07-logika-matematika1

7/25/2019 07-logika-matematika1

1/9

LOGIKA MATEMATIKA

A. Definisi

1). PernyataanPernyataan adalah suatu kalimat yang bernilai benar atau salah, tetapi tidak sekaligus benar dan

salah.Contoh:

Air laut rasanya asin, 2 adalah bilangan prima, Surabaya terletak di Pulau Kalimantan dan IbukotaKalimantan Timur.

2). Kalimat terbukaKalimat terbuka adalah kalimat yang memuat variabel dan menjadi pernyataan jika variabel

tersebut diganti konstanta dalam himpunan semestanya.Contoh:

Kota A merupakan daerah wisata,x 5 = 11, 3y= 15.3). Variabel

Variabel adalah lambang untuk menunjukkan anggota sembarang dari himpunan semesta.

Contoh:x 5 = 11 (x merupakan variabel), 3y = 15 (y merupakan variabel), + 4 = 7 ( merupakanvariabel)

4). KonstantaKonstanta adalah lambang untuk menunjukkan anggota tertentu dalam himpunan semesta.

Contoh:x 5 = 11 (jika x diganti dengan 16 maka pernyataan 16 5 = 11 bernilai benar, sehingga 16

disebut konstanta), 3y= 15 (jika y diganti dengan 6 maka pernyataan 3(6) = 15 bernilai salah,sehingga 6 disebut konstanta), + 4 = 7 (jika diganti dengan 3 maka pernyataan 3 + 4 = 7

bernilai benar, sehingga 3 disebut konstanta)5). Penyelesaian suatu kalimat terbuka

Penyelesaian suatu kalimat terbuka adalah konstanta-konstanta pengganti variabel yangmenyebabkan kalimat terbuka tersebut menjadi pernyataan yang benar.

Contoh:Tentukan penyelesaian dari 2x = 8 !

Jawab:2x = 8

x =2

8

x = 4

Jadi penyelesaiannya adalah 4.6). Himpunan penyelesaian

Himpunan penyelesaian adalah himpunan yang memuat semua penyelesaian yang mungkin.Contoh:Tentukan himpunan penyelesaian dari 3x> 15,x B !Jawab:

3x > 15

x >3

15

x > 5 Jadi himpunan penyelesaiannya = {6, 7, 8, 9, }

Latihan 1:

1. Tentukan apakah kalimat di bawah ini termasuk pernyataan, bukan pernyataan, atau kalimat

terbuka!

a. Bogor mendapat julukan sebagai kotahujan.

b. 222 523 c. 4 x 6

d. 6 + a> -4e. 7 adalah faktor dari 63

2. Tentukan variabel dan himpunan penyelesaian dari:

a. 03242 xx b. 042196 2 xx

c. 03

2

x

x

d. xx 5453


2/9

e. xx 4327

B. Lambang Logika Proporsional

OperatorNo.

Nama LambangArti

1.2.

3.4.

5.

NegasiKonjungsi

DisjungsiImplikasi

Biimplikasi

~^

Tidak, bukanDan, tetapi, meskipun, walaupun

AtauJika . maka .

. jika dan hanya jika .

C. Pengertian Negasi/Ingkaran

Negasi/ingkaran suatu pernyataanpadalah pernyataan ~pyang bernilai benar jikapbernilai salah danbernilai salah jikapbernilai benar.

D. Penentuaan Negasi/Ingkaran Suatu Pernyataan

p ~p

BS

SB

Latihan 2:Tentukan negasi/ingkaran pernyataan di bawah ini:

1. Bunga mawar berwarna merah.

2. Ali mempunyai adik.3. 3 + 2 = 7

4. 6 + 5 105. Hari ini hanya seorang siswa yang tidak masuk.

E. Nilai Kebenaran

1). KonjungsiKonjungsi ( ) dua pernyataan p dan q bernilai benar hanya jika kedua komponennya bernilaibenar.

p q p qBB

SS

BS

BS

BS

SS

Kesimpulan: ada yang salah berarti bernilai salah

Contoh:p : Bung Hatta lahir di Sumatra Barat ........................................... (B)

q : Bung Hatta meninggal di Sidoarjo ........................................... (S)p q : Bung Hatta lahir di Sumatra Barat dan meninggal di Sidoarjo .. (S)

2). Disjungsi

Disjungsi ( ) dua pernyataan p dan q, yaitu bernilai benar hanya jika salah satu atau keduapernyataanpdan qbernilai benar.

p q p qB

BS

S

B

SB

S

B

BB

S

Kesimpulan: ada yang benar berarti bernilai benar

Contoh:p : Bayu makan nasi pecel ........................................................... (B)q : Bayu makan nasi rawon ......................................................... (S)

p q : Bayu makan nasi pecel atau nasi rawon ................................. (B)


3/9

Latihan 3:

1. Misalkan p = Bunga mawar berbau harumq = Bunga mawar berduri

Nyatakanlah kalimat-kalimat berikut dengan simbolpdan q:

a. Bunga mawar berbau harum dan berduri.

b.

Bunga mawar berbau harum atau berduri.c. Bunga mawar tidak harum atau tidak berduri.d. Bunga mawar tidak berduri tetapi berbau harum.

e. Tidak benar bahwa bunga mawar tidak berduri dan juga tidak berbau harum.

2. Misalkan x = 5 adalah bilangan primay = Indonesia termasuk negara ASEAN

z = 7 adalah bilangan ganjil

Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:

a. x ~yb. ~y z

c.

~(y z)d. ~(~x y)e. ~(~x y)

3). Implikasi

Implikasi ( ) dua pernyataan pdan qbernilai salah hanya jika pbernilai benar dan qbernilaisalah.

p q pqBB

S

S

BS

B

S

BS

B

BKesimpulan: sama dengan yang belakang, kecuali S S B

4). Biimplikasi

Biimplikasi ( ) dua pernyataan pdan qbernilai benar jikapdan qmempunyai nilai kebenaranyang sama.

p Q p qB

BS

S

B

SB

S

B

SS

B

Kesimpulan: keduanya sama berarti bernilai B

Latihan 4:

Tentukan nilaixyang memenuhi persamaan bilangan bentuk pangkat berikut:

1. Misalkanp = 7 adalah bilangan bulat

q = 11 adalah bilangan primaNyatakanlah kalimat-kalimat berikut dengan simbolpdan q:

a. Jika 7 adalah bilangan bulat maka 11 adalah bilangan prima.

b. Tidak benar bahwa jika 7 adalah bilangan bulat maka 11 adalah bilangan prima.c. 7 adalah bilangan bulat jika dan hanya jika 11 adalah bilangan prima..

d. Tidak benar bahwa 7 adalah bilangan bulat jika dan hanya jika 11 adalah bilangan prima..

e.

Jika 7 adalah bukan bilangan bulat maka 11 adalah bukan bilangan prima.2. Misalkanx = -5 adalah bilangan bulat negatif

y = 1 adalah bilangan genapTentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut:

a. x ~yb. ~y zc. ~(y z)d. ~(~x y)e. ~(~x y)


4/9

F. Sifat-sifat pernyataan yang setara (ekuivalen)pp

Jika qp maka pq

Jika qp dan rq maka rp

G. Membuktikan suatu pernyataan majemuk yang setara (ekuivalen) dengan suatu pernyataan lain

Contoh:Buktikan bahwa )( rqp ekuivalen dengan rqp )(

Jawab:

p q r rq )( rqp qp rqp )(

BBB

BS

SS

S

BBS

SB

BS

S

BSB

SB

SB

S

BSB

BB

SB

B

BSB

BB

BB

B

BBS

SS

SS

S

BSB

BB

BB

B

Latihan 5:

Buktikan bahwa dua pernyataan di bawah ini adalah setara (ekuivalen):

a. p q q pb. pqqp

c. p (q r) (p q) rd. ~p q qp

e. )()()( rpprqp

H.

Negasi/ingkaran dari pernyataan majemuk:1).Negasi dari konjungsi

Negasi darip qditulis qpqp ~~)(~

2).Negasi dari disjungsi

Negasi darip qditulis ~(p q) qp ~~

3).Negasi dari implikasi

Negasi darip qditulis qpqp ~)(~

4).Negasi dari biimplikasi

Negasi darip qditulis )~()~()(~ pqqpqp

5).Negasi dari negasi

Negasi dari ~pditulis pp )(~~

Latihan 6:

Tentukan negasi dari pernyataan berikut ini:

1. Sabria seorang presenter atau Sabria seorang komedian.

2. The Beatles adalah grup musik dari Inggris dan John Lenonn meninggal akibat penembakan.3. Bobby seorang yang kikir dan Tia seorang penyanyi.

4. 823 dan 1642 5. Jika ada tamu negara maka polisi bertugas di jalan protokol.


5/9

I. Konvers, Invers, dan Kontraposisi dari Pernyataan Berimplikasi1). Konvers dari implikasi

Konvers dari implikasi qp adalah pq

Contoh:

Jika sekarang cerah maka matahari bersinar

Tentukan konversnya!Jawab:Konversnya adalah jika matahari bersinar maka sekarang cerah.

2). Invers dari implikasi

Invers dari implikasi qp adalah qp ~~

Contoh:Jika sekarang cerah maka matahari bersinar

Tentukan inversnya!Jawab:

Inversnya adalah jika sekarang tidak cerah maka matahari tidak bersinar.3). Kontraposisi dari implikasi

Kontraposisi dari implikasi qp adalah pq ~~ Contoh:

Jika sekarang cerah maka matahari bersinarTentukan kontraposisinya!

Jawab:Kontraposisinya adalah jika matahari tidak bersinar maka sekarang tidak cerah.

Latihan 7:

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan berikut:

1. Jika Donny selesai bekerja maka ia beristirahat.2. Jika Zaky kuliah di Unesa maka ia kuliah di Surabaya.

3.

Jika ABC sama sisi maka A = B.4. Jika ABCD persegi panjang maka AB = CD.

5. Jika 22 )2(2 maka 2 = -2.

J. Kuantor

Kuantor adalah suatu lambang yang menunjukkan generalisasi suatu kalimat terbuka.a. Jenis-jenis kuantor

1. Kuantor eksistensialKuantor eksistensial/sebagian (beberapa atau ada) merupakan suatu pernyataan yang

menggambarkan bahwa beberapa dan tidak seharusnya setiap objek atau masalah memenuhisyarat tertentu.

Kuantor eksistensial dilambangkan dengan x dibaca ada suatuxsehingga berlaku .Contoh:

)512())(( xRxx dibaca ada beberapa nilaixsehingga berlaku 2x+ 1 > 5.

Pernyataan tersebut benar karena kita dapat menentukan nilai-nilaixyang memenuhi.2. Kuantor universal

Kuantor universal/semua merupakan suatu pernyataan yang menggambarkan bahwa setiapobjek atau masalah memenuhi syarat tertentu.

Kuantor universal dilambangkan dengan x dibaca untuk semua x atau untuk setiap xberlaku .Contoh:

)0())((2

xRxx dibaca untuk semua nilaixberlaku 02

x . Pernyataan tersebut benarkarena kuadrat semua bilangan riil tidak ada yang negatif.b. Ingkaran dari pernyataan berkuantor

1. Ingkaran dari kuantor eksistensialIngkaran dari kuantor eksistensial adalah kuantor universal.

)(~)()()(~ xPxxPx Contoh:

)912())((~ xRxx = ))912()((~)( xRxx = )912()^)(( xRxx


6/9

2. Ingkaran dari kuantor universalIngkaran dari kuantor universal adalah kuantor eksistensial.

)(~)()()(~ xPxxPx Contoh:

)2())((~ xxRxx = ))2()((~)( xxRxx

= )2()^)(( xxRxx

Latihan 8:

Tentukan ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut:

1. )0())(( 2 xRxx

2. )05()0,)(( xxRxx

3. )0())(( 2 xRxx

4.

R

y

xyRyxx )0,,)((

5.

)092())((2

xxRxx

K. Penarikan Kesimpulan1). Premis adalah himpunan pernyataan tunggal atau majemuk yang ditentukan/diketahui.

2). Kesimpulan (konklusi) adalah pernyataan tunggal atau majemuk yang diturunkan dari premis-premis.

3). Argumen adalah kumpulan satu atau lebih premis yang sudah dibuktikan kebenarannya dan satukonklusi yang diturunkan dari premis-premisnya.

Suatu argumen dikatakan sah/valid jika dapat dibuktikan bahwa argumen itu merupakan suatu

tautologi (pernyataan yang selalu bernilai benar) untuk semua nilai kebenaran premis-premisnya.

Metode yang sederhana untuk membuktikan suatu argumen dapat dinyatakan sah/valid adalah dengantabel kebenaran.Pola penarikan kesimpulan:

Premis 1Premis 2

Premis 3..

Premis nKonklusi

Beberapa modus penarikan kesimpulan:1). Modus Ponens

Premis 1 : qp Premis 2 : p

Konklusi : q2). Modus Tolens

Premis 1 : qp

Premis 2 : q~

Konklusi : ~p3). Silogisme

Premis 1 : qp

Premis 2 : rq

Konklusi : rp 4). Silogisme Disjungtif

Premis 1 : p qPremis 2 : q~

Konklusi : p5). Dilema Konstruktif

Premis 1 : )()( srqp

Premis 2 : p rKonklusi : q s


7/9

6). Dilema Destruktif

Premis 1 : )()( srqp

Premis 2 : ~q ~sKonklusi : ~p ~r

7). Konjungsi

Premis 1 : pPremis 2 : qKonklusi : p q

Latihan 9:

Lengkapilah argumen berikut:

1. Premis 1 : Semua bilangan prima habis dibagi oleh 1 dan dirinya

Premis 2 : padalah suatu bilangan primaKonklusi :

2.

Premis 1 : Semua lingkaran berjari-jari rmempunyai luas

2

r

Premis 2 :

Konklusi : Lingkaran O mempunyai luas 2r

3. Premis 1 :

Premis 2 : (n+ 1) bukan suatu bilangan genap

Konklusi : n bukan suatu suatu bilangan ganjil

4. Premis 1 : Jika suatu bilangan adalah faktor dari 12 maka bilangan itu faktor dari 24

Premis 2 : 3 adalah faktor dari 12

Konklusi :

5. Premis 1 :

Premis 2 : Buaya termasuk reptil

Konklusi : Buaya berdarah dingin

L. Pembuktian pernyataan dengan cara:1). Bukti langsung

Contoh:Buktikan bahwa jikaxgenap makax

2genap!

Jawab:

Diketahuixgenap, maka akan dibuktikan bahwax2genap.Karenaxgenap, maka dapat dinyatakanx= 2k(dengan kB).Sehingga diperoleh:

x2 = (2k)

2

= 4k2

= 2(2k2)

Berartix2genap juga, sehingga terbukti bahwa jikaxgenap makax

2genap. Karena setiap bilangan

yang dapat dinyatakan dengan 2k, dengan k B, maka bilangan itu adalah bilangan genap.(terbukti)

2). Bukti tak langsungContoh:

Buktikan bahwa Jika n2 bilangan ganjil maka n bilangan ganjil dengan menggunakan carakontradiksi dan kontraposisi!

Jawab:

Dengan cara kontradiksiDiketahui n

2bilangan ganjil, maka akan dibuktikan nbilangan ganjil.

Andaikan nbilangan genap maka dapat dinyatakan n= 2k(dengan k B)Sehingga diperoleh n= 2kmaka n

2 = (2k)

2

n2 = 4k

2

n2 = 2(2k

2)

n2 = 2m, dengan m= 2k

2


8/9

Karena n2 = 2m, berarti n

2bilangan genap. Hal ini bertentangan (kontradiksi) dengan yang

diketahui, yaitu n2 bilangan ganjil. Oleh karena itu, pengandaian salah dan yang benar n

bilangan ganjil. (terbukti)

Dengan cara kontraposisiAkan dibuktikan dengan kontraposisi dari pernyataan di atas, ayitu Jika n bilangan genap,maka n

2bilangan genap

Diketahui nbilangan genap, maka akan dibuktikan n

2

bilangan genap.Karena nbilangan genap maka dapat dinyatakan n= 2k(dengan k B)Sehingga diperoleh n= 2kmaka n

2 = (2k)

2

n2 = 4k

2

n2 = 2(2k

2)

n2 = 2m, dengan m= 2k

2

Karena n2 = 2m, berarti n

2bilangan genap. Terbukti bahwa jika n bilangan genap maka n

2

bilangan genap, sehingga terbukti pula bahwa jika n2bilangan ganjil maka nbilangan ganjil,

karena kedua pernyataan tersebut ekuivalen.3). Induksi matematika

Contoh:Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua nbilangan asli berlaku:

1 + 2 + 22+ 2

3+ + 2

n-1= 2

n 1

Jawab:

Pembuktian:Misalkan P(n) adalah 1 + 2 + 2

2+ 2

3+ + 2

n-1= 2

n 1

Untuk n= 1, maka 21-1 = 21 11 = 1 (benar)

Jadi P(n) benar untuk n= 1

Andaikan P(n) benar untuk n= k, berarti P(k) = 1 + 2 + 22+ 23+ + 2k-1= 2k 1Akan dibuktikan bahwa P(n) benar untuk n= k+ 1Untuk n= k+ 1, P(n) = 1 + 2 + 22+ 23+ + 2k-1+ 2k+1-1

= 1 + 2 + 2

2

+ 2

3

+ + 2

k-1

+ 2

k

= P(k) + 2k

= 2k 1 + 2k

= 2. 2k 1

= 2k+1

1

Karena P(n) benar untuk n = 1, dan jika P(n) benar untuk setiap n bilangan asli, artinyaterbukti bahwa 1 + 2 + 2

2+ 2

3+ + 2

n-1= 2

n 1

Latihan 10:

1. Dengan kontradiksi, buktikan pernyataan Jika x tidak habis dibagi 3 maka x tidak habis dibagi

9!

2.

Dengan induksi matematika, buktikan bahwa 1 + 3 + 5 + + (2n 1) = n2

, untuk nA !


9/9

Uji Kompetensi:

1. Negasi dari pernyataan x lebih dari yadalah .

a. yx

b. yx

c. yx

d.

yx e. yx

2. Pernyataan yang ekuivalen dengan

pernyataan qp adalah .

a. pq

b. pq ~~

c. pq~

d. qp ~~

e. pq ~

3. Ingkaran dari kalimat Jika hujan lebatmaka Budi sakit flu adalah

a. Tidak hujan lebat maka Budi sakitflu.

b. Jika tidak hujan lebat maka Buditidak sakit flu.

c. Hujan lebat dan Budi tidak sakit flu.d. Hujan lebat dan Budi sakit flu.

e. Tidak hujan lebat dan Budi tidak sakitflu.

4. Kontraposisi dari kalimat Jika hargabarang naik maka rakyat mengeluh

adalah a. Jika harga barang tidak naik maka

rakyat tidak mengeluh.b. Jika rakyat mengeluh maka harga

barang naik.c. Jika rakyat tidak mengeluh maka

harga barang tidak naik.d. Jika harga barang tidak naik maka

rakyat mengeluh.e. Jika rakyat tidak mengeluh maka

harga barang naik.5. Premis 1 : Jika nadalah bilangan ganjil

maka ntidak habis dibagi dengan 2.Premis 2 :

Konklusi : nhabis dibagi dengan 2Premis 2 yang sesuai adalah

a. nadalah bukan bilangan ganjil.b. nadalah bilangan ganjil.

c. nadalah bilangan genap.d. nadalah bukan bilangan genap.

e. ntidak habis dibagi dengan 2.

Uraian:1. Negasi dari Jika 2x= 8 makax= 4 adalah .

2.

Dengan menggunakan tabel kebenaran, buktikan bahwa p (qV r) )(~ qpr !

3. Konvers dari Jika 4log3 x makax= 81 adalah .

4. Invers dari Jikax2 adalah bilangan asli makaxadalah bilangan asli adalah .

5. Premis 1 : Jika Richard rajin berolah raga dan tidak merokok maka ia akan sehat.Premis 2 : Ia tidak sehat

Konklusi :

07-logika-matematika1

Documents

Transcript of 07-logika-matematika1