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SOLUCIONARIO ECUACIONES DIFERENCIALES
NO. 3
1.
Primero, se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { , luego,
determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √ donde
analizamos:
Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma
Dado el discriminante √ = 0 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma
Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de : √ √
Por lo tanto solución.
Comprobación
De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas
según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores
de las derivadas obtenidas:
Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial : se tiene:
0 = 0
2.
Primero, se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,
luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √
donde analizamos:
Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma
Dado el discriminante √ = - 6 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma
Hallamos los valores de y :
; √| | √| |
Por lo tanto; solución.
Comprobación
De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas
según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores
de las derivadas obtenidas:
Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene: { } { } 0 = 0
3.
Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos
hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp;
donde:
La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,
luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √
donde analizamos:
Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma
Dado el discriminante √ = - 4 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma
Hallamos los valores de y :
; √| | √| |
Por lo tanto la solución homogénea es
Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores:
Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar
los valores de y respectivamente.
Remplazando valores obtenemos: ;
De ahí obtenemos nuestra solución homogénea
La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma
Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del
grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los
coeficientes que acompañan a esa solución particular.
Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial
Por lo tanto;
Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es: Solución.
Comprobación
De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas
según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores
de las derivadas obtenidas:
Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene:
4.
Primero, se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,
luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √
donde analizamos:
Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma
Dado el discriminante √ = 0 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma
Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de : √ √
Por lo tanto
Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores:
Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar
los valores de y respectivamente.
Reemplazando las condiciones en sus respectivas derivadas hallamos: ;
De ahí obtenemos nuestra solución homogénea y Solución.
Comprobación
De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas
según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores
de las derivadas obtenidas:
Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene:
( ) ( ) ( )
5.
Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos
hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp;
donde:
La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,
luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √
donde analizamos:
Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma
Dado el discriminante √ = -2 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma
Hallamos los valores de y :
; √| | √| |
Por lo tanto la solución homogénea es
Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores:
Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar
los valores de y respectivamente.
Remplazando valores obtenemos: ;
De ahí obtenemos nuestra solución homogénea
La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma
Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del
grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los
coeficientes que acompañan a esa solución particular. Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial
Hallamos los valores de A y B de la siguiente manera:
: :
Por lo tanto;
Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es: Solución.
Comprobación
De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas
según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores
de las derivadas obtenidas:
Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene:
6. Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos
hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp;
donde:
La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,
luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √
donde analizamos:
Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma
Dado el discriminante √ = -20 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma
Hallamos los valores de y :
; √| | √| | √ √
Por lo tanto la solución homogénea es √ √
La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma
Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del
grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los
coeficientes que acompañan a esa solución particular.
Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial
Hallamos los valores de A y B de la siguiente manera:
: 9 :
cte:
Por lo tanto;
Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es: (√ ) (√ ) Solución.
Comprobación
De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas
según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores
de las derivadas obtenidas: (√ ) (√ ) ( (√ ) (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ( (√ ) (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ( (√ ) (√ ))
Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene: ( (√ ) (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ( (√ ) (√ )) ( ( (√ ) (√ )) ( √ (√ ) √ (√ )) ) ( (√ ) (√ ) )
7.
Al no ser una Ec. Diferencial de segundo orden aplicamos una división sintética para disminuir el grado el
grado de la Ec. Diferencial.
1 6 11 6 -1
-1 -5 -6
1 5 6
De ahí me queda una Ec. Diferencial de grado 2:
Otra manera de resolver sin utilizar la formula cuadrática es FACTORIZANDO solo si se puede factorar: La solución nos quedaría como son raíces REALES:
Solución.
Comprobación
De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas
según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores
de las derivadas obtenidas:
Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene:
8.
Primero analizamos que es una ECUACION DIFERENCIAL NO HOMOGENEA para ello debemos
hallar una solución homogénea yc y la parte que no es una derivada o función una solución particular yp;
donde:
La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde {
, luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √
donde analizamos:
Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma
Dado el discriminante √ = 4 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma
Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de :
√ √ {
Por lo tanto
Por lo tanto la solución homogénea es
Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores:
Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar
los valores de y respectivamente.
Remplazando valores obtenemos: ;
De ahí obtenemos nuestra solución homogénea
La segunda parte debemos analizar la parte que no es homogénea y se observa que es de la forma
Hallamos la primera, segunda o terceras y cuartas derivadas de esa solución particular dependiendo del
grado de la ecuación para luego reemplazar los valores en la Ec. Diferencial inicial y poder hallar los
coeficientes que acompañan a esa solución particular.
Remplazamos en la Ec. Diferencial inicial
Hallamos los valores de A y B de la siguiente manera:
: : : :
Por lo tanto;
Finalmente, la solución de la ecuación diferencial dada es: Solución.
Comprobación
De la solución de la ecuación diferencial hallamos su primera, segunda o terceras y cuartas derivadas
según el grado de la ecuación diferencial inicial donde luego reemplazaremos posteriormente los valores
de las derivadas obtenidas:
Reemplazando estas expresiones en la ecuación diferencial inicial se tiene: ( )
9.
La primera parte se debe observar que la ecuación diferencial dada es de segundo grado, donde { ,
luego, determinamos el tipo de ecuación yc que vamos a utilizar utilizando el discriminante √
donde analizamos:
Si el discriminante es + utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es 0 utilizamos la ecuación de la forma
Si el discriminante es - utilizamos la ecuación de la forma
Dado el discriminante √ = 0 por lo tanto utilizaremos la ecuación de la forma
Utilizando la fórmula general hallamos los el valor de : √ √
Por lo tanto
Como nos dan parámetros, las condiciones de esa ecuación diferencial homogénea reemplazamos valores:
Sacamos su primera derivada para reemplazar las condiciones y armar un sistema de ecuaciones y hallar
los valores de y respectivamente.
Reemplazando las condiciones en sus respectivas derivadas hallamos: ;
De ahí obtenemos nuestra solución homogénea y
Solución.
Comprobación