Post on 06-Feb-2018
Tugas Kelompok
MAKALAH
INTERPOLASI LINEAR, KUADRAT, KUBIK & POLINOM LAGRANGE
OLEH: KELOMPOK X
FARIDAH BAHARUDDINIMAM IKHSAN
IMRAN HASANUDDIN
JURUSAN MATEMATIKAFAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI ALAUDDINMAKASSAR
2010
KATA PENGANTAR
BISMILLAHIRRAHMANIRRAHIM.
Puji syukur senantiasa penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, karena limpahan
rahmat dan hidayah-Nyalah sehingga makalah yang berjudul “INTERPOLASI
(Interpolasi lanjar,interpolasi kuadratik,interpolasi kubik, dan polinom lagrange)
dapat tersusun dan selesai tepat pada waktunya.
Penulis mengucapkan banyak terimakasih kepada pihak-pihak yang terkait yang
telah membantu penyusunan makalah ini.
Akhirnya penulis menyadari bahwa dalam penyusunan makalah ini masih jauh dari
sempurna. Juga kemungkinan kesalahan cetak tak dapat dihindarkan. Karena itu kritik dan
saran yang sifatnya membangun dari berbagai pihak sangat diharapkan penyusun.
Demikianlah, mudah-mudahan makalah ini dapat dimanfaatkan sebaik-baiknya.
Makassar, juni 2010
Penyusun
DAFTAR ISI
Kata pengantar
Daftar isi
BAB I : PENDAHULUAN
Latar Belakang
BAB II : PEMBAHASAN
Pengertian Interpolasi
Interpolasi Lanjar
Interpolasi Kuadratik
Interpolasi Kubik
Polinom Lagrange
Contoh Program
BAB III : P E N U T U P
Kesimpulan
BAB I
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Permasalahan yang banyak berhubungan dengan pola suatu data adalah
fungsi yang melibatkan data.Sebagai contoh bila diketahui data-data penjualan
suatu produk, akan muncul pertanyaan adakah yang fungsi yang menyatakanbahwa
penjualan merupakan fungsi dari waktu.Contoh kenyatan yang menunjukkan
bahwa penjualan dipengaruhi oleh waktu ialah “penjualan es campur pada siang
hari akan lebih baik dari pada penjualan di malam hari.
Kenyataan tersebut dapat di katakana bahwa penjualan merupakan fungsi
dari waktu .Persoalannya adalah bagaiman menyajikan fungsi tersebut.I ni adalah
persoalan yang sangat tidak mudah untuk di pecahkan , karena betapa idealnya bila
di ketahui suatu fungsi yang bias menyatakan penjualan adalah fungsi waktu atau di
tuliskan dengan J = F (t ).
Untuk dapat menyajikan fungsi , yang dapat di lakukan adalah
menggunakan fungsi pendekatan , yaitu fungsi yang paling sesuai untuk
menyatakan suatu data berdasarkan model fungsi tertentu seperti model fungsi
linear , fungsi eksponensial , dan fungsi polinomeal .Cara pendekatan semacam ini
di namakan dengan regeresi.
Cara pendekatan yang lain bukan untuk menyatakan fungsi tetapi untuk
mencari nilai – nilai antara titik – titik yang di ketahui sehingga pola fungsinya
semakin jelas terlihat atau membentuk suatu kurva .Cara pendekatan ini di namakan
dengan interpolasi .Interpolasi di gunakan untuk menentukan titik – titik yang lain
berdasarkan fungsi pendekatan yang di tentukan sebelumnya.
Interpolasi linear adalah suatu bentuk interpolasi untuk menentukan titik –
titik antara dari titik –titik yang di ketahui menggunakan fungsi pendekatan yang
berupa fungsi linear dengan interpolasi linear akan di peroleh sejumlah titik antara
dua titik p1 ¿,y1) dan p2 (x2,y2) .Interpolasi lagrange adalah suatu bentuk interpolasi
dengan fungsi pendekatan berupa fungsi polinomal lagrange.Pada transformasi
lagrange, fungsi polynomial pangkt n memerlukan n+1 titik.Bila jumlh titiknya 2
buah ,maka interpolasi lagrange akan menjadi interpolasi linear.Untuk mencari titik
( x , y ) pada nilai x yang ditentukan dengan diketahui n buah titik (x1,y1), (x2,y2),
…..,(xn ,yn) menggunakan interpolasi lagrange.
BAB II
PEMBAHASAN
Interpolasi
f(x)
L(x)
x0x1x
1. INTERPOLASI LINEAR.
Bentuk interpolasi yang paling sederhana adalah menghubungkan dua titik data
dengan garis lurus.tekhnik ini dinamakan interpolasi linear,dilukiskan secara grafis pada
gambar diatas dengan memakai segitiga-segitiga sebangun sehingga diperoleh:
f 1 ( x )−f ¿¿=f ¿¿ , yang dapat disusun ulang menjadi:
f 1 ( x )=f¿)+f (x¿¿1)− f ¿¿¿¿(x-x0)
Cara penulisan f 1(x) menunjukkan bahwa ini adalah polinom interpolasi orde pertama
(interpolasi lanjar).Perhatikan bahwa disamping menyatakan kemiringan garis yang
menghubugkan titik-titik, bentuk [f(x1)-f(x0)]/(x1−x0) adalah hampiran (aproksimasi)
beda hingga terbagi dari turunan pertama.Umumnya semakin kecil selag diantara titik-titik
data, semakin baik hampirannya.
Algoritma Interpolasi
1) Tentukan dua titik P1 dan P2 dengan koordinatnya masing-masing (x0,y0)
dan (x1,y1)
x0
x1
x
f(x)
x2
h h
L(x)
2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari
3) Hitung nilai y dengan :f 1 ( x ) = f¿) + f (x¿¿1)−f ¿¿¿¿(x-x0)
4) Tampilkan nilai titik yang baru Q(x,y)
Contoh:
Taksirlah 2 (ln 2) dengan memakai interpolasi linear.yaitu dengan menginterpolasi antara
ln 1=0 dan ln 2,5=0,91629
Penyelesaian:Dengan menggunakan persamaan di atas ,interpolasi interpolasi dari x0 =1
sampai x1=2,5
maka; f 1(2) = ln(1) + ln (2,5 )− ln(1)
2,5−1(2-1)
= 0 +0,91629−0
1,5 (1)
0,91629
1,5 = 0,61086
2. Interpolasi Kuadrat
Interpolasi Kuadratik (polinom orde kedua) digunakan untuk mencari titik-titik antara dari
3 buah)
P1 (x0 . y0), P2(x1 , y1)dan P3(x2 , y2) ,polinom kuadrat yang digunakan untuk persamaan
ini ialah:
f 2(x)=b0+b1 ( x−x0 )+b2(x−x0)(x−x1)……………………(P.12.3).
Suatu prosedur yang sederhana dapat dipaki untuk menentukan nilai koefisien-
koefisiennya.Untuk b0
(P.12.3) dengan x=0 dapat dipakai menghitung ;
b0=f (x0)…………………………………………….(P.12.4)
(P.12.4) dapat disubstitusikan ke (P.12.3) yang dapat dohitung pada x =x1 untuk
b1=f (x1 )−f (x0)x2−x0
………………………………………………(P.12.5)
Akhirnya, (P.12.4) dan (p.12.5) dapat disubstitusikan ke (P.12.3) yang dapat dihitung pada
x=x2 dan dipecahakn(setelah melakukan manipulasi aljabar:
b2=
f (x2 )−f (x1)x2−x0
–f (x1 )−f (x0)x1−x0
x 2−x 0………………………………………………(P.12.)
Contoh:
Cocokkan polinom orde kedua terhadap tiga titik yang dipakai dalam contoh persamaan
interpolasi linear:
x0=1 f(x0)=0
x1=4 f(x1)=1,3862944
x2=6 f(x2) =1,7917595
Pakailah polinom tersebut untuk menghitung ln 2
Penyelesaian: Dengan menerapkan persamaan (12.4) maka;
b0 =0
x0
x1
x
f(x)
x2
h h
L(x)
x3
h
Persamaan (12.5) menghasilkan:b1=1,3862944−0
4−1 =0,46209813
Dan persamaan (12.6) menghasilkan:
b2 = 1,7917595−1,3862944
6−4– 0,46209813
6−1
= -0,051873116
Dengan mensubstitusikan nilai-nilai ini ke (P,12.3) dihasilkan rumus kuadrat
f 2(x) =0+0,46209813(x-1)-0,051873116(x-1)(x-4) yang dapat dihitung pada x=2 untuk
f 2(x) =0,56584436
Algoritma Interpolasi Kuadratik:
1) Tentukan 3 titik input P1(x1,y1), P2(x2,y2) dan P3(x3,y3)
2) Tentukan nilai x dari titik yang akan dicari
3) Hitung nilai y dari titik yang dicari menggunakan rumus dari interpolasi
kuadratik:
4) Tampilkan nilai x dan y
3. Interpolasi Kubik
Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk menghentikan kendaraan.
Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.
Misal diberikan empat buah titik data ,¿)(,x1,y1),¿,y2), dan (x3,y3).Polinom yang
mengiterpolasi keempat buah titik itu ialah polinom kubik yang berbentuk :
p3 ( x )=a0+a1x+a2 x2+a3 x
3 (P.5.9)
Polinom p3 ( x ) ditentukan dengan cara berikut:
1.Sulihkan ( x i,y i) kedalam persamaan (p.5.9), i=0,1,2,3. Sehingga diperoleh empat buah
persamaan dengan empat buah parameter yang tidak diketahui yaitu a0 ,a1 , a2dana3:
a0+a1 xo+a2 x02+a3 x0
3= y0
a0+a1x1a2 x12+a3 x1
3= y1
a0+a1 x2+a2 x22+a3 x2
3=y2
a0+a1x3+a2 x32+a3 x3
3= y3
Contoh :
maka untuk mencari nilai x=45 maka,
4. POLINOM INTERPOLASI LAGRANGE
Polinom interpolasi lagrange hanyalah perumusan ulang darri polinom newton
yang menghindari komputasi beda-beda terbagi.secara singkat dapat dinyatakan dengan:
f n ( x ) = ∑i=0
n
Li ( x ) f ¿)…………………………………….(12.20)
Dengan
Li(x) = ∏j=0j ≠ i
n x−(x j)x i−x j …………………………………………(12.21)
Dimana menunjukkan “hasilkali dari”.Misalnya versi linear (n-1) adalah
f i ( x ) =x−x1
x0−x1f(x0)+
x−x0
x1− x0f (x1)………………………………………(12.22)
Dan versi orde kedua adalah :
f 2(x) = (x−x1 ) (x−x2 )
x0−x1f(x¿¿0)+
(x−x0 ) (x−x2)
(x1−x0 )¿¿¿f(x1) +
( x−x0 )(x−x1)
(x2−x0 )(x2−x1)f(x2)
………………(12.23)
Persamaan (12.20) dapat diturunkan secara langsung dari polinom newton (kotak
12.1).Namun, penalaran yang mendasari rumus lagrange dpat langsung ditangkap dengan
menyadari bahwa tiap suku Li(x) akan 1 pada x =x i dan 0 pada titik-titik contoh lainnya.
Jadi, tiap hasilkali Li(x)f(x i) menerima nilai f¿¿) pada titik contoh x i.akibatnya ,penjumlahan semua hasilkali yangdinyatakn oleh persamaan (12.20)
merupakan polinom orde ke-n unik yang secara eksak melalui seluruh n+1 titik data.
Polinom interplasi lagrange daoat diturunkan kangsung dari rumus newton.ini akan
dilakukan untuk kasus orde pertama ,
f 1(x) = f(x0) + (x-x0¿f[xx , x0 ¿………………………………(B.12.1.1)
Supaya menurunkan bentuk lagrange ,bedaa-beda terbagi dirumuskan ulang.misalnya.
beda terbagi pertama ,f[x1, x0 ¿=f (x1 )−f (x0)x1−x0
dapat dirumuskan sebagai :
f[x1 , x0 ¿= f (x1)x1− x0
+f ( x0)x0−x1
. ……………………………..(B.12.1.2)
yang diacu sebagai bentuk simetri,dengan mensubstitusikan persamaan (12.1.2) ke
persamaan (B.12.1.1) akan dihasilkan:
f 1(x)=f(x0)+( x−x0)(x0−x1)
f (x1)+(x−x0)(x 0−x1)
f (x0)
Akhirnya dengan mengelompokkan suku-suku yang serupa dan penyederhanaan akan
dihasilkan bentuk lagrange :
f 1(x)= x−x1
x0−x1f (x0)+
x−x0
x1− x0f (x1)
Contoh:
Gunakan polinom interpolasi lagrange orde pertama dan kedua untuk menghitung ln 2
berdasarka data yang diberikan dalam contoh interpolasi kuadrat.
x0=1 f(x0¿=0
x1=4 f(x1)=1,3862944
x2=6 f(x2)=1,7917595
Penyelasaian: polinom ord pertama (p.12.22) adalah:
f i ( x ) =x−x1
x0−x1f(x0) +
x−x0
x1− x0f ¿)
Karena itu taksiran pada x=2adalah
f 1(2) = 2−41−4
(0)+ 2−14−1
(1,3862944 ) = 0,4620981
Dengan cara yang serupa ,polinom orde kedua dikembagkan sebagai (persamaan 12.23)
f 2(2) = (2−4 ) (2−6 )
(1−4 )(0 )+
(2−1 )(2−6)(4−1 )(4−6)
(1,3862944) + (2−1 )(2−4 )(6−1 )(6−4)
(1,7917595)
Contoh program
a. Interpolasi linear
% x adalah nilai yang akan dicari f(x)
%x0 adalah titik data awal
%x1 adalah titik data akhir
%f(x)=ln(x)
%program interpolasi lanjar
%by FARIDAH BAHARUDDIN
clc;
clear;
x=input('masukkan x= ');
x0=input('masukkan x0= ');
x1=input ('masukkan x1= ');
fx0=log(x0);
fx1=log(x1);
fx=fx0+((fx1-fx0)*(x-x0))/x1-x0;
fprintf('jadi y= %3.7f\n',fx)
b. Interpolasi kuadrat
%program interpolasi kuadrat
%by Faridah Baharuddin
%x0 x1 x2 adalah titik data
clc;
clear;
x=input('masukkan x= ');
x0=input('masukkan x0= ');
x1=input ('masukkan x1= ');
x2=input ('masukkan x2= ');
%f(x)=ln(x)
fx0=log (x0);
fx1=log (x1);
fx2=log (x2);
b0=fx0;
b1=(fx1-fx0)/(x1-x0);
c=(fx2-fx1)/(x2-x1);
d=(fx1-fx0)/(x1-x0);
b2=(c-d)/(x2-x0);
fx=b0+b1(x-x0)+b2(x-x0)*(x-x1);
fprintf('jadi y= %3.7f\n',fx)
c. Polinom lagrange%interpolasi lagrange
%MATEMATIKA 08 UIN ALAUDDIN MAKASSAR
clc;
clear;
fprintf('Interpolasi Lagrange\n')
n=input('banyak pasangan titik(n) yang diketahui= ');
for i=1:n
x(i)=input(['x',num2str(i),'=']);
y(i)=input(['y',num2str(i),'=']);
end;
xb=input('masukkan nilai x yang akan dicari= ');
int_lag=0;
for i=1:n
Li=1;
for j=1:n
if (j~=i)
a=(xb-x(j))/(x(i)-x(j));
Li=Li*a;
end;
end;
int_lag=in_lag+Li*y(i);
end;
fprintf('nilai interpolasi lagrange dari x adalah %8.5f\
n',int_lag)
BAB III
P E NU TU P
A. KESIMPULAN
Adapun kesimpulan dari makalah ini ialah:
1. Interpolasi didefinisikn sebagai cara untuk mengestimasi nilai dari fungsi yan
diberikan oleh
Kelompok data.
2. Interpolasi linear adalah interpolasi dua buah titik dengan sebuah garis
lurus.Misal diberikan dua
buah titik (x0 , y0) dan (x1 , y1), polinom yang menginterpolasikan dua buah titik ini
ialah:
f 1 ( x )=f¿)+f (x¿¿1)− f ¿¿¿¿(x-x0)
3. Interpolasi kuadrat ialah digunakan untuk mencari titik-tiik antara dari 3 buah
titik yaitu
P1(x0 , y0),p2(x1 , y1), dan p3(x2 , y2) .polinom yang digunakan untuk persamaan ini
ialah:
f 2(x)=b0+b1 ( x−x0 )+b2(x−x0)(x−x1)
4. Interpolasi kubik ialah digunakan untuk mencari empat buah titik data.misalnya
diberikan titik-
titik (x0 , y0),(x1 , y1),(x2 , x2),dan (x3 , y3).polinom yang mengintrpolasikan titik-
titik tersebut ialah:
p3 ( x )=a0+a1x+a2x2+a3 x
3
5. Polinom lagrange ialah perumusan ulang darri polinom newton yang menghindari
komputasi beda-beda terbagi.secara singkat dapat dinyatakan dengan:
f n ( x ) =∑i=0
n
Li ( x ) f (x i)
Dengan :
Li(x) =∏j=0j ≠ i
n x−(x j)x i−x j
Dimana menunjukkan “hasilkali dari”.Misalnya versi linear (n-1) adalah
f i ( x ) =x−x1
x0−x1f(x0)+
x−x0
x1− x0f (x1)………………………………………(12.22)
Dan versi orde kedua adalah :
f 2(x) = (x−x1 )(x−x2)
x0−x1f(x¿¿0)+
(x−x0 ) (x−x2)
(x1−x0 )¿¿¿f(x1) +
( x−x0 )(x−x1)
(x2−x0 )(x2−x1)f(x2)………(12.23)