r

r

2πrt

Gambar 2.1 jaring-jaring tabung

BAB II

PEMBAHASAN

2. Bangun Ruang Sisi Lengkung

2.1. Tabung (Silinder )

1. Jaring-jaring Tabung

Kita dapat mengetahui bahwa tabung atau silinder tersusun dari tiga buah bangun datar,

yaitu:

a. Dua buah lingkaran sebagai alas dan atap silinder,

b. Satu buah persegi panjang sebagai bidang lengkungnya atau selimut tabung.

Rangkaian dari ketiga bidang datar itu disebut sebagai jaring-jaring tabung.

Gambar 2.1 menunjukkan jaring-jaring sebuah tabung dengan jari-jari alas dan atapnya yang

berupa lingkaran adalah r dan tinggi tabung adalah t.

Jaring-jaring tabung terdiri atas:

a. Selimut tabung yang berupa persegi panjang, dengan panjang selimut sama dengan keliling

lingkaran alas tabung 2πr dan lebar selimut sama dengan tinggi tabung t.

b. Dua lingkaran dengan jari-jari r.

3

2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Tabung

Sebuah benda berbentuk tabung memiliki jari-jari r dan tinggi t.

a. Luas Selimut

Dengan memerhatikan gambar 2.1, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan

tabung atau luas sisi tabung merupakan jumlah dari luas alas ditambah luas selimut dan luas

atap. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar jaring-jaring tabung sekali lagi.

Sehingga kita dapatkan rumus:

b. Volume Tabung

Tabung merupakan pendekatan dari prisma segi-n, dimana n mendekati tak hingga. Artinya,

jika rusuk-rusuk pada alas prisma diperbanyak maka akan membentuk sebuah tabung dimana

hanya mendekati satu bidang alas, satu bidang atas dan satu sisi tegak. Karena alas dan tutup

4

tabung berbentuk lingkaran maka volume tabung adalah perkalian luas daerah lingkaran alas

dengan tinggi tabung.

Atau

Dengan : r = jari-jari lingkaran alas

d = diameter lingkaran alas

t = tinggi tabung

Sehingga dalam tabung (silinder) berlaku rumus-rumus sebagai berikut:

i. d = 2r atau r = ½ d

ii. La = Lb= πr 2 = ¼d2

iii. L s= 2πrt = πdt

iv. L p= L a+ Lb + L s= 2πr (r + t) = π d (d + t)

v. V= Lb t = L a t = π r 2 t

Gambar 2.2 Tabung

Dengan:

r = jari-jari atas/alas tabung

d = diameter atas/ alas tabung

5

V = πr2t V = 14 πd2t

t = tinggi tabung

La = luas bidang atas tabung

Lb = luas bidang bawah/ alas/ dasar tabung

Ls = luas selimut/ selubung tabung

Lp= luas permukaan tabung

V = volume/ isi tabung

Contoh soal:

1. Sebuah tabung berjari-jari 10 cm. Jika tingginya 30 cm dan π = 3,14, hitunglah luas

permukaannya.

Penyelesaian:

Diketahui r = 10 cm, t = 30 cm, dan π = 3, 14,

L = 2πr (t + r)

= 2 × 3,14 × 10 × (30 + 10) = 2.512

Jadi, luas permukaannya adalah 2.512 cm2.

2. Sebuah tabung diketahui jari-jarinya 6 cm, tingginya 7 cm, dan π = 227 . Hitunglah volume

tabung tersebut.

Penyelesaian:

V = πr2t = 227 × 62 × 7 = 792

Jadi, volumenya 792 cm3.

6

A

B CD

Gambar 2.3 Abstraksi Bentuk Kerucut

A’t

rB’B

T

p

(a)

T

P’p

A2πr

r

(b)

Gambar 2.4 Jaring-Jaring Kerucut

2.2. Kerucut

1. Melukis Jaring-jaring Kerucut

Perhatikan gambar di atas. Pernahkan melihat bangunan ini? Jika kita cermati bentuknya,

bangunan tersebut merupakan refleksi dari bangun ruang dengan sisi lengkung yaitu kerucut.

a. Jaring-jaring Kerucut

Berdasarkan kegiatan dan gambar di dibawah ini kita ketahui bahwa kerucut tersusun dari dua

bangun datar, yaitu lingkaran sebagai alas dan selimut yang berupa bidang lengkung (juring

lingkaran). Kedua bangun datar yang menyusun kerucut tersebut disebut jaring-jaring kerucut.

Perhatikan gambar berikut.

7

A’r

(a) (b)

Gambar 2.5 (a) Juring Lingkaran(selimut kerucut) (b) Bidang Alas Kerucut

T

p’p

A

2πr

Gambar 2.4(a) menunjukkan kerucut dengan jari-jari lingkaran alas r, tinggi kerucut t,

apotema atau garis pelukis p. Terlihat bahwa jaring-jaring kerucut terdiri atas dua buah bidang

datar yang ditunjukkan gambar 2.4(b) yaitu:

a. selimut kerucut yang berupa juring lingkaran dengan jari-jari p dan panjang busur 2πr,

b. alas yang berupa lingkaran dengan jari-jari r.

2. Menghitung Luas Selimut dan Volume Kerucut

a. Luas Selimut

Dengan memerhatikan gambar, kita dapat mengetahui bahwa luas seluruh permukaan kerucut

atau luas sisi kerucut merupakan jumlah dari luas juring ditambah luas alas yang berbentuk

lingkaran. Untuk lebih jelasnya perhatikan jaring-jaring kerucut ini.

Perhatikan gambar 2.5 (a)

Busur AA’ = keliling lingkaran alas kerucut =2πr

Luas lingkaran dengan pusat T dan jari-jari p=πr2

Kelilingnya = 2πr

Jadi luas juring TAA1 atau luas selimut kerucut dapat ditentukan.

8

Luas permukaan kerucut = πr (p + r)

Luas juringTAA 'Luas lingkaran =

Luas busur AA 'Kelilinglingkaran

luas juring TA A '

π r2 = 2πr2 π

Luas juring TAA’ = π r2 x2 πr2 πr

= πrp

Karena luas selimut kerucut sama dengan luas juring TAA1 maka kita dapatkan:

Sedangkan luas permukaan kerucut

= luas selimut + luas alas kerucut

= πrp + πr2

= πr (p + r)

Jadi

dengan r = jari-jari lingkaran alas kerucut

           p = garis pelukis (apotema)

b. Volume Kerucut

Kerucut dapat dipandang sebagai limas yang alasnya berbentuk lingkaran. Oleh karena itu kita

dapat merumuskan volume kerucut sebagai berikut.

Hubungan antara r, t dan apotema (p) adalah p2 = r2 + t2

Dalam kerucut berlaku rumus-rumus:

i. d = 2r atau r = ½ d

ii. p2= t 2+ r 2

iii. Lb= πr 2 = ¼πd2

iv. L s= πrp = ½πdp

9

Luas selimut = πrp

v. L p= Lb + L s= πr (r + p) =½ πd (d + p)

vi. V = π3 r 2 t

vii. φ = rp x 360

Gambar 2.6 kerucut

Dengan:

r= jari-jari alas kerucut

d= diameter alas kerucut

t = tinggi kerucut

p = panjang garis pelukis atau apotema

Lb = luas bidang bawah/ alas/ dasar kerucut

Ls = luas selimut/ selubung kerucut

Lp = luas permukaan kerucut

V = volume/ isi kerucut

φ = sudut pusat rebahan

Contoh soal :

1. Sebuah kerucut berdiameter 12 cm. Jika tingginya 8 cm dan π = 3,14, hitunglah:

a. Luas selimutnya;

b. Luas alasnya;

10

c. Luas permukaan kerucut.

Penyelesaian:

r = 6 cm dan t = 8 cm

p2 = r2 + t2 = 62 + 82

p = √100 = 10

Jadi, panjang garis pelukisnya 10 cm.

a. Luas selimut kerucut

L1 = πrp = 3,14 × 6 × 10 = 188,4

Jadi, luas selimutnya 188,4 cm2.

b. Luas alas kerucut

L2 = πr2 = 3,14 × 62= 113,04

Jadi, luas alas kerucut adalah 113,04 cm2.

c. Luas permukaan kerucut

L = L1 + L2 = 188,4 + 113,04 = 301,44

Jadi, luas permukaannya adalah 301,44 cm2.

2. Diketahui sebuah kerucut berdiameter 12 cm dan tingginya 8 cm. Jika π = 3,14, hitunglah

volume kerucut tersebut.

Penyelesaian:

Diameter kerucut d = 12 cm sehingga jari-jarinya

r = 122 cm = 6 cm

V = 13πr2t =

13 x 3,14 x 62 x 8 = 301,44

Jadi, volumenya adalah 301,44 cm3.

3. Volume sebuah kerucut adalah 594 cm3. Jika tinggi kerucut itu menjadi 2 kali tinggi semula

(jari-jari tetap), berapa volume kerucut itu setelah perubahan?

Penyelesaian:

Misalkan, volume kerucut semula = V1,

tinggi kerucut semula = t1,

11

Gambar 2.7 kerucut terpancung

p2p1

B B’

A

C CD

volume kerucut setelah perubahan = V2,

dan tinggi kerucut setelah perubahan = t2

maka t2 = 2t1.

V1 = 13πr2t1

13πr2t1 = 594

V2 = 13πr2t2 =

13πr2 (2t1)

V2 = 2 xV1

= 2 x 594 = 1.188

Jadi, volume kerucut setelah mengalami perubahan adalah dua kali volume semula, yaitu

1.188 cm3.

2.3. Kerucut Terpancung

Luas Selimut dan Volume Kerucut Terpancung

1) Luas selimut

Luas selimut kerucut terpancung adalah luas kerucut besar dikurangi luas selimut kerucut

kecil. Kerucut besar ACC' mempunyai tinggi t1, jari-jari r1, dan apotema p1. Sedangkan

kerucut kecil ABB' mempunyai tinggi t2, jari-jari r2, dan apotema p2. Luas selimut kerucut

terpancung adalah luas selimut kerucut besar dikurangi luas selimut kecil.

12

r2

r1

2) volume krucut terpancung

Volume kerucut terpancung adalah volume kerucut besar dikurangin volume kerucut kecil

= 13πr1

2t1 - 13 πr2

2t2

Sehingga dalam kerucut terpancung berlaku rumus-rumus sebagai berikut:

i. d1 = 2r1 atau r1 = ½ d 1

ii. d2 = 2r2 atau r2 = ½ d 2

iii. Lb= πr 12 = ¼ πd1

2

iv. La= πr 22 = ¼ πd2

2

v. L s= πp (r 1+ r 2)= ½πp (d1+ d2)

vi. L p= Lb + La+ L s= πp(r 1+ r 2) + π p(r 12+ r 2

2)

vii. V = π3 t (r1 2+ r2

2 + r 1r2)

viii. p2 = t2 + ( r1 – r2)2

Gambar 2.8 krucut terpancung

Dengan:

r1 = jari-jari bidang alas/ dasar/ bawah kerucut terpancung

d1 = diameter bidang alas/ dasar/ bawah kerucut terpancung

13

Volume kerucut terpancung = 13π(r1

2t1 – r22t2)

r2 = jari-jari bidang atas kerucut terpancung

d2 = diameter bidang atas kerucut terpancung

t = tinggi kerucut terpancung

p = panjang garis pelukis atau apotema kerucut terpancung

Lb = luas bidang bawah/ alas/ dasar kerucut terpancung

La = luas bidang atas kerucut terpancung

Ls = luas selimut/ selubung kerucut terpancung

Lp = luas permukaan kerucut terpancung

V = volume/ isi kerucut terpancung

Contoh soal :

Gambar di samping merupakan sebuah tutup lampu dengan jari-jari lingkaran atas 5 cm dan

jari-jari lingkaran bawah 10 cm. hitunglah luas bahan yang digunakan untuk membuat tutup

lampu tersebut!

Penyelesaian :

Untuk kerucut besar r1 = 10 dan p1=20

Untuk kerucut kecil r2 = 5 dan p2 = 8

Luas bahan = luas selimut kerucut besar - luas selimut kerucut kecil

= πr1p1 – πr2p2

= (3,14 x 10 x 20) – (3.14 x 5 x 8)

= 628 – 125,6

= 502,4 cm2

14

Gambar 2.9 kerucut terpancung

8

125

10

r

(a)(b)

rd

Gambar 2.10 unsur-unsur bola

2.4. Bola

Bola adalah bangun ruang yang hanya memiliki satu sisi dan tidak memiliki rusuk.

Perhatikan gambar berikut.

Suatu lingkaran diputar setengah putaran dengan diameter sebagai sumbu putarnya akan diperoleh bangun ruang seperti gambar 2.10 (b). Bentuk bangun yang demikian disebut bola dengan jari-jari bola r dan tinggi d.

Ternyata dari gambar di atas kita dapat merumuskan luas selimut atau permukaan (sisi) bola.

Jika jari-jari alas tabung tersebut r dan tingginya sama dengan diameter d, maka luas selimut

atau sisi bola dengan jari-jari r adalah:

15

Dalam bola berlaku rumus-rumus:

i. d = 2r atau r = ½ d

ii. R2 = h2+ r 2

iii. Lt = 2πRt = πDt

iv. L p= 4πR 2= πD2

v. V = 4 π3 R3=

π6 D3

vi. Vt= π3 t2 (3R- t) =

π6 t2(3D – 2t)

Gambar 2.11 Bola

Dengan:

R = jari-jari bola

16

D = diameter bola

r = jari-jari bidang lingkaran

d = diameter bidang lingkaran

h = jarak pusat bola ke bidang lingkaran

t = jarak dari pusat bidang lingkaran ke kulit bola

Lp = luas permukaan bola

Lt = luas bidang lengkung tembereng

V = volume/ isi bola

Vt = volume/ isi tembereng bola

Contoh Soal :

1. Diketahui jari-jari sebuah bola adalah 21 cm. Jika π = 227 , tentukanlah volume bola itu.

Penyelesaian:

V = 43 πr3 =

43 x

227 x213 =

43 x

227 x 9.261 = 38.808

Jadi, volume bola itu adalah 38.808 cm3.

2. Volume sebuah bola adalah 1.43713cm3. Jika π = 227 , tentukanlah panjang jari-jarinya?

Penyelesaian:

Diketahui V = 1.43713 dan π = 227 .

V = 4/3πr3

1.43713 = 43 x

227 x r3

1.43713 = 8821r3

r3 = 343

r3 = 73

r = 7

Jadi, panjang jari-jari bola itu adalah 7 cm.

17

3. Sebuah bola besi berjari-jari 3 cm, dimasukkan ke dalam tabung berisi air sehingga

permukaan air dalam tabung naik. Jika jari-jari alas tabung 10 cm, berapa sentimeter kenaikan

air dalam tabung tersebut?

Penyelesaian:

Misalkan, jari-jari bola r1 = 3 cm dan jari-jari tabung r2 = 10 cm maka volume bola = 43 πr1

3.

Bentuk air yang naik mengikuti bentuk tabung sehingga volume air yang naik = πr22t.

Volume air yang naik = volume bola

πr22t =

43 πr1

3

r22t =

43 r1

3

102t = 43 (3)3

t = 36

100 = 0,36

Jadi, tinggi air yang naik adalah 0,36 cm.

4. Tangki penyimpanan gas alam cair berbentuk bola dengan diameter 70 m. Supaya tangki itu dapat menyimpan gas alam cair sampai –160°C tanpa membeku, lapisan luar tangki tersebut diisolasi.

a. Berapa meter persegi isolasi yang diperlukan untuk melapisi tangki itu? b. Jika biaya isolasi per meter persegi adalah Rp75.000,00, berapa besar biaya yang

diperlukan untuk mengisolasi tangki tersebut? Penyelesaian:Diketahui: Diameter tangki, d = 70 m Biaya isolasi per meter persegi = Rp75.000,00Ditanyakan:a. Berapa m2 isolasi yang diperlukan?b. Berapa besar biaya yang diperlukan untuk mengisolasi tangki itu?

Jawaban :Rumus yang digunakan adalah luas permukaan bola, yaitu

L = 4pr2.

18

Menentukan panjang jari-jari tangki, kemudian menghitung luas permukaan tangki, sebagai berikut.

Jari-jari r = 12d = 12 × 70 = 35 m

L = 4πr2 = 4 × 227 × (35)2 = 15.400

Jadi, isolasi yang diperlukan adalah seluas permukaan bola, yaitu 15.400 m2. Biaya per meter persegi adalah Rp75.000,00 sehingga biaya seluruhnya adalah

15.400 × Rp75.000,00 = Rp1.155.000.000,00. Jadi, biaya untuk mengisolasi tangki tersebut adalah Rp1.155.000.000,00

19