah sinyal kontinu,

maka kita menggunakan CTFT untuk mengubah sinyal ke dalam

domain frekuensi.

Namun perhitungan CTFT menggunakan integral dan hal ini tidak dapat dikerjakan oleh komputer seperti kita mengerjakannya secara

manual.

Hal ini disebabkan oleh kesulitan untuk membuat program yang dapat menghitung integral dari sebuah fungsi dan juga menghasilkan

fungsi.

35


Untuk menghindari penggunaan fungsi dalam operasi transformasi

domain, kita menggunakan data.

Jadi, tugas komputer adalah mengolah data dalam domain waktu menjadi data dalam domain frekuensi.

DTFT mengolah sinyal yang sudah diskrit, sedang DFT mengolah sinyal kontinu dengan pendekatan diskrit seperti mengganti integral

dengan penjumlahan.

Ide dasar di balik DFT adalah mendiskritkan pengintegralan dengan penjumlahan.

36


Discrete Fourier Transform

37


Pada DFT, untuk 5 buah data akan dilakukan 5 kali perkalian dan 4

kali penjumlahan untuk sekali perhitungan.

Oleh karena jumlah datanya ada 5, maka kita akan melakukan perhitungan DFT sebanyak 5 kali juga.

Sehingga, total perkalian dan penjumlahan yang dilakukan adalah 25 dan 20 kali.

38


Ide di balik FFT adalah mengefisienkan perhitungan DFT sehingga

dapat menghemat waktu.

FFT dibuat dengan cara meminimalkan perulangan yang dilakukan dalam perhitungan.

Dengan metode ini, waktu yang dipergunakan dapat dipersingkat sehingga menghindari penumpukan data.

39

Analisis Fourier

CTFS

DTFS

40

Analisis Fourier

DTFT

DFT

CTFT

08 Fourierd

Documents

Transcript of 08 Fourierd