01 Metode Energi
-
Upload
deo-harita -
Category
Documents
-
view
132 -
download
4
Transcript of 01 Metode Energi
8/26/2013
1
1 Metode Energi
K L 3 1 0 1 , K E L A S 0 1
S E M E S T E R I 2 0 1 3 / 2 0 1 4
Topik
Aplikasi Metode Energiuntuk Perhitungan Deformasi Struktur
Pengantar Kerja Gaya Luar
Energi Regangan
Prinsip Kekekalan Energi
Perhitungan Perpindahan Menggunakan Prinsip Kekekalan
untuk Perhitungan Deformasi Struktur
g p gg pEnergi
Teorema Castigliano
Prinsip Kerja Maya / Metode Beban Satuan
8/26/2013
2
Kerja Gaya Luar
Kerja yang dilakukan oleh gaya F:
Kerja yang dilakukan oleh momen M:
0
x
W Fdx
0
W Md
Kerja Gaya Luar
F
L L + 1
1 2W P
P1
P1 + P2
2 2
1
2W P
F
1
P12
P2
P1
1 1
1
2W P
1 1 + 2
x
8/26/2013
3
Energi Regangan
xdF dydzdy
x
xd dx
1 1
2 2 x xdU dFd dydz dx
dx dz
dy x
Energi regangan = kerja yang dilakukan oleh gaya dalam
2
1
2
2 2
x x
V V
dV
U dV dVE
Energi Regangan Gaya Aksial
Tegangan akibat gaya aksial: N
A
Energi regangan:
Jika gaya aksial N konstan di sepanjang batang, ti d t kt k b t
2 2
202 2
L
N
V
N NU dV dx
EA EA
seperti pada struktur rangka batang:2
2N
N LU
EA
8/26/2013
4
Energi Regangan Momen Lentur
Tegangan akibat momen lentur: My
I
Energi regangan:
2 22
2 20
2
2 2
L
M
V A
L
My MU dAdx y dA dx
EI EI
M
2
0 2
L Mdx
EI
Energi Regangan Gaya Dalam Lainnya
Gaya Geser, V: K = faktor penampang:
2
2
L
V
KVU dx
GA K faktor penampang:
1.2 untuk penampang segiempat
10/9 untuk penampang lingkaran
G = modulus geser
Av = luas bidang geser (shear area)
0
2
0
2
2
L
v
GA
Vdx
GA
2
2 2A
A QK dA
I t
Torsi, T: J = momen inersia polar
2
2T
T LU
GJ
8/26/2013
5
Prinsip Kekekalan Energi
“Kerja yang dilakukan gaya luar = energi regangan”
W = U
Contoh 1
Tentukan besarnya perpindahan vertikal di ujungbalok kantilever akibat beban P seperti tergambar.balok kantilever akibat beban P seperti tergambar.
G k h i kib t
E, I, L
P
Gunakan hanya energi regangan akibat momenlentur, abaikan energi regangan lainnya.
8/26/2013
6
Contoh 1
Kerja gaya luar:
P
2
PW
Momen lentur:
2
M Px
x
VMP
Energi regangan:2 2 2 2 3
0 02 2 6
L LM P x P LU dx dx
EI EI EI
Contoh 1
Gunakan prinsip kekekalan energi untukmenentukan perpindahan :menentukan perpindahan :
2 3
3
2 6
W U
P P L
EI
PL
3
PL
EI
8/26/2013
7
Contoh 2
Tinjau kembali struktur pada Contoh 1.
Diketahui balok terbuat dari baja (E = 200 GPa Diketahui balok terbuat dari baja (E = 200 GPa, G = 77 GPa), P = 20 kN, L = 2 m, dan penampang balok berupa segi empat dengan lebar 200 mm dan tinggi 300 mm.
Tentukan besarnya energi regangan akibat seluruh gaya-gaya dalam yang dialami struktur.g y g y y g
Contoh 2
Pada balok terdapat gaya dalam berupa gaya geser dan momen lentur:
Pdan momen lentur:
Energi regangan:–
+V
M
M Px
V P
M VU U U 2 2
0 02 2
M V
L LM KVdx dx
EI GA
8/26/2013
8
Contoh 2
Energi regangan akibat momen lentur: 2 32 3 20000 2P L
Energi regangan akibat gaya geser:
9 4
20000 2
6 6 200 10 4.5 10
5.93 N-m 5.93 J
M
P LU
EI
22 1.2 20000 20 104 J
KP LU
Energi regangan: 9
0.104 J2 2 77 10 0.06
VUGA
6.03 JM VU U U
Contoh 3
Tentukan putaran di ujung C pada struktur balokyang dikenai momen M0 seperti tergambar.yang dikenai momen M0 seperti tergambar.
G k h i kib t
3 m 1 m
M0A B CEI
Gunakan hanya energi regangan akibat momenlentur, abaikan energi regangan lainnya.
8/26/2013
9
Contoh 3
Momen lentur: M0A B C
Kerja gaya luar:
3 m 1 m
–M00
3
M xM
0
2
MW
3 12 2 2M x M Energi regangan: 0 0
0 0
2 2 20 0 0
18 2
2 2
M x MU dx dx
EI EI
M M M
EI EI EI
Contoh 3
Gunakan prinsip kekekalan energi untukmenentukan putaran :menentukan putaran :
20 0
22
W U
M M
EIM
02M
EI
8/26/2013
10
Contoh 4
Tentukan perpindahan horizontal titik C akibatbeban P yang bekerja pada struktur rangka batangbeban P yang bekerja pada struktur rangka batangseperti tergambar.
PB C
3 m
A D
4 m
Contoh 4
Kerja gaya luar:2
PW
Gaya-gaya batang:
PP
P
0
0.7
5P
Energi regangan:2
2
N LU
EA
8/26/2013
11
Contoh 4
Batang L [m] E A N U = N2L/2EA
AB 3 E A 0.75P 0.844P2/EAAB 3 E A 0.75P 0.844P /EA
AD 4 E A P 2P2/EA
BC 4 E A P 2P2/EA
BD 5 E A –1.25P 3.906P2/EA
CD 3 E A 0 0
8.75P2/EA
2W U
28.75
217.5
P P
EAP
EA
Keterbatasan
Hanya dapat menghitung perpindahan akibat satubeban terpusat P atau M.beban terpusat P atau M.
Hanya dapat menghitung perpindahan di lokasibeban terpusat, dan dalam arah yang samadengan beban tersebut.
Untuk kasus yang lebih umum, dapat digunakanTeorema Castigliano dan prinsip kerja mayag p p j y(principle of virtual work).
8/26/2013
12
Teorema CastiglianoAlberto Castigliano (1879)
Perpindahan di suatu titik sama denganturunan energi regangan terhadap Uturunan energi regangan terhadapsuatu gaya dengan arah yang sama yang bekerja di titik tersebut.
Putaran di suatu titik sama denganturunan energi regangan terhadap
ii
U
P
U g g g p
suatu momen kopel dengan arah yang sama yang bekerja di titik tersebut.
iiM
Teorema Castigliano
Untuk struktur rangka batang
2
2
22
N LU
EA
U L NN
P EA P
NL N
EA P
8/26/2013
13
Teorema Castigliano
Untuk elemen balok (akibat momen lentur):
2
0
0
2
L
L
MU dx
EI
U M Mdx
P EI P
0
0 00
LU M Mdx
M EI M
Contoh 5
Gunakan teorema Castigliano untuk menentukanperpindahan di ujung balok kantilever akibat bebanperpindahan di ujung balok kantilever akibat bebanP seperti pada Contoh 1.
E, I, L
P
8/26/2013
14
Contoh 5
Momen lentur: M Px VMP
Perpindahan:
Mx
P
x
3L L Px xM M PL
0 0 3
Px xM M PLdx dx
EI P EI EI
Contoh 6
Gunakan teorema Castigliano untuk menentukanperpindahan dan putaran di ujung B pada strukturperpindahan dan putaran di ujung B pada strukturbalok kantilever seperti tergambar.
Diketahui E = 200 GPa dan I = 500 × 106 mm4.
12 kN/m
5 m
BA E, I
8/26/2013
15
Contoh 6
Momen lentur:26M x Px
M
VMP
Perpindahan di B:
Mx
P
x
20 6P M x
25 6 1875L x xM Md d
0 0
6 6
2
18750.009375 m 9.375 mm
2 200 10 500 10
B dx dxEI P EI EI
Contoh 6
Momen lentur:2
06M x M
M
VM
Mo
Putaran di B:
0
1M
M
x
20 0 6M M x
25 6 1 250L xM Md d
00 0
6 6
250
2500.0025 rad CW
200 10 500 10
B
M Mdx dx
EI M EI EI
8/26/2013
16
Contoh 7
Tentukan besarnya perpindahan horizontal titik Cpada struktur rangka batang seperti tergambar.p g g p g
10 kN
A
B C
D
4
3 m
5 kN
Diketahui semua batang memiliki modulus elastisitas E dan luas penampang A yang sama.
4 m
Contoh 7
Batang L [m] E A NU
P
N
P
AB 3 E A 3.75 + 0.75P 0.75 25.3125/EA
AD 4 E A 5 + P 1 60/EA
BC 4 E A P 1 40/EA
BD 5 E A –6.25 – 1.25P –1.25 117.1875/EA
P P
CD 3 E A 0 0 0
242.5/EA
Beban horizontal 10 kN di Cdihitung sebagai P.
Nilai P = 10 kN sudahdimasukkan.
C
8/26/2013
17
Teorema Castigliano: Prosedur Analisis (1)
Pasang gaya P di titik yang akan ditentukanperpindahannya.perpindahannya. Arah gaya P dianggap sama dengan arah perpindahan yang
akan dicari.
Jika yang akan ditentukan adalah putaran, pasang momen Mdi titik tersebut.
Apabila telah terdapat gaya atau momen pada arahyang sama di titik yang ditinjau anggap nilainyayang sama di titik yang ditinjau, anggap nilainyasebesar P atau M dahulu, jangan masukkan nilainumeriknya.
Teorema Castigliano: Prosedur Analisis (2)
Hitung gaya aksial batang (untuk struktur rangkabatang) atau momen lentur (untuk struktur balokbatang) atau momen lentur (untuk struktur balokdan portal) akibat seluruh beban yang bekerjatermasuk P atau M tadi.
Hitung turunan dari gaya batang atau momen lenturterhadap P atau M.
Masukkan nilai numerik beban P atau M.
Integrasikan dan/atau jumlahkan turunan Uterhadap P atau M untuk memperoleh nilaiperpindahan atau putaran.
8/26/2013
18
Metode Beban Satuan (Unit Load Method)
Dari contoh-contoh perhitungan menggunakanTeorema Castigliano, dapat dilihat bahwa nilaiTeorema Castigliano, dapat dilihat bahwa nilai∂N/∂P atau ∂M/∂P sama dengan nilai gaya batangatau momen lentur akibat beban P sebesar 1 satuan.
Demikian pula dengan ∂M/∂M0, dapat diperolehdengan memasang momen M0 sebesar 1 satuan.
Oleh karena itu, deformasi dapat dihitung dengan, p g g
0
L Mmdx
EI NnL
EA
Metode Beban Satuan (Unit Load Method)
N = gaya-gaya batang akibat beban yang bekerjapada strukturpada struktur
n = gaya-gaya batang akibat beban 1 satuan di titikyang akan dihitung perpindahannya
M = momen lentur akibat beban yang bekerja padastruktur
m = momen lentur akibat beban 1 satuan di titikm momen lentur akibat beban 1 satuan di titikyang akan dihitung perpindahannya
8/26/2013
19
Metode Beban Satuan (Unit Load Method)
Untuk deformasi akibat geser dan torsi: L
V = gaya geser akibat beban yang bekerja pada struktur
v = gaya geser akibat beban 1 satuan di titik yang akandihitung perpindahannya
0
L
s
KVvdx
GA t
TtL
GJ
g p p y
T = gaya dalam torsi akibat beban yang bekerja padastruktur
t = gaya dalam torsi akibat beban 1 satuan di titik yang akan dihitung perpindahannya
Prinsip Kerja VirtualJohann Bernoulli (1717)
Metode beban satuan awalnya diturunkan dariprinsip kerja virtual.prinsip kerja virtual.
Misalkan suatu struktur diberi beban P sebesar 1 satuan di titik A (yang akan ditentukanperpindahannya). Akibatnya, akan timbul gayadalam m atau n.
Setelah itu baru diterapkan beban-beban yang p y gsebenarnya bekerja pada struktur. Akibatnya, titik Aakan berpindah sejauh .
8/26/2013
20
Prinsip Kerja Virtual
Kerja yang dilakukan oleh beban virtual 1 satuanadalah W = 1 × = .adalah W 1 × .
Kerja yang dilakukan oleh gaya dalam n adalah u = nδ, sedangkan kerja yang dilakukan oleh gaya dalamm adalah u = m.
Sesuai dengan prinsip kekekalan energi, kerja Wharus sama dengan total kerja yang dilakukan olehg j y ggaya-gaya dalam.
Metode Beban Satuan via Prinsip Kerja Virtual
Untuk struktur rangka batang
NL nNLu n
EA EAW U n
nNL
N
EA
8/26/2013
21
Metode Beban Satuan via Prinsip Kerja Virtual
Untuk struktur balok dan portal
0 0
L L
L
M mMdx u m dx
EI EI
W U
mM
0
mMdx
EI
Metode Beban Satuan: Prosedur Analisis
Hitung gaya-gaya batang N atau momen lentur Makibat seluruh beban yang bekerja pada struktur.akibat seluruh beban yang bekerja pada struktur.
Hitung gaya-gaya batang n atau momen lentur makibat beban 1 satuan di titik yang akan dihitungperpindahannya. Jika yang akan ditentukan adalahputaran, maka beban yang diberikan adalah momen 1 satuan.
Tentukan besarnya deformasi dengan formula:
0
L Mmdx
EI
NnL
EA
8/26/2013
22
Tabel Integral Volume
Integrasi:L
untuk diagram momen yang sederhana (linier atauparabola) telah tersedia dalam bentuk tabel integral volume
0
Mmdx
volume.
Contoh 8
Gunakan metode beban satuan untuk menentukanperpindahan ujung balok kantilever akibat beban Pperpindahan ujung balok kantilever akibat beban Pseperti pada Contoh 1.
E, I, L
P
8/26/2013
23
Contoh 8
Diagram momen lentur:P 1
M
–PL
–L
m
Perpindahan:
3
0 3 3
L L PL LMm PLdx
EI EI EI
Contoh 9
Gunakan metode beban satuan untuk menentukanperpindahan di ujung B pada struktur balokperpindahan di ujung B pada struktur balokkantilever seperti pada Contoh 6.
Diketahui E = 200 GPa dan I = 500 × 106 mm4.
12 kN/m
5 m
BA E, I
8/26/2013
24
Contoh 9
Diagram momen lentur:112 kN/m
–5
m
B5 m
A
150 37.5–
M
Perpindahan:
6 60
5 5 150 2 37.5
6 200 10 500 10
0.009375 m 9.375 mm
L
B
Mmdx
EI
Contoh 10
Tentukan perpindahan horizontal titik C akibatbeban yang bekerja pada struktur seperti tergambar. beban yang bekerja pada struktur seperti tergambar. Balok AB dan kolom BC memiliki modulus elastisitasE dan inersia penampang I.
20 kN/m
A B
6 m
C
6 m
8 m
8/26/2013
25
80 kN
20 kN/m
0.75
1
1
+
160–
–
80 kN 0.75
6
6
M m
0
8 6 2 160 25600
6
L
C
Mmdx
EI EI EI
Contoh 11
Tentukan besarnya perpindahan horizontal titik Cpada struktur rangka batang seperti tergambar.pada struktur rangka batang seperti tergambar.
Anggap E dan A konstan, dan bernilai sama untuksemua batang.
10 kNB C
3 m
5 kN
A D
4 m
8/26/2013
26
Contoh 11
Batang L [m] E A N n NnL/EA
AB 3 E A 10.25 0.75 25.3125/EA
AD 4 E A 15 1 60/EA
BC 4 E A 10 1 40/EA
BD 5 E A –18.75 –1.25 117.1875/EA
CD 3 E A 0 0 0
242.5/EA C