03. matematika

1

RINGKASAN MATERI MATEMATIKA

SKL MATEMATIKA SMA/MA

NO KOMPETENSI INDIKATOR1. Menggunakan logika matematika da-

lam pemecahan masalah

Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari suatu pernyataan

majemuk atau pernyataan berkuantor

Menentukan kesimpulan dari beberapa premis

2. Memahami konsep yang berkaitan

dengan aturan pangkat, akar, dan

logaritma, fungsi aljabar sederhana,

fungsi kuadrat dan grafiknya, persa-

maan dan pertidaksamaan kuadrat,

komposisi dan invers fungsi, sistem

persamaan linear, program linear, ma-

triks, barisan dan deret, serta mampu

menggunakannya dalam pemecahan

masalah

Menentukan hasil operasi bentuk pangkat, akar, dan logaritma

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan grafik fungsi

kuadrat

Menentukan komposisi dua fungsi dan invers suatu fungsi

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan persamaan

kuadrat

Menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat

Menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua

variabel

Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan sistem

persamaan linear dua variabel

Menentukan nilai optimum bentuk objektif dari daerah himpunan

penyelesaian sistem persamaan linear

Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan

program linear

Menyelesaikan masalah matriks yang berkaitan dengan kesa-

maan, determinan, dan atau invers matriks

Menentukan suku ke-n atau jumlah n suku pertama deret arit-

matika atau geometri

Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan bari-

san dan deret aritmetika

3. Memahami limit fungsi aljabar, tu-

runan fungsi, nilai ekstrim, dan

integral fungsi serta menerapkannya

dalam pemecahan masalah

Menghitung nilai limit fungsi aljabar

Menentukan turunan fungsi aljabar dan aplikasinya

Menentukan integral fungsi aljabar

Menentukan luas daerah dengan menggunakan integral

2

4. Mengolah, menyajikan, dan menaf-

sirkan data dan memahami kaidah

pencacahan, permutasi, kombinasi

dan peluang kejadian serta mampu

menerapkannya dalam pemecahan

masalah

Menyelesaikan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan kaidah

pencacahan, permutasi, atau kombinasi

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan peluang dan

frekuensi harapan suatu kejadian

Menentukan unsur-unsur pada diagram lingkaran atau batang

Menghitung nilai ukuran pemusatan dari data dalam bentuk

tabel atau diagram

Menentukan nilai ukuran penyebaran

3

EKSPONEN DAN BENTUK AKAR

Pangkat Bulat PositifA.

...n

n

a a a a a= × × × ×

Contoh : 25 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32

Pangkat Bulat NegatifB.1nna

a− =

Contoh : 2-4 = 4

1 1162

=

Sifat-Sifat PerpangkatanC.a. am × an = am+n

Contoh : 22 × 23 = 22+3 = 25

b. am : an = am-n

Contoh : 29 : 24 = 29-4 = 25

c. (am)n = am × n

Contoh : (25)2 = 25×2 = 210

d. (a × b)n = an × bn

Contoh : 103 = (2 × 5)3 = 23 × 53

e. n n

n

a ab b

=

Contoh : 4 4

4

2 23 3

=

Persamaan EksponenD.Untuk a > 0, a ≠ 1; b > 0, b ≠ 1, berlaku:a. Jika af(x)

= am, maka f(x) = mContoh:Terdapat persamaan eksponen 41+x = 42. Berapakan nilai x?

41+x = 42 sesuai dengan af(x) = am a = 4,

f(x) = 1+x, dan m = 2f(x) = m 1+ x = 2 x = 1

b. Jika af(x) = ag(x), maka f(x) = g(x)

Contoh:Terdapat persamaan eksponen 41+x = 41+2x Berapa kah nilai x?41+x = 41+2x sesuai dengan af(x)

= ag(x) a = 4 f(x) = 1+x, dan g(x) = 1+2x

c. f(x) = g(x) 1+ x = 1+2x x = 0 Jika af(x)

= bf(x), maka f(x) = 0 Ingat, bilangan apa-pun yang dipangkatkan nol sama dengan 1, a0 = 1Contoh:Terdapat persamaan eksponen 43x+6 = 53x+6.Berapakah nilai x?43x+6 = 53x+6 sesuai dengan af(x)

= bf(x) a = 4, b = 5, dan f(x) = 3x+6

f(x) = 0 3 x+6 x = 2

d. Jika {h(x)}f(x) = {h(x)}g(x), maka berlaku: f(x) = g(x)

• h(x) = 1 dapat berlaku f(x) ≠ g(x)• h(x) = 0 untuk f(x) > 0 dan g(x) > 0• h(x) = -1 untuk f(x) dan g(x) keduanya ganjil

atau keduanya genap.

e. Jika A{af(x)}2 + B{af(x)} + C = 0, maka dapat dise-lesaikan dengan persamaan kuadrat.Contoh:Terdapat persamaan (21+x)2 - 2(21+x) + 1 = 0, berapakah nilai x?(21+x)2 - 2(21+x) + 1 = 0 sesuai dengan A{af(x)}2 + B{af(x)} + C = 0 A = 1, B = 2, C = 1, a = 2, dan f(x) = 1+x

(21+x)2 - 2(21+x) + 1 = 0 misalkan 21+x = y y2 – 2y +1 =0 (persamaan kuadrat) (y – 1) 2 = 0 y – 1 = 0 y = 1

21+x = y 21+ x = 1 21+ x = 20 1+ x=0 x = -1

EKSPONEN, BENTUK AKAR, DAN LOGARITMA

MATEMATIKAB A B

I

4

Pertidaksamaan EksponenE.a. Untuk a > 1

• Jika af(x) > ag(x), maka f(x) > g(x)• Jika af(x) < ag(x), maka f(x) < g(x)

b. Untuk 0 < a < 1• Jika af(x) > ag(x), maka f(x) < g(x)• Jika af(x) < ag(x), maka f(x) > g(x)

Bentuk Akar dan Menyederhanakan Bentuk Akar

F.

1. Bentuk akar irasional akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irrasional, yaitu hasilnya bilangan desimal yang tidak berakhir dan tak berulang dengan tetap. Contoh: 2, 3, 5, 11, 13, 17, 19 , serta keli-

patan dari akar-akar tersebut.

2. Penyerdahanaan bentuk akar irasional

a b a b× = ×

Contoh: 20 4 5 4 5 2 5 2 5= × = × = × =

5 adalah bentuk akar irasional, sehingga 20 termasuk bentuk akar irasional

( )

( )

a c b c a b c

a c b c a b c

+ = +

− = −

Contoh : 3 3 5 3 2 3 (3 5 2) 3 6 3+ − = + − =

( ) 2

( ) 2

a b ab a b

a b ab a b

+ + = +

+ − = −

Contoh :

5 2 6 (3 2) 2 2 3

3 2

8 2 12 (6 2) 2 6 2

6 2

+ = + + ⋅

= +

− = + − ⋅

= −

Pangkat PecahanG.mn n ma a=

Contoh : 5

7 573 3=

Merasionalkan Penyebut PecahanH.

a a b a bbb b b

= × =

Contoh: 6 6 3 6 32 3

33 3 3= × = =

2

2

( )

( )

c c a b c a ba ba b a b a b

c c a b c a ba ba b a b a b

− −= × =

−+ + −

+ += × =

−− − +

Contoh: 2

1 2

2

1 2

1 2

1 2

21 2

1 2

21 21

21 2

3

3 2

3

3 2

3 2

3

2+=

+× −

−= −

−

= −−

= − −

−=

−× +

( )

( )( )

++= +

−

= +−

= − +

2

3 3 23 4

3 2 31

3 2 3

( )

( )

c

a b

c

a b

a b

a b

c a ba b

c

a b

c

a b

a b

a b

c a ba b

+=

+× −

−= −

−

−=

−× +

+= +

−

( )

( )

Contoh: 2

3 2

2

3 2

3 2

3 2

2 3 23 2

2 3 21

2 3 2

3

3 5

+=

+× −

−= −

−

= − = −

−

( )

( )( )

==−

× ++

= +−

= +−

= − +

3

3 5

3 5

3 5

3 3 53 5

3 2 32

123 2 3

( )

( )

Tanda pertidaksamaannya tetap

Tanda pertidaksamaannya berubah

® a = 3 dan b = 2

® a = 6 dan b = 2

5

LOGARITMA

DefinisiA.

glog a = x gx = a

Syarat: (a > 0) dan (0 < g 1 atau g > 1)

Ket : g = bilangan pokok atau basis logaritma, a = numerous, x = hasil logaritma

Contoh: 2 log 8 = 3 8 = 23 g = 2, a = 8, dan x = 3

Sifat-Sifat LogaritmaB. 1. g log gn = n

Contoh: 3 log 81 = 3 log 34 =4

2. g log g = 1Contoh: 2 log 2 = 1

3. g log 1 = 0Contoh: 5 log 1 = 0 1 = 50 (bilangan

apapun dipangkat nol sama dengan 1) 4. g log (a × b) = g log a + g log b

Contoh: 3 log 18 = 3 log (9 x 2) = 3 log 9 + 3 log 2 = 2 + 3 log 2

5. g log ab = g log a - g log b

Contoh: 2 log 34

= 2 log 3 – 2 log 4 = 2 log 3 – 2

6. g log an = n × g log a Contoh: 5 log 8 = 5 log 23 = 3· 5 log 2

7. g log a = loglog

p

p

ag

Contoh: 7 log 4 = 2

2 2

log 4 2log 7 log7

=

8. g log a = 1loga g

Contoh: 9 log 3 = 3

1 12log 9

=

9. g log a × a log b = g log bContoh : 2 log 5 × 5 log 4 = 2 log 4 = 2

10. log logng m gm

a an

=

Contoh: 225 5 3 53log 27 log3 log 3

2= =

11. log logng n ga a=

Contoh: 216 4 2 4log 49 log 7 log7= =

12. logg ag a=Contoh:

5log135 13=

Persamaan LogaritmaC.Untuk a > 0, a ≠ 1; f(x) > 0, g(x) > 0, berlaku:a. Jika alog f(x) = alog m, maka f(x) = m

Contoh:2log (2+x) = 2log 8, berapakah nilai x?2log (2+x) = 2log 8 2 + x = 8 x = 6

b. Jika alog f(x) = alog g(x), maka f(x) = g(x)Contoh:3log (4x + 1) = 3log (1 + x), berapakah nilai x?

3log (4x + 1) = 3log (1 + x) 4 x + 1 = 1 + x x = 0

Pertidaksamaan LogaritmaD.a. Untuk a > 1

• Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) > g(x)• Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) < g(x)

b. Untuk 0 < a < 1• Jika alog f(x) > alog g(x), maka f(x) < g(x)• Jika alog f(x) < alog g(x), maka f(x) > g(x)

Tanda pertidaksamaan tetap

Tanda pertidaksamaan berubah

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Nilai x yang mempunyai persamaan logaritma

6 2 62

25 50 2 10

3

6log log

log

logx x x− −( ) − +( ) =

adalah ….A. 12 D. 20B. 16 E. 22C. 18

Pembahasan:6 2 6

2

2

6

2

5 50 2 1036

5 50

2 10

log logloglog

log

x x x

x x

x

− −( ) − +( ) =

⇔− −( )

+( )) =

⇔−( ) +( )

+( ) =

⇔−( )

6

6 6

6

3

10 52 5

3

10

log

log log

log

x xx

x

223

102

3

6=

⇔ − =

⇔

log

x

x

x

− =⇔ =

10 6

16 Jawaban: B

6

2. Himpunan penyelesaian dari ( )3 3

2 4 19

3

xx

− ++ =

adalah ….A. -2 D. 1B. -1 D. 2C. 0

Pembahasan:

913

3 3

2 43 3

2 2 4 1 3 3

xx

x xn

+− +( )

+ − − +( )

=

⇔ ( ) = ( ) → =Ingat: 1 / nn

x x

x x

xx

x x

−

++

+ +

⇔ ( ) =

⇔ =⇔ + = +⇔ − = −

1

3 3

3 3

2 4 3 3

2 3 3

22 42 3 3

2 4 3 3

44

1

1

⇔ − = −⇔ =

x

xJawaban: D

3. Diketahui 3log 2 = x dan 2log 5 = y, maka 5log 15 adalah ....

A. 1xy

xy+

D. 1xy

x+

B. 1x

xy+

E. 1xyy+

C. 1yxy+

Pembahasan:Diketahui: 3

22

52

2

2

21

33

1

1515

5

loglog

log

loglog

log

lo

= ⇔ = ⇔ =

=

=

x xx

gg .

log

log log

log

log

5 3

5

5 3

5

5

2

2 2

2

2

( )

= +

= +

22

2

3

5

1

1

log

log

=+

=+

yx

y

xyx xy

== + = +xyxy xy

11

1

Cara lain 3log 2 · 2log 5 = 3log 5 = x·y dan 5log 15 = 5log (3×5) = 5log 3 + 5log 5 = 5log 3 +1

= 3

11

log 5+

= 1

1xy

+

Jawaban: A

4. Penyelesaian pertidaksamaan: Log(x – 4) + log(x + 8) < log(2x + 16) adalah ….

A. - 8 <x<6 D. 2 <x<8B. - 6 <x<8 E. 6<x<8C. 2 <x<6

Pembahasan:log(x – 4) + log(x + 8) < log(2x + 16) log (x – 4)(x +8) < log(2x + 16) (x2 + 4x – 32) < 2x + 16 x2 + 2x – 48 < 0 (x + 8)(x – 6) < 0Dengan garis bilangan diperoleh:

Daerah nilai x adalah - 8 <x<6 (untuk menentukan daerah nilai x masukkan x = 0 maka nilai pertidaksamaan adalah – 48. Nilai x = 0 di antara nilai x = -8 dan x = 6, sedangkan nilai pertidaksamaan -48 < 0 oleh karena itu daerah hasil di antara -8 dan 6)

Jawaban: A

5. Akar- akar dari persamaan 2log (x2 – 4x + 5) = 3 adalah x1 dan x2 . Nilai x1 2 + x2

2 adalah…A. -10 D. 11B. -5 E. 22C. 0

Penyelesaian :2log (x2 – 4x + 5) = 2log 23 (x2 – 4x + 5) = 23 x2 – 4x + 5 = 8x2 – 4x – 3 = 0 x1 + x2 = 4 x1 ∙ x2 = -3

x12 + x2

2 = (x1 + x2)2 – 2x1 x2

= (4)2 – 2(-3) = 22

Jawaban: E

8 0 6

Ax2 + Bx + C = 0;x1 + x2 = -(B/A) x1·x2 = C/A

7

LATIHAN SOAL

1. Bentuk sederhana dari ab a b

a b

( ) × ( )3 2 2

2 3 adalah ….

A. a5b2 D. a5b7

B. ab7 E. a6b8

C. a4b2

2. Bentuk sederhana dari 6 3 3 6 3 3+( ) −( ) adalah ….A. 2 D. 5B. 3 E. 6C. 4

3. Jika x himpunan penyelesaian 2 7 19

3x − = , maka

nilai dari 8x + 2 adalah ….A. 20 D. 29B. 25 E. 35C. 27

4. Nilai x yang memenuhi 4 4log log 4 3x − = adalah….A. 4 D. 144B. 64 E. 256C. 81

5. Jika 3 log2 a= , maka 8log 9 = ….

A. 3a

D. 23a

B. 1

3a E.

25a

C. 2a

6. Nilai dari 13 55 27log log = ….

A. -8 D. 0B. -5 E. 3C. -3

7. Nilai x dari ( )log(log ) log 4 logx x= − adalah …. A. 2 D. 100B. 4 E. 125C. 64

8. Diketahui nilai a = 8, b = 25, dan c = 81. Nilai

dari 2 1 13 2 4a b c⋅ ⋅ = ....

A. 8 D. 81B. 25 E. 100C. 60

9. Nilai dari bentuk 128 108 827

− + adalah ....

A. 6 18

9−

D.

6 3 189−

B. 10 2 18

9−

E.

10 6 189

−

C. 4 6 18

9−

10. Penyelesaian persamaan 3x2 + X–2 = 81x+2 adalah a dan b, dengan a > b. Nilai a – b adalah …. A. 7 D. 20B. 12 E. 25C. 15

8

PERSAMAAN KUADRAT, FUNGSI KUADRAT, DAN PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

B A B

II

PERSAMAAN KUADRAT

Bentuk UmumA.

ax2 + bx + c = 0

Syarat: a, b, c, R dan a 0

Contoh: 3x2 – 2x + 5 = 0, nilai-nilai a = 3, b = -2, dan c = 5

Menentukan Akar-Akar Persamaan Kuadrat

B

1. Memfaktorkan

Jika a, b, R dan berlaku a·b = 0, maka a = 0 atau b = 0

Contoh: x2 – 5x + 6 = 0 a = 1, b = -5, dan c = -6 (x – 2)(x – 3) = 0 x – 2 = 0 atau x – 3 = 0 x = 2 atau x = 3

2. Melengkapkan Kuadrat Sempurna

Jika p 0 dan berlaku (x + p2) = q, maka x =–p± q dengan q 0

Langkah-langkah: a) Ubahlah persamaan kuadrat semula ke da lam

bentuk ® (x + p)2 = q dengan q ≥ 0 melalui proses melengkapkan kuadrat sem purna.

b) Tentukan akar-akar persamaan kuadrat itu sesuai dengan bentuk persamaan yang terak hir ®

(x + p) = ± q atau x = –p± qContoh: x2 – 2x – 2 = 0 (x2 – 2x + 1) + (-1) – 2 = 0

(x – 1)2 – 3 = 0 (x – 1)2 = 3 ® sesuai dengan persamaan (x + p)2 = q (x – 1) = ± 3 x – 1 = 3 atau x – 1= - 3 x = 1 + 3 atau x = 1 – 3

3) Rumus abc

xb b ac

a12

2 42, = − ± −

Contoh: x2 – 6x + 8 = 0, koefisien-koefisiennya adalah a = 1, b = -6, dan c = 8.

x

x

12

2

1

6 6 4 1 82 1

6 36 322

6 42

6 22

6 22

4

,

( ) ( ) . ..

= − − ± − −

= ± −

= ±

= ±

= + = atauu x26 22

2= − =

Jenis-Jenis Persamaan KuadratC.Persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 dengan nilai diskriminan D = b2 – 4ac.1) Jika D > 0 maka persamaan kuadrat mempunyai

dua akar real yang berlainan.a) Jika D berbentuk kuadrat sempurna maka

kedua akarnya rasional.b) Jika D tidak berbentuk kuadrat sempurna,

maka akarnya irasional.2) Jika D = 0 maka persamaan kuadrat mempunyai

dua akar yang sama (akar kembar), real dan rasional.

9

3) Jika D < 0, maka persamaan kuadrat tidak mempunyai akar real atau kedua akarnya tidak real (imajiner).

Contoh: x2 – 6x + 8 = 0, koefisien-koefisiennya: a = 1, b = -6, c = 8.

D = b2 – 4ac = (-6)2 – 4∙1∙8 = 36 – 32 = 4 ® D > 0 dan I bilangan kuadrat sempurna.Jadi, jenis akar-akar persamaan tersebut adalah mem-punyai dua akar real berlainan dan rasional.

Jumlah dan Hasil Kali Akar-Akar Persamaan Kuadrat

D.

x xba

x xca1 2 1 2+ = − ⋅ =dan

Jika x1 dan x2, akar-akar persamaan kuadrat ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0).1) Akar-akarnya berlawanan (x1 = -x2) b = 0. Contoh: x2 – 4 = 0 ® b = 0 maka x1 = 2 dan x2 = -2 2) Akar-akarnya berkebalikan (x1 =

2

1x

) a = c.

Contoh: 2x2 + 5x + 2 = 0 ® a = c = 2 maka x1 = -2 dan x2 = -½ (x2 = 1/x1)3) Sebuah akarnya sama dengan nol

(x1 = 0) c = 0 dan x2 = ba

−

Contoh: x2 + 4x = 0 ® x (x + 4) = 0 ® x1 = 0 dan x2 = -4 ® c = 0 dan x2 = -(b/a)

4) Kedua akarnya bertanda sama 0ca

>

Contoh: x2 – 6x + 8 = 0 ® x1 = 4 dan x2 = 2 (ber tanda sama) ® a = 1 dan

c = 8 ® 8

8 01

ca

= = >

5) Kedua akarnya berlainan tanda 0ca

<

Contoh: x2 – 1 = 0 ® x1 = -1 dan x2 = 1

(berlawanan tanda) ® 1

1 01

ca

−= = − >

Menyusun Persamaan KuadratE.1. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Diketahui

Akar-Akarnya.a. Memakai Faktor

(x – x1) (x – x2) = 0

Contoh: x1 = 2 dan x2 =-3, persamaan kuadratnya (x – x1)(x – x2) = 0

(x – 2)(x + 3) = 0 x2 + 3x – 2x – 6 = 0 x2 + x – 6 = 0

b. Memakai Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar

x2 – (x1 + x2) x + (x1·x2) = 0

Contoh: x1 = 2 dan x2 = -3 Persamaan kuadratnya: x2 – (x1 + x2) x + (x1∙x2) = 0 x2 – (2 – 3) x + 2∙ (-3) = 0 x2 + x – 6 = 0

2. Menyusun Persamaan Kuadrat Jika Akar-Akarnya Mempunyai Hubungan dengan Akar-Akar Persamaan Kuadrat Lainnya (Menggunakan Rumus Jumlah dan Hasil Kali Akar)Contoh:

Contoh:Diketahui x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan 4x2 – 3x – 2 = 0. Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya (x1 + 3) dan (x2 + 3)!

• x1 + x2 = ( 3) 34 4

ba

−− = − = dan

x1 ∙ x2 = 2 14 2

ca

−= = −

• Misalnya y1 = (x1 + 3) dan y2 = (x2 + 3) y1 + y2 = (x1 + 3) + (x2 + 3) = (x1 + x2) + 6

= 34

+ 6 =274

y1 ∙ y2 = (x1 + 3)(x2 + 3) = (x1 ∙ x2) + 3(x1 + x2) + 9

= – 12

+ 3∙ ( 34

) + 9 = 434

• Persamaan kuadrat baru: x2 – (y1 + y2) x + y1 . y2 = 0

x2 – ( 274

)x + 434

= 0

4x2 – 27x + 43 = 0

10

FUNGSI KUADRAT

Bentuk UmumA.

f(x) = ax2 + bx + cSyarat: a, b, c R dan a 0

Contoh: f(x) = -3x2 – 2x + 9

Menggambar Sketsa Grafik Fungsi Kuadrat

B.

Langkah-langkah 1) Tentukan titik potong grafik dengan sumbu X (y = 0)

dan sumbu Y (x = 0).

2) Tentukan titik puncak −

−

ba

Da2 4

,

3) Tentukan persamaan sumbu simetri 2b

xa

−=

4) Tentukan beberapa titik lain untuk memperhalus grafik.Contoh: grafik f(x) = x2 – 3x + 2 Langkah-langkah:

• Titik potong terhadap sumbu X (y = 0). 0 = x2 – 3x + 2 0 = (x - 1)(x – 2) x = 1 atau x = 2

Jadi, titik potong terhadap sumbu X adalah (1, 0) dan (2, 0).

• Titik potong terhadap sumbu Y (x = 0)f(0) = 02 – 3∙0 + 2 = 2Jadi, titik potong terhadap sumbu Y adalah (2, 0).

• Titik puncak: −

−

ba

Da2 4

,

== − − − −−

= −

( ).

,( ) . .

.,

32 1

3 4 1 24 1

32

14

2

• Persamaan sumbu simetri

( 3) 32 2.1 2b

xa

− − −= = =

• Gambarlah titik-titik tersebut pada ko-ordinat Cartesius seperti di bawah ini.

X

f(x)

XX

X

f(x)

X

f(x)

X

f(x)

Tanda-Tanda Grafik Fungsi KuadratC.

a > 0 dan D > 0 a > 0 dan D = 0 a > 0 dan D < 0

Grafik terbuka ke atas dan memotong sumbu

X di dua titik

Grafik terbuka ke atas dan menyinggung

sumbu X

Grafik terbuka ke atas dan tidak memotong

sumbu X. f(x) > 0, fungsi ini disebut

definit positif

a < 0 dan D > 0 a < 0 dan D = 0 a < 0 dan D < 0

Grafik terbuka ke bawah dan memotong

sumbu X di dua titik.

Grafik terbuka ke bawah dan

menyinggung sumbu X

Grafik terbuka ke bawah dan tidak memotong sumbu X. f(x) < 0, fungsi ini

disebut definit negatif

Ingat,• Nilai a untuk menentukan arah grafik terbuka ke

atas (a > 0) atau ke bawah (a < 0)• Nilai D untuk menentukan grafik memotong

sum bu X (D > 0), menyinggung sumbu X (D = 0), atau tidak memotong sumbu X (D < 0).

Contoh: f(x) = -x2 + 2x – 1 Koefisien-koefisiennya a = -1, b = 2, c = -1. D = b2 – 4ac = 22 – 4∙ (-1)(-1) = 4 – 4 = 0 a = -1 < 0 ® grafik terbuka ke bawah D = 0 ® grafik meyinggung sumbu X

Menyusun Persamaan Grafik Fungsi Kuadrat

D.

1) Grafik memotong sumbu X di titik A(x1, 0) dan B(x2, 0) serta melalui sebuah titik tertentu.

f(x) = a(x – x1)(x – x2)

2) Grafik menyinggung sumbu X di titik A(x1, 0) dan melalui sebuah titik tertentu.

f(x) = a(x – x1)2

2

1 2

11

2. Metode Penyelesaiana) Carilah nilai-nilai nol (jika ada) bagian ruas kiri

pertidaksamaan ® ax2 + bx + c = 0.b) Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis

bilangan, sehingga diperoleh interval-interval.c) Tentukan tanda-tanda interval dengan cara

menyulihkan nilai-nilai uji yang berada dalam setiap interval.

d) Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh pada langkah (c) kita dapat ditetapkan interval yang memenuhi.Contoh:

2x2 – x – 6 ≥ 0• Langkah 1: Nilai-nilai nol bagian ruas kiri

pertidaksamaan.

2x2 – x – 6 = 0 (2x + 3)(x – 2) = 0 x = – 3

2 atau x = 2

• Langkah 2: Nilai-nilai nol digambarkan pada diagram garis bilangan.

• Langkah 3: menentukan tanda-tanda interval.

Nilai Uji Nilai 2x2 – x – 6 Tanda Interval

x = 2 +4 (+) atau > 0

x = 1 –5 (-) atau < 0

x = 3 +9 (+) atau > 0

Tanda-tanda intervalnya adalah:

• Langkah 4: menentukan himpunan penyele-saian.

karena pertidaksamaan 0 pilih interval yang tandanya positif (+)Hp = {x | x ≤ -3/2 atau x ≥ 2, x R}

3) Kekhususan Bentuk Kuadrata) Definit positif ® bentuk kuadrat yang selalu

bernilai positif untuk sebarang bilangan real (Syarat: a > 0 dan D < 0). Grafik parabolanya selalu cekung ke atas dan di atas sumbu X).

b) Definit negatif ® bentuk kuadrat yang selalu bernilai negatif untuk sebarang bilangan real (Syarat: a < 0 dan D < 0). Grafik parabolanya selalu cekung ke bawah dan di bawah sumbu X).

– 3

2

2

+ – +

– 3

2

2

+ – +

– 3

2

2

3) Grafik melalui titik puncak P(xp, yp) dan melalui sebuah titik tertentu.

f(x) = a(x – xp)2 + yp

4) Grafik melalui titik-titik A(x1, y1), B(x2, y2), dan C(x3, y3).

f(x) = ax 2 – bx + c

PERTIDAKSAMAAN KUADRAT

Pertidaksamaan LinearA.1. Bentuk Umum

(i) ax + b < 0(ii) ax + b 0 (iii) ax + b > 0(iv) ax + b 0

2. Metode Penyelesaiana) Jika kedua ruas suatu pertidaksamaan ditam bah

atau dikurangi dengan bilangan yang sama maka tanda pertidaksamaannya tetap.

b) Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan positif yang sama maka tanda pertidaksamaan tetap.

c) Jika kedua ruas pertidaksamaan dikali atau dibagi dengan bilangan negatif yang sama maka tanda pertidaksamaan berbalikContoh: 6x + 6 > 18 6x > 18 – 6 ® langkah (a) 6x > 12

x > 126

® langkah (a)

x > 2 ® tanda pertidaksamaan tetap HP = {x | x > 2, x R}Contoh: -3x + 6 > 12 (-3x + 6) : 3 > 12 : 3 langkah (b) -x + 2 > 4 -x > 4 – 2 langkah (a) (-x) : -1 < (2) : -1 langkah (c) x < -2 tanda pertidaksamaan berbalik HP = {x | x < -2, x R}

Pertidaksamaan KuadratB.1. Bentuk Umum

(i) ax2 + bx + c < 0(ii) ax2 + bx + c 0 (iii) ax2 + bx + c > 0(iv) ax2 + bx + c 0

12

(a) Definit positif (b) Definit negatif

b) Berlakukan syarat bagi fungsi-fungsi yang berada di dalam tanda akar, yaitu harus positif dan nol.

c) Interval yang memenuhi diperoleh dengan cara menggabungkan penyelesaian pada (a) dan penye-lesaian pada (b).

Pertidaksamaan Nilai MutlakE.1. Pengertian Nilai MutlakUntuk tiap bilangan real x, nilai mutlak x diten tukan sebagai:

| |,

,x

x untukx

x untukx=

+ ≥− <

0

0

2. Sifat-Sifat Nilai Mutlak

a. Untuk a R dan a 0 , berlaku

(i) |x| < a –a < x < a(ii) |x| a –a x a(iii) |x| > a x < –a atau x > a(iv) |x| a x –a atau x a

b. |x| = x2

c. Untuk tiap x R dan y R, berlaku:(i) |x·y|=|x|·|y|

(ii) xy =

xy , dengan y 0

(iii) |x·y|||x|–|y||(iv) |x + y||x|+|y|

Pertidaksamaan PecahanC.1. Bentuk Umum

()( )( )

( )( )( )

( )( )( )

( )( )( )

ifxg x

iiifxg x

iifxg x

ivfxg x

< >

≤ ≥

0 0

0 0

2. Metode Penyelesaiana) Carilah nilai-nilai nol bagian pembilang dan

bagian penyebut dari bentuk pecahan ( )( )

f xg x

, yaitu

f(x) = 0 dan g(x) = 0.b) Gambarlah nilai-nilai nol itu pada diagram garis

bilangan sehingga diperoleh interval-interval.c) Tentukan tanda-tanda interval dengan cara menyu-

lihkan nilai-nilai uji yang berada pada setiap inter-val.

d) Berdasarkan tanda-tanda interval yang diperoleh pada (c), kita dapat menentukan interval yang memenuhi. Dalam menentukan interval yang memenuhi itu, perlu diingat adanya syarat bahwa bagian penyebut tidak boleh sama dengan nol atau g(x) ≠ 0.

Pertidaksamaan Bentuk Akar (Bentuk Irasional)

D.

1. Bentuk Umum

(i) ( )u x < a (v) ( )u x < a

(ii) ( )u x a (vi) ( )u x a

(iii) ( )u x > a (vii) ( )u x > a

(iv) ( )u x a (viii) ( )u x a

2. Metode Penyelesaiana) Kuadratkan kedua ruas pertidaksamaan dengan

tanda pertidaksamaan tetap.

CONTOH SOAL DAN PEMBAHASAN1. Salah satu akar dari persamaan 3x2 + ax – 10 = 0

adalah –2. Nilai a adalah ....A. -3 D. 1B. -1 E. 3C. 0

Penyelesaian :Substitusi x = -2 ke persamaan kuadrat, diperoleh :3x2 + ax – 10 = 0 2(-2)3 + a(-2) – 10 = 0 2 – 4 · 3 a – 10 = 0 2– a = 10 – 12 a = 2

2−−

= 1Jawaban: D

13

2. Akar-akar dari persamaan x2 + 14 = 15x adalah x1 dan x2. Nilai dari 4x1 – 2x2 dengan x1 < x2 adalah ....A. -24 D. 29B. -10 E. 42C. 14

Penyelesaian:x2 + 14 = 15x x2 – 15x + 14 = 0 (x – 14) (x – 1) = 0 x – 14 = 0 atau x – 1= 0 x = 14 atau x = 1x1 < x2 x1 = 1, x2 = 14Nilai dari 4x1 – 2x2 = 4 . 1 – 2 . 14 = 4 – 28 = –24

Jawaban: A

3. Panjang suatu persegi panjang lebih 8 cm dari lebarnya. Luas persegi panjang itu 84 cm2. Keliling persegi panjang tersebut adalah ....A. 8 D. 84B. 40 E. 100C. 64

Penyelesaian:Panjang suatu persegi panjang lebih 8 cm dari lebarnya p = l + 8Luas persegi panjang itu 84 cm2 L = p . l = 84p . l = 84 (l + 8) . l = 84 l2 + 8l – 84 = 0 l2 + 8l – 84 = 0 (l + 14) (l – 6) = 0 l – 6 = 0 l + 14 = 0 l = –14 (tidak memenuhi)l = 6 p = l + 8 = 6 + 8 = 14Keliling (K) persegi panjang = 2 (p + l) = 2 (14 + 6) = 2 · 20 = 40 cm

Jawaban: B

4. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya (3 – 2 ) dan

(3 + 2 ) adalah ....A. x2 – 6x – 7 = 0 D. x2 + 6x + 7 = 0B. x2 – 6x + 7 = 0 E. x2 – 8x + 7 = 0C. x2 + 6x – 7 = 0

Penyelesaian:

x1 + x2 =(3 – 2 ) + (3 + 2 )

= 3 – 2 + 3 + 2 = 6

x1 x2 = (3 – 2 ) (3 + 2 ) = 9 – 2 = 7x2 – (x1 + x2) x + x1 x2 = 0 x2 – 6x + 7 = 0

jawaban: B

5. Grafik di bawah ini berbentuk parabola dengan persamaan ….

A. y = x2 – 4x – 3 B. y = x2 – 4x + 3 C. y = x2 + 4x – 3 D. y = x2 + 4x + 3 E. y = x2 – 6x + 3

Penyelesaian:Dari gambar terlihat bahwa titik potong dengan sumbu x di titik (1, 0) dan (3, 0) serta memotong di titik (0, 3). Persamaan yang memotong di titik (1, 0) dan (3, 0) adalah y = a (x – x1) (x – x2).Dengan memasukkan nilai x1 dan x2 didapat : y = a (x – 1)(x – 3) y = a (x2 – 4x + 3) = ax2 – 4ax + 3a a dicari dengan bantuan titik (0, 3); jika x = 0 maka y = 3; masukkan nilai tersebut: y = ax2 – 4ax + 3a 3 = 3a a = 1 Sehingga persamaan grafiknya adalah: y = x2 – 4x + 3.

Jawaban: B

LATIHAN SOAL

1. Hasil kali dua bilangan cacah genap berurutan adalah 168. Salah satu bilangan tersebut adalah ….A. 12 D. 24B. 16 E. 28C. 20

2. Luas sebuah persegi panjang yang berukuran panjang (3x + 1) cm dan lebar (x + 4) cm sama dengan luas persegi yang panjang sisinya (2x + 2) cm. Panjang sisi persegi tersebut adalah ….A. -6 D. 10B. -4 E. 12C. -2

3. Jika akar-akar persamaan kuadrat 2x2 + 5x – 3 = 0

adalah x1 dan x2, maka 1 2

1 1x x

+ = ....

14

A. 53

D. 7

B. 72

E. 9

C. 5

4. Persamaan kuadrat x2 (1 − m) + x (8 − 2m) + 12 = 0 mempunyai akar yang sama, maka nilai m = ….A. -2 D. 4 B. 0 E. 6C. 2

5. Jika x1 dan x2 adalah akar persamaan kuadrat x2 + 2x – 6 = 0, maka persamaan kuadrat baru

yang akar-akarnya x1 – 2 dan x2 – 2 adalah ....A. x2 – 6x – 2 = 0 D. x2 + 6x + 2 = 0B. x2 – 6x + 2 = 0 E. x2 + 8x + 2 = 0C. x2 + 6x – 2 = 0

6. Pak Sudirman mempunyai pekarangan yang ber-bentuk persegi panjang dengan panjang 30 m dan lebar 22 m. Di sekeliling pekarangan akan dibuat suatu jalan yang luasnya 100 m2. Lebar jalan yang direncanakan Pak Sudirman adalah ....A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3

7. Daerah hasil fungsi f(x) = x2 – 2x – 3 untuk daerah asal {x | -1 ≤ x ≤ 4, x R } dan y = f(x) adalah ....A. -4 ≤ y ≤ 5 D. -1 ≤ y ≤ 8B. -3 ≤ y ≤ 6 E. 0 ≤ y ≤ 9C. -2 ≤ y ≤ 7

8. Suatu fungsi kuadrat f(x) mempunyai nilai mak-simum 5 untuk x = 2, sedangkan f(4) = 3. Fungsi kuadrat tersebut adalah ….

A. f(x) = 12

− x2 – 2x + 3

B. f(x) = 12

− x2 + 2x + 3

C. f(x) = 12

− x2 + 2x – 3

D. f(x) = 12

− x2 – 2x – 3

E. f(x) = 12

− x2 + 3x + 3

9. Koordinat titik balik dari grafik fungsi kuadrat yang persamaannya y = (x – 1)(x – 3) adalah ....A. (2, –1) D. (3, 1)B. (2, 1) E. (4, –1)C. (3, –1)

10. Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan

3 520

3 2xx −

− ≤ adalah ....

A. x < 1 D. x < 4B. x > 1 E. x > 2C. x > 3

15

SISTEM PERSAMAAN

B A B

III

Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)

A.

1. Bentuk Umum

ax by c

a x b y c1 1 1

2 2 2

+ =+ =

2. Metode Penyelesaiana. Metode Grafik b. Metode Eliminasic. Metode Substitusi d. Metode Determinan/Matriks

3. Banyaknya Himpunan Penyelesaiana. Jika a1b2 – a2b1 ≠ 0, maka SPLDV tepat memiliki

satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya (kedua garis saling berpotongan)

b. Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan jika a1c2 – a2c1 ≠ 0, jika c1b2 – c2b1 ≠ 0, maka SPLDV tidak memiliki anggota dalam himpunan penyelesaiannya (kedua garis sejajar)

c. Jika a1b2 – a2b1 = 0 dan a1c2 – a2c1 = 0, jika c1b2 – c2b1 = 0, maka SPLDV memiliki anggota yang tak hingga banyaknya (kedua garis berhimpit)

Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV)

B.

1. Bentuk Umum

ax by cz d

a x b y c z d

a x b y c z d

1 1 1 1

2 2 2 2

2 2 2 2

+ + =+ + =+ + =

2. Metode Penyelesaiana. Metode Substitusi

Langkah-langkah:1. Pilihlah salah satu persamaan yang sederhana,

kemudian nyatakan x sebagai fungsi y dan z, atau y sebagai fungsi x dan z, atau z sebagai fungsi x dan y.

2. Substitusikan x atau y atau z yang diperoleh pada langkah 1 ke dalam dua persamaan yang lainnya sehingga didapat SPLDV.

3. Selesaikan SPLDV yang diperoleh pada langkah 2.b. Metode Eliminasi

Langkah-langkah:1. Eliminasi salah satu peubah x atau y atau z

sehingga diperoleh SPLDV2. Selesaikan SPLDV pada langkah 13. Substitusikan nilai-nilai peubah yang diperoleh

pada langkah 2 ke dalam salah satu persamaan semula untuk mendapatkan nilai peubah yang lainnya.

c. Metode Matriks

a b c

a b c

a b c

x

y

z

d

d

d

1 1 1

2 2 2

3 3 3

1

2

3

=

Sistem Persamaan Linear dan KuadratC.1. Bentuk Umum

y ax b

y px qx

= + →

= + +

bagian linear(grafik berupa garis)2 rr →

bagian kuadrat (grafik berupaparabola)

2. Metode Penyelesaian metode substitusi

3. Kedudukan Garis Terhadap Parabola Ditinjau dari Diskriminan Gabungan dari Kedua Persa-maan

16

a. Jika D > 0, maka garis memotong parabola di dua titik yang berlainan (SPLK mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya)

b. Jika D = 0, maka garis memotong parabola tepat di sebuah titik (garis menyinggung parabola) (SPLK mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya)

c. Jika D < 0, maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola (SPLK tidak mempunyai anggota dalam himpunan penyelesaiannya)

Sistem Persamaan Kuadrat dan Kuadrat (SPKK)

D.

1. Bentuk Umum

y ax bx c

y px qx r

= + + →

= + + →

2

2

bagian kuadrat pertam a

bagian kuadrat kedua

2. Metode Penyelesaian metode substitusi

3. Kedudukan Parabola Satu Terhadap Parabola Lainnya

Ditinjau dari Diskriminan (D) Persamaan Kuadrat Gabungan a. Jika D > 0, maka kedua parabola berpotongan

di dua titik berlainan (SPKK mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya)

b. Jika D = 0, maka kedua parabola berpotongan di satu titik (SPKK mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya)

c. Jika D < 0, maka kedua parabola tidak berpotongan (SPKK tidak mempunyai anggota dalam him-punan penyelesaiannya)

y = px2 + qx + r

y = ax + b

B(x2, y2)

A(x1, y1)

y = px2 + qx + r

y = ax + b

y = px2 + qx + r

y = ax + b

A(x1, y1)

(a) D > 0 (b) D = 0

(c) D < 0

y = px2 + qx + r

y = ax2 + bx + c

B(x2, y2)A(x1, y1)

y = px2 + qx + r

y = ax2 + bx + c

A(x1, y1)

y = px2 + qx + r

y = ax2 + bx + c

(a) D > 0 (b) D = 0

(c) D < 0


1. Agar ketiga garis 3x – y + 2 = 0, 2x – y – 1 = 0, dan x – ay – 4 = 0 berpotongan pada satu titik, maka nilai a = ....A. -2 D. 2B. -1 E. 3C. 1

Penyelesaian :3x – y + 2 = 0 ……. (1)2x – y – 1 = 0 …….(2)

– x + 3 = 0 x = -3 substitusi ke persamaan (1), diperoleh:3(-3) – y + 2 = 0 y = -7

Perpotongan garis (1) dan (2) adalah (-3, -7). x – ay – 4 = 0 melalui (-3, -7), diperoleh: -3 – a(-7) – 4 = 0 -7 + 7a = 0 a = 1.

Jawaban: C

2. Jika diketahui sistem persamaan 3 2 12

64x y− = dan

2x – 3y = 1, maka selisih dari kedua penyelesaian tersebut adalah ....A. -3 D. 4B. 1 E. 5C. 2

mengeliminasi variabel y

17

Penyelesaian :

23x – 2y = 1

64 23 x – 2y = 2–6 3 x – 2y = –6

3x – 2y = –62x – 3y = 1 –5x – 5y = 5 dibagi dengan 5, diperoleh:

x – y = 1Jadi selisih dari kedua penyelesaian tersebut adalah 1.

Jawaban: B

3. Tujuh tahun yang lalu umur Arro sama dengan enam kali umur Naufal. Empat tahun yang akan datang dua kali umur Arro sama dengan lima kali umur Naufal ditambah sembilan tahun. Jumlah umur Arro dan Naufal sekarang adalah ... .A. 20 D. 56B. 35 E. 72C. 42

Penyelesaian :Tulis : Arro = m dan Naufal = n.

(m – 7) = 6 × (n – 7) m – 7 = 6n – 42 m – 6n = – 35 ………….....................… (1)

2 × (m + 4) = 5 × (n + 4) + 9 2m + 8 = 5n + 20 + 9 2m – 5n = 21 ..................................(2)

m – 6n = – 35 × 2 2m – 12n = –70 mengeliminasi variabel m2m – 5n = 21 × 1 2m – 5n = 21

_ –7n = –91 n = 13

Untuk n = 13, substitusi ke persamaan (1), diperoleh: m – 6n = – 35 m – 6 (13) = – 35 m – 6 (13) = – 35 è m = 78 – 35 = 43. m = 43, n = 13 è m + n = 56

Jadi jumlah umur Arro dan Naufal sekarang adalah 56 tahun.

Jawaban: D

4. Penyelesaian dari

1 15

1 11

m n

m n

+ =

− =

adalah ....

A. 23

12

, { } C. 13

32

, { } E. 13

14

, { }B.

13

13

, { } D. 13

12

, { }

Penyelesaian :

1 15

m n+ = è Kalikan dengan mn (KPK dari m

dan n), sehingga diperoleh :

1 11

m n− = n + m = 5mn dan n – m = mn

Dengan cara eliminasi kita peroleh :n + m = 5mn n + m = 5mn n – m = mn n – m = mn 2m = 4mn – 2n = 6mn +

24mm

= n 26nn

= m

n = 12

m = 13

Jadi penyelesaiannya adalah 13

12

, { } .Jawaban: D

5. Nilai z dari persamaan

2 8 18 2

3 12 12 27

x y z

x y z

+ − =

+ + =

adalah ....

A. 2 D. 12B. 3 E. 18C. 8

Penyelesaian:

2 8 18 2 2

2 4 6 2

3 12

x y z kalikan dengan

x y z

x y

+ − =⇒ + − =

+ −

( )

112 27 3

3 6 6 9

z kalikan dengan

x y z

=⇒ + − =

( )

2x + 4y – 6z = 2 x + 2y – 3z = 1 x = –2y + 3z + 1 .... (i) metode subtitusi 3x + 6y – 6z = 9 x + 2y – 2z = 3 ......... (ii)

Substitusi (i) dan (ii), diperoleh: (–2y + 3z + 1) + 2y – 2z = 3 –2y + 3z + 1 + 2y – 2z = 3 z = 2

Jawaban: A

18

LATIHAN SOAL

1. Sebuah bilangan pecahan, jika pembilangnya ditambah 2 maka nilai pecahan tersebut menjadi 14

dan jika penyebutnya dikurangi 5, nilai pecahan

tersebut menjadi 15

. Jumlah nilai pembilang dan

penyebut pecahan tersebut adalah ....A. 2 D. 10B. 4 E. 23C. 5

2. a, b, c adalah bilangan-bilangan real tak nol, sehingga memenuhi sistem persamaan berikut:

1 1 15; 12; 13a b c

b c a+ = + = + = . Nilai dari

1abc

abc+ = ....

A. 150 D. 600B. 300 E. 750C. 450

3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan

x y

x y

+ =+ =

9

412 2 adalah {(x1, y1), (x2, y2)}.

Nilai x1 + x2 dan x1 x2 = ....A. –9 dan –20 D. 9 dan 20B. –10 dan 20 E. 10 dan 20C. 9 dan –20

4. Diketahui sistem persamaan 3x+1 + 2y+1 = 40 dan 3x – 2y = 5. Nilai dari 3x + 2y = ....A. 5 D. 20B. 10 E. 25C. 15

5. Sebidang tanah berbentuk persegi panjang dengan luas 180 m2. Jika perbandingan panjang dan le-barnya sama dengan 5 berbanding 4 maka pan-jang diagonal bidang tanah tersebut adalah ....

(Soal UN Tahun 2005 tipe A)

A. 9 m D. 9 41 mB. 3 41 m E. 81 m

C. 6 41 m

6. Suatu area berbentuk persegi panjang, di tengahnya terdapat kolam renang berbentuk persegi panjang yang luasnya 180 m2. Selisih panjang dan lebar kolam adalah 3 m. Di sekeliling kolam renang dibuat jalan selebar 2 m. Maka luas jalan tersebut adalah .... (Soal UN Tahun 2005 tipe 5)A. 24 m2 D. 108 m2

B. 54 m2 E. 124 m2

C. 68 m2

7. Harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 1 kg anggur adalah Rp 70.000,00, dan harga 1 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 2 kg anggur adalah Rp 90.000,00. Jika harga 2 kg mangga, 2 kg jeruk, dan 3 kg anggur Rp 130.000,00 maka harga 1 kg jeruk adalah ....

(Soal UN Tahun 2005 tipe 5)A. Rp 5.000,00 D. Rp 12.000,00B. Rp 7.500,00 E. Rp 15.000,00C. Rp 10.000,00

8. Akar-akar persamaan 2·34x – 20·32x + 18 = 0 adalah x1 dan x2. Nilai x1 + x2 = ….

(Soal UN Tahun 2005 tipe 5)A. 1 D. 4B. 2 E. 5C. 3

9. Diketahui x1 dan x2 akar-akar persamaan 9x – 10

3· 3x + 1 = 0. Nilai x1 + x2 =....

(Soal UN Tahun 2005 tipe 5)

A. 2 D. 0

B. 3 2

E. –2

C. 1

10. Ali, Budi, Cici, dan Dedi pergi ke toko koperasi membeli buku tulis, pena, dan pensil dengan merek yang sama. Ali membeli 3 buku tulis, 1 pena, dan 2 pensil dengan harga Rp11.000,00. Budi membeli 2 buku tulis, 3 pena, dan 1 pensil dengan harga Rp14.000,00. Cici membeli 1 buku tulis, 2 pena, dan 3 pensil dengan harga Rp11.000,00. Dedi membeli 2 buku tulis, 1 pena, dan 1 pensil. Berarti Dedi harus membayar ....

(Soal UN Tahun 2006 tipe 5)

A. Rp6.000,00 D. Rp9.000,00B. Rp7.000,00 E. Rp10.000,00C. Rp8.000,00

19

LOGIKA MATEMATIKA

B A B

IV

1. Pernyataan adalah suatu kalimat yang mempunyai nilai kebenaran benar saja atau salah saja dan tidak kedua-duanya.

2. Pernyataan tunggal atau pernyataan sederhana adalah pernyataan yang tidak memuat pernyataan lain atau sebagai bagiannya, sedangkan pernyataan majemuk dapat merupakan kalimat baru yang diperoleh dengan cara menggabungkan beberapa pernyataan tunggal.

OPERASI LOGIKA

Operasi-operasi yang dapat membentuk pernyataan majemuk adalah:1. Negasi atau ingkaran, dengan kata perangkai:

tidaklah benar, simbol “ ~ “2. Konjungsi, dengan kata perangkai: dan, simbol ““3. Disjungsi, dengan kata perangkai: atau, simbol ““4. Implikasi, dengan kata perangkai: Jika ……, maka

…….., simbol ““5. Biimplikasi, dengan kata perangkai: ……. jika dan

hanya jika ……., simbol ““

Tabel kebenaran disjungsi (), konjungsi (), implikasi (), dan biimplikasi ()

p q p ∨ q p ∧ q p ⇒ q p ⇔ q

B B B B B B

B S B S S S

S B B S B S

S S S S B B

Ingkaran dari “semua atau setiap” adalah “ada atau beberapa”.Ingkaran dari “ada atau beberapa” adalah “semua atau setiap”.

Ingkaran dari pernyataan “untuk semua x, sehingga berlaku p(x)” adalah : “ada x, sehingga berlaku bukan p(x)”, ditulis : ~[(x), p(x)] ≡ (x), ~p(x)

Ingkaran dari pernyataan “ada x, sehingga berlaku p(x)” adalah:“untuk semua x, sehingga berlaku bukan p(x)”, ditulis: ~[(x), p(x)] ≡ (x), ~p(x).

Ingkaran disjungsi: ∼(p ∨ q) ≡ ∼p ∧ ∼q.Ingkaran konjungsi: ∼(p ∧ q) ≡ ∼p ∨ ∼q.

Dari suatu implikasi dapat dibentuk pernyataan majemuk :a. q ⇒ p dinamakan konvers dari p ⇒ q.b. ∼p ⇒ ∼q dinamakan invers dari p ⇒ q.c. ∼q ⇒ ∼p dinamakan kontraposisi dari p ⇒ q.

p ⇒ q ≡ ∼p ≡ p ∨ qq ⇒ p ≡ ∼p ⇒ ∼q

Ingkaran implikasi: ∼ (p ⇒ q) ≡ p ∧ ∼q.Ingkaran biimplikasi: ∼ (p ⇔ q) ≡ (p ∧ ∼q) ∨ (q ∧ ∼p).Ingkaran konvers: ∼ (q ⇒ p) ≡ q ∧ ∼p.Ingkaran invers: ∼ (∼p ⇒ ∼q) ≡ ∼p ∧ q.Ingkaran kontraposisi: ∼ (∼q ⇒ ∼p) ≡ ∼q ∧ p.

Modus Ponensp ⇒ q (premis 1)p (premis 2)

∴ q (konklusi)

Modus Tollens p ⇒ q (premis 1)∼q (premis 2)

∴ ∼p (konklusi)

Silogisme p ⇒ q (premis 1)q ⇒ (premis 2)

∴ p ⇒ r (konklusi)

20


1. Dari argumentasi berikut :Jika ibu tidak pergi maka adik senang.Jika adik senang maka dia tersenyum.Kesimpulan yang sah adalah ....

(Soal UN Tahun 2004/2005)

A. Ibu tidak pergi atau adik tersenyum.B. Ibu pergi dan adik tidak tersenyum.C. Ibu pergi atau tidak tersenyum.D. Ibu tidak pergi dan adik tersenyum.E. Ibu pergi atau adik tersenyum

Penyelesaian:p ⇒ q Gunakan silogismeq ⇒ r p ⇒ r ~p r Ingat rumus ini !!

“ Ibu pergi atau adik tidak tersenyum “Jawaban: C

2. Diketahui premis-premis berikut Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai.Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian.Budi tidak lulus ujianKesimpulan yang sah adalah ....

(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe B)

A. Budi menjadi pandai.B. Budi rajin belajar.C. Budi lulus ujian.D. Budi tidak pandai.E. Budi tidak rajin belajar.

Penyelesaian:1. p ⇒ q p ⇒ r Gunakan silogisme2. q ⇒ r ~p3. ~r ~p Budi tidak rajin belajar

Jawaban : E

3. Diketahui premis-premis berikut:Premis1: JikaDodi rajin belajar maka ia naik kelas.Premis2: JikaDodi naik kelas maka ia akan di beli-

kan baju.Kesimpulan yang sah adalah ....

(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe A)

A. Dodi tidak rajin belajar, tetapi ia akan di belikan baju

B. Dodi rajin belajar, tetapi ia tidak akan di belikan baju

C. Dodi rajin belajar atau ia akan dibelikan bajuD. Dodi tidak rajin belajar atau ia akan dibelikan

bajuE. Dodi rajin belajar atau ia tidak akan dibelikan

baju

Penyelesaian:Jika Dodi rajin belajar maka ia naik kelas: p ® q. Jika Dodi naik kelas maka ia akan dibelikan baju: q ® r Premis I : p ® q Premis II : q ® r

Kesimpulan : p ® rp ® r equivalen dengan ~p r

Jawaban : D

4. Pernyataan “ Jika Anda rajin belajar, maka Anda lulus UN “ ekuivalen dengan ....


A. Jika lulus UN, maka Anda rajin belajar.B. Jika Anda tidak rajin belajar, maka Anda tidak

lulus UN.C. Jika Anda tidak lulus UN, maka Anda tidak rajin

belajar. D. Jika Anda tidak rajin belajar, maka Anda lulus

UN.E Jika Anda tidak lulus UN, maka Anda rajin

belajar.

Penyelesaian:p ⇒ q –q ⇒ –p Ingat rumus ini!!

Jawaban: C

5. Diberikan premis-premis sebagai berikut: Jika x genap maka x2 genap 4 genap. Kesimpulan yang benar adalah …. (Soal UN Tahun 2007 tipe A)

A. x2 genap B. 16 genap C. 2 genapD. 16 tidak genapE. x2 tidak genap

Penyelesaian:Kesimpulan :

Gunakan Modus Ponens :p ⇒ q (premis 1)p (premis 2)

q (konklusi)

Kesimpulannya adalah 16 genap Jawaban: B

21

1. Ingkaran dari “setiap bilangan prima adalah ganjil” adalah ....A. “ada bilangan prima yang ganjil”B. “semua bilangan prima ganjil”C. “ada bilangan prima yang genap”D. “semua bilangan prima genap”E. “ada bilangan prima yang tidak genap”

2. Ingkaran dari “beberapa burung tidak pandai terbang atau ada ikan yang menyusui” adalah ....A. “semua burung pandai terbang atau semua

ikan menyusui”B. “ada burung pandai terbang atau semua ikan

menyusui”C. “semua burung pandai terbang dan ada ikan

menyusui”D. “ada burung pandai terbang dan ada ikan

menyusui”E. “semua burung pandai terbang dan semua

ikan menyusui”

3. Jika x adalah variabel pada himpunan bilangan asli, maka nilai x agar disjungsi “x2 – 3x + 2 = 0 atau 4 adalah faktor dari 9” bernilai benar adalah ....A. x = –1 atau x = –2B. x = –1 atau x = 2C. x = 1 atau x = –2D. x = 1 atau x = 2E. x = 2 atau x = 2

4. Pernyataan (p q) (r p) benar, jika... .A. p salah, q salah, dan r salahB. p salah, q salah, dan r benarC. p salah, q benar, dan r salahD p benar, q benar, dan r salahE. p benar, q benar, dan r benar

5. Ingkaran dari pernyataan “ Jika Armand Maulana adalah penyanyi terkenal, maka dia selebritis” adalah ....A. “Jika Armand Maulana adalah penyanyi

terkenal, maka dia tidak selebritis”.B. “JIka Armand Maulana adalah penyanyi tidak

terkenal, maka dia tidak selebritis”.C. “Armand Maulana adalah penyanyi tidak

terkenal, dan dia tidak selebritis”.D. “Armand Maulana adalah penyanyi terkenal,

dan dia selebritis”.E. “Armand Maulana adalah penyanyi terkenal,

dan dia tidak selebritis”.

LATIHAN SOAL 6. Invers dari implikasi “jika log x < 2 maka > 0”

adalah ....A. Jika ”log x > 2 maka x < 0”B. Jika ”log x > 2 maka x > 0”C. Jika ”log x > 2 maka x > 0”D. Jika ”log x < 2 maka x < 0”E. Jika ”log x > 2 maka x < 0”

7. Pernyataan “Jika 2x2 – 32 = 0 maka x > 0”

ekuivalen dengan pernyataan ....A. ”2x2 – 32 ≠ 0 dan x > 0”B. ”2x2 – 32 ≠ 0 dan x < 0”.C. ”2x2 – 32 = 0 dan x > 0”.D. ”2x2 + 32 ≠ 0 atau x > 0”.E. ”2x2 – 32 ≠ 0 atau x < 0”.

8. Kesimpulan dari 3 premis berikut adalah ....

P1 : p q …………….….(1) P2 : q r …………….....(2) P3 : ~ r ………….…….(3) ……….

A. ~p D. qB. p E. rC. ~q

9. Negasi dari pernyataan “Matematika tidak meng-asyikkan atau membosankan.” adalah ….A. Matematika mengasyikkan atau membosankan.B. Matematika mengasyikkan atau tidak membo-

sankan.C. Matematika mengasyikkan dan tidak membo-

sankan.D. Matematika tidak mengasyikkan dan tidak mem-

bosankan.E. Matematika tidak mengasyikkan dan mem-

bosankan.

10. Jika pernyataan p bernilai salah, dan ~q bernilai salah, maka pernyataan majemuk berikut bernilai benar adalah ….A. ~p ® ~qB. (~p q) ® pC. (p q) ® pD. p ®(~p ~q)E. ~p ® (~p ~q)

22

TRIGONOMETRI

B A B

V

1. Fungsi trigonometri

sin

cos

tan

α

α

α

=

=

=

yrxryx

cos sin

seccos

cottan

ecx

ry

xrx

axy

α

α

α

= =

= =

= =

1

1

1

2. Sistem Kuadran dengan Lingkaran Satuan

3. Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut yang Berelasi

a. perbandingan trigonometri sudut a dengan (90° – a)

1) sin (90° – a) = cos a 4) csc (90° – a) = sec a2) cos (90° – a) = sin a 5) sec (90° – a) = cosec a3) tan (90° – a) = cot a 6) cot (90° – a) = tan a

a

r

x

y

23

A B

C

b a

c

6. Aturan Cosinus

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

cos A = b2 + c2 – a2

2bc

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

cos B = a2 + c2 – b2

2ac

c2 = c2 + b2 – 2ab cos C

cos C = a2 + b2 – c2

2ab

7. Luas Segitiga

• 1

sin2

L bc A= • 2 sin sin

2 sina B C

LA

=

• 1

sin2

L ac B= • 2 sin sin

2 sinb A C

LB

=

• 1

sin2

L ab C= • 2 sin sin

2 sinc A B

LC

=

• ( )( )( )L S S a S b S c= − − − ,

1

2( )S a b c= + + ®Rumus Heron

8. Pada setiap segi empat ABCD dengan sudut

antara diagonal AC dan BD adalah (AC, BD) = a, mempunyai luas L yang ditentukan oleh rumus:

1sin

2L AC BD= × α

9. Jika jari-jari lingkaran luar segi-n beraturan di-

ketahui = R, dan luas segi-n beraturan itu dinya-

takan dengan L, maka: 2 360sin

2n

L Rn

°=

10. Jika panjang sisi segi-n beraturan diketahui = p, dan luas segi-n beraturan itu dinyatakan dengan

L, maka: 0

2 180cot

4n

L pn

=

b. Perbandingan trigonometri untuk sudut a° dengan (180° – a)

1) sin (180 – a)° = sin a°2) cos (180 – a)° = –cos a°3) tan (180 – a)° = –tan a°4) cosec (180 – a)° = cosec a°5) sec (180 – a)° = –sec a°6) cot (180 – a)° = –cot a°

c. Perbandingan trigonometri untuk sudut a° dengan (180° + a)

1) sin (180 + a)° = –sin a°2) cos (180 + a)° = –cos a°3) tan (180 + a)° = tan a°4) csc (180 + a)° = –csc a°5) ses (180 + a)° = sec a°6) cot (180 + a)° = cot a°

d. Perbandingan trigonometri untuk sudut a dengan (–a)

1) sin (–a) = –sin a2) cos (–a) = cos a3) tan (–a) = –tan a4) cosec (–a) = –cosec a5) sec (–a) = sec a6) cot (–a) = –cot a

4. Persamaan Trigonometri

Jika Sin x = Sin a, maka: x1 = a + k ∙ 360° x2 = (180° – a) + k ∙ 360°

Jika Cos x = Cos a, maka: x1 = a + k ∙ 360° x2 = –a + k ∙ 360°

Jika Tan x = Tan a, maka: x = a + k ∙180°k bilangan bulat

5. Aturan Sinus

Pada setiap DABC berlaku = a

sin A = b

sin B = c

sin C

24

A. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT

1. sin (a + b) = sin a ∙ cos b + cos a ∙ sin b2. sin (a – b) = sin a ∙ cos b – cos a ∙ sin b3. cos (a + b) = cos a ∙ cos b – sin a ∙ sin b4. cos (a – b) = cos a ∙ cos b + sin a ∙ sin b

5. tan (a + b) = tan a + tan b

1 – tan a ·tan b

6. tan (a – b) = tan a – tan b

1 + tan a ·tan b

B. RUMUS PERKALIAN SINUS DAN COSINUS

1. 2sin a ∙ cos b = sin (a + b) + sin (a – b)2. 2cos a ∙ sin b = sin (a+b) – sin (a – b)3. 2cos a ∙ cos b = cos (a + b) + cos (a – b)4. –2sin a ∙ sin b = cos (a + b) – cos (a – b)

C. RUMUS SUDUT PERTENGAHAN

1 1 cos1. sin

2 2

1 1 cos2. cos

2 2

1 1 cos3. tan

2 1 cos1 sin

4. tan2 1 cos1 1 cos

5. tan2 sin

− θθ = ±

+ θθ = ±

− θθ = ±

+ θθ

θ = ±+ θ− θ

θ = ±θ

D. RUMUS SUDUT RANGKAP TIGA

1. cos 3x = 4cos3 x – 3cos x2. sin 3x = 3sin x – 4sin3 a

3. tan 3x = 3

2

tan3 tan1 3tan

x xx

−−

E. RUMUS SUDUT RANGKAP

1. sin 2x = 2sin x ∙ cos x

2. cos 2x =

2 2

2

2

cos sin2cos 11 2sin

x xx

x

− − −

3. tan 2x = 2

2tan1 tan

xx−

F. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH DUA SUDUT

1 11. sin sin 2sin ( )cos ( )

2 21 1

2. sin sin 2cos ( )sin ( )2 21 1

3 cos cos 2cos ( )cos ( )2 2

1 14. cos cos 2sin ( )sin ( )

2 2

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b

+ = + −

− = + −

+ = + −

− = − + −

G. RUMUS IDENTITAS DASAR

1. sin2 x + cos2 x = 12. 1 + tan2 x = sec2 x3. 1 + cot2 x = cosec2 x4. cos(–x) = cos x5. sin (–x) = –sin x

6. cosec x = 1

sinx

7. sec x = 1

cos x

8. tan x = sincos

xx

9. tan (–x) = –tan x

25

Sudu

t-sud

ut Is

timew

a

a0o

30o

45o

60o

90o

120o

135o

150o

180o

210o

225o

240o

270o

300o

315o

330o

360o

Sin a

01 2

12

21

32

11

22

12

21 2

01 2

−1

22

−1

32

−-1

13

2−

12

2−

1 2−

0

Cos

a1

13

21

22

1 20

1 2−

12

2−

13

2−

-11

32

−1

22

−1 2

−0

211

22

13

21

Tan a

01

33

13

~3

−-1

13

3−

01

33

13

~3

−-1

13

3−

0

Cot

a~

31

13

30

13

3−

-13

−~

31

13

30

13

3−

-13

−~

Sec a

12

33

22

~-2

2−

23

3−

-12

33

−2

−-2

~2

22

33

1

Cos

ec a

~2

22

33

12

33

22

~-2

2−

23

3−

-12

33

−2

−-2

~


1. Sebuah kapal berlayar dari pelabuhan A dengan arah 044° sejauh 50 km. kemudian berlayar lagi dengan arah 104° sejauh 40 km ke pelabuhan C. Jarak pelabuhan A ke C adalah ....


A. 10 95 km D. 10 71 kmB. 10 91 km E. 10 61 kmC. 10 85 km

Penyelesaian:

ABC = 360° – 240° = 120°Dengan aturan cosinus, diperoleh AC° = 50° + 40° – 2·50·40·cos120° = 610°AC = 10 61

Jawaban: E

2. Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Kosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah ….


A. 13

D. 23

B. 12

E. 13

2

C. 1

33

Penyelesaian:ABCD merupakan bidang empat beraturan dengan panjang rusuk 8 cm.

BP = 4 3

BO = 23

BP = 83

3

cos ( ; ) cosBO

ABC ABDBA

∠ = ∝=

=

83

38

= 1

33

Jawaban: C

044°104°50 km

40 km

A C?

UU

A

B

C

DO

p

a

26

3. Sebuah kapal berlayar ke arah timur sejauh 30 mil. Kemudian kapal melanjutkan perjalanan dengan arah 030o sejauh 60 mil. Jarak kapal terhadap posisi saat kapal berangkat adalah ....

(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe C)

A. 10 37 mil D. 30 (5 2 3)+ mil

B. 30 7 mil E. 30 (5 2 3)− mil

C. 30 (5 2 2)+ mil

Penyelesaian:

ABC = 90° + 30° = 120° AC2 = AB2 + BC2 – 2AB · BC · cos120°

= 900 + 3600 – 2·30·60·12

−

= 4500 + 1800 = 6300 AC = 30 7

Jawaban: B

4. Nilai dari tan 165o = ….(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe D)

A. 1 – 3 D. 2 – 3B. –1 + 3 E. 2 + 3C. –2 + 3

Penyelesaian: tan 165° = tan (180 – 15)°

= – tan 15° = – tan ( 45 – 30 )°

= – tan tan

tan tan

45 30

1 45 30

° − °+ ° ⋅ °

= – 1

13

3

113

3

−

+

= – 3 3

3 3

3 3

3 3

−+

−−

×

= – 9 6 3 39 3

− +−

= –12 6 36−

= – (2 – 3 ) = –2 + 3Jawaban: C

5. Nilai x yang memenuhi persamaan 22 3cos 2sin cos 1 3 0x x x° − ° ° − − = , untuk 0 360x≤ ≤ adalah ....


A. 45, 105, 225, 285 D. 15, 135, 195, 315B. 45, 135, 225, 315 E. 15, 225, 295, 315C. 15, 105, 195, 285

Penyelesaian:

2 3 2 1 3 0

3 2 1 2 1

3 2

2cos sin cos

( cos ) sin

cos s

x x x

x x

x

° − ° ° − − =

⇔ − − =

⇔ − iin

cos cos sin sin

cos( )

cos(

2 1

2 330 2 330 1

2 2 330 1

2 3

x

x x

x

x

=⇔ + =⇔ − ° =

⇔ − 33012

60) cos° = = °

2 330 60 360

2 390 360

2 30 360

x n

x n

x n

− = + ⋅ °⇔ = + ⋅ °⇔ = + ⋅ °⇔ xx = ° °15 195,

atau

2 330 60 3602 270 360

135 180135

x nx nx nx

− = − + ⋅ °⇔ = ° + ⋅ °⇔ = ° + ⋅ °⇔ = °,,

, , ,315

15 135 195 315°

° ° ° °{ }H p:

Jawaban : D5. Nilai sin 105° + cos 15° = ….


A. 1

( 6 2)3

− − D. 1( 3 2)

2+

B. 1

( 3 2)2

− E. 1( 6 2)

2+

C. 1( 6 2)

2−

Penyelesaian:sin 105° + cos 15° = sin (90° + 15°)+ cos 15° = cos 15° + cos 15° = 2 cos 15° = 2 cos (45° - 30°) =2[cos 45° cos 30° + sin 45° sin 30°]

=2 1 1 1 1

2 3 22 2 2 2

⋅ + ⋅

= 1 1

6 22 2

+ =12 6 2+( )

Jawaban: E

30°

A B

CU U

?

27

5. Diketahui sin a = 23

, sin ( a + b ) = 89

untuk

0° 180° dan 0° 180 º. Jika

5 sin b – cos b = 13

, nilai cos (a + b) = .....


A. 5

9 C. 7

9 E.

53

B. 2 5

9 D. 5

9

Penyelesaian:

sin a = 23

,

sin (a + b) = 89

sin a · cos b + cos a · sin b = 89

23

cos b + cos a · sin b = 89

6 cos b + 3 5 sin b = 8 …. (1)

5 sin b – cos b = 13

-3 cos b + 3 5 sin b = 1 …. (2)(1) ... 6 cos b + 3 5 sin b = 8(2) ... - 3 cos b + 3 5 sin b = 1 –9 cos b = 7

cos b = 79

6· 79

+ 3 5 sin b = 8

sin b = 2 5

9

jadi :cos (a + b ) = cos a·cos b – sin a·sin b

= ⋅ − ⋅

= =

53

79

23

2 59

3 527

59

Jawaban : A

6. Nilai x yang memenuhi persamaan cos2 x° 3 – sin x° cos x° + 2 sin2 x° – 2 = 0 untuk 0 x 360 adalah .... (Soal UN Tahun 2006/2007 tipe B)

A. 0,30, 180, 210, 360B. 0,30, 180, 270, 330C. 90, 150, 240, 300D. 90, 120, 270, 300E. 90, 150, 270, 330

Penyelesaian: cos2 x – 3 sin x cos x + 2 sin2 x – 2 = 0 cos2 x – 3 sin x cos x +2 (sin2 x – 1 ) = 0 cos2 x – 3 sin x cos x – 2 cos2 x = 0 -cos2 x – 3 in x cos x = 0 cos2 x + 3 sin x cos x = 0 cos x ( cos x + 3 sin x ) = 0 cos x·2 cos ( x – 60 )° = 0cos x = 0 atau cos ( x – 60 )° = 0x = 90°, 2700 atau x = 150°, 330°

Jawaban : E

7. Nilai sin 75°+sin 15°

cos105°+cos15° =….


A. – 3 D. 13

3

B. 2 E. 3

C. – 2

Penyelesaian:

sin 75°+ sin 15°cos 105°+ cos 15°

=+ ° ⋅ +2 75 15 75 15

1

2

1

2sin ( ) cos ( ))

cos cos ( )

°

⋅ − °

=

2 105 151

2

1

2(105+ 15)°

sin 45°+ sin 30°cos 60°+ coos 45°

= =

1

31

2

33

Jawaban: E

8. Jika tan 3o = p, maka tan 228o = ....(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe A)

A. −+

2

2

11

pp D.

+−

11

pp

B. −+

11

pp E.

+−

2

2

11

pp

C. −

−

2 11p

p

23

5

a

cos a 53

28

Penyelesaian:tan 3 = p,tan 228o = tan (225 + 3 )o

=− ⋅tan225°+tan3°

1 tan225° tan3° =

+−

11

pp

Jawaban: D

9. Jika tan a = 1 dan tan b = 13

dengan a dan b

sudut lancip maka sin (sin a + b) .... (Soal UN Tahun 2007/2008 tipe B)

A. 2

53

D. 25

B. 25

E. 12

C. 1

55

Penyelesaian:

tan a = 1 dan b = 13

Perhatikan gambar.

Dengan bantuan gambar diatas dapat diperoleh :

Sin (a – b ) = sin a cos a – cos a sin b

=

= =

1

2

3

2 2

1

2

1

2 23 14

12

⋅ − ⋅

−

Jawaban: E

10. Himpunan penyelesaian persamaan: cos 2x° + 7 sin x° – 4 = 0, 0 ≤x ≤360 adalah ....

(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe C)A. {240, 300} D. {30, 150} B. {60, 120} E. {120, 240}C. {210, 330}

Penyelesaian: Cos 2 x0 + 7 sin x0 – 4 = 01 – 2 sin2 x0 + 7sin x0 – 4 = 02 sin 2 x0 – 7 sin x + 3 = 0

2

1

1

a 3

1

b

2 2

3

1

(2 sin x0 –1) (sin x0 – 3) = 02 sin x0 – 1 = 0

Sin x0 = 12

® x = 30°, 150°Jawaban: D

11. Diketahui a + b = 30° dan sina · cos b = 13

. Nilai tana · cotb = .....

(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe D)

A. 16

D. 56

B. 12

E. 2

C. 23

Penyelesaian:a + b = 30o

sin (a + b) = sin 30o

sin a . cos b + cos a . sin b = 12

13

+ cos a . sin b = 12

cos a . sin b = 12

– 13

= −3 26

= 16

tan a . cos b = α ⋅ βα ⋅ β

sin coscos sin

= 1316

= 2

Jawaban : E

12. Pada 0 ≤ x ≤ 2π , himpunan penyelesaian persamaan 2 cos x + 2 sin x - 6 = 0 adalah ....

(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe F)

A. π π

1 5,

12 12 D. π π

1 5,

6 6

B. π π

1 7,

12 12 E. π π

1 7,

6 6

C. π π

5 11,

12 12

Penyelesaian:

2 cos x + 2 sin x – 6 = 0

2 cos x + 2 sin x = 6ruas kiri:

k = +2 22 2 = 2 2 tan q = 1 ( kuadran 1 ) q = 45°

29

⇔ − ° =

− ° = = °

2 2 cos ( 45) 61

cos ( 45) 3 cos 302

x

x− ° = ° + −45 30 360x n

n = 75° + n – 360

n = 75° = π5

12

x – 45° = –30° + n – 360 n = 15° + n – 360 n = 15°

= π1

12

HP = π π

1 5,

12 12

Jawaban: A

LATIHAN SOAL

1. Diketahui cos A = 0,8 dan sin B = 0,96. Jika sudut A lancip dan sudut B tumpul maka

cos (A + B) = ….A. 0,80 D. -0,60B. 0,60 E. -0,80C. -0,28

2. Nilai sin 105° + cos 15° = ….

A. 12 6 2− −( ) D. 1

2 3 2+( )B. 1

2 3 2−( ) E. 12 6 2+( )

C. 12 6 2−( )

3. Nilai dari cos50°+cos40°sin50°+sin40°

adalah ....

a. 1 D. – 12

2

B. 12

2 E. -1

C. 0

4. Nilai sin 45° cos 15° + cos 45° sin 15° sama dengan ….

A. 12

D. 16

2B. 1

22

E. 13

2

C. 14

2

5. Diketahui cos (x – y)= 45 dan sin x sin y =

310

. Nilai tan x tan y = ....

A. –53

D. 35

B. – 43

E. 53

C. – 35

6. Bentuk sederhana 4 sin 36° cos 72° sin 108° adalah ….A. 1 – cos 72° D. 1 + cos 72°B. 1 + cos 36° E. 2 cos 72°C. 1 – cos 36°

7. Koordinat kartesius dari (12, 2340°) adalah ....A. (-12, 0) D. ( 2, 0)B. (-12, 2) E. (4, 2)C. (-2, 0)

8. Koordinat kutub dari (–12,12 3 ) adalah …. a. (12, 120°) D. (12, 150°)B. (24, 120°) E. (24, 150°)C. (12, 150°)

9. Diketahui segitiga ABC dengan sudut A sebesar 45°, panjang AB = 7 cm, dan panjang AC = 12 cm. Luas segitiga ABC adalah ....A. 21 2 cm2

B. 21 cm2

C. 24 2 cm2

D. 24 cm2

E. 27 cm2

10. Jika cot α = −5

12, dengan α sudut tumpul, maka

nilai dari sin α sec α = ....

A. –127

D. 125

B. 127

E. 129

C. –125

30

DIMENSI TIGA

B A B

VI

Jarak Titik pada GarisA.

Titik C’ merupakan proyeksi C pada AB (CC’ AB). Jarak titik C ke garis AB adalah CC’.Cara menghitung CC’ :1. Jika ΔABC siku-siku di C, maka '

AC BCCC

AB×

= .

2. Jika ΔABC tidak siku-siku, maka lebih dahulu mencari AC’. Jika AC = BC, maka 1

'2

AC AB=

Jika AC ≠ BC, maka 2 2 2

'2

AB AC BCAC

AB+ −

=

Selanjutnya: 2 2' ( ) ( ')CC AC AC= −

Jarak Titik pada BidangB.Jarak antara titik P dan bidang adalah panjang ruas garis PP’ dengan titik P’ merupakan proyeksi titik P pada bidang.

Jarak Antara Dua Garis SejajarC.Menentukan jarak dua garis sejajar adalah dengan membuat garis yang tegak lurus dengan keduanya. Jarak kedua titik potong merupakan jarak kedua garis tersebut.

P

P’

a

p

p’

m n

Jarak Garis pada Bidang Sejajar D.Menentukan jarak garis dan bidang adalah dengan memproyeksikan garis pada bidang. Jarak antara garis dan bayangannya merupakan jarak garis terhadap bidang.

Jarak Antar Titik Sudut pada KubusE.Kubus ABCD.EFGH dengan rusuk x.

Diagonal sisi 2AC x=

Diagonal ruang 3CE x=

Ruas garis 62x

EP =

Sudut Garis pada BidangF.Jika A terletak pada bidang b dan B’ merupakan proyeksi titik B pada bidang b, maka: (AB, b) = (AB, AB’).

DAB’B siku-siku di B’ sehingga sudut a dapat dihitung dengan:

' ' '

sin ; cos ; tan'

BB AB BBAB AB AB

α = α = α =

g

g’

P

P’a

A B

CD

P

FE

H G

x

A B

C

C’

A

B

B’a

b

31

Sudut Dua BidangG.Sudut antara dua bidang adalah sudut yang dibentuk oleh dua garis yang tegak lurus garis potong pada bidang a dan b.

(ABCD, ADEF) = (XY, YZ) = q

Jika DXYZ tidak siku-siku, maka sudut q dapat dih -tung dengan menggunakan rumus aturan cosinus :

y2 = x2 + z2 – 2xz cos q


1. Pada kubus PQRS. TUVW dengan panjang rusuk a satuan, terdapat bola luar dinyatakan B1 dan bola dalam dinyatakan B2. Perbandingan volume bola B1 dan bola B2 adalah ....

(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe A)A. 3 3 :1 D. 3 : 1B. 2 3 :1 E. 2 : 1C. 3 :1

Penyelesaian:

B r a1 1

12

3⇒ = (jari-jari bola luar sam a

dengan setengah diagonal ruang)

⇒ =

⇒

v a

B r

13

2 2

43

12

3( )

==12a jari-jari bola dalam sam a

de

(

nngan setengah rusuk

)

( )

: . . :

⇒ =

=

v a

v v a

23

1 23 3

43

12

43

12

343..

:

18

3 3 1

3a

= Jawaban : A

2. Diketauhi kubus ABCD. EFGH dengan panjang rusuk 3 cm dan titik T pada AD dengan panjang AT = 1 cm. Jarak A pada BT adalah ….


A. 12

cm D. 1 cm

B. 13

3 cm E. 2

33

cm

C. 13

2 cm

Penyelesaian:

Jarak A ke BT = AP

BT = 3 1 2+ =BT. AP = AB. AT2. AP = 3 .1

AP = 13

2 Jawaban : C

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH. dari pernyataan berikut: 1) AH dan BE berpotongan2) AD adalah proyeksi AH pada bidang ABCD3) DF tegak lurus bidang ACH4) AG dan DF bersilanganPernyatan yang benar adalah nomor ....


A. (1) dan (2) saja D. (1) dan (3) sajaB. (2) dan (3) saja E. (2) dan (4) sajaC. (3) dan (4) saja

Penyelesaian:Perhatikan gambar.Maka diperoleh:• AH dan BE bersilangan ® (1) SALAH• Proyeksi titik H pada bidang ABCD adalah D berarti AD = proyeksi AH bidang ABCD ® (2) BENAR• DF HO berarti DF tegak lurus bidang ACH ® (3) BENAR

• AG dan DF adalah diagonal ruang yang berarti berpotongan ® (4) SALAHJadi, (2) dan (3) BENAR

Jawaban: B

ZV

32

4. Diketahui bidang empat beraturan ABCD dengan panjang rusuk 8 cm. Cosinus sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah ....


A. 13

C. 1

33

E. 13

2

B. 12

D. 23

Penyelesaian: Perhatikan gambar.

Bidang beraturan berarti:OD = OC = 2 28 4 4 3− =

Sudut antara bidang ABC dan bidang ABD adalah COD = a berarti berlaku:CD2 = OD2 + OC2 – 2OD.OC cos a82 = (4 3 )2+ (4 3 )2 − (4 3 ) (4 3 ) cos a64 = 48 + 48 – 96 cos a

Cos a = 32 196 3

=

Jawaban: A

5. Sebidang sawah yang terletak di pinggir jalan seperti pada gambar di samping. Jika luas ACD = 480 3 m2 dan ACB = 60o, luas petak sawah ABCD adalah ….


A. 540 3 m2 D. 640 3 m2

B. 620 3 m2 E. 740 3 m2

C. 630 3 m2

Penyelesaian: A C B = 60°A C D = 480 312

∙ 32 ∙ 60 sin ADC = 480 3

sin ADC = 12

3

sin ADC = 60°

cos ADC = 12

AC 2 = 32 2 + 60 2 - 2 ∙ 32 ∙ 60 ∙ 12

= 2704AC = 56

Luas ABC = 12

∙ 20 ∙ 56 ∙ 12

3 = 260 3

Jadi, Luas ABCD = 260 3 + 480 3 = 740 3

Jawaban: E

A

BC

D20 cm 30 cm

saw

ah

Jl. Pantura

60 cm

A

BC

D20 cm 30 cm

saw

ah

60 cm

LATIHAN SOAL

1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Jarak titik C ke bidang BDG adalah ....

A. 203

3 cm D. 73

3 cm

B. 103

3 cm E. 53

3 cm

C. 83

3 cm

2. Jika panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 3 cm, maka jarak G ke diagonal BH = ....A. 2 cm D. 6 cm

B. 3 cm E. 10 cm

C. 5 cm

3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 12 cm. P adalah titik tengah rusuk AB. Jarak titik P ke garis HC adalah ….A. 5 2 cm D. 11 2 cmB. 7 2 cm E. 13 2 cmC. 9 2 cm

4. Diketahui panjang rusuk bidang empat beraturan adalah 9 cm. Jarak antara titik puncak dan bidang alas adalah ….A. 6 cm D. 4 6 cm

B. 2 6 cm E. 5 6 cmC. 3 6 cm

4. Pada limas segiempat beraturan T. ABCD yang semua rusuknya sama panjang. Sudut antara TA dan bidang ABCD adalah ….A. 30° D. 90°B. 45° E. 120°C. 60°

5. Jarak titik A ke bidang alas BCD pada bidang empat beraturan A.BCD dengan p satuan adalah ....

33

9. Diketahui limas segi empat T.ABCD dengan rusuk-rusuk tegak 15 cm, bidang alasnya ABCD berbentuk persegi panjang dengan AB = 10 cm dan BC = 12 cm. Jika a adalah sudut antara bidang TAB dan bidang alas ABCD, maka sin a = ....

A. 1

825

D. 1

8210

B. 1

826

E. 182

12

C. 1

828

10. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 16 cm. Titik P pada perpanjangan CG, sehingga CG = GP. Jika sudut antara PC dan bidang BDP adalah a, maka tan a = ....

A. 12 cm

2 D.

12 cm

5

B. 1

2 cm3

E. 1

2 cm6

C. 12 cm

4

A. 6 satuan2p D. 6 satuan

5p

B. 6 satuan3p

E. 6 satuan6p

C. 6 satuan4p

6. Diketahui kubus ABCDEFGH. Sudut antara bidang ABCD dan bidang ACF adalah a, maka cos a adalah ….

A. 13

2 D.

13

5

B. 1

33

E. 1

36

C. 13

4

7. Kubus ABCD.EFGH panjang rusuknya 6 cm. Sudut antara garis BG dengan ACGE = ....A. 30° D. 90°B. 45° E. 120°C. 60°

8. Bidang empat T.ABC mempunyai alas segitiga siku-siku ABC dengan AB = AC, TA = 4 3 cm dan tegak lurus pada alas. Jika BC = 8, maka sudut antara bidang TBC dan bidang alas adalah ....A. 30° D. 90°B. 45° E. 120°C. 60°

34

UKURAN PEMUSATAN DATA

Rataan Hitung Data BerkelompokA.

Rumus Umum =

=

=∑

∑1

1

k

i ii

k

ii

f xx

f

Menghitung Rataan Dengan Rataan Sementara

= + = +

∑ ∑∑ ∑

ataui i i is s

i i

f d f ux x x x c

f f

Modus, Kuartil, Desil, dan Persentil Data Berkelompok

B.

Modus δ = + δ + δ

1

1 2

Mo L c

Kuartil Bawah

− = +

1 11

14 kn f

Q L cf

Kuartil Tengah

− = +

2 22

12 kn f

Q L cf

Kuartil Atas

− = +

3 33

34 kn f

Q L cf

Desil

− = +

10 k

i ii

in f

D L cf

Persentil

− = +

100 k

i ii

in f

P L cf

UKURAN PENYEBARAN DATA

Jangkauan, Jangkauan Antar-Kuartil, Simpangan Kuartil

A.

Jangkauan J = xmaks – xmin

Jangkauan Antar-Kuartil H = Q3 – Q1

Simpangan Kuartil Qd = 12 H

= 12 (Q3 – Q1)

STATISTIKA

B A B

VII

35

Simpangan Rata-Rata, Ragam dan Simpangan Baku

B.

Simpangan Rata-rata =

= −∑1

1| |

r

i ii

SR f x xn

Ragam =

= −∑2 2

1

1( )

r

i ii

S f x xn

atau = =

= −

∑ ∑2

2

2 1 1

r r

i i i ii i

f d f dS

n n

atau = =

= −

∑ ∑2

2

2 21 1 .

r r

i i i ii i

f u f uS c

n n

Simpangan Baku = 2S S

PERUBAHAN DATA

Jenis Data Jika setiap data di (+, –) dengan n

Jika setiap data di (×, :) dengan n

Ukuran Pemusatan Data

(Tendensi Sentral)x, M0, Me, Qi

Ukuran mulamuladi (+, –) dengan n

Ukuran mulamuladi (×, :) dengan n

Ukuran PenyebaranJ, SR, S, Qd

Ukuran mulamulaT E T A P

Ukuran mulamuladi (×, :) dengan n


1. Nilai rataan dari data pada diagram adalah …. (Soal UN Tahun 2004/2005)

A. 23B. 25C. 26D. 28E. 30

Penyelesaian:x5 = 28, c = 5

fi Ui fi·Ui

5 3 15

6 2 12

12 1 12

18 0 0

9 1 9

S = 50 S = –30

5.

( )fi ui

x x cfi

Σ= +

Σ

= 28 + 305

50−

= 25Jawaban: B

2. Perhatikan gambar berikut!

Berat badan siswa pada suatu kelas disajikan dengan histogram seperti pada gambar. Rataan berat badan tersebut adalah ....

(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe A)A. 64,5 kg C. 65,5 kg E. 66,5 kgB. 65 kg D. 66 kg

Penyelesaian:Dari histogram dapat dihitung rataan berat badan dengan bantuan tabel berikut. Misalnya, rata-rata sementara x = 67.

xi f x − xs F(x – xs)

52 4 −15 −60

57 6 −10 −60

62 8 −5 −40

67 10 0 0

72 8 5 40

77 4 10 40

40 −80

Jadi, rataan berat badan sebesar

x xfx xs

fs= + − = + −ΣΣ( )

678040

= 65 kg

Jawaban: D

36

3. Nilai ujian Bahasa Indonesia disajikan seperti pada diagram berikut. Median dari data tersebut adalah ….


A. 59,75 D. 57,75B. 58,33 E. 57,25C. 58,13

Penyelesaian:

Me = 55,5 + 60 4330−

5

= 58,33Jawaban: B

4. Perhatikan data berikut!

Berat badan Frekuensi

50 – 54 4

55 – 59 6

60 – 64 8

65 – 69 10

70 – 74 8

75 – 79 4

Kuartil atas dari data pada tabel adalah . . . . (Soal UN Tahun 2007 tipe A)A. 69,50 D. 70,75B. 70,00 E. 71,00C. 70,50

Penyelesaian:Tabel Data

Berat Badan Frekuensi

50 – 54 4

55 – 59 6

60 64 8

65 – 69 10

70 – 74 8

75 – 79 4

Kuartil atas = Q3( data) ( 34 data)

30

25

201714

9

5

40,5 45,5 50,5 55,5 60,5 65,5 70,5 75,5

f

Nilai

Kelas Q3 adalah 70 – 74Berarti:

bm = 69,5 n = 40 fkk = 28 fQ3 = 8 c = (74 – 70) + 1 = 5

Maka: Q3 = bm +

34

3

−

f

f

kk

Q

· c

= 69,5 + 30 28

8−

∙5 = 70,75

Jawaban: D

5. Nilai rata-rata ulangan dari 20 anak adalah 75,25. Setelah digabung dengan 4 anak yang mengikuti perbaikan rata-ratanya menjadi 74,75. Nilai rata-rata 4 anak yang mengikuti perbaikan adalah ....

(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe B)A. 72 D. 73,25B. 72,25 E. 73,5C. 72,75

20 75,2574,75

24x∑ + ⋅

=

S x = 1794 – 1505 S x = 289Jadi, rata-rata 4 anak yang mengikuti perbaikan

= 2894

= 72,25Jawaban: B

LATIHAN SOAL

1. Median dari data umur pada tabel di bawah ada-lah ....

Umur f4 – 7 6

8 – 11 10

12 – 15 18

16 – 19 40

20 – 23 16

24 – 27 10

A. 16,5 D. 17,5B. 17,1 E. 18,3C. 17,3

37

2. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 38 siswa adalah 74. Jika nilai Rahma dan Aulia digabungkan dengan kelompok tersebut, maka nilai rata-ratanya menjadi 75. Nilai rata-rata Rahma dan Aulia adalah ....A. 92 D. 98B. 94 E. 100C. 96

3. Rata–rata hitung tinggi badan sembilan orang siswa adalah 155 cm. Jika ditambah seorang siswa baru maka rata–rata hitung tinggi badan menjadi 156 cm. Tinggi badan siswa baru itu adalah ….A. 160 cm D. 175 cmB. 165 cm E. 180 cmC. 170 cm

4. Nilai rata-rata ulangan matematika dari suatu kelas adalah 6,9. Jika dua siswa baru yang nilainya 4 dan 6 digabungkan, maka nilai rata-rata kelas tersebut menjadi 6,8. Banyaknya siswa semula adalah . . . .A. 16 D. 40B. 20 E. 50C. 36

5. Suatu data dengan rata-rata 16 dan jangkauan 6. Jika setiap nilai dalam data dikalikan m kemudian dikurangi n didapat data baru dengan rata-rata 20 dan jangkauan 9. Nilai dari 10m – 3n = ....A. 2 D. 5B. 3 E. 6C. 4

6. Nilai rata-rata ulangan kelas A adalah dan kelas B adalah. Setelah kedua kelas digabung nilai rata-ratanya adalah . Jika : = 10 : 9 dan : = 85 : 81, maka perbandingan banyaknya siswa di kelas A dan B adalah . . . .

A. 15

D. 45

B. 25

E. 27

C. 35

7. Nilai rata-rata dari 20 bilangan adalah 14,2. Jika rata-rata dari 12 bilangan pertama adalah 12,6 dan rata-rata dari 6 bilangan berikutnya adalah 18,2 maka rata-rata dari 2 bilangan terakhir adalah ....A. 10,8 D. 13,8B. 11,8 E. 14,8C. 12,8

8. Pada ulangan matematika, diketahui nilai rata-rata kelas adalah 58. Jika rata-rata nilai matematika untuk siswa prianya adalah 65 sedang untuk siswa wanita rata-ratanya 54, maka perbandingan jumlah siswa pria dan wanita pada kelas itu adalah ….A. 1 : 2 D. 4 : 5B. 2 : 5 E. 4 : 7C. 3 : 4

9. Peserta ujian matematika terdiri dari 40 orang siswa kelas A, 30 orang siswa kelas B, dan 30 orang siswa kelas C. Nilai rata-rata seluruh siswa 7,2 , nilai rata-rata kelas B dan C adalah 7,0. Maka nilai rata-rata kelas A adalah . . . .A. 8 D. 9,5B. 8,5 E. 10C. 9

10. Perhatikan data berikut!

No Berat Badan Frekuensi1 50 – 54 4

2 55 – 59 6

3 60 – 64 8

4 65 – 69 10

5 70 – 74 8

6 75 – 79 4

Kuartil atas dari data pada tabel adalah ....A. 60,5 D. 70,75B. 60,75 E. 75,5C. 70,5

38

PELUANG

B A B

VIII

Binomial NewtonE.Dalam menguraikan bentuk (a + b)2, (a + b)3, (a + b)4, ... , (a + b)n biasanya menggunakan bantuan

koefisien yang dihasilkan dari segitiga Pascal.Penjabaran bentuk (a + b)n bisa juga dilakukan

oleh rumus Bimomial Newton sebagai berikut:

( )−

=

+ = ⋅ ⋅∑0

( )n

n kn k

k

na b C a b

k, dengan n ∈ bilangan

asli.

Suku ke-p dari (a + b)n adalah ( ) ( ) ( )− + − −− −

−= α ⋅β ⋅ ⋅ ⋅1 1 1( 1)1

n p p pn n pp pU C a b

Peluang kejadianF.Ruang sampel (S) Ruang sampel (S) adalah himpunan seluruh kejadian

yang mungkin muncul pada suatu percobaan. Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang sampel S. Jika suatu kejadian A dapat terjadi dalam K cara dari seluruh S cara yang mungkin, peluang (probabilitas) kejadian A dapat dirumuskan sebagai berikut:

( ) =

( )( )

n Kp A

N S, dengan 0 K S,

sehingga 0 p(A) 1 .

Frekuensi Harapan suatu kejadian Jika peluang kejadian A adalah p(A), frekuensi

harapan 0 K S A dalam c kali percobaan dirumuskan sebagai berikut :

Fh = c · p(A)

Macam-macam kejadianKejadian lepas, yaitu kejadian A dan 0 K S

B yang saling lepas (saling asing), atau kejadian dengan A ∩ B = 0,

p(A ∪ B) = p(A) + p(B)

Aturan Pengisian TempatA.Suatu kejadian pertama dapat terjadi dalam a cara, ke-jadian kedua dapat terjadi dalam b cara, kejadian ke-tiga dapat terjadi dalam c cara, dan seterusnya sampai kejadian terakhir dalam z cara, maka kejadian dalam urutan demikian jika digabung dapat terjadi dalam:

a × b × c × … × z

FaktorialB.Faktorial dilambangkan dengan tanda seru ( ! ).n ! dibaca: n faktorialn ! = n × (n – 1) × (n – 2) × … × 3 × 2 × 1

PermutasiC.Permutasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah banyak cara menempatkan r unsur tersebut dalam suatu urutan (urutan diperhatikan).

=−!

( )!n rn

Pn r

; n r

Permutasi n unsur ada unsur-unsur sama dan tiap jenis yang sama terdiri dari n1, n2, n3, ..., nk, maka permutasi

adalah: =1 2 3

!! ! ! ... !k

nP

n n n n

KombinasiD.Kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berbeda adalah banyaknya susunan yang terdiri r unsur tanpa memperlihatkan urutannya.

=−!

! ( )!n rn

Cr n r ; n r

39

Kejadian bebas, kejadian A dan B disebut dua kejadian yang saling bebas jika terjadi atau tidak terjadinya A tidak memengaruhi terjadi atau tidak terjadinya B.

p(A ∩ B) = p(A) · p(B)p(A ∪ B) = p(A) + p(B) – p(A ∩ B)

Kejadian tak bebas (bersyarat). Dua buah kej -dian dikatakan tidak bebas, jika terjadinya salah satu dari kejadian itu ataupun tidak terjadinya akan memengaruhi kejadian lain.P(B/A) : baca nilai kemungkinan terjadinya B

setelah terjadinya A.P(A/B) : baca nilai kemungkinan terjadinya A

setelah terjadinya B.p(A ∩ B) = p(A) · p(B/A)


1. Seorang anak melempar tiga mata uang sekaligus sebanyak satu kali. Bila A merupakan kejadian munculnya angka paling sedikit satu kali, maka p (A) = ....


A. 38

C. 58

E. 78

B. 48

D. 68

Penyelesaian:S = {AAA, AAG, GAA, AGG, GAG, GGA, GGG}n(S) = 8A’ = {G, G, G}P(A) = 1 – P(A1) =

1 71

8 8− =

Jawaban: e

2. Masing-masing kotak A dan B berisi 12 buah lampu pijar. Setelah diperiksa, ternyata pada kotak A terdapat 2 lampu rusak dan pada kotak B terdapat 1 lampu rusak. Dari masing-masing kotak di ambil 1 lampu pijar secara acak. Peluang terambilnya sebuah lampu pijar rusak adalah ....


A. 2144

C. 18144

E. 48144

B. 3144

D. 32144

Penyelesaian:Kotak A Kotak B

10 baik2 rusak

11 baik1 rusak

Diambil 1 lampu Diambil 1 lampu

P(1 baik, 1 rusak) = 1012

112

212

1112

10 22144

32144

⋅ + ⋅

=+

=

Jawaban: d

3. Peluang dua siswa A dan B lulus tes berturut-turut

adalah 910

dan 1112

. Peluang siswa A lulus tes

tetapi B tidak lulus, adalah ....(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe C)

A. 9

120 C.

22120

E. 109120

B. 11

120 D.

99120

Penyelesaian:

P(A) = 9

10 (peluang A lulus)

P(B) = 1112

(peluang B lulus);

P(B’) = 112

(peluang B tidak lulus)

Peluang A lulus dan B tidak lulus = P(A B’) = P(A) . P(B’) = 9

10. 1

12 =

9120

Jawaban: a

4. Di sebuah kelas di SMA SOULMATE, terdiri atas 30 orang siswa. Pada kelas tersebut akan di pilih 3 orang sebagai pengurus kelas yang menjabat sebagai ketua kelas, wakil ketua, dan sekretaris. Banyaknya cara memilih yang mungkin terjadi adalah …. (UN Tahun 2008/2009)A. 12.260 C. 36.240 E. 52.360B. 24.360 D. 42.380

Penyelesaian:n = 30 siswar = 3Pemilihan ketua, wakil ketua, dan sekretaris dapat dipilih beberapa kali dengan siswa yang

40

LATIHAN SOAL

2. Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 9 dibuat bilangan yang terdiri atas tiga angka yang berbeda. Diantara bilangan-bilangan tersebut yang kurang dari 400, banyaknya adalah ....A. 6 cara d. 24 caraB. 12 cara e. 30 caraC. 18 cara

3. Nilai n dari nP3 = 8. nC4 adalah ....A. 3 D. 12B. 6 E. 15C. 9

4. Seorang murid diminta mengerjakan 5 dari 7 soal ulangan, tapi soal nomor 1 dan 2 harus dikerjakan. Banyaknya pilihan yang dapat diambil murid tersebut adalah ....A. 5 D. 20B. 10 E. 25C. 15

5. Dari sekelompok remaja terdiri atas 8 pria dan 12 wanita, dipilih 3 pria dan 8 wanita, maka banyaknya cara pemilihan adalah ....A. 27.720 D. 30.720B. 28.720 E. 31.720C. 29.720

6. Di suatu perkumpulan akan dipilih perwakilan yang terdiri dari 5 calon. Calon yang tersedia terdiri dari 8 pria dan 7 wanita. Banyaknya susunan perwakilan yang dapat dibentuk jika sekurang-kurangnya terpilih 4 pria adalah ....A. 1.500 D. 1.856B. 1.612 E. 1.950C. 1.722

7. Dari 7 orang calon pelajar teladan di suatu daerah akan dipilih 3 orang pelajar teladan I,II, dan III. Banyak cara susunan pelajar yang mungkin akan terpilih sebagai teladan I, II, dan III adalah ....A. 21 D. 210B. 30 E. 350C. 150

8. Dalam suatu ruang tunggu tersedia hanya 3 kursi, bila di ruang tunggu tersebut ada 20 orang maka banyak cara mereka duduk berdampingan adalah ....A. 60 D. 6.840B. 760 E. 8.500C. 2.480

sama, tetapi dengan urutan yang berbeda. Berarti, pemilihan ini memerhatikan urutan sehingga dapat diselesaikan dengan permutasi.Cara = 30P3

= 30 30.29.28.27!

(30 3)! 27!=

− = 30. 29 .28 = 24.360 cara

Jawaban: b

5. Dua dadu dilambungkan bersama-sama. Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah ….

(UN TAHUN 2003/2004)

A. 1

36 C.

736

E. 1136

B. 5

36 D.

936

Penyelesaian:Muncul mata dadu pertama : 3A = {(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),} n(A) = 6

Peluang (A) =6 1

36 6=

Muncul mata dadu kedua: 5B = {(1,5),(2,5),(3,5),(4,5),(5,5),(6,5)} n(B) = 6

Peluang n(B) = 6 1

36 6=

Peluang muncul mata dadu pertama 3 dan mata dadu kedua 5 adalah :

1 1 1

( )6 6 36

P A B∩ = ⋅ =

Jawaban: A

1. Lilis mempunyai 6 celana, 9 baju, 2 dasi dan 10 pasang sepatu. Tentukan banyaknya stelan baju, celana, dasi dan sepatu yang berbeda yang dipunyai Lilis!A. 54 cara D. 540 caraB. 60 cara E. 1.080 caraC. 90 cara

41

9. Kotak I berisi 5 bola merah dan 3 bola kuning. Kotak II berisi 2 bola merah dan 6 bola kuning. Dari masing-masing kotak diambil sebuah bola secara acak. Peluang terambilnya kedua bola berwarna sama adalah ....

A. 716

D. 1016

B. 816

E. 1116

C. 916

10. Suatu kelas terdiri atas 40 siswa, 25 siswa gemar matematika, 21 siswa gemar IPA, dan 9 siswa gemar matematika dan IPA. Peluang seorang tidak gemar matematika maupun IPA adalah ....

A. 3

40 D. 6

40

B. 440

E. 840

C. 540

42

FUNGSI KOMPOSISI DAN INVERS

B A B

IX

Pengertian Relasi dan FungsiA.1. Produk CartesiusJika terdapat himpunan P dan Q yang tidak kosong, produk cartesius dari himpunan P dan Q adalah himpunan pasangan terurut (x, y) dengan x ∈ P, y ∈ Q, ditulis sebagai berikut:

P × Q = {(x, y) x ∈ P dan y ∈ Q}

2. RelasiRelasi atau hubungan R dari himpunan P ke himpunan Q adalah sembarang himpunan bagian dari produk cartesius P × Q dengan x ∈ P, y ∈ Q, ditulis sebagai berikut :

R = {(x, y) x ∈ P dan y ∈ Q}

3. FungsiSuatu fungsi f atau pemetaan f dari himpunan P ke him-punan Q adalah suatu relasi khusus yang memetakan se-tiap elemen dari P (domain) dengan tepat satu elemen dari Q (kodomain).

Jika f memetakan suatu elemen x ∈ P ke suatu elemen y ∈ Q, fungsi f dari P ke Q dapat ditulis y = f(x) dengan x sebagai peubah bebas dan y sebagai peubah terikat. Daerah asal (domain atau Df) fungsi y = f(x) adalah nilai-nilai x supaya y = f(x) ada nilainya (terdefinisi). Syarat agar suatu fungsi terdefinisi :

*

*

* log

y f x f x

yf x

g xg x

y g xf x

= ( ) → ( ) ≥

=( )( ) → ( ) ≠

= ( ) →( )

syarat

syara

0

0

tt

dan

g x

f x f x

( ) >( ) > ( ) ≠

0

0 1,

Daerah hasil (range atau Rf) fungsi y = f(x) adalah nilai-nilai y yang dipengaruhi oleh domain fungsi.Menentukan daerah hasil dari fungsi kuadrat y = f(x) = ax2 + bx + c sebagai berikut:Untuk Df = {xx ∈ R}Jika a > 0, daerah hasilnya Rf = {yy ye, y ∈ R}Jika a < 0, daerah hasilnya Rf = {yy ye, y ∈ R}

dengan −

= −

2 44e

b acy

a

Untuk Df = {xp x q, x ∈ R}

Jika absis titik puncaknya = − 2e

bx

a di dalam

interval domain, tentukan f(xe), f(p), dan f(q), sehingga: Rf = {yfmin y fmaks , y∈ R}

Jika absis titik puncaknya (xe) di luar interval domain, tentukan f(p), dan f(q), sehingga:

Rf = {yfmin y fmaks , y∈ R}.

Sifat-sifat FungsiB.* Fungsi dari himpunan P ke Q

disebut satu-satu (one-one/injektif) jika setiap elemen dari P hanya mempunyai satu peta di Q dan tidak harus semua elemen dari Q terpetakan dari P.

* Fungsi dari himpunan P ke himpunan Q disebut pada (onto/surjektif) jika setiap elemen dari himpunan Q habis terpetakan (mempunyai minimal satu pasangan dengan elemen himpunan P).

* Fungsi dari himpunan P ke himpunan Q disebut korespondensi satu-satu (one-one onto/bijektif) jika fungsi itu injektif dan onto.

43

Aljabar FungsiC.Jika f dan g adalah dua fungsi yang diketahui, maka fungsi yang merupakan jumlah, selisih, hasil kali, dan hasil bagi kedua fungsi tersebut masing-masing sebagai berikut :

* ,

*

f g x f x g x

D D D

f g x f x g

f g f g

+( )( ) = ( ) + ( )= ∩

−( )( ) = ( ) −+( ) dengan

xx

D D D

f g x f x g x

f g f g

( )= ∩

( )( ) = ( ) ( )−( )

,

* . . ,

dengan

dengann

dengan

D D D

fg

xf x

g x

D D

f g f g

fg

.

* ,

( )

= ∩

( )= ( )

( )= ff gD g x∩ ( ) ≠dan 0

Komposisi FungsiD.

Jika fungsi f: A B dan fungsi g: B C, fungsi h: A C disebut sfungsi komposisi yang

ditentukan oleh rumus sebagai berikut:

h = gof = gof(x) = go{f(x)} = (gof)(x)

Syarat agar fungsi g dan fungsi f dapat dikom posi-sikan menjadi (gof) sebagai berikut:Irisan antara daerah hasil fungsi dengan daerah

asal fungsi g bukan himpunan kosong. (Rf ∩ Rg) ≠ 0

Daerah asal fungsi komposisi (gof) adalah him-punan bagian dari daerah asal fungsi f.

( )o fg fD D⊆

Daerah hasil fungsi komposisi (gof) adalah himpunan bagian dari daerah hasil fungsi g.

( )o fg fR R⊆

Sifat fungsi komposisi: tidak komutatif gof(x) ≠ fog(x).

Fungsi InversE.Tidak semua fungsi invers merupakan fungsi invers

dan invers fungsi yang merupakan fungsi disebut fungsi invers.

Suatu fungsi f : A B mempunyai fungsi invers f-1 : B A jika semua elemen himpunan A dan elemen himpunan B berkorespondensi satu-satu.

Notasi fungsi invers adalah jika f(x) = y, f-1(y) = x atau y-1 = f-1(x).

Langkah menentukan fungsi invers dari y = f(x) sebagai berikut:Mengubah fungsi y = f(x) dalam bentuk x

sebagai fungsi y.Mengganti y pada f-1(y) dengan x untuk

mendapatkan f-1(x).Sifat komposisi fungsi invers : f-1

o g-1 = (g o f)-1

Hubungan komposisi dan inversF.Jika (g o f)(x) = h(x), maka:1. h-1(x) = (g o f)-1(x) = (f-1

o g-1)(x) = f-1 (g-1(x))2. (f o g)-1(x) = (g-1

o f-1)(x) = g-1 (f-1(x))3. g(x) = (h o f-1)(x) 4. f(x) = (g-1 o h)(x)

Rumus-rumusG.1. (f ± g) (x) = f(x) ± g(x)2. (f × g) (x) = f(x) × g(x)

3. ( )

( )( )

f xf xg xx

=

, dengan g(x) ≠ 0

4. fn(x)= {f(x)}n

5. f(x)= axn+ b ® f -1 (x)= 1nx b

a−

6. f(x)= n ax b+ ® f -1 (x)=

nx ba−

7. f(x)= ax bcx d

++

; ® f -1 (x)= dx bcx a

− +−

; x ≠ ac

44


1. Diketahuif : R ® R, g : R ® R dirumuskan oleh f(x) = x2 – 4 dan g(x) = 2x – 6. Jika (f og)(x) = –4,

nilai x = ....(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe A)

A. –6 D. 3 atau –3B. –3 E. 6 atau –6C. 3

Penyelesaian: f(x)=x2 – 4 dan g(x)=2x – 6(f o g)(x) = f{g(x)} -4 = f (2x – 6) -4 = (2x – 6)2 – 4 -4 = 4x2 – 24x + 32 4x2 – 24x + 36 = 0 4(x – 3)2 = 0 ® x = 3

Jawaban: C

2. Diketahui fungsi f (x) = 53 2xx+−

; x ≠ 23

, f -1 adalah

invers dari fungsi f dan f-1 (m + 1) = 1. Nilai 2m – 3 = ….


A. 5 D. 11B. 7 E. 15C. 9

Penyelesaian:

f (x) = 53 2xx+−

,

f -1 ( x ) = 2 53 1xx

+−

f -1 ( m + 1 ) = 2( 1) 5

13( 1) 1

mm

+ +=

+ −

1 =2 7

13 2

mm

+=

+

2 m + 7 = 3 m + 2 m = 5Jadi nilai 2m – 3 = 2 (5) – 3 = 7

Jawaban : B

3. Jika f(x) = 8

3 2xx−−

maka f(–1) (1)= ….(Soal UN Tahun 2006/2007 tipe C)

A. 11 D. 23

B. – 3 E. 11C. – 7

Penyelesaian:

1

1

8( )

3 22 8

( ) 3 1

2(1) 8( ) 4

3(1) 1

xf x

xx

f xx

f x

−

−

−=

−−

=−

−= = −

−

Jawaban : B

4. Diketahui f(x – 2) = 12 3xx

+−

maka f -1 (x + 1) = ….


A. 22 1

xx−−

C. 22 1

xx−+

E. 3 42 1xx

++

B. 42 1

xx−−

D. 5 42 1xx

++

Penyelesaian:

f (x – 2) = 12 3xx

+−

misal : x – 2 = p x = p + 2

f (p) = 2 1

2 4 3pp

+ ++ −

= 3

2 1pp++

3( )

2 1x

f xx+

∴ =+

1

1

3( )

2 11 3 2

( 1)2 2 1 2 1

xf x

xx x

f xx x

−

−

− +=

−− − + −

+ = =+ − +

Jawaban: C

5. Diketahui f(x) = x2 + 4x – 5 dan g(x) = 2x – 1. Hasil dari fungsi komposisi (g o f)(x) adalah ....


A. 2x2+ 8x – 11 D. 2x2+ 8x – 6B. 2x2+ 8x – 9 E. 2x2+ 4x – 6C. 2x2+ 4x – 9

Penyelesaian: f(x)=x2+4x – 5g(x)=2x – 1

45

5. Fungsi f : R ® R dan g : R ® R dinyatakan oleh f(x)=x+2 dan (g o f)(x)=2x2 – 4x – 4, maka g(3x): ….A. 6x2 – 4x+12 D. 18x2 – 36x+20B. 8x2 – 2x+16 E. 20x2 – 36x+25C. 12x2 – 8x+18

6. Dari fungsi f dan g diketahui f(x) = 2x2 + 3x – 5 dan g(x) = 3x – 2. Agar (gof) (a) = -11 maka nilai a adalah …

A. 2 12 D. 1

2

B. 1 16 E. 1

6

C. 1

7. Diketahui fungsi f dan g yang dirumuskan oleh f(x) = 2x – 4 dan (g o f) = 4x2 – 24x + 32. Rumus fungsi g adalah g (x) = .... A. x2 – 4x + 8 D. x2 + 4xB. x2 – 4x – 8 E. x2 – 4xC. x2 + 4x + 8

8. Diketahui f(x) = 2 13

xx

+−

, x ≠ 3. Jika f-1 adalah

invers fungsi f, maka f-1(x-2)= ....

A. 1, 2

2x

xx

+≠

− D. 3 5

, 44

xx

x−

≠−

B. 2 3

, 55

xx

x−

≠−

E. 2 1

, 33

xx

x−

≠−

C. 2 2, 1

1x

xx

−≠ −

−

9. Fungsi f : R ® R dan g : R ® R dinyatakan oleh f(x) = x + 2 dan (gof)(x) = 2x2 + 4x + 1, maka g(2x) = ....A. 2x2 – 4x + 1 D. 8x2 + 8x + 1B. 2x2 – 12x + 1 E. 4x2 – 8x + 1C. 8x2 – 8x + 1

10. Diketahui f(x) = x + 4, x∈ R dan (g o f)(x) = x2 + 4x + 3. nilai dari g(5) = . . . .

A. 8 D. 14B. 10 E. 16C. 12

LATIHAN SOAL

1. Jika f(x)=x3+2 dan 2

( )1

g xx

=− , maka (g o f) (x)

adalah ….

A. 2(x3+2)(x – 1) D. 3

2( 1)x +

B. 32 ( 2)

( 1)xx

+− E. 3

2( 1)x +

C. 32 ( 2)

( 1)xx

++

2. Jika invers fungsi f(x) adalah f–1(x) = 2

3 1x

x−

−, maka

f (5) = ….A. -5 D. 3

7−

B. 95

E. –1

C. 1

3. Jika f(x)=2x – 3 dan (g o f)(x)=2x+1, maka g(x) ….A. x+4 D. x+7B. 2x+3 E. 3x+2C. 2x+5

4. Misalkan 2

2 1, untuk 0 1( )

1, untuk yang lain

x xf x

x x

− < <

+maka f (2) · f (-4)+f ( 1

2) · f (3)= ….

A. 80 D. 95B. 85 E. 100C. 90

(g0f)(x) =g(f(x)) =g(x2+4x – 5) =2(x2+4x – 5) – 1 =2x2+8x – 11

Cara lainMasukan x = 0 f(0) = 02 + 4.0 – 5 = -5Masukan x = -5 g(-5) = 2.(-5) – 1 = -11Dengan memasukkan nilai x= 0, cari di pilihan ganda yang persamaanya bernilai – 11, yaitu2x2 + 8x – 11

Jawaban: A

46

SUKU BANYAK

B A B

X

Bentuk UmumA. Bentuk umum suku banyak (polinomial) dalam x

berderajat n sebagai berikut :f(x) = an xn + an-1 xn-1 + ... + a2 x2 + a1 x1 + a0

n anggota bilangan cacah dan an ≠ 0 an, an-1, ..., a2, a1, a0 adalah konstanta yang masing-

masing merupakan koefisien dari xn, xn-1, ... , x2, x1, x0. Derajat suatu suku banyak dalam x dinyatakan oleh

pangkat tertinggi (n) dalam suku banyak tersebut. Nilai suku banyak f(x) berderajat n pada saat x = h

adalah f(h).Jika f(h) = 0 x = h akar dari f(x) (x – h) faktor dari f(x)

Pembagian Suku BanyakB.Proses pembagian suku banyak bisa dilakukan dengan cara sebagai berikut: Pembagian biasa Pembagian sintetik cara HornerContoh:3x2 – 2x – 7 dibagi x – 3Pembagian biasa

x – 3 3x2 – 2x – 7 3x+ 7 3x2 – 9x – 7x – 7 7x – 21 – 14 Jadi hasil pembagiannya 3x + 7 + 14/(x – 3)Pembagian sintetik cara HornerSusun dan tulis semua koefisien-koefisien persamaan yang dibagi dan pembagi seperti berikut:

Tanda panah berarti dikali -3 14 adalah sisa hasil pembagian hasil bagi adalah 3x + 7

Jadi hasil pembagiannya adalah 3x + 7 + 14/(x – 3)

Teorema SisaC. Jika suatu suku banyak f(x) dibagi p(x), akan

menghasilkan hasil bagi h(x) dan sisa S(x) dapat dirumuskan sebagai berikut.

f(x) = p(x) . H(x) + S(x)

Jika suku banyak f(x) dibagi (x – h), sisanya dapat dicari dari nilai f(h).

f(x) : (x – h) S(x) = H(x) = c (konstanta)f(x) : ax2 + bx + c S(x) = px + qf(x) : ax3 + bx2 + cx + d S(x) = px2 + qx + r

dst.. Jika pembagi f(x) adalah p(x) berderajat n, sisa dari

S berderajat maksimal (n – 1). Jika sisa = f(h) = 0 x = h akar dari f(x) (x – h) faktor dari f(x)

Akar-akar Suku BanyakD. Nilai x yang memenuhi suku banyak f(x) = an xn +

an-1 xn-1 + . . . + a2 x2 + a1 x1 + a0 adalah akar-akar suku banyak tersebut.

Untuk mencari akar-akar suatu suku banyak biasanya dilakukan dengan cara faktorisasi. Dalam mempermudah proses faktorisasi, dapat dibantu oleh sistem pembagian cara Horner.

Hubungan akar-akar suku banyak sebagai berikut. Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0, maka berlaku:

1 2b

x xa

−+ =

1 2c

x .x =a

Jika x1, x2, dan x3 akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0, maka berlaku:

1 2 3b

x x xa

−+ + =

-3 3 -2 -7 -9 -21

3 7 14

47

1 2 3. .d

x x xa

= −

1 2 1 3 2 3. . .c

x x x x x xa

+ + =

Jika x1, x2, x3, dan x4 akar persamaan ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0, maka

berlaku:

1 2 3 4b

x x x xa

−+ + + =

1 2 3 4. . .e

x x x xa

=

1 2 3 2 3 4 1 2 4

1 3 4

. . . . . .

. .

x x x x x x x x xd

x x xa

+ +

+ = −

1 2 1 3 1 4 2 3

2 4 3 4

. . . .

. .

x x x x x x x xc

x x x xa

+ + +

+ + = −


1. Suku banyak f(x) dibagi (x – 1) sisanya 2, dibagi (x – 2) sisanya 6. Bila f(x) dibagi (x – 1) (x – 2),

sisanya .… (UN TAHUN 2003/2004)

A. 4x + 2 B. 4x – 2 C. 2x + 1D. 2x - 1E. 2x - 2

Penyelesaian:f(x) = (x – 1)(x – 2).g(x) + ax + b f(1) = 0 + a + b = 2 ……(×1)f(2) = 0 + 2a + b = 6 …… (×2) –

-a =-4 ® a = 4Substitusi a pada (1):a + b = 2 ® b = -2Jadi, sisa pembaginya; S(x) = 4x – 2.

Jawaban: B

2. Sisa pembagian suku banyak x4 + 5x2 – 3x + 7 oleh x2 – 5 adalah ....

(UN TAHUN 2004/2005)

A. -3x + 57 B. -3x – 43 C. -3x – 57D. 3x – 43E. 3x + 57

Penyelesaian:Pembagian biasa: x2 + 10 x2 – 5 x4 + 5x2 – 3x + 7 x4 – 5x2

– 10x2 – 3x + 7 10x2 – 50 – -3x + 57 (sisa)Sisa pembagian: -3x + 57

Jawaban: A

3. Suku banyak f(x) dibagi (x + 1) sisanya 10 dan jika dibagi (2x – 3) sisanya 5. Jika suku banyak f(x) dibagi (2x2 – x – 3), sisanya adalah ....

(UN TAHUN 2006/2007)

A. -2x + 8 D. -5x + 5B. -2x + 12 E. -5x + 15C. –x + 4

Penyelesaian:Misal sisanya: S(x) = ax + bf(x) = P(x)(x + 1)(2x – 3) + ax + b f(-1) = 0 + (-a) + b = 10

f( 32

) = 0 + 32

a + b = 5

Eliminasi a:3f(-1): -3a + 3b = 30

2f( 32

): 3a + 2b = 10 + 5b = 40 ® b = 8Substitusi b: -a + b = 10 -a + 8 = 10 ® a = -2Jadi, sisa pembagian: S(x) = -2x + 8

Jawaban: A

4. Salah satu faktor suku banyak P(x) = x4 – 15x2 – 10x + n adalah (x + 2). Faktor

lainnya adalah .... (UN TAHUN 2007/2008)

A. x – 4 D. x – 6B. x + 4 E. x – 8C. x + 6

Penyelesaian:P(x) = x4 – 15x2 – 10x + nFaktor = (x + 2)Nilai n dapat ditentukan dengan metode Homer berikut.-2 1 0 -15 -10 n -2 4 22 -24 1 -2 -11 12 0 ® n = 24Hasil bagi : (x3 – 2x2 – 11x + 12)

48

Kemungkinan akar-akar lain = 2, 3, 4, dan 6 ® (faktor 12)Misal x = 4

4 1 -2 -11 12 4 8 -12 1 2 -3 0Sisa nol. Jadi, 4 adalah akar persamaan dan faktor-nya adalah (x – 4).

Jawaban: A

5. Suku banyak f(x) dibagi (x – 2) sisa 1, dibagi (x + 3) sisa -8. Suku banyak g(x) dibagi (x – 2) sisa

9, dibagi (x + 3) sisa 2. Jika h(x) = f(x) . g(x) maka sisa pembagian h(x) dibagi x2 + x – 6 adalah ....

(UN TAHUN 2008/2009)

A. 7x – 1 D. 4x – 1B. 6x – 1 E. 3x – 1C. 5x – 1

Penyelesaian:Teorema sisa: “Suku banyak f(x) dibagi (x – a) memiliki sisa f(a),”h(x) = f(x) . g(x) dibagi (x2 + x – 6) = (x – 2)(x + 3)sisanya ax + bf(x) . g(x) = P(x) . (x – 2) . (x + 3) + ax + bf(2) . g(2) = P(x) . 0 + 2a + b = 1. 9 2a + b = 9 .... (1)f(-3) . g(-3) = P(x) . 0 + -3a + b = -8 . 2 3a – b = 16 .... (2)Eliminasi b diperoleh:(1) : 2a + b = 9(2) : 3a – b = 16 + 5a = 25 ® a = 5Substitusi a pada (1) : 2a + b = 9 2 . 5 + b = 9 ® b = -1Jadi, sisa pembagian : S(x) = 5x – 1

Jawaban: C

LATIHAN SOAL

2. Agar F(x) = (p – 2)x2 – 2(2p – 3)x + 5p – 6 = 0 bernilai positif untuk semua x, maka batas-batas nilai p adalah ….A. p > 1 D. 1 < p < 2B. 2 < p < 3 E. p < 1 atau p > 2C. p > 3

3. Suatu suku banyak dibagi (x – 5) sisanya 13, sedang jika dibagi (x – 1) sisanya 5. Suku banyak tersebut jika dibagi x2 – 6x + 5 sisanya adalah ….A. 2x + 2 D. 3x + 2B. 2x + 3 E. 3x + 3C. 3x + 1

4. Jika x = 2 merupakan akar dari 2x4 + 5x3 – ax2 – 20x + 12 = 0, maka akar yang

lainnya adalah ....

A. −{ }12

2 3, , D. − −{ }3 212

, ,

B. − − −{ }3 212

, , E. 212

3, , { }C. −{ }2

12

3, ,

5. Banyaknya akar-akar yang rasional bulat dari persa-maan 4x4 – 15x2 + 5x + 6 = 0 adalah ....

A. 0 D. 3B. 1 E. 4C. 2

6. Diketahui (x – 2) adalah faktor dari f (x) = 2x3 + ax2 + 7x + 6. Salah satu faktor lain-

nya adalah ....A. (x + 3) D. (2x – 3)B. (x – 3) E. (2x + 3)C. (x – 1)

7. Diketahui persamaan 2x3 – 5x2 + x + 2 = 0. Jumlah akar-akarnya adalah . . . .

A. 13

D. 52

B. 23

D. 72

C. 32

8. Suku banyak P(x) dibagi dengan (x + 3) sisa –30, dan jika dibagi oleh (x2 – 1) sisa (10x + 2). Sisa pembagian suku banyak oleh (x2 + 4x +3) adalah ....A. 11x + 3 D. 30x + 8B. 15x + 10 E. 22x – 3 C. 11x + 19

1. Suku banyak (x4 – 3x3 – 5x2 + x – 6) dibagi oleh (x2 – x – 2), sisanya sama dengan ....A. 16x + 8 D. -8x - 16B. 16x – 8 E. -8x - 24C. -8x + 16

49

9. Suku banyak f (x) dibagi (x + 1) sisa –2 dan dibagi (x – 3) sisa 7, suku banyak g(x) dibagi (x + 1) sisa 3 dan dibagi (x – 3) sisa 2. Diketahui

h(x) = f (x) . g(x). Jika h(x) dibagi x2 – x – 3, sisanya adalah ....A. S(x) = 3x – 1 B. S(x) = 4x – 1 C. S(x) = 5x – 1D. S(x) = 6x – 1E. S(x) = 7x + 2

10. Suku banyak (x4 – 7x3 + 9x2 + 13x – 7) dibagi (x + 1)(x – 3) menghasilkan sisa . . . .

A. x – 1 B. x – 3 C. 2x – 1D. 2x + 1 E. 2x – 3

50


LIMIT

B A B

XI

Pengertian Limit Limit suatu fungsi f(x) untuk x mendekati nilai

a adalah harga yang paling dekat dari f(x) pada saat x mendekati nilai a.

Jika lim ( )x a

f x L→

= , artinya L adalah nilai pende - katan untuk x di sekitar a.

Teorema Limit Jika f(x) = x, maka lim ( )

x af x a

→=

Jika c konstanta, maka lim . ( ) .lim ( )x a x a

c f x c f x→ →

=

{ }lim ( ) ( ) lim ( ) lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

± = ±

{ }lim ( ). ( ) lim ( ).lim ( )x a x a x a

f x g x f x g x→ → →

=

lim ( )( )

lim( ) lim ( )

x a

x ax a

f xf xg x g x

→

→→

= , untuk lim ( ) 0x a

g x→

≠

lim ( ) lim ( ) lim ( )x a

n

x a

n

x a

n

f x fx fx→ → →

= { } = { } , untuk n

bilangan asli

Limit Fungsi AljabarLangkah umum penyelesaian limit fungsi aljabar lim ( )x a

f x→

sebagai berikut:

Substitusi nilai x = a ke f(x). Jika hasilnya bentuk tak tentu

0, , ,

0∞ ∞ − ∞ ∞

, f(x) harus diuraikan.

Jika hasilnya bentuk tertentu, itulah nilai limit-nya.

Jenis Limit untuk x c Jika x c dan c adalah konstanta, fungsi f(x)

diuraikan dengan cara faktorisasi. Untuk fungsi f(x) yang mengandung bentuk akar,

kalikan dengan sekawannya terlebih dahulu, baru masukkan nilai limitnya.

Jika x ∞ dan hasilnya ∞∞

atau 00

, fungsi f(x)

diuraikan dengan cara membagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat tertinggi.

lim...

...

,

,x

a xm a xm

b xn b xn

untuk m n

a

buntuk m

→∞

+ − +

+ − +=

∞ >

1 21

1 21

1

1==

<

n

untuk m n0,

Jika x ∞ dengan hasil ∞ atau – ∞, fungsi f(x) diuraikan dengan cara dikali sekawan untuk fungsi yang mengandung bentuk akar, kemudian mem-bagi pembilang dan penyebut dengan x pangkat tertinggi.

Rumus jumlah dan selisih akar

lim

,

,

,x

ax b cx d

untuk a c

untuk a c

untuk a c→∞

+ + +( ) =∞ >

=−∞ <

0

lim

,

,

,x

ax b cx d

untuk a c

untuk a c

untuk a c→∞

+ − +( ) =∞ >

=−∞ <

0

Rumus selisih akar kuadrat

lim

,

,

,x

ax bx c px qx r

untuk a pb q

auntuk a p

untuk→∞

+ + − + + =

∞ >−

=

−∞

( )2 22

aa p<

1. Nilai limx

x xx→

− − +−6

3 2 2 46

= ….


A. 14

− C. 0 E. 14

B. 18

− D. 18

51

LATIHAN SOAL

Penyelesaian:

lim

lim( )(

x

x

x xx

x x

x xx

x x

→

→

− − +−

× − − +− + +

−− − +

6

6

3 2 2 46

3 2 2 4

3 2 2 46

6 3 2 2xx+

=+

=

4

14 4

18

Jawaban : D

2. Nilai dari 0

4lim ....

1 2 1 2x

xx x→

=− − +


A. -2 D. 2B. 0 E. 4C. 1

Penyelesaian:

lim

lim( )

x

x

x

x x

x x

x x

x x x

→

→

− − +× − + +

− + +

= − + +−

0

0

4

1 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

4 1 2 1 21 22 1 2

4 1 2 1 24

1 1 20

x x

x x xxx

− −

= − + +−

= − + = −→lim

( )

( )

Jawaban : A

3. Nilai limcos

cos sin....

x

xx

x x→ −=

π4

2


A. 0 D. 2

B. 12

2 E.

C. 1

Penyelesaian:

limcos

cos sinlim

cos sincos sin

li

x

xx x

xx xx x→ −

= →−−

=

π

π

4

2 224

mm(cos sin )(cos sin )

cos sin

cos sin

xx x x x

x x→

− +−

= + =

π

π π4

12

24 4 ++ =12

2 2

4. Nilai dari 30

sin3 sin3 cos2lim ....

2x

x x xx→

−=


A. 12

C. 32

E. 3

B. 23

D. 2

Penyelesaian:

limsin sin cos

limsin ( cos )

limsi

x

x

x

x x x

xx x

x

→

→

→

−

= −

=

0 3

0 3

0

3 3 2

23 1 2

2nn . sin sin sin sin

. . .

3 2

2

3 22

3 1 1 1 3

2

3

x x

x

xx

xx

xx

=

= =

5. Nilai limsin sin cos

x

x x x

x→

−

0 3

12

332

12

16 = ….


A. 332

− D. 18

−

B. 132

− E. 38

−

C. 336

−

Penyelesaian:

limsin sin cos

limsin . cos sin c

x

x

x x x

x

x x x

→

→

−

=−

0 3

0

12

332

12

1632

32

32

oos

limsin (cos cos )

limsin .

12

1632

32

12

16

232

3

0 3

0

x

x

x x x

x

x

x

x

=−

=−

→

→

ssin .sin2

16

232

2 1

16332

3

x x

x

=− ⋅ ⋅ ⋅

= −

1. Nilai limx

x x

x x→∞

+

+

2 32

2 2 = ....

A. 0 D. 2

B. 12

E. ∞

C. 1

52

2. Nilai limin tan

...x

s x

x x→∞=

12

2 2 = ....

A. -2 D. 1B. -1 E. 2C. 0

3 Nilai 20

1 cos2lim ...

4x

xx→

−== ....

A. 14

D. 1

B. 12

E. 2

C. 0

4. Nilai 23

2 3lim

9x

x xx→

− +−

adalah ….

A. – 19

D. 12

B. – 18

E. 23

C. 13

5. Nilai 2

12

2 5 2lim

sin(4 2)x

x xx→

− +−

adalah ….

a. -3 D. 34

B. – 32

E. – 33

C. – 34

6. Nilai 3

3

2lim

3 2x

x xx x→∞

−− +

adalah ….

A. 0 D. 16B. 2 E. 20C. 8

7. Nilai 2

2lim

5 4x

xx x→∞

+− +

adalah ….

A. 0 D. 12B. 4 E. 16C. 8

8. Nilai dari 3 2

4 30

3lim

2x

x xx x→

−+

adalah ….

A. D. 3B. 0 E. 5C. 2

9. Nilai dari limx x x x x→∞ + − −( )9 3 9 52 2 adalah ….

A. D. 37

B. 43

E. 1

C. 45

10. Nilai limx

x x x→∞

+ − − +4 4 3 2 32 = ....

A. D. 9B. 1 E. 11C. 4

53

TURUNAN

B A B

XII

DefinisiA.

Turunan fungsi y = f(x) adalah:

0

( ) ( )' '( ) lim

h

f x h f xdyy f x

dx h→

+ −= = =

SifatB.Jika terdapat u dan v yang merupakan fungsi dalam x, maka berlaku : y = u v y’ = u’ v’ y = u . v y’ = u’ v + u v’

uy

v= 2

' ''

u v v uy

v−

=

y = un y’ = n . un – 1 . u’

Rumus Turunan Fungsi Aljabar C.• y = a.xn y’ = a.n.xn1

Contoh: y = 4x3 y’ = 4.3x3-1 = 12x2

• y = a.un y’ = a.n(un1).u’, dengan u = g(x)Contoh: y = (-2x+7)4

y' = 4(-2x + 7)4-1 .(-2)= -8(-2x + 7)3

• y = a sin x y’ = a cos x• y = a cos x y’ = a.-sin x

• y = alog x y’ = 1

loga ex

• y = ln x y’ = 1/x• y = 1/x y’ = ln x• y = ex y’ = ex

Persamaan Garis Singgung pada suatu Kurva

D.

f’(c) adalah gradien garis singgung kurva y = f(x) di titik A(c, f(c)) atau disimbolkan dengan m.

Persamaan garis yang ditarik melalui titik A(x, y) dengan gradien m dituliskan dengan:

y – y1 = m(x – x1)

Jadi jika titik A(c, f(c)) terletak pada kurva y = f(c) yang melalui titik A(c, f(c)) mempunyai persamaan:y – f(c) = m(x – c) atau y – y1 = m(x – x1) Catatan:• Jika garis g sejajar dengan garis h, maka mg = mh

• Jika garis g tegak lurus dengan garis h, maka mg · mh = – 1 • m = tan a, a sudut antara garis singgung dengan

sumbu x positif

Fungsi Naik dan Fungsi TurunE. Jika f’ (x) > 0 untuk semua x R, maka f(x) naik

(selalu naik) untuk semua x R. Jika f’ (x) < 0 untuk semua x R, maka f(x) turun

(selalu turun) untuk semua x R. Jika f’ (x) > 0 untuk semua x R, maka f(x) tidak

pernah turun untuk semua x R. Jika f’ (x) < 0 untuk semua x R, maka f(x) tidak

pernah naik untuk semua x R.

Nilai Maksimum dan MinimumF.Jika f’ (a) < 0 maka fungsi tersebut turun pada x = a, demikian juga jika f’ (b) > 0, maka fungsi tersebut naik pada x = b

54

Definisi:Jika c bilangan pada daerah asal fungsi f dan berlaku f’(c), maka nilai stasioner f pada x = c dan titik (c, f(c)) disebut titik stasioner

1. Menentukan jenis nilai stasioner dengan memper-hatikan nilai f’(x) di sekitar titik.• Jika f’(x) bertanda negatif, kemudian bernilai

nol di x = a dan berganti menjadi negatif, maka f’(x) mempunyai nilai balik minimum f(a).

x a– a a+

f'(x) – 0 +

grafik

• Jika f’(x) bertanda positif, kemudian bernilai nol di x = c dan berganti menjadi negatif, maka f’(x) mempunyai nilai balik maksimum f(c).

x c– c c+

f'(x) + 0 –

grafik

• Jika f’(x) bertanda positif, kemudian bernilai nol di x = a dan kembali menjadi positif, maka f’(x) mempunyai belok.

x a– a a+

f'(x) + 0 +

grafik

• Jika f’(x) bertanda negatif, kemudian bernilai nol di x = a dan kembali menjadi negatif, maka f’(x) mempunyai belok.

x a– a a+

f'(x) _ 0 _

grafik

2. Menentukan jenis nilai stasioner dengan menggu-nakan turunan dari fungsi y.Fungsi f(x) kontinu dalam interval yang memuat c, mempunyai turunan pertama f’(x)turunan kedua f’’(x) dan f’ (c) = 0, maka berlaku:a. Jika f’’(c) < 0, maka f(c) nilai balik maximum

f(x).b. Jika f’’(c) > 0, maka f(c) nilai balik minimum

f(x).

c. Jika f’’(c) = 0, maka [c, f(c)] titik belok horizontal (jika dapat ditentukan nilai maksimum dan minimum)

3. Nilai maksimum dan minimum suatu fungsi dalam interval tertutup.Nilai maksimum dan minimum f(x) pada interval a < x < h adalah yang keduanya merupakan nilai balik minimum fungsi f dan nilai balik maksimum fungsi f.

Sedangkan pada interval c < x < e mempunyai nilai minimum f(c) dan nilai maksimum f(e) yang keduanya merupakan nilai pada ujung-ujung interval.

Suatu nilai maksimum atau minimum suatu fungsi f(x) dalam interval tertutup dapat diperoleh dari: a. Nilai balik maksimum atau nilai balik minimumb. Nilai-nilai fungsi pada ujung interval tertutup

Langkah-langkah mencari nilai maksimum dan maksimum pada interval tertutup a < x < k seba-gai berikut:• Tentukan nilai stasioner fungsi f dalam interval

tersebut.• Tentukan nilai fungsi f pada ujung-ujung inter-

val.• Selidiki nilai tertinggi dan terendah yang meru-

pakan nilai maksimum dan minimum.

4. Menggambar grafik.Langkah-langkah untuk menggambar adalah seba-gai berikut.a. Tentukan koordinat-koordinat titik potong grafik

dengan sumbu koordinatb. Tentukan titik stasioner dan jenisnyac. Menentukan interval dimana fungsi naik dan

turund. Menentukan beberapa titik bantue. Menyajikan titik yang diperoleh pada bidang

kartesius, kemudian dihubungkan sehingga ter-bentuklah sebuah grafik


1. Seorang memesan kotak penyimpan uang yang di-lengkapi dengan kunci rahasia. Kotak tersebut dibuat dari baja tahan api dengan kapasitas 72.000 cm3.

Jika ukuran panjang dua kali lebarnya maka tinggi kotak tersebut agar bahan yang diperlukan minimum adalah ….

55

A. 25 cm D. 40 cmB. 30 cm E. 50 cmC. 35 cm


Pembahasan:p = 2 lv = 72.000 p. l. t = 72.0002.l. t = 72.000

t =2

36.000l

L = 2 pl + 2 pt + 2 lt = 2.2l. l+2.2l.t + 2lt

= 4 l2 + 6 l 2

36.000l

L = 4 l2 + 216.000 l-1

Agar L min : L’ = 08 l – 216.000l

–2 = 0

8l = 2

216.000l

l

3 = 27.000l = 30

36.00040

900t

↓

= = Jawaban : D

2. Konsentrasi K (t) suatu obat dalam darah pasien ditentukan oleh persamaan

K (t) = 2

0,96 9

tt t+ +

; 0 t 24

dengan menunjukan waktu dalam (jam). Konsen-trasi obat naik dalam interval ….

Soal UN Tahun 2006/2007 tipe C)

A. -3 < t < 0 D. 0 < t 24 B. -3 < t < 3 E. -3 < t 24 C. 0 t < 3

Pembahasan:

K (t) = 2

0,96 9

tt t+ +

Naik dalam interval : K’ ( t ) > 0

0 9 6 0 9 2 6

6 9

0 9 3 0 9 2 3

2

2 2

2

, ( ) , ( )

( )

, ( ) , . ( )

(

t t y t t

t t

t t t

t

+ + − ++ +

⇔+ − +

+ 330

0 9 3 18

30

0 9 3

30

0 9 3

4

3

3

), ( ) ,

( ), ( )

( ), ( )

(

>

⇔+ −+

>

⇔+ −+

>

⇔−

t t

tt t

tt

t++>

− < <3

0

3 3

3)t

0 9 6 0 9 2 6

6 9

0 9 3 0 9 2 3

2

2 2

2

, ( ) , ( )

( )

, ( ) , . ( )

(

t t y t t

t t

t t t

t

+ + − ++ +

⇔+ − +

+ 330

0 9 3 18

30

0 9 3

30

0 9 3

4

3

3

), ( ) ,

( ), ( )

( ), ( )

(

>

⇔+ −+

>

⇔+ −+

>

⇔−

t t

tt t

tt

t++>

− < <3

0

3 3

3)t

Karena : 0 t 2 maka: 0 t <3Jawaban : C

3. Diketahui f(x) =

2 32 1x

x++

Jika f’(x) menyatakan

turunan pertama f(x) maka f(0) + 2 f’(0) = ....A. -10 C. -7 E. -3B. -9 D. -5


Pembahasan:

f(x) = 2 3

2 1x

x++

® f (0) = 3 misal: U = x2 + 3 ® U’ = 2 V = 2x + 1 ® V’ = 2Maka:f’(x) =

2

0 1 2 3(1)

⋅ − ⋅ = -6

jadi, f(0) + 2f’(0) = 3+2. (-6) = -9Jawaban: B

4. Garis singgung pada y = ax + bx

di titik (1, 2) sejajar garis 4x –y + 1= 0, nilai a + 2b = ….A. 5 C. 3 E. 1B. 4 D. 2

(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe D)

Pembahasan:

Garis singgung by ax

x= +

d1 (1, 2) sejajar 4x – y + 1 = 0- Garis singgung sejajar 4x – y + 1 = 0 m = 4- y = ax + bx–1

22'

by a bx a

x−= − = −

- 2 4(1)b

m a= − =

a – b = 4 ....................................(1)

- (1,2) 2 (1)(1)b

a⇒ = +

a + b = 2 ...............................(2)

- (1) + ( 2 ) : 2a = 6 a = 3 b = –1- nilai a + 2b = 3 – 2 = 1

Jawaban: E

56

5. Nilai balik maksimum fungsi f(x) = x3 – 3x2 – 9x + m adalah 10. Nilai minimumnya adalah ….A. -27 D. -5B. -22 E. 3C. -10

(Soal UN Tahun 2007/2008 tipe E) Pembahasan:

3 2( ) 3 9f x x x x m= − − +Syarat stasioner :

2

2

'( ) 3 6 9 0

2 3 0( 1)( 3) 0

1 3

f x x x

x xx xx x

= − − =

⇔ − − =⇔ + − =

= − ∨ =

jenis stasioner :

( ) 6 6

( ) 6 6 12 0(maksimum)

(3) 18 6 12 0(minimum)

Nilaimaksimum:( 1) 1 3 9 10

5

ii

ii

ii

f x x

f x

f

f mm

= −

− = − − = − <

= − = >

− = − − + + ==

Nilai maksimumf(–1) = –1–3+9+m =10 =5Jadi Nilai minimum :f (3) = 27 – 27 – 27 +5 = -22

Jawaban: B

LATIHAN SOAL

1. Persamaan garis singgung yang melalui titik

berabsis 1 pada kurva y = 2

1x

x− , adalah ….

A. 5x + 2y + 5 = 0 D. 3x + 2y – 3 = 0B. 5x – 2y – 5 = 0 E. 3x – 2y – 3 = 0C. 5x + 2y – 5 = 0

2. Nilai minimum fungsi f(x) = 2x3 – 6x2 – 48x + 5 dalan interval -3 ≤ x ≤ 4 adalah ….A. -160 D. -99B. -155 E. -11C. -131

3. Fungsi f(x) = (x – 1)(x2 + 7x – 29) naik pada interval adalah ….A. -6 < x < 2 D. x < -6 atau x > 2B. -2 < x < 6 E. x < -2 atau x > 6C. x < 2 atau x > 6

4. Fungsi f(x) = x3 + px2 + 9x – 18 mempunyai nilai stasioner untuk x = 3. Nilai p = ….A. -6 C. -3 E. 6B. -4 D. 4

5. Turunan pertama dari f(x) = sin3 (5 – 4x) adalah f’(x) = ….A. 12 sin3 (5 – 4x) cos (5 – 4x)B. 6 sin (5 – 4x) cos (10 – 8x)C. -3 sin2 (5 – 4x) cos (5 – 4x)D. -6 sin (5 – 4x) sin (10 – 8x)E. -12 sin2 (5 – 4x) sin(10 – 8x)

6. Turunan pertama fungsi F(x) = 3log (x2 + 3x) adalah F’(x) = ….

A. 2 3

(2 3)ln3x xx

++

D. 2

(2 3)ln33

xx+

+

B. 2

2

2 3( 3 )ln3

xx x

++

E. 2

(2 3)log33

xx x+

+

C. 2

2 3( 3 )log3

xx x

++

7. Sebuah roket ditembakkan vertikal ke atas dengan ketinggian h meter, dirumuskan sebagai

h(t) = 500t – 5t2. Tinggi maksimum yang dapat ditempuh roket tersebut adalah ….A. 500 m C. 10.000 m E. 15.000 mB. 2.500 m D. 12.500 m

8. Persamaan garis singgung pada kurva y = x – x melalui titik (4, 2) adalah ….A. –3x – 4y – 4 = 0 D. 3x + 4y – 4 = 0B. –3x – 4y – 4 = 0 E. 3x – 4y + 4 = 0C. 3x – 4y – 4 = 0

9. Suatu pekerjaan dapat diselesaikan dalam x hari

dengan biaya 2.000

4 160xx

− +

ribu rupiah per

hari. Biaya minimum per hari untuk menyelesaikan pekerjaan tersebut adalah ….A. 200.000 C. 400.000 E. 600.000B. 300.000 D. 500.000

10. Suatu kebun berbentuk persegi panjang. Salah satu sisinya berbatasan dengan sungai. Keliling kebun tersebut akan dipagari dengan kawat sepanjang 48 meter. Jika sisi yang berbatasan dengan sungai tidak dipagar, maka luas maksimum kebun terse-but adalah ….A. 196 m2 C. 336 m E. 576 m2

B. 256 m2 D. 486 m2

57

INTEGRAL

B A B

XIII

Integral Tak TentuA.

Sifat-Sifat IntegralB.

Penerapan Integral TentuC.

Integral TertentuD.

1

2

3

411

1

.

. ( ) ( )

.

.

dx x c

dfx fx c

adx ax c

x dxn

x c dengann n

= +

= +

= +

=+

+

∫∫∫

+ nn

ax dxa

nx c dengan n

ax b dxax ban

n n

nn

≠

=+

+ ≠ −

+ = +

∫

∫ +

+

1

51

1

6

1

1

.

. ( )( )( ++

+ ≠∫ 10

)c dengan a

1

2

. ( ) ( )

. (( ) ( )) ( ) ( )

kfxdx k fxdx

fx g x dx fxdx g xdx

=

± = +

∫∫∫ ∫∫

1.

2.

S v dt

v a dt

=

=

∫∫

fxdx F x F b F a

F x fx

a

a

b

ab( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( )

∫ = = −

==

anti turunan

batas baww ah

batas atasb =

Sifat-Sifat Integral TertentuE.

Luas Bidang DatarF.

1

2 0

3

4

. ( )

. ( )

. ( ) ( )

. ( )

k k b a

fx

kfx k fx

fx

a

b

a

a

a

b

a

b

dx

dx

dx dx

= −

=

=

∫

∫

∫ ∫

ddx dx

dx dx dx

a

b

b

a

a

b

b

c

a

c

fx

fx fx fx

∫ ∫

∫ ∫ ∫

= −

+ =

( )

. ( ) ( ) ( )5

Luas D1 = ( )dxb

a

f x∫

Luas D2 = ( )dx ( )dxb b

a a

f x f x− =∫ ∫

1. Dibatasi Oleh Kurva dan Sumbu X

58

2. Luas Antara Dua Kurva

Luas D1 = [ ( ) ( )] dxb

a

f x g x−∫

Volume Benda PutarG.

Integral Fungsi TrigonometriH.

Integral Substitusi TrigonometriI.

Panjang BusurJ.

1. Mengelilingi Sumbu X

Volume = 2[ ( )] dxb

a

f xπ∫

2. Mengelilingi Sumbu Y

Volume = 2[ ( )] dyb

a

f yπ∫

1. sin x dx= – cos x + c2. cos x dx = sin x + c3. sec2 x dx = tan x + c4. cosec2 x dx = – cot x + c5. sec x tan x dx = sec x + c6. cosec x cot x dx = – cosec x + c

Fungsi Integral Substitusi dengan Hasil Substitusi

2 2a x− x = a sin a a cos a

2 2a x+ x = a tan a a sec a

2 2x a− x = a sec a a tan a

2

1 dxb

a

dyS

dx = + ∫


1. Nilai 20

cos2 sin . dxx xπ

∫ = ….

A. 23

− C. 0 E. 23

B. 13

− D. 13


59

Pembahasan:

cos sin

sin sin )

cos cos

2

12

3

12

13

3

0

2

0

2

x x

x x

x x

dx

dx

π

π

∫

∫= −

= − +

= − +

− − +

= ⋅ −

0

2

12

13

32 2

13

0 0

12

023

π

π πcos cos cos cos

= −13

Jawaban : B

2. Volume benda putar yang terjadi, jika daerah antara kurva y = x2+ 1 dan y = x + 3, diputar mengelilingi sumbu X adalah ….


A. 675

π satuan volume

B. 1075

π satuan volume

C. 1175

π satuan volume

D. 1335

π satuan volume

E. 1835

π satuan volume

Pembahasan:y x

y x

x x

x x

x x

V x x

= += +

+ = +− + == ∨ = −

= + − +

2

2

2 2 2

1

3

1 3

2 1 0

2 1

3 1

( )( )

( ) ( )

π ddx

dx

−

−

−

∫∫= + − −

= + − −

1

2

1

2 2 4

2 3 5

1

2

8 6

8 313

15

π

π

( )x x x

x x x x

= 1175

π

Jawaban: C

3. (x + 1) cos2x dx = ….Soal UN Tahun 2004/2005 tipe D

A. –2(x + 1) sin 2x – 4 cos 2x + C

B. – 12

(x + 1) sin 2x – 14

cos2x + C

C. 12

(x + 1) sin 2x + 14

cos 2x + C

D. 12

(x + 1) sin 2x – 14

cos 2x + C

E. 2(x + 1) sin 2x + 4 cos 2x + C

Pembahasan:

x + 1 cos 2x

1 12

sin 2x

0 – 14

cos 2x

Kolom 1 : diturunkanKolom 2 : diintegral

(+) 12

(x + 1) sin 2x

(–) (– 14

cos 2x)

(x+ 1) cos 2x dx

= (x + 1) sin 2x + 14

cos 2x + C

Jawaban: C

4. Perhatikan gambar berikut!

Luas daerah yang diarsir pada gambar adalah ....(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe C)

A. 23

satuan luas D. 6 23

satuan luas

B. 3 satuan luas E. 9 satuan luas

C. 5 13

satuan luass

y

0

X = 3

Y = x2 – 4x + 3

Y = –x2 + 6x – 5

x

60

Pembahasan:

Perhatikan gambar.

Titik potong parabola:y1 = y2 ® x2 – 4x + 3 = –x2 + 6x – 5 2x2 – 10x + 8 = 0 x2 – 5x + 4 = 0 ® (x – 1) (x – 4) = 0 ®x = 1 atau x = 4Batas daerah terarsir: x = 1 dan x = 3Luas memenuhi:

L y y

x x x x

x x

= −

= − + − − − +

= − + −

= −

∫∫∫

2 11

3

2

1

3 2

2

1

3

6 5 4 3

2 10 8

dx

dx

dx

( ) ( )

223

5 8

1227 5 9 8 3

231 5 1 8 1

3 2

1

3

x x x+ −

= − ⋅ + ⋅ − ⋅

− − ⋅ + ⋅ − ⋅

== 623 satuan luas

Jawaban: D

5. Hasil dari 34

6( 2)( 2)

( 12 16)

x x

x x

+ −

− −∫ dx = ….


A. 3

1

8 12 16c

x x+

− −

B. 4 3

4

12 16c

x x+

− −

C. 4 3

2

12 16c

x x+

− −

D. 8 3 348( 12 16)

3x x c− − +

E. 3 348( 12 16)

3x x c− − +

y

0

X = 3

Y = x2 – 4x + 3

Y = –x2 + 6x – 5

x

Pembahasan:

34

6( 2)( 2)

( 12 16)

x x

x x

+ −

− −∫ dx

= 2

34

6( 4)

( 12 16)

x

x x

−

− −∫ dx

Misal: u = x3 – 12x – 16 du = (3x2 – 12) dxdu = 3 (x2 – 4) dx2 du = 6 (x2 – 4) dx

= =

= +

= +

= − − +

∫ ∫−2

2

838383

12 16

4

14

34

34

3 34

du

xu du

u c

u c

x x c( )

Jawaban: E

LATIHAN SOAL

1. Hasil dari ( )23 2dx

x

x

−∫ adalah ....

A. 2818 8

5x x x x x c− − +

B. 2818 8

5x x x x x c− + +

C. 2818 8

5x x x x x c+ − +

D. 2818 8

5x x x x x c+ + +

E. 2818 10

5x x x x x c− + +

2. Hasil integral dari 14 1 3 2

1

2

−( )−∫ x dx adalah ....

A. 15 D. 105B. 65 E. 135C. 195

3. Nilai integral dari 67 (5 1) dxx x +∫ adalah ....

A. 7 81(3 1) (3 1)

3 72x

x x c− + − + +

B. 7 81(3 1) (3 1)

3 72x

x x c+ + + +

C. 7 81(3 1) (3 1)

3 92x

x x c+ − + +

61

D. 7 81(3 1) (3 1)

2 72x

x x c+ − + +

E. 7 81(3 1) (3 1)

3 72x

x x c+ − + +

4. Diketahui F’(1 + 12χ

= ( dan F(-1) = 0, maka F()=….

A. 1

−χ

+ 3X D. 1

−χ

- 2X

B. 1χ

+ X E. 1

−χ

+ X

C. 1

−χ

- X

5. Gradien garis singgung sebuah kurva pada setiap

titik (, y) dinyatakan oleh 6dyd

=χ

+1 2 – 2.

Kurva melalui titik (1,4), maka persamaan kurva adalah ....A. y = 22 – – 2 – 3 B. y = 2+2 – 2 – 3 C. y = 2+2 + 2 – 3 D. y = 22 – + 2 – 3 E. y = 2+2 – 2 + 3

6. sin5x cosx dx adalah ....

A. 51sin

6c+ D. 6 1

sin7

c+

B. 6 1sin

6c+ E. 7 1

sin7

c+

C. SIN6 + C

7. Luas daerah yang dibatasi kurva y = 2x2 – 8, dan sumbu X pada 0 x 3 adalah … satuan luas

A. 1

153

D. 16

B. 15 E. 1

173

C. 1

163

8. Daerah dibatasi kurvay2 = 10x, y2 = 4x dan x = 4

diputar 360º mengelilingi sumbu X. Volume benda putar yang terjadi adalah … satuan volumeA. 48 D. 56pB. 48p E. 64pC. 56

9. Volume benda putar yang terjadi jira daerah yang dibatasi oleh y = 2x2 + 1, x = 1, sumbu X, dan sumbu Y diputar 360º menglilingi sumbu X adalah … satuan volume.

A. 4715

D. 5315

π

B. 4715

π E. 60p

C. 5315

10. Gradien garis singgung di sembarang titik pada suatu kurva ditentukan oleh rumus y’=3x2 – 6x + 2. Jika kurva melalui titik (1, -5) maka persamaan kurva tersebut adalah ….A. x3 – 3x2 – 2x – 5B. x3 – 3x2 + 2x – 5C. x3 + 3x2 + 2x – 5D. x3 – 3x2 + 2x + 5E. x3 + 3x2 + 2x + 5

62

PROGRAM LINIER

B A B

XIV

Persamaan Garis LurusA.

1.

2.

3.

Himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan linear

B.

Daerah penyelesaian dari masalah program linear, yaitu model matematika yang berbentuk pertidaksamaan linear ax + by ab atau ax + by ab.Daerah penyelesaian dapat ditentukan dengan cara:1. Jika ax + by ab maka daerah penyelesaian berada

di sebelah kiri garis, dengan syarat koefisien x positif (a > 0).

2. Jika ax + by ab maka daerah penyelesaian berada di sebelah kanan garis, dengan syarat koefisien x positif (a > 0).

Letak kiri dan kanan daerah penyelesaian, dengan syarat koefisien x positif ( a > 0 )

Fungsi Tujuan (Obyektif / Sasaran), Nilai Maksimum, dan Nilai Minimum

C.

1. Fungsi tujuan adalah nilai f untuk x dan y tertentu dari suatu program linear, dan dinyatakan f(x, y)

2. Nilai fungsi sasaran yang dikehendaki adalah kon-disi x dan y yang menyebabkan maksimum atau minimum

3. Pada gambar HP program linear, titik-titik sudut merupakan titik-titik kritis, dimana nilai minimum atau maksimum berada. Apabila sistem pertidak-samaannya terdiri atas dua pertidaksamaan, maka titik-titik kritisnya bisa ditentukan tanpa harus di-gambar grafiknya.

Persamaan garis yang ber-gradien m dan melalui titik (x1, y1) adalah: y – y1 = m(x – x1)

Persamaan garis yang melalui dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah:

1 1

2 1 2 1

y y x xy y x x

− −=

− −

Persamaan garis yang melalui titik (0, a) dan (b, 0) adalah : ax + by = ab

Y

X

(x1,y1)y1

x1

0

x1 x2

y2

y1

(x2, y2)

(x1, y1)

X

Y

0 b

a (0, a)

(b, 0)

Y

X

kiri ( )

kiri ( )

kanan ( )

kanan ( )

kiri ( ) kanan ( )kiri ( )

kanan ( )

63

Berdasarkan kedua grafik di atas dapat disimpulkan cara penentuan titik kritis sebagai berikut: 1. Pilih titik potong kurva dengan sumbu Y atau sumbu

X yang terkecil (0, a) dan (n, 0) jika tujuannya maksimumkan atau yang terbesar (0, m), (b, 0) jika tujuannya minimumkan.

2. Titik potong antara kedua kurva (x, y)

Grafik HP untuk fungsi tujuan maksimum

Grafik HP untuk fungsi tujuan minimum

Titik kritis ada 3 :(0, a), (x, y), dan (n, 0)

Titik kritis ada 3 :(0, m), (x, y), dan (b, 0)


1. Tiga siswa Ani, Budi dan Citra membeli buku, pensil, dan pulpen. Ani membeli 3 buku, 3 pensil, dan 1 pulpen dengan harga Rp. 7.600,00. Budi membeli 2 buku, 2 pensil, dan 2 pulpen dengan harga Rp. 6.400,00 sedangkan Citra membeli 3 buku, 4 pensil, dan 3 pulpen dengan harga Rp. 9.800,00. Untuk membeli 5 buku, 5 pensil, dan 5 pulpen, uang yang harus disediakan adalah ….A. Rp25.000,00 D. Rp15.000,00B. Rp19.000,00 E. Rp14.000,00C. Rp16.000,00


Pembahasan:Misal harga satuan :Buku = xPensil = yPulpen = zDiketahui 2x + 27 = 2z = 6.400 x + y + z = 3.200jadi 5x + 5y + 5z = 5 ( 3200 ) = 16.000

Jawaban : C

2. Tanah seluas 10.000 m2 akan dibangun rumah tipe A dan tipe B. Untuk rumah tipe A diperlukan 100 m2 dan tipe B diperlukan 75 m2. Jumlah rumah yang dibangun paling banyak 150 unit. Keuntungan rumah tipe A adalah Rp6.000.000,00 / unit dan tipe B adalah Rp4.000.000,00 / unit. Keuntungan maksimum yang dapat diperoleh dari penjualan rumah tersebut adalah ….


A. Rp550.000.000,00B. Rp600.000.000,00C. Rp700.000.000,00D. Rp800.000.000,00E. Rp900.000.000,00

Pembahasan:Misal :Banyaknya rumah tipe A = xBanyaknya rumah tipe B = yModel matematika :100 75 10 000

4 3 400x yx yx

+ ≤⇔ + ≤

≤

.....(1)

+ y 125 ........(2)) x y≥ ≥0 0 3, .....( )

Fungsi obyektifK = 6.000.000x + 4.000.000y (max)Grafik himpunan penyelesaian

1... 4x + 3y = 4002... 4x + 4y = 500 – -y = -100 y = 100 x = 25B (25, 100)

Uji titik pojok :

Titik Pojok K = 6.000.000x + 4.000.000y

0 (0, 0)A (100, 0)B (25, 100)C (0, 125)

0600.000.000 (maks)550.000.000500.000.000

Jadi keuntungan maksimumnya adalah ....Rp. 600.000.000

Jawaban : B

64

3. Seorang pedagang menjual buah mangga dan pisang dengan menggunakan gerobak. Pedagang tersebut membeli mangga dengan harga Rp8.000,00/kg dan pisang Rp6.000,00/kg. Modal yang tersedia Rp1.200.000,00 dan gerobak hanya dapat memuat mangga dan pisang sebanyak 180 kg. Jika harga jual mangga Rp9.200,00/kg, maka laba maksimum yang diperoleh adalah ….


A. Rp150.000,00 D. Rp204.000,00B. Rp180.000,00 E. Rp216.000,00C. Rp192.000,00

Pembahasan:

Model matematika :1. 8.000x = 6.000y 1.200 4 x + 3y 600 2. x + y 180 3. x 0 ; y 0 Fungsi obyektif :K= 9.200x + 7.000y (max)Grafik Daerah Himpunan penyelesaian

Koordinat titik B : 4 3 6003 3 540

60 12060 120

x yx yx y

B

+ =+ =

= ⇒ =∴

( , )

Uji titik pojokTitik Pojok K= 9.200x + 7.000y

0 (0, 0)A (150, 0)B (60, 120)C (0, 180)

0180.000192.000 (max)180.000

Jadi laba maksimum yang diperoleh adalah Rp192.000

Jawaban : C

4. Suatu tempat parkir yang luasnya 300 m2 digunakan untuk memarkir sebuah mobil rata-rata 10 m2 dan bus rata-rata 20m2 dengan daya tamping hanya 24 kendaraan. Biaya parkir untuk mobil Rp1.000,00 per jam dan untuk bus Rp3.000,00 per jam. Jika dalam satu jam tempat parkir penuh dan tidak ada kendaraan yang datang dan pergi, hasil maksimum tempat parkir tersebut adalah….A. Rp15.000,00 D. Rp45.000,00B. Rp30.000,00 E. Rp60.000,00C. Rp40.000,00


Pembahasan:Tabel untuk membuat model matematika

Kendaraan Tempat m2 Biaya (Rp)

Mobil (x) 10 1.000

Bus (y) 20 3.000

24 300

x+y≤24 ….(1)10x+20y≤300 ….(2) x + 2y ≤ 30 x≥0 dan y≥0 ….(3)

Gradien fungsi sasaran.

f(x,y)=1.000x+3.000y ® mf=– 13

Biaya parkir maksimum (titik yang paling kanan) di titik (0,15)f(x,y)=1.000x+3.000y f(0,15)=1.000(0)+3.000(15)=Rp 45.000,00

Jawaban: D

5. Untuk kekebalan dari penyakit, ayam pada usia satu minggu harus diberi vaksin. Setiap 100 ekor ayam minimal memerlukan 12 unit zat A dan 12 unit zat B. Di pasaran tersedia dua jenis vaksin yaitu vaksin P dan vaksin N. Satu bungkus vaksin P mengandung 1 unit zat A dan 3 unit zat B, sedangkan vaksin N mengandung 3 unit zat A dan 1 unit zat B. Harga perbungkus vaksin P adalah Rp 1.000,00 dan vaksin N dengan harga Rp 1.500,00. Seorang peternak mempunyai 10.000 ekor ayam.

x + v = 180

65

Biaya minimal yang harus dikeluarkan dalam satu kali vaksinasi agar ayamnya tahan dari penyakit adalah ….A. Rp300.000,00 D. Rp1.200.000,00B. Rp600.000,00 E. Rp1.800.000,00C. Rp750.000,00

(Soal UN Tahun 2007 tipe A)

Pembahasan:Misal: banyak vaksin P dan N yang diperlukan un-

tuk 100 ayam, berturut-turut adalah x dan y.- Sistem pertidaksamaan linier:

(1) x + 3y 0 ,12) ,(4 ,0) ® 12 )(2) 3x + y 0 ,4) ,(12 ,0) ® 12 )(3) x 0 , y 0

Funsi objektif : K = 1.000x + 1.500y

Koordinat B :3x + y = 12 x 3 9x + 3y = 36x + 3y = 12 x 1 x + 3y = 12 – 8x = 24 x = 33.(3) + y = 12 y = 3 B (3, 3)A (0, 12) ® K = 1.000(0) + 1.500(12) = 18.000B (3, 3) ® K = 1.000(3) + 1.500(3) = 7.500C (12, 0) ® K = 1.000(12) + 1.500(0) = 12.000- jadi biaya minimum untuk 100 ekor = Rp7.500- sehingga biaya 10.000 ekor = Rp750.000,00

Jawaban : C

LATIHAN SOAL

1. Dari sistem pertidaksamaan linear, x + y ≤ 50, x – 2y ≥ -40, x ≥ 0, dan y≥0, maka

nilai maksimum dari adalah ….A. 0 D. 210B. 100 E. 300C. 150

2. Pada gambar di bawah ini, daerah yang diarsir merupakan grafik himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan linear. Nilai maksimum dari ben-tuk obyektif 5x+y dengan x,y C pada himpunan penyelesaian itu, adalah ….

A. 2B. 10C. 24D. 26E. 30

3. Suatu pabrik roti memproduksi 120 kaleng roti setiap hari. Roti terdiri dari dua jenis, roti asin dan roti manis. Setiap hari roti asin diproduksi paling sedikit 30 kaleng dan roti manis 50 kaleng. Misakan roti asin sebanyak x kaleng dan roti manis y kaleng, model matematika soal ini adalah ….A. x – y=120, x≥30, y≥50B. x+y=120, x>30, y≥50C. x+y=120, x≥30, y>50D. x+y=120, x<30, y<50E. x+y=120,x ≥ 30, y≥50

4. Untuk menambah penghasilan, seorang ibu setiap harinya memproduksi dua jenis kue untuk dijual. Setiap kue I modalnya Rp200,00 dengan keuntun-gan 40%, sedangkan setiap kue II modalnya Rp300,00 dengan keuntungan 30%. Jika modal yang tersedia setiap hari adalah Rp100.000,00 dan paling banyak hanya dapat memproduksi 400 kue, maka persentase keuntungan terbesar yang dapat dicapai ibu tersebut adalah ... dari modal.A. 30.000 D. 50.000B. 32.000 E. 60.000C. 34.000

5. Nilai maksimum dari 5 45x y+ untuk x dan y yang memenuhi y 0 , x + 2y 6 , dan 3x + y 8 adalah ….A. 30 D. 100 B. 60 E. 110C. 90

66

6. Nilai minimum untuk 2x + 5y dengan syarat

0, 0, 12,x y x y≥ ≥ + ≥ dan 2 16x y+ ≥ adalah ....A. 16 D. 60B. 32 E. 72C. 36

7. Pesawat penumpang mempunyai tempat duduk 48 kursi. Setiap kelas utama boleh membawa ba-gasi 60 kg sedang kelas ekonomi 20 kg. Pesawat hanya dapat membawa bagasi 1440 kg. harga tiket kelas utama Rp150.000,00 dan kelas ekonomi Rp100.000,00 supaya pendapatan dari penjualan tiket pada saat pesawat penuh mencapai maksi-mum, jumlah tempat duduk kelas utama haruslah …. A. 12 D. 48B. 24 E. 52C. 36

8. Rokok A yang harga belinya Rp1.000,00 di jual dengan harga Rp1.100,00 per bungkus sedangkan rokok B yang harga belinya Rp1.500,00 di jual denga harga Rp1.700,00 per bungkus. Seorang pedagang rokok yang mempunyai modal Rp300.000,00 dan kiosnya dapat menampung paling banyak 250 bungkus rokok akan mendapat keuntungan maksimum jika ia membeli ….A. 150 rokok AB. 250 rokok AC. 100 rokok BD. 200 rokok BE. 150 rokok A dan 100 rokok B

9. Nilai maksimum dari f(x,y) = 2x + 3y pada himpunan penyelesaian sistem pertidaksamaan

3 2 242 8

00

x yx y

xy

+ ≤− + ≤ ≥

≥

adalah ….

A. 8 D. 30B. 16 E. 36C. 26

10. Dengan persediaan 20 m kain polos dan 10 m kain bergaris, seorang penjahit akan membuat 2 model pakaian. Model l memerlukan 1 m kain polos dan 1,5 m kain bergaris. Model ll memerlukan 2 m kain polos dan 0,5 m kain bergaris. Bila pakaian tersebut dijual, model l memperoleh untung Rp15.000,00 per potong dan model ll Rp10.000,00 per potong. Laba maksimum yang diperoleh adalah ….A. 40.000B. 100.000C. 140.000D. 280.000E. 360.000

67

MATRIKS

B A B

XV

1. Pengertian matriksa) Matriks adalah susunan suatu kumpulan bilangan

dalam bentuk persegi atau persegi panjang yang diatur menurut baris dan kolom

b) Baris suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar dalam matriks

c) Kolom suatu matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak dalam matriks

2. Operasi hitung matriksa) Penjumlahan atau pengurangan matriks Matriks A dan B dapat dijumlahkan atau diku-

rangkan jika ordo A = ordo B

A = dan B =

A + B =

a b c

d e f

p q r

s t u

a p b q c r

d s

+ + ++ ee t f u+ +

1) Sifat penjumlahan matriks Jika A dan B matriks-matriks berordo sama,

berlaku:(a) Sifat Komutatif: A + B = B + A(b) Sifat Asosiatif: (A + B) + C = A + (B + C)(c) Terdapat matriks Identitas, yaitu matriks

nol, sehingga: A + 0 = 0 + A = A(d) Setiap matriks A mempunyai invers pen-

jumlahan yaitu matriks –A , sehingga: A + ( –A ) = ( –A ) + A = 0

2) Pada pengurangan matriks bersifat:(a) Tidak Komutatif(b) Tidak Asosiatif(c) Tidak terdapat unsur Identitas

b) Perkalian Matriks Dua matriks A dan B dapat dikalikan bila banyak

kolom matriks pertama (kiri) sama dengan banyak baris matriks kedua (kanan)1) Am x n . Bn x k = Cm x k

2) Bn x k . Am x n tidak dapat dikalikan 3. Transpos Matriks

Transpos matriks A ( At ) adalah sebuah matriks yang disusun dengan cara menuliskan baris ke-I matriks A menjadi kolom ke-I matriks At .

A = A = ta b c

d e f

a d

b e

c f

→

Beberapa sifat matriks transpos:a) (A + B)t = At + Bt

b) ( At )t = Ac) (AB)t = BtAt

d) (KA)t = KAt, k merupakan konstanta

4. Determinan dan invers matriks

1) Jika A = a b

c d

, maka determinan matriks

A = |A|=a b

c dad bc

= −

2) Jika A = a b

c d

, maka invers matriks

A = A = |A|

=

− −

−

1 1 d b

c a

Apabila |A| = 0, maka matriks A tidak mempu-nyai invers dan disebut matriks singular.

Apabila |A|≠ 0, maka matriks A mempunyai invers dan disebut matriks non singular.

Baris 1 a b c

2 d e f

1 2 3

68

3) Sifat-sifat invers matriks

(1) A A-1 = A-1 A = I = 1 0

0 1

matriks

identitas(2) (A B)-1 = B-1 A-1

6. Penggunaan matriks dalam sistem persamaan linear 1) Cara Matriks

Jika persamaan AX = B, maka X = A-1 BJika persamaan XA = B, maka X = B A-1

2) Cara determinanax + by = pcx + dy = q

maka x= dxd

dan y = dyd

dengan D D x = D y ==a b

c d

p b

c q

a p

c q, ,


1. Diketahui matrik A = 3 02 5

, B = 1

1xy

−

dan

C = 0 115 5

− −

, A’ adalah transpos dari A.

Jika A’ · B = C maka nilai 2x + y = ….A. -4 D. 5B. -1 E. 7C. 1

(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe A )

Pembahasan:3 2

0 5

1

1

0 1

15 5

3 2 1

5 5

0 1

15

−

=

−−

+ −

=

−−

x

y

x y

y 55

5 15

3

3 2 3 0

⇒ = −= −

⇒ + − =

y

y

x

�

( )

2x =

Jadi nilai: 2x + y = 2 (2) – 3 = 1

Jawaban : C

2. Jika matriks A= 2x+ 1 3

6 1 5x−

tidak mempunyai

invers, maka nilai x adalah ....A. -2 D. 1B. -1 E. 2C. 0

(Soal UN Tahun 2004/2005 tipe B )

Pembahasan:Matriks tidak punya invers: detA=0 2)5 x + 1) – 3(6x – 1)=0 x=1

Jawaban: D

3. Diketahui persamaan matriks

Jika a

c

b

d

=

−

−

−

2

3

3

4

1

3

2

4

2

1

4

2

maka a + b + c + d = ….A. 2 D. 5B. 3 E. 6C. 4

(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe A )

Pembahasan:

a

c

b

d

a

c

=

−

−

−

⇔

2

3

3

4

1

3

2

4

2

1

4

2

=

−−

⇔

=

−−

−

b

d

a

c

b

d

4 8

2 4

2 3

3 4

4 8

2 4

1

−−

=−

−

4 3

3 2

40

20

28

14

Jadi: a + b + c + d = 40 – 28 – 20 + 14 = 6Jawaban: E

4. Matriks X berordo (2 × 2) yang memenuhi

1 23 4

X = 4 32 1

adalah ….(Soal UN Tahun 2005/2006 tipe C)

A. 6 5

5 4− −

D. 4 23 1

− −

B. 5 64 5

−

E. 12 1010 8

− −

C. 6 5

4 5− −

69

Pembahasan:

X

=

⋅

= −−

−

= −

−1 2

3 4

4 3

2 1

12

4 2

3 1

4 3

2 1

1

1

22

12 10

10 8

6 5

5 4

− −

=− −

Jawaban : A

5. Diketahuipersamaanmatriks A = BT (BTadalah

transpose matriks B), dengan A = 42 3ab c

dan B = 2 3 2 1 a 7

c b ab

− + +

. Nilai a + b + c = ....


A. 6 D. 15B. 10 E. 16C. 13

Pembahasan:

A = 42 3ab c

B = 2 3 2 1 a 7

c b ab

− + +

® BT= 2 3 2 1 7c b aa b

− + +

(Hubungan: A=BT )

42 3ab c

=2 3 2 1 7c b aa b

− + +

Dari persamaan matriks dapat diperoleh : 4 = 2a ® a = 2 2b = 2 (2a + 1 ) b = 2a + 1 = 2.2 + 1 = 5 3c = 2 (b + 7) 3c = 2(5 + 7) ® c = 8Jadi, a + b + c = 2 + 5 + 8 = 15

Jawaban : D

LATIHAN SOAL

1. Jika matriks a a

1

0 1

−

dan

2

0 1

b

maka nilai b

adalah ....A. – 2 D. 1B. – 1 E. 2C. 0

2. Jika matriks A = a

a

a

2 3

1 4

2 5

tidak mempunyai

invers, maka nilai adalah . . . . A. 2 D. 1B. 3 E. 2C. 5

3. Jika MN matriks satuan dengan 2 4

1 6

maka M

= ....

A. − −

−

−

−

34

12

18

14

34

12

18

14

34

12

18

1

44

34

12

18

14

34

12

18

14

−

− −

D.

− −

−

−

−

34

12

18

14

34

12

18

14

34

12

18

1

44

34

12

18

14

34

12

18

14

−

− −

B. E.

C.

4. Matriks X yang memenuhi persamaan

2 7

5 3 X=

−−

3 8

7 9 adalah ....

A.

2 3

1 2

2 3

1 2

2 3

1

−−

− −−

−−

−

− −− −

−

2

2 3

1 2

2 3

1 2

D.

2 3

1 2

2 3

1 2

2 3

1

−−

− −−

−−

−

− −− −

−

2

2 3

1 2

2 3

1 2 B. E.

C.

5. Jika 2 3

3 1

1

8

−

=

x

y, maka 4x + 5y = ....

A. – 6 D. 0B. – 4 E. 2C. – 2

70

6. Nilai yang memenuhi

a b

c d

2

3

0

−

=

1 2

2 1

1

4

0

1 2

adalah ....

A. – 5 D. 1B. – 1 E. 5C. 0

7. Nilai t yang memenuhi t

t

− −− −2

4 1

3

adalah ....

A. – 3 D. 3B. – 1 E. 5C. 0

8. Diketahui persamaan matriks

a

c

b

d

=

−

−

−

2

3

3

4

1

3

2

4

2

1

4

2

Maka a + b + c + d = ….A. 2 D. 5B. 3 E. 6C. 4

9. Diketahui matriks A3 0

2 5 B=

dan C =

=

−

−−

,x

y

1

1

0 1

115 5

A

3 0

2 5 B=

dan C =

=

−

−−

,x

y

1

1

0 1

115 5

adalah transpos dari A.

Jika At · B= C maka nilai 2x + y = ....A. -4 D. 5B. -1 E. 7C. 1

10. Diketahui matriks P = 2 5

1 3 dan Q =

5 4

1 1

.

Jika P–1 adalah invers matriks P dan Q–1 adalah invers matriks Q maka determinan matriks P–1 Q–1

adalah ....A. 223 D. -10 B. 1 E. -223 C. -1

71

BARISAN DAN DERET

B A B

XVI

1. Barisan dan Deret Aritmatika

a. Bentuk umum barisan: U1, U2, U3, U4, … , Un

a, a + b, a + 2b, a + 3b, … , a + (n – 1)b

b. Beda (selisih) = b b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = … = Un – Un – 1

c. Suku ke-n (Un) Un = a + (n – 1)b Un = Sn – Sn – 1

d. Jumlah n suku pertama (Sn)

Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un – 1 + Un

( )2n nn

S a U= + atau { }2 ( 1)2nn

S a n b= + −

e. Hubungan suku pertama (a), suku tengah (Ut), dan suku ke-n (Un)

2 11

( )2t kU a U −= + , k letak suku tengah, banyaknya

suku 2k – 1 Sn = n . Ut

f. Sisipan

1barub

bk

=+

2. Barisan dan Deret Geometria. Bentuk umum barisan :

U1, U2, U3, U4, … , Un

r, ar, ar2, ar3, … , arn–1

b. Rasio (perbandingan) = r

32 4

1 2 3 1

. . . n

n

UU U Ur

U U U U −

= = = = =

c. Suku ke-n (Un)Un = arn–1

Un = Sn – Sn – 1

d. Jumlah n suku pertama (Sn)Sn = U1 + U2 + U3 + U4 + . . . + Un – 1 + Un

( 1), 1

1

n

na r

S rr

−= >

− atau

(1 ), 1

1

n

na r

S rr

−= <

−

e. Hubungan suku pertama (a), suku tengah (Ut), dan suku ke-n (Un)

2t nU a U= ⋅

f. Sisipan

1kbarur r+=

3. Deret Geometri Tak Hinggaa. Konvergen (semakin mengecil), apabila limit jumlah

untuk n ∞ dapat ditentukan.

Jumlah sampai tak hingga: 1

aS

r∞ =−

, -1 < r < 1, r ≠ 0.b. Divergen (semakin menyebar/membesar), apabila

limit jumlah untuk n ∞ tidak dapat ditentu-kan.

Jumlah sampai tak hingga : S∞ = ± ∞ , r < -1 atau r > 1.

72


1. Seorang ibu membagikan permen kepada 5 orang anaknya menurut aturan deret matematika. Semakin muda usia anak semakin banyak permen yang diperolehnya. Jika permen yang diterima anak kedua 11 buah dan anak keempat 19 buah, maka jumlah seluruh permen adalah ….


A. 60 buah D. 75 buahB. 65 buah E. 80 buahC. 70 buah

Pembahasan:Deret aritmatika :u2 = a + b = 11u4 = a + 3b = 19

-2b = -8 b = 4 a = 7

55

(2. 7 4. 4) 752

S = + =

Jadi seluruh permen : 75 buahJawaban : D

2. Sebuah bola jatuh dari ketinggian 10 m da me-

man tul kembali dengan ketinggian 34

kali tinggi

sebelumnya.begitu seterusnya hingga bola ber-henti. Jumlah seluruh lintasan bola adalah ….


A. 65 m D. 77 mB. 70 m E. 80 mC. 75 m

Pembahasan:10

403

14

S = =−

Panjang seluruh lintasan adalah:2 ( S ) – 10 = 2 ( 40 ) – 10 = 70

Jawaban : B

3. Seutas tali dipotong menjadi 7 bagian dan panjang masing-masing potongan membentuk barisan geometri. Jika panjang potongan tali terpendek sama dengan 6 cm dan panjang potongan tali terpanjang sama dengan 384 cm, panjang keseluruhan tali tersebut adalah ….


A. 378 cm D. 762 cmB. 390 cm E. 1.530 cmC. 570 cm

Pembahasan:Potongan tali terpendek: a = 6Potongan tali terpanjang: u7 = ar6 = 384

6

6

3846

642

ara

rr

=

⇔ =⇔ =

Panjang keseluruhan tali : 7 7

7( 1) 6 (2 1)

1 2 1a r

Sr

− −= =

− − = 762

Jawaban : D

4. Seorang anak menabung di suatu bank dengan selisih kenaikan tabungan antarbulan tetap. Pada bulan pertama sebesar Rp50.000,00, bulan kedua Rp55.000,00, bulan ketiga Rp60.000,00, dan se-terusnya.Besar tabungan anak tersebut selama dua tahun adalah ….


A. Rp1.315.000,00 D. Rp2.580.000,00B. Rp1.320.000,00 E. Rp2.640.000,00C. Rp2.040.000,00

Pembahasan:Merupakan deret Aritmatika Dengan: a = 50.000 b = 5.000Besar tabungan selama 2 tahun:

2424

(2 23 )2

12(100.000+23(5000)) 2.580.000

S a b= = +

==

Jawaban : D

5. Setiap hari minggu Toko PINTAR buka lebih awal, mulai pukul 07.30 dan istirahat pada pukul 12.00. Pengunjung toko tersebut datang silih berganti. Hasil pendataan tiap 15 menit, pengunjung bertambah secara konstan. 15 menit pertama, banyak peng unjung 6 orang dan banyak seluruh pengunjung sampai pukul 12.00 sebanyak 567 orang, ba nyak pengunjung sampai pukul 09.00 adalah ….


A. 21 orang D. 54 orangB. 27 orang E. 81 orangC. 49 orang

73

Pembahasan:Deret Aritmatika dengan :a = 6s18 = 9 ( 12 + 17b ) = 567 b = 3Banyak pengunjung sampai pukul 09.00 :S6 = 3 ( 12 + 5. 3 ) = 81

Jawaban : E

6. Sebuah mobil dibeli dengan harga Rp.90.000.000,00. Jika setiap tahun mengalami penyusutan 15% dari nilai tahun sebelumnya, harga mobil tersebut setelah dipakai 5 tahun adalah ….A. Rp90.000.000,00 (0,15)5

B. Rp90.000.000,00 (0,85)5

C. Rp90.000.000,00 (1,5)5

D. Rp90.000.000,00 (0,15)-5

E. Rp90.000.000,00 (8,5)-5


Pembahasan:Harga mobil setelah 5 tahunM = 90.000.000 (1 – 15%) 5

= 90.000.000 (0,85) 5

Jawaban : B

LATIHAN SOAL

1. Rumus sederhana suku ke-n dari barisan 2, 6, 12, 20 … adalah ....A. Un = 2 + 2n D. Un = n2 + 2B. Un = 2n + 1 E. Un = 2n + 2 C. Un = n2 + n

2. Jumlah n suku pertama suatu deret aritmatika adalah Sn = n2 – n. Suku ke-10 deret tersebut sama dengan ....A. 8 C. 18 E. 90B. 11 D. 72

3. Diketahui deret bilangan 10 + 11 + 12 + 13 + … + 99. Dari deret bilangan itu, jumlah bilangan yang habis dibagi 2 tetapi tidak habis dibagi 5 adalah ....A. 950 C. 1.930 E. 2.430B. 1.480 D. 1.980

4. Jumlah deret aritmatika 2 + 5 + 8 + … + k = 345, maka nilai k adalah ....A. 15 C. 44 E. 47B. 25 D. 46

5. Populasi satu jenis serangga setiap tahun menjadi dua kali lipat. Jika populasi serangga tersebut saat ini mencapai 5.000 ekor, maka 10 tahun yang datang populasinya sama dengan .... ekorA. 2.557.500 D. 5.115.000B. 2.560.000 E. 5.120.000C. 5.090.000

6. Setelah mengenai lantai, sebuah bola memantul sampai ke ketinggian 4 m, kemudian sampai ketinggian 2 m, selanjutnya 1 m dan seterusnya. Jarak yang ditempuh selama selama enam pantulan pertama adalah ... m

A. 634

C. 314

E. 6232

B. 638

D. 6332

7. Persamaan kuadrat x2 – 6x + p = 0 mempunyai akar-akar a dan b. Jika a, b, ab membentuk suatu barisan geometri, maka nilai p adalah ....A. 16 atau 9 D. –12 atau 18B. –6 atau 24 E. –27 atau 8C. –8 atau 27

8. Jumlah tak hingga sebuah deret geometri ialah

–18 sedang rasionya 23

− , maka suku pertama

deret tersebut adalah ....

A. –30 D. 16 13

B. -10 45

E. 30

C. 10 45

9. Diketahui 0

(4 3) dx=2xα

−∫ . Jumlah deret

log a + log 12

+ log 14

+ log 18

+ ...

adalah ....

A. log 12

C. 12

log 4 E. log 4

B. 12

log 2 D. log 2

10. Dari suatu deret geometri ditentukan U1 + U2 + U3 = –17 dan U1.U2.U3 = –125. Nilai

U1 adalah . . . .

A. – 52

atau –10 D. 5 atau –10

B. – 5 atau 10 E. 52

atau 10

C. – 25

atau –10

03. matematika

Documents

Transcript of 03. matematika