FUNGSI EKSPONEN DAN LOGARITMA

NAMA : FAISAL HIDAYAT

KELAS : TI.B

UNIVERSITAS HAMZANADI

FAKULTAS TEHNIK

TAHUN 2016

KATA PENGANTAR

Puji syukur kita haturkan kehadirat ALLAH S.W.T yang dari izinnya makalah ini bisa terselesaikan. Salawat dan salam kita haturkan kejunjungan alam nabi besar Muhammad S.A.W yang telah membawa kita dari alam kegelapan menuju alam yang terang seperti saat ini.

Semoga dengan makalah ini kita bisa menambah wawasan kita tentang fungsi eksponen dan logaritma kita dapat menggunakannya sebagaimana mestinya.

Selong 25 oktober 2016

FAISAL HIDAYAT

NIM :01.04.16.0039

BAB I PENDAHULUAN

A. LATAR BELAKANG

Dalam kehidupan sehari-hari tanpa kita sadari kita menggunakan fungsi eksponen dan logaritma seperti mengetahui jumlah penduduk di suatu daerah, oleh sebab itu makalah ini dibuat supaya kita lebih memahami tentang fungsi eksponen dan logaritma .

B. RUMUSAN MASALAH

a. Pengertian dan contoh soal fungsi eksponen ?b. Pengertian dan contoh soal logaritma ?

C. MANFAAT DAN TUJUAN1. MANFAATa. Untuk menambah pengetahuan tentang fungsi eksponen dan logaritmab. Sebagai refrensi untuk membuat tugas

2. TUJUANa. Bisa memahami fungsi eksponen dan logaritma.

BAB II PEMBAHASAN

A. FUNGSI EKSPONEN

1. Fungsi Eksponen

Bentuk an disebuat sebagai bentuk eksponensial atau perpangkatan, dengan a disebut basis atau bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat. Sifat – sifat yang berlaku dalam bilangan berpangkat rasional diantaranya adalah sebagai berikut

Perhatikan contoh soal berikut :

Hitunglah hasil perpangkatan (0,008)⋅²jawab :

(0,008)⋅² = (1/125)⋅²= (1/5³)⋅²= (5⋅³)⋅²= 5^6 = 15.625

2. Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah suatu persamaan yang pangkatnya (eksponen), bilangan pokoknya, atau bilangan pokok dan eksponennya memuat suatu variabel.

Bentuk-bentuk persamaan eksponen yang akan kita bahas yaitu

a. Bentuk persamaan a^f(x)=1

Misal terdapat persamaan a^f(x)=1 dengan a>0 dan a≠1, untuk menentukan himpunan penyelesaian bentuk persamaan tersebut gunakan sifat bahwa :

a^f(x) = 1 ⇔f(x)=0

b. Bentuk persamaan a^f(x) = a^p

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^p, dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian bentuk persamaan eksponen diatas ditentukan dengan cara menyamakan pangkat ruas kiri dengan ruas kanan.

a^f(x)= a^p ⇔ f(x) = p

c. Bentuk persamaan a^f(x) = a^g(x)

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = a^g(x) dengan a>0 dan a≠1. Himpunan penyelesaian persamaan diatas dapat ditentukan dengan cara menyamakan persamaan pangkatnya. Jadi dapat kita katakan sebagai berikut :

a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x)

d. Bentuk Persamaan a^f(x) = b^f(x)

Misalkan terdapat persamaan a^f(x) = b^f(x), dengan a≠b ;a,b >0 ; a,b ≠1. Himpunan penyelesaian persamaan eksponen tersebut dapat ditentukan dengan cara menyamakan f(x0 dengan nol. Jadi dapat disimpulkan sebagai berikut :

a^f(x) = b^f(x) ⇔ f(x) = 0

e. Bentuk persamaan a^f(x) = b^g(x)

Misalkan diberikan persamaan a^f(x) = b^g(x) dengan a≤b ; a,b >0 ; a,b ≠1, dan f(x) ≠ g(x). Himpunan penyelesaian untuk bentuk persamaan eksponen tersebut dengan melogaritmakan kedua ruas, yaitu :

log a^f(x) = log b^g(x)

f. Bentuk Persamaan A{a^f(x)}² + B{a^f(x)}+ C = 0

Untuk menentukan penyelesaian persamaan eksponen yang berbentuk persamaan kuadrat dapat dikerjakan dengan cara memfaktorkan, melengkapkan kuadrat sempurna atau rumus abc.

g. Bntuk persamaan f(x)^g(x) =1 ; f(x)≠g(x)

Untuk menyelesaikan persamaan eksponen dengan bentuk tersebut, lakukanlah langkah-langkah berikut

1). g(x)=0 karena ruas kanan nilainya 1 berarti g(x) harus sama dengan nol.

2). f(x)=1 karena jika f(x)=1 maka bilangan 1 dipangkatkan berapapun nilainya 1.

3). f(x)=-1, dengan syarat g(x) harus genap.h.

h. entuk persamaan f(x)^g(x) = f(x)^h(x)

Untuk nilai g(x) ≠ h(x). Himpunan penyelesaian bentuk eksponen tersebut diperoleh dari empat kemungkinan berikut :

1). g(x)=h(x0 karena bilangan pokok sudah sama maka pangkatnya harus sama.

2). f(x)=1 karena g9x) ≠ h(x) maka bilangan pokok harus bernilai 1 (satu) agar persamaan bernilai benar.

3). f(x)=-1, bewrakibat g(x) dan h(x) harus sama-sama bernilai genap atau sama-sama bernilai ganjil.

4). f(x)=0, dengan g(x) dan h(x) masing-masing bernilai positif dituliskan g(x)>0 atau h(x)>0.

i.Bnetuk persamaan g(x)^f(x) = h(x)^f(x)

persamaan diatas akan bernilai benar jika

a. f(x)=0 untuk g(x)≠0 dan h(x)≠0 ;

b. g(x)=h(x)

3. GRAFIK FUNGSI EKSPONEN

Seringkali kita dapat melihat bahwa suatu permasalahan dapat dimodelkan dengan fungsi eksponensial atau logaritma jika kita bisa mengidentifikasi asimtot dari grafik yang diberikan (atau yang kita gambar)

Contoh 1: Memodelkan Pertumbuhan dan Penurunan PopulasiTabel berikut ini menunjukkan jumlah penduduk tengah tahun (dalam jutaan) dari lima negara di tahun 2010 dan jumlah penduduk yang diproyeksikan (dalam jutaan) untuk tahun 2020. (Sumber: Wolfram Research.)

1. Carilah model pertumbuhan atau penurunan eksponensial y = aebt atau y = ae–

bt untuk masing-masing negara dengan memisalkan t = 10 untuk tahun 2010. Gunakan model ini untuk memprediksi jumlah penduduk pada masing-masing negara pada tahun 2030.

2. Kita dapat melihat bahwa laju pertumbuhan penduduk di Indonesia berbeda dengan di Amerika Serikat. Konstanta manakah dalam persamaan y = aebt yang memberikan laju pertumbuhan penduduk? Apakah hubungan antara laju pertumbuhan penduduk yang berbeda dengan besar konstanta tersebut?

3. Kita juga dapat melihat bahwa jumlah penduduk di Cina naik, sedangkan jumlah penduduk di Bulgaria turun. Konstanta manakah dalam persamaan y = aebt yang menunjukkan perbedaan ini? Jelaskan.Pembahasan Untuk masing-masing negara, misalkan y merupakan jumlah penduduk setelah t tahun.

1. Pertama kita cari model pertumbuhan penduduk pada negara Bulgaria. Dari tabel kita dapat melihat bahwa ketika t = 10 diketahui y = 7,5 dan ketika t = 20

diketahui y = 7,1. Sehingga kita peroleh

Untuk menyelesaikan b, kita selesaikan a pada persamaan pertama.

Kemudian kita substitusi hasilnya ke dalam persamaan kedua.

Dengan menggunakan b = (1/10)ln(7,1/7,5) dan persamaan sebelumnya, kita mendapatkan

Sehingga, dengan a ≈ 7,92 dan b = (1/10) ln(7,1/7,5) ≈ –0,0055, model eksponensial pertumbuhan penduduk negara Bulgaria adalah

Dengan cara yang sama, kita mendapatkan model pertumbuhan penduduk untuk negara-negara lainnya. Model-model tersebut dapat ditunjukkan oleh tabel berikut.

2. Dari model yang diperoleh kita dapat melihat bahwa yang mempengaruhi besar kecilnya laju pertumbuhan penduduk adalah konstanta b, yaitu 0,0099 untuk Indonesia dan 0,0116 untuk Amerika Serikat. Semakin besar konstanta b, maka semakin tinggi juga laju pertumbuhan penduduknya. Sehingga kita dapat menyimpulkan bahwa laju pertumbuhan penduduk di Amerika Serikat lebih tinggi daripada Indonesia.

3. Konstanta yang mempengaruhi turun naiknya pertumbuhan penduduk adalah konstanta b. Dalam tabel kita dapat melihat bahwa konstanta b pada model pertumbuhan penduduk di Cina adalah 0,0050 (positif) dan di Bulgaria adalah –0,0055 (negatif). Jika pangkat e positif maka nilai y akan naik, karena y = aebt denganebt > 1. Sebaliknya jika pangkat e negatif maka nilai y akan turun karena y = ae–bt dapat dituliskan menjadi y = a/ebt. Dengan kata lain, y merupakan hasil bagi a dengan bilangan ebt > 1, sehingga nilai y akan semakin kecil.

B. LOGARITMA

1. Fungsi Logaritma

Setiap fungsi eksponensial f(x) = ax, dengan a > 0 dan a ≠ 1, merupakan fungsi korespondensi satu-satu. Hal ini dapat dilihat dengan menggunakan Uji Garis Horizontal (lihat Gambar 1 untuk kasus a > 1). Oleh karena itu fungsi eksponensial memiliki fungsi invers. Fungsi invers tersebut dinamakan fungsi logaritma dengan basis a dan dinotasikan dengan loga.

Fungsi invers f–1 didefinisikan sebagai

Definisi ini akan membawa kita kepada definisi fungsi logaritma berikut ini.

Definisi Fungsi LogaritmaMisalkan a adalah bilangan positif dengan a ≠ 1. Fungsi logaritma dengan basis a, yang dinotasikan dengan loga, didefinisikan dengan

Sehingga loga x merupakan pangkat dari a untuk menjadi x.

Ketika kita menggunakan definisi logaritma untuk mengganti bentuk logaritma loga x = ymenjadi bentuk eksponensial ay = x, atau sebaliknya, perhatikan bahwa dalam kedua bentuk ini, basisnya tetap sama.

Contoh 1: Bentuk Logaritma dan EksponensialBentuk logaritma dan eksponensial merupakan persamaan-persamaan yang

ekuivalen: Jika bentuk yang satu benar, maka bentuk yang lainnya juga benar. Sehingga kita dapat mengubah bentuk logaritma menjadi bentuk eksponensial, atau sebaliknya, seperti ilustrasi berikut.

1. Logaritma Natural

Dari semua kemungkinan basis a untuk logaritma, basis yang mudah digunakan dalam kalkulus adalah bilangan e.Logaritma NaturalLogaritma dengan basis e disebut sebagai logaritma natural dan dinotasikan dengan ln:

Fungsi logaritma natural y = ln x merupakan fungsi invers dari fungsi eksponensial natural y = ex. Kedua grafik fungsi ini ditunjukkan oleh Gambar 9.

Jika kita substitusi a = e dan menuliskan “ln” untuk “loge” dalam sifat-sifat logaritma yang kita bahas sebelumnya, kita mendapatkan sifat-sifat logaritma natural sebagai berikut.

Sifat-Sifat Logaritma Natural1. ln 1 = 0 karena e0 = 1.2. ln e = 1 karena e1 = e.3. ln ex = x karena ex = ex.4. eln x = x karena ln x merupakan pangkat dari e untuk menjadi x.5. Jika ln x = ln y, maka x = y.

Kalkulator dan komputer dilengkapi dengan perintah yang dapat digunakan untuk menentukan nilai logaritma natural secara langsung.

Contoh : Menentukan Nilai Fungsi Logaritma NaturalGunakan sifat-sifat logaritma natural atau kalkulator untuk menentukan nilai fungsi f(x) = ln x pada masing-masing nilai x berikut ini.

1. x = e8

2. x = 1/e²3. x = 5

Pembahasan1. Dengan menggunakan sifat yang ketiga, kita mendapatkan ln e8 = 8.2. Pertama, kita ubah nila x = 1/e² menjadi nilai yang setara yaitu x = e–2, sehingga

kita mendapatkan ln (1/e²) = ln e–2 = –2.3. Dengan menggunakan kalkulator kita bisa menghitung ln 5 ≈ 1,609.

Contoh 11: Menentukan Domain Fungsi-Fungsi LogaritmaTentukan domain masing-masing fungsi berikut.

1. f(x) = ln(x – 3)2. g(x) = ln(3 – x)3. h(x) = ln(4 – x²)

Pembahasan1. Karena ln(x – 3) terdefinisi hanya ketika x – 3 > 0, maka domain f adalah (3, ∞).

Gambar 10(a) menunjukkan grafik f.2. Karena ln(3 – x) terdefinisi hanya ketika 3 – x > 0, maka domain g adalah (–∞, 3).

Gambar 10(b) menunjukkan grafik g.3. Karena ln(4 – x²) terdefinisi hanya ketika 4 – x² > 0. Sehingga x² < 4. Atau dengan

kata lain |x| < 2. Oleh karena itu kita mendapatkan domain dari h adalah (–2, 2). Grafik fungsi h ditunjukkan oleh Gambar 10(c).

Contoh : Menggambar Grafik Fungsi LogaritmaGambarlah grafik fungsi y = x ln(4 – x²), dan gunakan grafik tersebut untuk menemukan asimtot serta maksimum dan minimum lokal.Pembahasan Seperti yang telah dibahas pada Contoh 11, domain fungsi ini adalah selang (–2, 2), sehingga kita gunakan domain ini untuk menggambar grafik fungsi y = x ln(4 –x²). Grafik fungsi ini ditunjukkan pada Gambar 11, dan dari

gambar ini kita dapat melihat bahwa garis x = –2 dan x = 2 merupakan asimtot vertikal grafik fungsi tersebut.

Fungsi tersebut memiliki titik maksimum lokal yang terletak di sebelah kanan x = 1 dan titik minimum lokal yang terletak di sebelah kiri x = –1. Dengan melakukan pengamatan yang lebih teliti pada grafik di atas, kita menemukan bahwa nilai maksimum lokalnya sekitar 1,13 dan terjadi pada x ≈ 1.15. Dengan cara yang sama (karena fungsi tersebut merupakan fungsi ganjil), kita dapat menemukan bahwa nilai minimum lokalnya adalah –1,13 dan terjadi ketika x ≈ –1,15

C. CONTOH KASUS

1. Pada tahun 2010, jumlah penduduk provinsi Banten adalah 4 juta jiwa. Jika pertumbuhan penduduk di provinsi Banten sekitar 2% per tahun, maka jumlah penduduk provinsi Bali pada tahun 2014 adalah?

Jawab:Tahun 2010, y(n=0) = 4 jutaTahun 2011, y(n=1) = 4 + 2%(4)

= 4 + 0,02(4) = 4 (1 + 0,02)

Tahun 2012, y(n=2) = 4(1 + 0,02) + 4(1 + 0,02)0,02 = 4(1 + 0,02) + 4 (0,02 + (0,02)2)= 4 (1 + 2(0,02) + (0,02)2)= 4 (1 + 0,02)2

Tahun 2013... Tahun 2014…

Dari perhitungan di atas dapat dirumuskan:

Keterangan :

yn : jumlah penduduk pada periode n

a : jumlah awal penduduk

p : persentase pertumbuhan penduduk

n : periode

2. Tingkat kebisingan jalan di luar aula konser di pusat kota Jakarta diukur sekitar 7 bel. Dengan menggunakan bahan penyekat khusus, tingkat kebisingan di dalam aula konser berkurang menjadi 29 desibel. Berapa kali lebih besar intensitas bunyi di luar daripada di dalam aula konser?

Penyelesaian:Diketahui:TIx = taraf intensitas bunnyi di luar aula = 7 bel = 70 desibelTIy = taraf intensitas bunnyi di dalam aula = 29 desibel

yn = a (1 + p)n

Misalkan:Ix = intensitas bunyi di luar aulaIy = intensitas bunyi di dalam aula

Ini berarti:

Kurangkan kedua persamaan, diperoleh:

3. Jadi, Intensitas bunyi di luar sekitar 12.600 kali lebih besar daripada di dalam aula konser.

Tuliskan fungsi eksponen di bawah ini dalam bentuk fungsi logaritma.

Penyelesaian:

Oleh karena fungsi logaritma adalah invers dari fungsi eksponen, maka tentukan invers dari fungsi eksponen untuk mengubah bentuknya menjadi fungsi logaritma.

Dengan demikian, x = f -1 (y) = 5 log (2y – 1).Ganti setiap variabel y dengan x, sehingga diperoleh f -1 (x) = 5 log (2x – 1).

4. Tentukan konsentrasi ion hidrogen dalam minuman ringan jika pH nya 4,82.Penyelesaian:Penyelesaian:

5. Sebelum ada kalkulator elektronik, logaritma digunakan sepanjang waktu untuk melakukan perhitungan eksponensial. Jadi para ilmuwan dan insinyur dari semua jenis memanfaatkan sering menggunakan. Misalnya, jika Anda ingin menemukan 4 pangkat 3.5, Anda akan menggunakan fakta bahwa:

4 ^ (3.5) = 10 Log ^ [4 ^ 3.5] = 10 ^ (3.5 * log (4))

BAB III PENUTUP

Demikian yang dapat kami paparkan mengenai jenis dan pengertian format digital,tentunya masih banyak kekurangan dan kelemahannya, karena terbatasnya pengetahuan dan kurangya rujukan untuk refrensi .semoga makalh iniberguna bagi penulis pada khususnya dan bagipembaca pada umumnya.