LOGIKA MATEMATIKA

Bab 1LOGIKA MATEMATIKA

Dalam setiap melakukan kegiatan sering kita dituntut untuk menggunakan akal dan pikiran. Akal dan pikiran yang dibutuhkan harus mempunyai pola pikir yang tepat, akurat , rasional , logis , obyektif dan kritis. Dengan menggunakan logika diharapkan kita lebih efektif dalam mengenal dan menghindari kesalahan penalaran. Prinsip-prinsip logika sering digunakan dalam penalaran aplikasi pemrograman untuk tehnologi informasi.

1. Pernyataan ( Kalimat Dekaratif)Suatu pernyataan adalah suatu kalimat yang hanya dapat mempunyai nilai kebenaran saja atau mempunyai nilai salah saja dan tidak berlaku kedua-duanya secara bersamaan.Contoh :a. " Jika x real maka "Kalimat ini merupakan suatu pernyataan , karena kalimat ini menerangkan sesuatu yang benar.b. "Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang yang sama "Kalimat ini merupakan suatu pernyataan sebab kalimat ini menerangkan sesuatu yang salahc. " Harga logaritma suatu bilangan , sama dengan 3 "Kalimat ini bukan merupakan suatu pernyataan , mengingat kalimat ini menerangkan sesuatu yang mungkin enar atau mungkin salah.

2. Nilai KebenaranSuatu Pernyataan dapat menerangkan suatu kejadian yang benar maupun yang salah, maka diperlukan suatu nilai kebenaran untuk membedakan pernyataan yang benar dan yang salah. Untuk menyatakan nilai kebenaran dari pernyataan ada 2 cara yaitu :a. Cara empiris : kebenaran berdasarkan kenyataan pada saat itu ( tergantung ruang dan waktu)b. Cara non empiris : suatu kebenaran yang mutlak.

Nilai kebenaran dari suatu pertnyataan p dituliskan dengan lambang Contoh :

p= Sisi-sisi sebuah segitiga siku-siku mempunyai panjang yang sama maka dalam hal ini = S

3. Pernyataan berkuantor.Ada dua kuantor, yaitu:

a. kuantor universal dengan notasi ( untuk semua , seluruh, setiap ,.)

- Setiap kucing mempunyai ekorPernyataan ini benar sebaba tidak dapat ditemukan kucing yang tidak mempunyai ekor.

b. Kuantor eksensial dengan notasi ( ada , beberapa, diantara , . )

- pernyataan ini benar sebab dapat ditemukan beberapa bilangan yang jika dijumlah dengan 3 mempunyai nilai 6 Operasi-operasi pada Logika.

Seperti pada system bilangan real, matriks ataupun fungsi, maka pada logika matematika, kita juga mengenal operasi antara pernyataan, antara lain :

a. Operasi Negasi / IngkaranSuatu pernyataan yang baru yang nilai kebenarannya kebalikan dari pernyataan semula. Negasi pernyataan p ditulis ~ p ( bukan p )Tabel kebenaran :P~p

BSSB

~(~p)p

Contoh :p : ada bilangan real yang logaritmanya sama dengan satu ~ p : Semua bilangan real logaritmanya tidak sama dengan satu

b. Operasi Konjungsi

Operasi yang menggabungkan pernyataan p dan q menjadi pernyataan majemuk yang menggunakan kata penghubung dan dilambangkan Kata-kata tetapi , hanya saja , walaupun identik dengan dan.Sebuah konjungsi akan benar apabila nilai kebenaran dari p dan q keduanya benar, dalam hal lain sebuah disjungsi akan salah.

Tabel kebenaran Konjungsi

PQpq

BBSSBSBSBSSS

Negasi dari Konjungsi

Contoh :`

p: untuk semua bilangan real

q: untuk setiap x real

(p) = B , (q) = S maka ( p q ) = S

c. Operasi DisjungsiSuatu pernyataan majemuk yang terbentuk dari pernyataan p dan q menggunakan kata penghubung atau dilambangkan p V qDisjungsi ada 2 macam : Disjungsi Inklusif : Disjungsi yang bernilai benar karena dua pernyataan benar, atau hanya salah satu pernyataan yang benar Disjungsi eksklusif : Disjungsi yang bernilai benar karena salah satu pernyataan saja yang benar karena tidak mungkin keduanya benar. Dalam persoalan jika tidak ada pernyataan /keterangan maka dianggap disjungsi inklusif.

Tabel Kebenaran Disjungsi Inklusif

PQpq

BBSSBSBSBBBS

Tabel Kebenaran Disjungsi Ekslusif

PQpq

BBSSBSBSSBBS

Contoh :

p : "x = 0 merupakan akar persamaan "

q : "x = 1 merupakan akar persamaan "

Jadi p q : " x = 0 merupakan akar persamaan atau x = 1 merupakan akar persamaan

Terlihat bahwa (p q) = B

Ingkaran dari Konjungsi : ~(p V q) ~pV~qKonsep konjungsi dan disjungsi pada rangkaian listrik a. Konsep konjungsi dapat digambarkan sebagai hubungan seri

Lampu menyala hanya jika sakelar . dan terhubung. Jika hanya salah satu sakelar yang terhubung lampu tidak menyala. (lihat table kebenaran konjungsi)

b. Konsep disjungsi dapat digambarkan sebagai hubungan parallel pada rangkaian listrik tersebut.

Pada rangkaian seperti gambar , lampu akan menyala apabila sakelar dan terhubung atau salah satu sakelar saja yang terhubung.

c. Operasi Implikasi ( pernyataan bersyarat)Pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung " Jika .maka ."Pernyataan p disebut sebab (hipotesis/antesenden) dan pernyataan q disebut kesimpulan(konklusi/konsekwen)Sebuah implikasi akan salah jika hipotesanya benar tetapi konklusinya salah dalam hal lain akan benar.

Implikasi " Jika p maka q" dilambangkan pqContoh :

p : Jakarta terletak di Pulau Jawaq : Jakarta merupakan ibu kota negara Indonesiay: Jika Jakarta terletak di Pulau Jawa, maka Jakarta merupakan ibu kota Negara Indonesia.Parto berjanji pada Parti " Jika hujan maka ia akan datang ke rumah Parti " hari hujan , Parto datang hari tidak hujan, Parto tidak datangParto ingkar janji jika hari hujan ia tidak datang

Tabel Kebenaran Implikasi

PQpq

BBSSBSBSBSBB

Negasi dari Implikasi : ( Buktikan )Suatu pernyataan jika maka .. bernilai selalu benar (tautologi) dinamakan Implikasi Logis dan untuk mengetahui suatu pernyataan adalah implikasi logis maka perlu pengujian dengan tabel kebenaran.

Konvers , Invers dan Kontraposisi

Dari implikasi p q dapat dibuat implikasi-implikasi lain yaitu :

a. q p disebut Konvers dari p q

b. disebut Invers dari p q

c. disebut Invers dari p q

Contoh :

Implikasi : Jika x = 3 , maka x= 9Invers : jika x 3 , maka x 9

Konvers : Jika x= 9 , maka x = 3Kontra posisi : Jika x 9 , maka x 3

Hubungan antara Implikasi , Konvers , Invers dan Kontraposisi

Konvers

Kontraposisi

Konvers

d. Operasi Biimplikasi ( bi kondisional / ekuivalensi).Pernyataan majemuk yang menggunakan kata hubung " ..jika dan hanya jika ."

dibaca : " p jika dan hanya jika q "Tabel kebenaran BiimplikasiPQpq

BBSSBSBSBSSB

Negasi biimplikasi : Buktikan !!Suatu biimplikasi akan benar jika nilai kebenaran dari p sama dng nilai kebenaran dari qContoh :

adalah segitiga sama kaki jika dan hanya jika Jika pernyataan biimplikasi benar untuk semua keadaan(tautology) maka disebut biimplikasi logis.

e. Tautologi dan KontradiksiTautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar dalam segala hal.Contoh :

Pq~qp~q

(p~q)p

BBSSBSBSSBSBSBSSBBBB

(p~q)p adalah implikasi logisKontradiksi :Adalah pernyataan majemuk yang selalu salah dalam segala hal

f. Penarikan kesimpulan

Dalam menarik kesimpulan dari beberapa pernyataan yang ada digunakan beberapa prinsip penarikan kesimpulan yaitu :

a. Modus Ponen

Pernyataan 1 :

Pernyataan 2 : benarKesimpulan : q benar

b. Modus Tollens

Pernyataan 1 :

Pernyataan 2 : benarKesimpulan : ~p benar

c. Silogisme

Pernyataan 1 :

Pernyataan 2 :

Kesimpulan :

KUMPULAN SOAL INDIKATOR 1 SKL UN Menentukan pernyataan yang diperoleh dari penarikan kesimpulan dari dua premis yang diberikan 1. Tentukan kesimpulan yang sah dari tiap argumentasi berikut a .p q~ p__..

b. ~ p q ~ q___ .

c. ~q p~r ~q_ ........... ........... ...........d. p q ~q r___ ........... ........... ...........e. ~ q ~ p ~ r ~ q_ ........... ........... ...........f.P qq r ........... ........... ...........

2. tentukan kesimpulan yang sah dari premispremis berikuta.1. Jika semua siswa SMA di DKI Jakarta lulus ujian, maka Pak Gubernur DKI Jakarta sujud syukur2. Pak Gubernur DKI Jakarta tidak sujud syukurKesimpulan : ...b. 1. Jika saya dapat mengerjakan soal tryout, maka saya dapat menyelesaikan soal UN2. Saya tidak dapat menyelesaikan soal UNKesimpulan : ...c. 1. Jika Fadil lulus ujian pegawai atau menikah maka ayah memberi hadiah uang.2. Ayah tidak memberi hadiah uang.Kesimpulan : d. 1. Jika ia dermawan dan pandai bergaul maka ia disenangi masyarakat2. Ia tidak disenangi masyarakat.Kesimpulan: ...e. 1. Jika Marni rajin belajar atau patuh pada orang tua, maka ibu membelikan sepatu baru.2. Ibu tidak membelikan sepatu baru Kesimpulan f. 1. Jika hari hujan, maka ibu memakai payung2. Ibu tidak memakai payungKesimpulan

Materi UN 2013 Prog. IPAhttp://vidyagata.wordpress.com

By. Drs. Pundjul Prijono - SMA Negeri 6 Malang

6

3. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari premispremis berikut a.1. Jika ibu tidak pergi maka adik senang2. Jika adik senang maka dia tersenyum.Kesimpulan

b.1. Jika Andi murid rajin, maka Andi murid pandai2. Jika Andi murid pandai, maka ia lulus ujianKesimpulan

c. 1. Jika saya tidak rajin belajar, maka nilai ujian saya kurang baik.2. Jika nilai ujian saya kurang baik , maka saya tidak lulus ujian..Kesimpulan

d. 1. Jika Adi rajin belajar, maka Adi lulus ujian2. Jika Adi lulus ujian, maka Adi dapat diterima di PTNKesimpulan

e. 1. Jika dia bermbut gondrong maka dia seorang seniman2. Jika dia seorang seniman maka dia berpakaian nyentrik.Kesimpulan

f. 1. Jika sampah dibuang di sembarang tempat maka keadaan menjadi kumuh2. Jika keadaan menjadi kumuh maka wabah penyakit datangKesimpulan

4. 5. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari premispremis berikuta. P1 : saya tidak giat belajar atau saya bisa meraih juaraP2 : Jika saya bisa meraih juara maka saya boleh ikut bertandingKesimpulan

b.P1 : Dodi tidak rajin belajar atau ia naik kelas.P2 : Jika Dodi naik kelas, maka ia akan dibelikan baju.Kesimpulan

c.P1 : Adik tidak makan atau adik tidak lemas.P2 : Jika adik tidak bertenaga, maka dia lemas.Kesimpulan

d.P1 : Mariam tidak rajin belajar atau ia pandaiP2 : Mariam lulus SNMPTN atau ia tidak pandai Kesimpulan

e. P1 : pengendara tidak taat aturan atau lalu lintas lancar.P2 : saya terlambat ujian atau lalu lintas tidak lancarKesimpulan

f. P1 : lapisan ozon di atmosfer tidak menipis atau suhu bumi meningkat. P2 : keseimbangan alam terganggu atau suhu bumi tidak meningkatKesimpulan

6. Tentukan 3 bentuk kesimpulan yang sah dari premispremis berikuta. Premis 1 : Jika nilai matematika dan Bahasa Inggris baik maka semua siswa senangPremis 2 : Beberapa siswa tidak senang atau prosentase kelulusan 100%Kesimpulan

b. Premis 1 : Jika Ani lulus ujian, maka ia melamar pekerjaan atau kuliah di luar negeriPremis 2 : Jika rajin dan tekun maka Ani lulus ujianKesimpulan

c. Premis 1 : Jika saya lulus ujian nasional, maka ibu dan ayah bahagiaPremis 2 : Jika ibu dan ayah bahagia maka saya tersenyumKesimpulan

d. Premis 1 : Jika semua siswa menyukai matematika, maka guru senang mengajar.Premis 2 : Guru tidak senang mengajar atau semua siswa lulus ujian.Kesimpulan

e. Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka semua bahan pokok naikPremis 2 : Jika harga bahan pokok naik, maka semua orang tidak senangKesimpulan

f. Premis 1 : Jika ujian nasional dimajukan, maka semua siswa gelisahPremis 2 : Jika semua siswa gelisah maka semua orang tua siswa ketakutanKesimpulan

KUMPULAN SOAL INDIKATOR 2 SKL UN Menentukan ingkaran atau kesetaraan dari pernyataan majemuk atau pernyataan berkuantorRANGKUMAN MATERIPernyataanPernyataan yang Equivalen1) implikasi kontraposisi : p q ~ q ~ p ~ p q2) ~(p q) ~ p ~ q : ingkaran dari konjungsi3) ~(p q) ~ p ~ q: ingkaran dari disjungsi4) ~(p q) p ~ q: ingkaran dari implikasi5) ~(p q) (p ~ q) (q ~ p): ingkaran dari biimplikasi6) ~(x) (~x): ingkaran dari kuantor universal7) ~(x) (~x): ingkaran dari kuantor eksistensial

SOAL LATIHAN 2AA. Tentukan ingkaran dari tiap pernyataan majemuk di bawah ini1. 18 habis dibagi 2 atau 92. Sekarang les matematika atau besok lesnya libur3. Saya siswa kelas XII IPA atau saya ikut Ujian Nasional4. Hari ini tidak hujan dan saya tidak membawa payung5. Ani senang bernyanyi dan tidak senang olah raga6. Permintaan terhadap sebuah produk tinggi dan harga barang naik7. Harga BBM turun, tetapi harga sembako tinggi8. Jika Prabu mendapatkan nilai jelek maka ia tidak mendapatkan uang saku9. Jika hari hujan maka Amir tidak berangkat ke sekolah10. Jika Ali seorang pelajar SMA, maka ia mempunyai kartu pelajar11. Jika harga penawaran tinggi maka permintaan rendah12. Beberapa siswa memakai kacamata dan memiliki laptop 13. Beberapa siswa naik kendaraan umum atau miliki pribadi 14. Semua bunga harum baunya dan hijau daunnya15. Semua warga desa memiliki televisi dan motor16. Jika ulangan tidak jadi maka semua murid bersuka ria17. Jika ada guru yang tidak hadir maka semua siswa sedih dan prihatin18. Jika tidak ada operasi polantas maka semua pengendara motor ngebut atau tidak memakai helm

SOAL LATIHAN 2BB. Tentukan dua pernyataan yang ekuivalen (setara) dengan pernyataan majemuk di bawah ini 1. Saya lulus UN atau ke Jakarta2. Harga cabai rawit tidak turun atau kaum ibu bergembira3. Polisi turun tangan atau warga bertindak anarkis4. Tuntutan karyawan di turuti atau terjadi mogok masal5. Beberapa siswa masuk kelas atau pelajaran kosong 6. Jika BBM naik maka harga bahan pokok naik7. Jika saya sakit maka saya minum obat8. Jika Amir pandai maka diberi hadiah9. Jika Ino seorang atlit maka Ino tidak merokok10. Jika semua siswa kelas XII Lulus Ujian maka kepala sekolah gembira

Soal Latihan UN :

1. kalimat ingkaran dari kalimat semua orang berdiri ketika tamuagung memasuki ruangan adalah :a. semua orang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruanganb. tidak ada orang yang berdiri ketika tamuagung memasuki ruanganc. ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangand. ada orang yang tidak berdiri ketika tamu agung memasuki ruangane. tidak ada orang yang berdiri ketika tamu agung memasuki ruangan2. Kesimpulan dari pernyataan Jika perang terjadi maka setiap orang gelisah maka kehidupan menjadi kacau adalah a. jika perang terjadi maka setiap orang gelisahb. jika perang terjadi maka kehidupan menjadi kacauc. jika setiap orang gelisah maka perang terjadid. Jika perang terjadi maka setiap orang gelisah maka kehidupan menjadi kacaue. Jika kehidupan menjadi kacau maka setiap orang gelisah 3. Kontra posisi pernyataan Jika devisa negara bertambah maka pembangunan berjalan lancar adalaha. jika pembangunan tidak lancar maka devisa negara tidak bertambahb. Jika devisa negara tidak bertambah maka pembangunan tidak lancarc. Jika devisa negara tidak bertambah maka pembangunan berjalan lancard. Jika pembangunan berjalan lancar maka devisa negara bertambahe. Jika devisa negara bertambah maka pembangunan tidak lancar 4. Pernyataan p dan q masing-nasing bernilai benarP: saya lulus SMAQ : saya mengikuti SPMBImplikasi berikut ini benar kecuali :a. jika saya tidak lulus SMA , maka saya tidak mengikuti SPMBb. jika saya mengikuti SPMB, maka saya lulus SMAc. jika saya tidak mengikuti SPMB, maka saya tidak lulus SMAd. jika saya tidak lulus SMA , maka saya mengikuti SPMBe. jika saya lulus SMA , maka saya tidak mengikuti SPMB5. Pernyataan yang ekuivalen dengan Jika 4 > 5 maka 4 < -5 adalah A. Jika 4 > -5 maka 4 < 5B. Jika 4 > 5 maka 4 -5C. Jika 4 5 maka 4 < -5D. Jika 4 < -5 maka 4 > 5E.

Jika 4 -5 maka 4 56. Ingkaran dari kontra posisi ialah .

A. B. C.D. E. 7. Bentuk senilai dengan

A. pB. qC. D. E.8.

Nilai kebenaran dari pernyataan : mengalami definit negatif jika dan hanya jika A. BB. SC. B dan SD. 0E. ~9. Diberikan empat pernyataan p,q,r dan s . Jika tiga pernyataan berikut benar: , dan s pernyataan yang salah , maka diantara ernataan berikut yang salah adalah ..

A. ~pB. ~qC. ~rD. pE. 10. Kesimpulan tiga premis

1. 2. 3. ~r adalah .

A. pB. ~pC. qD. ~qE.

Soal soal logika matematika Ujian Nasional

Materi pokok : Invers, Konvers, Kontraposisi 1. Kontraposisi dari pernyataan majemuk p ( p V ~q ) adalah . a. ( p V ~q ) ~p b. (~p q ) ~p c. ( p V ~q ) p d. (~p V q ) ~p e. ( p ~q ) ~p 2. Invers dari pernyataan p ( p q ) a. (~p ~q ) ~p b. (~p V ~q ) ~p c. ~p (~p ~q ) d. ~p (~p q ) e. ~p (~p V ~q )

Materi pokok : Penarikan Kesimpulan 3. Diketahui pernyataan : I. Jika hari panas, maka Ani memakai topi II. Ani tidak memakai topi atau ia memakai payung III. Ani tidak memakai payung Kesimpulan yang sah adalah . a. Hari panas b. Hari tidak panas c. Ani memakai topi d. Hari panas dan Ani memakai topi e. Hari tidak panas dan Ani memakai topi

4. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumentasi berikut : Jika Siti sakit maka dia pergi ke dokter Jika Siti pergi ke dokter maka dia diberi obat. adalah . a. Siti tidak sakit atau diberi obat b. Siti sakit atau diberi obat c. Siti tidak sakit atau tidak diberi obat d. Siti sakit dan diberi obat e. Siti tidak sakit dan tidak diberi obat

5. Diketahui premis berikut : I. Jika Budi rajin belajar maka ia menjadi pandai. II. Jika Budi menjadi pandai maka ia lulus ujian. III. Budi tidak lulus ujian. Kesimpulan yang sah adalah . a. Budi menjadi pandai b. Budi rajin belajar c. Budi lulus ujian d. Budi tidak pandai e. Budi tidak rajin belajar

6. Diketahui argumentasi : I. p q ~p ---------- ~q

II. p q ~q V r ---------- p r

III. p q p r ---------- q r Argumentasi yang sah adalah . a. I saja b. II saja c. III saja d. I dan II saja e. II dan III saja

7. Penarikan kesimpulan yang sah dari argumen tasi berikut : ~p q q r ---------- a. p r b. ~p V r c. p ~r d. ~p r e. p V r

8. Ditentukan premis premis : I. Jika Badu rajin bekerja maka ia disayang ibu. II. Jika Badu disayang ibu maka ia disayang nenek III. Badu tidak disayang nenek Kesimulan yang sah dari ketiga premis diatas adalah . a. Badu rajin bekerja tetapi tidak disayang ibu b. Badu rajin bekerja c. Badu disayang ibu d. Badu disayang nenek e. Badu tidak rajin bekerja

9. Penarikan kesimpulan dengan menggunakan modus tolens didasarkan atas suatu pernyataan majemuk yang selalu berbentuk tautologi untuk setiap kasus. Pernyataan yang dimaksud adalah . a. ( p q ) p q b. ( p q ) ~q ~p c. ( p q ) p ( p q ) d. ( p q ) ( q r ) ( p r ) e. ( p q ) ( p r ) ~ ( q r )

10. Kesimpulan dari premis berikut merupakan . p ~q q V r ---------- p r a. konvers b. kontra posisi c. modus ponens d. modus tollens e. silogisme 1. B2.E3.B4.A5.E6.B7.E8.E9.B10.E

May it be a sweet, sweet soundIn Your ear

Matematika SMA6