05 Capitulo 4 - Graficas de Control Para Atributos

Captulo 4: Control estadstico

Grficos de control ATRIBUTOS

Muchas caractersticas de la calidad no pueden representarse

convenientemente con valores numricos.

En estos casos los artculos inspeccionados se clasifican como

conforme o disconforme (defectuoso o no defectuoso)

respecto de las especificaciones para esas caractersticas de la

calidad (puede ser una caracterstica o mas).

Ejemplos:

Ocurrencia de bielas torcidas para motores de automvil en al

produccin de un da.

Proporcin de chips de semiconductores no funcionales en una corrida

de produccin.

4.1. Atributos

Comparacin:

Las cartas para variables son mas informativas ya que una

medicin numrica contiene mas informacin.

Las cartas para atributos no son tan informativas como las

cartas para variables.

Son particularmente tiles en las industrias de servicios,

donde no es sencillo medir en una escala numrica gran

numero de las caractersticas de la calidad que se

encuentran en estos escenarios.

4.1. Atributos

4.2. Distribuciones de Probabilidad

Variable Aleatoria

Discreta Continua

Solo puede tomar una cantidad numerable de valores

Puede tomar todos los valores de un intervalo

Decida si una VA discreta o continua es el mejor modelo para cada una de las variables siguientes:

El tiempo hasta que un proyectil regresa a la tierra.

El nmero de veces que un transistor en una memoria de computadora cambia de estado en una operacin.

El volumen de gasolina que se pierde por evaporacin durante el llenado de un tanque de combustible.

El dimetro exterior de una flecha maquinada.

El nmero de grietas que exceden media pulgada en 10 millas de una carretera interestatal.

El peso de una pieza de plstico moldeada por inyeccin.

EL nmero de molculas en una muestra de gas.

La concentracin de la salida de un reactor.

La corriente en un circuito electrnico.

VA discretas o continuas?

Funcin de probabilidad:

Si X es una v.a. discreta, la funcin de probabilidad de X es:

que va de los valores posibles de la v.a. discreta X al intervalo [ 0,1]

Por lo tanto , si:

xRx 0)( xPx

)()( xXPxPx


Funcin de Densidad:

Si X es una v.a. continua , la funcin de densidad de X es una aplicacin fx tal

que:

Nota: fx no es una probabilidad.

0)( xfx

1)( dxxf x

dxxfbxaP

b

a

x )()(


Funcin de distribucin:

La funcin de distribucin de una v.a. X viene dada por:

)()( xXPxFx

Si X es una v.a. discreta

xu

xx uPxF ),()( xRu

Si X es una v.a. continua

x

xx duufxF )()(


Variables aleatorias discretas

Valor esperado

Varianza

Desviacin estndar

n

i

iixx pxE1

)( .

n

i

ixix px1

22 .)(

n

i

ixix px1

2.)(


Variables aleatorias continuas

Valor esperado

Varianza

Desviacin estndar

dxxxfE xx )()(

dxxfxx )(.)(22

dxxfxx )(.)(2


Distribucin Binomial:

Debemos verificar las siguientes condiciones:

n ensayos independientes

Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles (xito , fracaso)

La probabilidad de xito, p, es constante.

Entonces: el nmero de xitos, X, sigue una distribucin Binomial.

xnx ppxnx

nxXP

)1(

)!(!

!)( para x =1, 2, , n

E(x) = = n.p 2 = n.p(1-p)

4.2.1 Distribucin Binomial

xitos =Defectuosos!

4.2.1 Distribucin Binomial Ejemplos:

Lanzar una moneda 10 veces. Sea X = nmero de caras obtenidas

En los siguientes 20 nacimientos en un hospital, sea X = nmero de nacimientos de nias.

Una mquina-herramienta desgastada produce 1% de piezas defectuosas. Sea X = nmero de piezas defectuosas en las siguientes 25 piezas producidas.

De todos los bits transmitidos a travs de un canal de transmisin digital, 10% se reciben con error. Sea X = nmero de bits con error en los siguientes 5 bits transmitidos.

Cada muestra de aire contiene 10% de posibilidades de contener una molcula rara particular. Sea X = nmero de muestras de aire que contiene la molcula rara en las siguientes 18 muestras analizadas.

4.2.1 Distribucin Binomial Ejemplo:

Un lote contiene varios miles de componentes, de estos 10% estn defectuosos. Se extraen siete componentes de la poblacin.

Cul es la probabilidad de que se encuentren dos defectuosos en la muestra?

124.0)1.01()1.0()!27(!2

!7)2( 272

XP

4.2.2 Distribucin Poisson Distribucin Poisson

Se define como el nmero de ocurrencias de cierto suceso por unidad (de rea , de volumen , de tiempo).

Ejemplos:

El nmero de llamadas telefnicas que se reciben en un da en la central de una empresa durante los quince minutos anteriores al medioda.

El nmero de ordenes de devolucin de piezas que recibe una empresa en una semana.

El nmero de veces que falla una pieza de un equipo durante un periodo de tres meses.

Distribucin Poisson

Parmetro de la distribucin:

La media:

La varianza:

!)(

x

exXP

x x = 0, 1, 2,

2

4.2.2 Distribucin Poisson

Ejemplo:

El nmero de imperfecciones en una lmina de aluminio fabricada por determinado proceso sigue una distribucin Poisson. En una muestra de 100 m2 de aluminio, se encuentran 200 imperfecciones. Estime la probabilidad de que 1 metro cuadrado de aluminio no tenga imperfecciones

Solucin:

Sea X = nmero de imperfecciones en una lamina de aluminio de 1 m2

Entonces X ~ P(= 2)


1353.0!0

)2()0(

02

e

XP

Ejemplo:

Las fallas en una placa rectangular se presentan en forma aleatoria y siguen un proceso de Poisson. Si el nmero promedio de fallas por m2 es 3 , hallar la probabilidad de que exista a los mas 1 falla en una placa de 1 m2.

Solucin:

Sea X = nmero de fallas en una placa rectangular de 1 m2

X ~ P(= 3)


Distribucin Hipergeomtrica

Si se tiene una poblacin N elementos de los cuales M se clasifican como xitos y se extrae una muestra de tamao n sin reposicin.

x n x

M N M

xitos Fracasos

Definimos: X = Numero de xitos en la muestra tamao n

X ~ H(N,M,n) Distribucin

Hipergeomtrica

4.2.3 Distribucin Hipergeomtrica

Distribucin Hipergeomtrica

Parmetros de la distribucin: N, M y n

La media:

La varianza:

n

N

xn

MN

x

M

xXP )( x = 0, 1, , min(M,n)

Sea p = M/N

np

1)1(2

N

nNpnp

4.2.3 Distribucin Hipergeomtrica

Aproximacin Normal de la distribucin Binomial

Sea n ensayos Bernoulli, cada uno con probabilidad de xito p.

Si n es grande, por el TLC se puede aproximar con la distribucin normal con media np y varianza np(1-p)

Correccin de continuidad en la aproximacin:

La aproximacin es satisfactoria para p de aproximadamente 0.5 y n>10.

Si p=0.5 y n>10, entonces np>5

Nota: La aproximacin no es adecuada para: pn/(n+1)

Valores de la variable aleatoria mayores a 6, con centro en la media.

)1(

5.0

)1(

5.0

pnp

npa

pnp

npbbxaP

n

pppNX

pnpnpNX

)1(,~

)1(,~

),(~ pnBX

Aproximacin de Poisson de la distribucin Binomial

Cuando p tiende a cero y n tiende a infinito:

La aproximacion generalmente es buena para:

p < 0.1 y n grande

Nota.- para algunos autores es suficiente n>100

npPX ~),(~ pnBX

Aproximacin Normal de la distribucin Poisson

La aproximacin generalmente es buena para: lamda>15

npPX ~ ,~ NX

Grficas de control - atributos

Grfica de proporcin de artculos defectuosos (p)

Grfica de nmero de artculos defectuosos (np)

Grfica de nmero de defectos o disconformidades (c)

Grfica de nmero de defectos por unidad (u)

Binomial

Poisson

Grficas para atributos

Algunas caractersticas de calidad recolectadas

como datos de atributos slo toman dos

valores:

Conforme, no conforme

Pasa, no pasa

Presencia, ausencia de algo

Tales disconformidades o defectos se observan

frecuentemente de manera visual y ocasionan

que un producto o una parte de un producto sea

considerado como defectuoso.

En estos casos, la calidad se evala por atributos.

Grficas para atributos

Importancia

Se pueden aplicar tanto en procesos tcnicos

como administrativos.

En muchas ocasiones se dispone de datos que son

de atributos y no se requiere incurrir en gastos

adicionales.

Si no existe informacin disponible, se recolecta

rpidamente y a un bajo costo.

Muchos reportes, resmenes que maneja la

administracin son atributos y se pueden aprovechar

ms si se analizan como grficas de control.

El uso de las grficas de control de atributos en

medidas de calidad globales claves, frecuentemente

puede indicar a reas especficas del proceso que

pueden requerir un anlisis ms detallado.

Importancia

Definiciones importantes

Defecto: falla o no conformidad que ocasiona que un

artculo no satisfaga los requerimientos especificados.

Artculo defectuoso: artculo que tiene uno o ms

defectos.

Fraccin defectuosa: es la razn del nmero de

artculos defectuoso en la muestra (d), respecto al total

de los artculos de la muestra (n)

Tambin llamada la carta de control para la fraccin disconforme.

Fraccin disconforme:

Se expresa generalmente con un decimal. A veces se presenta la carta de control con el porcentaje disconforme.

Los principios estadsticos fundamentales de las grficas p se basan en

la distribucin binomial.

4.3.1 Graficas de control p

Fraccin disconforme =

nmero de artculos disconformes de la poblacin

numero de artculos en la poblacin

= p

Los principios estadsticos fundamentales de las grficas p se basan en la distribucin binomial:

Para un proceso de produccin cualquiera

Suponga que esta operando en una manera estable. Entonces:

La probabilidad de que cualquier unidad deje de cumplir con las especificaciones es p

Las unidades sucesivas producidas son independientes

Cada unidad producida es una realizacin de una variable aleatoria de Bernoulli con parmetro p.

Sea D el numero de unidades del producto que son disconformes en una muestra aleatoria de n unidades.

D sigue una distribucion binomial con parametros p y n:


xnx ppxnx

nxDP

)1(

)!(!

!)( para x =1, 2, , n

La grfica de control p o grfica para la

proporcin de piezas defectuosas:

mide la proporcin de piezas disconformes en un

grupo de artculos que se inspeccionan.

Las muestras pueden ser constantes o variables.


Recuerde el modelo general:

Sea w un estadstico que mide una caracterstica de la calidad,

con media w y varianza de w es 2

w

L es la distancia de los lmites de control a la lnea central.

4.3.1 Grficas de control p

ww LLCS

wLC

ww LLCI

pLC

n

pppLSC

)1(3

n

pppLIC

)1(3

Lmites de control (para muestras constantes):


La fraccin disconforme muestral: La variable aleatoria puede obtenerse a partir de la distribucin binomial con media y varianza:

n

Dp

p

pn

ppp

)1(2

m

p

mn

D

p

m

i

i

m

i

i 11

Estimacin de la fraccin disconforme p desconocida.

Recuerde: Sea D el numero de unidades del producto que son disconformes en una muestra aleatoria de n unidades.

m

i

i

m

i

i

n

D

pLC

1

1

in

pppLCS

)1(3


in

pppLCI

)1(3

Lmites de control (para muestras variables):

Interpretacin de la grfica p:

Para interpretar la grfica p, se hace de la misma manera que

las otras grficas, se debe:

Verificar que los puntos no excedan los lmites de control.

Los puntos se deben distribuir aleatoriamente dentro de los

lmites de control.

No deben mostrar tendencias

Los puntos deben aparecer en orden aleatorio en el tiempo.


El procedimiento de la produccin de un nuevo artculo en la fabrica de componentes elctricos requiri la inspeccin al 100% durante los primeros cuatro meses hasta que se estableci el control del proceso con una cuanta aceptable de productos no conformes.

Una vez que el proceso estuvo estable, se llev acabo un registro de la inspeccin al 100%. El registro muestra que 9,600 artculos no cumplan con las especificaciones; el nmero de artculos producidos durante ese tiempo fue 320,000.

Determinar los lmites de control del correspondiente grfico de control, para un tamao de muestra de 15 lotes de 100 unidades cada uno.

4.3.1 Ejemplo

Grfica p

10987654321

0.030

0.025

0.020

0.015

0.010

0.005

Subgrupo

Pro

po

rci

n

_P=0.01507

LCS=0.02602

LCI=0.00413

Proporcin inusualmente baja de elementos defectuosos 3

Proporcin inusualmente alta de elementos defectuosos 8

Razn Subgrupos fuera de control

Grfica P de defectos

Informe de estabilidad

Es estable la proporcin de elementos defectuosos?

Investigue los subgrupos fuera de control. Busque patrones y tendencias.

Grfica p > 5% 0%

NoS

20.0%

10987654321

0.03

0.02

0.01

0.00

Subgrupo

Pro

po

rci

n

_P=0.01507

LCS=0.02602

LCI=0.00413

probabilidades, aunque el proceso sea estable.

subgrupos fuera de control en virtud de las

Tenga en cuenta que usted puede ver un 0.7% de

estable. 2 subgrupos (20.0%) estn fuera de control.

La proporcin de elementos defectuosos pudiera no ser

Comentarios

Grfica P de defectos

Informe de resumen

Es estable la proporcin de elementos defectuosos?

Evale el % de subgrupos fuera de control.

Grfica P

Investigue los subgrupos fuera de control

Basada en el nmero de unidades disconformes en lugar de

la fraccin disconforme

Otros nombres:

Grfica para el nmero de piezas defectuosas

La carta de control np

4.3.2 Grficas de control np

pnLC

)1(3 ppnpnLSC

)1(3 ppnpnLIC

m

p

mn

D

p

m

i

i

m

i

i 11


Lmites de control:

Con:

Grfica para el nmero de piezas defectuosas:

En algunas ocasiones es conveniente hacer una grfica

de control, en la que se grafique el nmero de

defectuosos en la muestra en lugar de la proporcin de

defectuosos. Para hacer esto se requiere que el

tamao de la muestra sea constante.

En esencia proporciona la misma informacin que una

grfica p.


Para muchas personas este tipo de grficas es ms

fcil de interpretar que la p. La desventaja que

presenta la grfica np es que no es fcil manejar e

interpretar el nmero de defectuosos si se desconoce

el tamao de la muestra.

Tanto la grfica p y np, tienen fundamento en la

distribucin binomial, la interpretacin es la misma

que la grfica p.



Nota!

Cuando se tienen diferentes tamaos de

muestras se debe usar una grfica de

proporciones.

4.3.2 Grficas de control np Ejercicio:

En la manufactura de ciertos transformadores para un servicio especial, se requiere que cumplan con cierto nmero de especificaciones relacionadas con el aumento de temperatura, voltajes de salida, fluctuaciones de voltaje y corriente, tiempos de recuperacin al desconectar y conectar el articulo, etc.

Se producen cada da alrededor de 2000 aparatos y se les somete a una inspeccin final utilizando un tamao de muestra constante de 200 unidades. Luego de 20 das hbiles de trabajo, se haban rechazado 190 transformadores, de un total de 4000 inspeccionados.

a) Determinar los lmites de control basado en una inspeccin diaria de 200 aparatos.

b) Al graficar las 20 muestras se encuentra que uno de los puntos queda fuera de los limites. Ese da se encontraron 30 unidades no conformes. Al investigar se encontr que una graduacin del potencimetro de voltaje estaba incorrecta (causa asignable) Cules serian los limites de control correctos?

n np

1 1000 2

2 1000 5

3 1000 3

4 1000 5

5 1000 1

6 1000 1

7 1000 0

8 1000 5

9 1000 3

10 1000 2

10000 27

Ejercicio: En la tabla adjunta se observa el nmero de unidades defectuosas halladas en la inspeccin de 10 muestras, cada una de las cuales contiene 1000 unidades del producto de inters. Halle los lmites de control y presente le grfico.


10987654321

8

7

6

5

4

3

2

1

0

Muestra

Co

nte

o d

e m

ue

stra

s

__NP=2.7

LCS=7.623

LCI=0

Grfica NP de defectos

Es la carta de control para:

el nmero total de disconformidades en una unidad

Recuerde:

Un artculo disconforme es una unidad del producto que no satisface una o ms de las especificaciones para este producto.

Cada punto especfico en el que no se satisface una especificacin resulta en un defecto o disconformidad.

Un artculo disconforme contendr al menos una disconformidad.

Otros nombres:

Grfica de nmero de defectos en la muestra

Carta de control para disconformidades

4 Grficas de control c

Ejemplos:

Nmero de imperfecciones en la cubierta de una computadora personal

Nmero de soldaduras defectuosas en 100 m de oleoductos

Nmero de remaches rotos en el ala de un avin

Nmero de defectos funcionales en un dispositivo lgico electrnico

etc.


Se supone que los defectos o disconformidades Ci en la unidad de inspeccin ocurren de acuerdo a una distribucin Poisson:

x es el nmero de disconformidades

c>0 es el parmetro de distribucin de Poisson. Con:

media= c

varianza = c

Requerimientos del supuesto:

el nmero de oportunidades o lugares potenciales para las disconformidades sea infinitamente grande

La probabilidad de ocurrencia de una disconformidad en cualquier lugar debe ser pequea y constante

La unidad de inspeccin debe ser la misma en cada muestra (TAMANO DE MUESTRA CONSTANTE)


!)(

x

cexXP

xc

k)1,2,...,(i imuestra la en defectos de # c i Si

ck

cLC

i

ccLSC 3

ccLIC 3


Si no se cuenta con un valor estndar para c, se estima (c barra) como el nmero promedio de disconformidades observadas en una muestra preliminar de unidades de inspeccin

Nro. de artculo C

1 3

2 8

3 4

4 7

5 5

6 3

7 4

8 12

9 4

10 7

57

Ejemplo

En la tabla adjunta se observa el nmero de disconformidades (C) halladas en la inspeccin de 10 artculos, la unidad de inspeccin se define como un artculo. Halle los lmites de control y presente le grfico.

10987654321

14

12

10

8

6

4

2

0

Muestra

Co

nte

o d

e m

ue

stra

s

_C=5.7

LCS=12.86

LCI=0

Grfica C de defectos

Esta grfica se basa en el nmero promedio de no conformidades por unidad inspeccionada.

Si encontramos x cantidad de no conformidades en la muestra de n unidades inspeccionadas, entonces podemos obtener el nmero promedio de no conformidades por unidad inspeccionada de la siguiente manera:

Otros nombres:

Grfica de nmero de defectos por unidad

4.3.3 Grficas de control u

n

xu

Se utiliza para unidades de longitud, rea,

volumen, etc.

n puede ser constante o variable.

Cuando n es variable las graficas de control

pueden ser con: n promedio

Lmites para cada n

Lmites para ciertas n

Lmites estandarizados


n

cu

i

ii

uLC

in

uuLSC 3

in

uuLIC 3


Estas grficas de control

usualmente asumen que

la ocurrencia de una no

conformidad en una

muestra es bien

modelada por una

distribucin Poisson.

muestras de #

muestrala de tamao

defectos#

21

:dnde

m

n

c

,k,i

i

i

Lmites de control:

m

i

i

m

i

i

m

i

i

n

c

m

u

u

1

11

ni C

1 9 25

2 8 13

3 7 28

4 10 35

5 9 27

6 6 25

7 10 20

8 8 32

9 10 16

10 9 20

86 241

Ejemplo En la tabla adjunta se observa el nmero de disconformidades (C) halladas en la inspeccin de 10 muestras de tamao ni. Halle los lmites de control y presente le grfico.

10987654321

5

4

3

2

1

Subgrupo

N

me

ro d

e d

efe

ctu

oso

s p

or

un

ida

d

_U=2.802

LCS=4.476

LCI=1.128

Grfica U de defectos

Informe de estabilidad

Es estable el nmero de defectuosos por unidad?

Investigue los subgrupos fuera de control. Busque patrones y tendencias.

> 5% 0%

NoS

0.0%

10987654321

5

3

1

Subgrupo

N

mero

de d

efe

ctu

oso

s p

or

un

idad

_U=2.802

LCS=4.476

LCI=1.128

subgrupo est fuera de control.

El nmero de defectuosos por unidad es estable. Ningn

Comentarios

Grfica U de defectos

Informe de resumen

Es estable el nmero de defectuosos por unidad?

Evale el % de subgrupos fuera de control.

Grfica U

Investigue los subgrupos fuera de control

4.4 Curva OC y ARL Prueba de hiptesis:

Ho: El proceso est bajo control vs

Ha: El proceso no est bajo control

Error tipo I: Rechazar Ho cuando Ho es verdadero. Se

concluye que el proceso no est bajo control, cuando realmente si lo est.

P(Error tipo I)=

Error tipo II: Aceptar Ho cuando Ho es falsa. Se concluye que el proceso est bajo control, cuando realmente no lo est.

P(Error tipo II)=

Para fines de clculo de y , suponga que el proceso no est bajo control si hay un cambio en la media del mismo.

4.4 Curva OC y ARL

4.4 Curva OC y ARL

LSC

LIC

La media cambia

El error tipo II se calcula con la nueva media

=Error tipo II = Probabilidad de aceptar incorrectamente la hiptesis del control estadstico

La funcin de operacin caracterstica(OC) de la carta de control p es:

4.4.1. Curva caracterstica de operacin (OC) Grfica p

P= fraccion disconforme del proceso


La curva OC proporciona una medida de la habilidad de la carta de control para detectar un corrimiento en la fraccin disconforme del proceso (p).

La probabilidad del error II para la grafica p se calcula con:

O

D es una v.a. bimonial (n,p)

4.4.1. Curva caracterstica de operacin (OC) Grfica p

P

ppPppP |LCI|LCS

pnDPpnDP |LCI|LCS


La probabilidad del error II para la grafica c se calcula con:

x es una variable aleatoria de Poisson con parametro c

4.4.1. Curva caracterstica de operacin (OC) Grfica c

c

cxPcxP |LCI|LCS


La probabilidad del error II para la grafica u se calcula con:

x es una variable aleatoria de Poisson con parametro =nu

4.4.1. Curva caracterstica de operacin (OC) Grfica u

c

uxPuxP |LCI|LCS

unxPuncP |LCI|LCS

4.4.2 Longitud promedio de corrida (ARL) Grfica p

El numero esperado de muestras antes de que se detecte el corrimiento en la calidad del proceso.

ARL (Average run length)

Si el proceso est bajo control:

La probabilidad alfa puede calcularse de la distribucin binomial o leerse en una curva OC

10 ARL

Si el proceso no est bajo control:

La probabilidad beta puede calcularse de la distribucin binomial o leerse en una curva OC

Si n se incrementa, tiene un valor menor y ARL1 mas corta


1

11ARL

Ejemplo: ARL0= 370

Si el proceso se encuentra bajo control se experimentara una falsa alarma de una senal de fuera de control aproximadamente cada 370 muestras

Ejemplo: ARL1= 7

Si el proceso esta fuera de control se necesitara aproximadamente 7 muestras para detectar este corrimiento con un punto fuera de los limites de control


1

11ARL

10 ARL

Efectos de los lmites de control sobre y

a) si los lmites de control son ms anchos: se reduce

se incrementa

b) si los lmites de control son ms angostos: se incrementa

se reduce

c) si se toman muestras ms grandes: se reduce

se reduce

Captulo 6 Montgomery, Ejercicios 1 al 6

Captulo 4 Besterfield, Ejercicios 1 al 6

Bibliografa

05 Capitulo 4 - Graficas de Control Para Atributos

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