UKURAN PENYEBARAN DATA

Probabilitas dan Statistika

Pengertian

Ukuran dari serangkaian atau sekelompok data yang menunjukkan seberapa jauh nilai-nilai dari sekelompok data tersebut menyimpang dari nilai rata-ratanya.

Bila dalam sekelompok data penyebarannya kecil, maka data bersifat homogen.

Bila dalam sekelompok data penyebarannya besar, maka data bersifat heterogen.

A. Daerah Jangkauan (Range) Adalah : selisih antara nilai terbesar dan

nilai terkecil dari serangkaian data1. Range data tunggal ket : J = daerah jangkauan (Range) Xmax = nilai terbesar

Xmin = nilai terkecil

J = Xmax - Xmin

Contoh : Apabila ada 6 orang mahasiswa mengikuti ujian praktikum dengan nilai masing-masing : 80, 70, 90, 50, 85, 60. Hitung nilai jangkauannya !

Jawab : J = Xmax - XminJ = 90 – 50 = 40

1. Range data berkelompok ket : Jk = daerah jangkauan (Range) Bmax = batas atas kelas dari kelas tertinggi Bmin = batas bawah kelas dari kelas terendah

Jk = Bmax - Bmin

Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 :

No. Kelas Interval Kelas Frekuensi1 25-34 62 35-44 83 45-54 114 55-64 145 65-74 126 75-84 87 85-94 6

65

Jawab :Jk = Bmax - Bmin

Jk = 94 – 25 = 69

B. Simpangan Rata-rata (SR) Adalah nilai rata-rata dari harga mutlak

semua simpangan terhadap rata-rata (mean) kelompoknya.

Harga mutlak (absolut) : setiap nilai negatif dianggap positif

1. Simpangan rata-rata data tunggal SR = Simpangan rata-

rata X = data pengamatan X = rata-rata

Contoh :Data nilai probabilitas dan statistik

mahasiswa : 50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80Hitung simpangan rata-rata !Jawab :a. Hitung Nilai rata-rata

b. Hitung selisih antara nilai Xi dengan nilai rata-rata

No Nilai (Xi) Rata-rata ( )1 50 64 142 40 64 243 70 64 64 75 64 115 75 64 116 80 64 167 65 64 18 75 64 119 30 64 34

10 80 64 16Jumlah ∑ = 144

c. Hitung simpangan rata-rata (SR)

Jadi, dapat diartikan bahwa terjadi penyimpangan sebesar 14,4 terhadap nilai rata-ratanya.

2. Simpangan rata-rata data berkelompok

ti = titik tengah

Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 :

No. Kelas Interval Kelas Frekuensi1 25-34 62 35-44 83 45-54 114 55-64 145 65-74 126 75-84 87 85-94 6

65

Hitung nilai simpangan rata-rata !

Jawab :

Tentukan titik tengah : Kelas ke-1 ti = (25+34) / 2 = 29,5 Kalikan frekuensi dengan titik tengah Misal kelas ke-1 : f.ti = 6 x 29,5 = 177 Hitung nilai rata-rata

Tentukan nilai Misal kelas ke-1 :

Kalikan frekuensi dengan Misal kelas ke-1 :

Nilai Interval

Frekuensi (fi)

Titik tengah

(Ti)f. ti

25 – 34 6 29,5 177 59,7 30,2 181,235 – 44 8 39,5 316 59,7 20,2 161,645 – 54 11 49,5 545 59,7 10,2 112,255 – 64 14 59,5 833 59,7 0,2 2,865 – 74 12 69,5 834 59,7 9,8 117,675 – 84 8 79,5 636 59,7 19,8 158,485 – 94 6 89,5 537 59,7 29,8 178,8

∑ = 65 ∑ = 3878 ∑ = 912,6

Hitung Simpangan rata-rata :

C. Simpangan Baku (Standar Deviasi)

Adalah nilai yang menunjukkan tingkat variasi kelompok data atau ukuran standar penyimpangan dari nilai rata-ratanya.

Lambang SD untuk populasi : σ (tho) Lambang SD untuk sampel : s1. Simpangan baku data tunggal : a. Kategori sampel :

b. Kategori populasi :

Keterangan :s = standar deviasi sampelσ = standar deviasi populasiXi = data pengukuran

n = jumlah data

Contoh :Data nilai probabilitas dan statistik

mahasiswa : 50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80Hitung simpangan baku (SD) !Jawab :a. Hitung Nilai rata-rata

b. Hitung selisih antara nilai Xi dengan nilai rata-rata

No Nilai (Xi) Rata-rata ( )1 50 64 1962 40 64 5763 70 64 364 75 64 1215 75 64 1216 80 64 2567 65 64 18 75 64 1219 30 64 1156

10 80 64 256Jumlah ∑ = 2840

c. Hitung nilai standar deviasi :

2. Simpangan Baku data berkelompok :a. Kategori sampel :

b. Kategori populasi :

Keterangan :s = standar deviasi sampelσ = standar deviasi populasiXi = data pengukuran

n = jumlah data

Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 :

No. Kelas Interval Kelas Frekuensi1 25-34 62 35-44 83 45-54 114 55-64 145 65-74 126 75-84 87 85-94 6

65

Hitung nilai simpangan baku (SD) !

Jawab :

Tentukan titik tengah : Kelas ke-1 ti = (25+34) / 2 = 29,5 Kalikan frekuensi dengan titik tengah Misal kelas ke-1 : f.ti = 6 x 29,5 = 177 Kuadratkan ti (ti

2)

Misal kelas ke-1 : (ti2) = (29,5)2 = 870,3

Kalikan f dengan (ti2) = 6 x 870,3 =

5221,5

Nilai interval

Frekuensi (fi)

Titik tengah (Ti) f. ti

(t1)2 f. (t1)2

25 – 34 6 29,5 177 870,3 5221,5

35 – 44 8 39,5 316 1560 12482

45 – 54 11 49,5 545 2450 26952,8

55 – 64 14 59,5 833 3540 49563,5

65 – 74 12 69,5 834 4830 57963

75 – 84 8 79,5 636 6320 50562

85 – 94 6 89,5 537 8010 48061,5

∑ = 65 ∑ = 3877,5 ∑ = 250806

Tentukan SD :

D. Koefisien Varians (KV)

Adalah perbandingan antara standar deviasi dengan harga rata-rata (mean) dinyatakan dalam persen (%).

Tujuan : untuk mengetahui tingkat keseragaman data

Semakin kecil nilai KV semakin seragam data tersebut, dan sebaliknya.

KV untuk populasi :

KV untuk sampel :

Contoh :Data nilai probabilitas dan statistik mahasiswa : 50, 40, 70, 75, 75, 80, 65, 30, 75, 80, 30, 80, 90,

75, 60Hitung koefisien varians (KV) !Jawab :a. Hitung Nilai rata-rata

Buat tabel penolong :No Nilai (Xi) Rata-rata ( )1 50 65 2252 40 65 6253 70 65 254 75 65 1005 75 65 1006 80 65 2257 65 65 08 75 65 1009 30 65 1225

10 80 65 22511 30 65 122512 80 65 22513 90 65 62514 75 65 10015 60 65 25

Jumlah ∑ = 5050

Hitung SD :

Hitung KV :

E. Kuartil

1. Kuartil : adalah sekumpulan data yang telah disusun mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar, kemudian dibagi menjadi empat bagian yang sama.

Ada 3 jenis kuartil : kuartil bawah (K1), kuartil tengah (K2), dan kuartil atas (K3)

a. Kuartil data tunggal

Langkah menghitung kuartil data tunggal :

1. Susun data mulai yang terkecil – terbesar

2. Tentukan letak kuartil

3. Tentukan nilai kuartil

Nilai kuartil dapat ditentukan dengan rumus :

Ket :Ki

= nilai kuartil

LKi = letak kuartil

n = data

i (n + 1) Ki =

------------- 4

Contoh : Data nilai statistik 10 orang mahasiswa : 50, 40, 70, 77, 75, 80, 65, 30, 85, 82. Hitung nilai K1,K2,dan K3

Jawab :a. Susunan data : 30,40,50,65,70,75,77,80,82,85b. Letak kuartil = LKi

= 1, 2, 3

c. Nilai kuartil bawah K1 :

Letak K1 = antara data ¾ dari data ke-2 dan ke-3

K1 = data ke-2 + 0,75 (data ke-3 – data ke-2)

K1 = 40 + 0,75 (50-40)

K1 = 47,5

1 (10 + 1) K1 = ------------- =

2,75 4

Nilai kuartil tengah K2 :

Letak K2 = antara ½ dari data ke-5 dan ke-6

K2 = data ke-5 + 0,5 (data ke-6 – data ke-5)

K2 = 70 + 0,5 (75-70)

K1 = 72,5

Nilai kuartil atas K3 :

Letak K3 = antara ¼ dari data ke-8 dan ke-9

K3 = data ke-8 + 0,25 (data ke-9 – data ke-8)

K3 = 80 + 0,25 (82-80)

K3 = 80,5

2 (10 + 1) K2 = ------------- =

5,5 4

3 (10 + 1) K3 = ------------- =

8,25 4

b. Kuartil data berkelompokLetak kuartil ke-i untuk data kelompok (LKi) :

Ket :Ki = nilai kuartil ke-i

Bb = batas bawah kelas yang mengandung nilai kuartilP = panjang kelasi = letak kuartil ke – IJf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas kuartil

i.n/4 - Jf

Ki = Bb + P ( -------------)

f

Langkah-langkah menghitung nilai kuartil data berkelompok :a. Cari nilai interval kelas yang mengandung

unsur kuartil dengan rumus : LKi / 4 x (n)

b. Menentukan batas bawah kelas kuartil (Bb )

c. Menentukan panjang kelas kuartil (P)d. Menentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas

kuartil (Jf)e. Menentukan banyak frekuensi kelas kuartil (f)f. Menghitung nilai kuartil

Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 :

No. Kelas Interval Kelas Frekuensi1 25-34 62 35-44 83 45-54 114 55-64 145 65-74 126 75-84 87 85-94 6

65

Hitung nilai K1,K2,dan K3

1. Nilai Kuartil Bawah (K1)

i/4 x n = ¼ x 65 = 16,25 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 16,25 = 6 + 8 + 11 = 25 jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas

ke-3 Bb = 45 – 0,5 = 44,5

P = 45 s.d 54 = 9 f = 11 Jf = 6 + 8 = 14

i.n/4 - Jf

Ki = Bb + P ( -------------)

f

1.65 / 4 - 14

K1 = 44,5 + 9 (------------------)

11= 44,5 + 9 (0,2045)

= 46,3

2. Nilai Kuartil Tengah (K2)

i/4 x n = 2/4 x 65 = 32,5 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 32,5 = 6 + 8 + 11 + 14 = 39 jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas

ke-4 Bb = 55 – 0,5 = 54,5

P = 55 s.d 64 = 9 f = 14 Jf = 6 + 8 + 11= 14

i.n/4 - Jf

Ki = Bb + P ( -------------)

f

2.65 / 4 - 25

K2 = 54,5 + 9 (------------------)

14= 54,5 + 9 (0,536)

= 59,3

3. Nilai Kuartil Atas (K3)

i/4 x n = ¾ x 65 = 47,8 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 47,8 = 6 + 8 + 11 + 14 + 12 = 51 jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas

ke-5 Bb = 65 – 0,5 = 64,5

P = 65 s.d 74 = 9 f = 12 Jf = 6 + 8 + 11 + 14 = 39

i.n/4 - Jf

Ki = Bb + P ( -------------)

f

3.65 / 4 - 39

K3 = 64,5 + 9 (------------------)

11= 64,5 + 9 (0,813)

= 71,8

2. Desil, sekumpulan data yang telah disusun mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar, dibagi menjadi sepuluh bagian yang sama.

Disimbolkan dengan D1, D2, …, D9.

a. Desil data tunggal Langkah menghitung desil data tunggal :1. Susun data mulai yang terkecil – terbesar2. Tentukan letak desil3. Tentukan nilai desil

F. Desil

Nilai desil dapat ditentukan dengan rumus :

Ket :Di

= nilai desil

i = desil ke-in = data

i (n + 1) Di =

------------- 10

Contoh : Data nilai statistik 10 orang mahasiswa : 50, 40, 70, 77, 75, 80, 65, 30, 85, 82. Hitung nilai D1,D2,dan D3

Jawab :a. Susunan data : 30,40,50,65,70,75,77,80,82,85b. Letak desil = LDi

= 1, 2, 3, 4, … 9

c. Nilai desil D1 :

Letak D1 = antara data ke-1 dan ke-2

D1 = data ke-1 + 0,1 (data ke-2 – data ke-1)

D1 = 30 + 0,1 (40-30)

D1 = 33

1 (10 + 1) D1 = -------------

= 1,1 10

Nilai desil D5 :

Letak D5 = antara data ke-5 dan ke-6

D5 = data ke-5 + 0,5 (data ke-6 – data ke-5)

D5 = 70 + 0,5 (75-70)

D5 = 72,5

5 (10 + 1) D5 = -------------

= 5,5 10

Nilai desil D9 :

Letak D9 = antara data ke-9 dan ke-10

D9 = data ke-9 + 0,9 (data ke-9 – data ke-10)

D9 = 82 + 0,9 (85-82)

D9 = 84,7

9 (10 + 1) D9 = -------------

= 9,9 10

b. Desil data berkelompokLetak desil ke-i untuk data kelompok (LDi) :

Ket :Di = nilai desil ke-i

Bb = batas bawah kelas yang mengandung nilai desilP = panjang kelasi = letak desil ke – iJf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas desil

i.n/10 - Jf

Di = Bb + P ( -------------)

f

Langkah-langkah menghitung nilai desil data berkelompok:a. Cari nilai interval kelas yang mengandung unsur

desil dengan rumus : i/10 x n

b. Menentukan batas bawah kelas desil (Bb )

c. Menentukan panjang kelas desil (P)

d. Menentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas desil (Jf)

e. Menentukan banyak frekuensi kelas desil (f)f. Menghitung nilai desil

Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 :

No. Kelas Interval Kelas Frekuensi1 25-34 62 35-44 83 45-54 114 55-64 145 65-74 126 75-84 87 85-94 6

65

Hitung nilai D3,D6,dan D9

1. Nilai desil 3 (D3)

i/10 x n = 0,3 x 65 = 19,5 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 19,5 = 6 + 8 + 11 = 25 jadi, kelas desil 3 terletak di kelas ke-3 Bb = 45 – 0,5 = 44,5

P = 45 s.d 54 = 9 f = 11 Jf = 6 + 8 = 14

i.n/10 - Jf

Di = Bb + P ( -------------)

f

3.65 / 10 - 14

D1 = 44,5 + 9 (------------------)

11 = 44,5 + 9 (0,5) = 49

2. Nilai desil 6 (D6)

i/10 x n = 0,6 x 65 = 39 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 39 = 6 + 8 + 11 + 14 = 39 jadi, kelas desil 6 terletak di kelas ke-4 Bb = 55 – 0,5 = 54,5

P = 55 s.d 64 = 9 f = 14 Jf = 6 + 8 + 14 = 25

i.n/10 - Jf

Di = Bb + P ( -------------)

f

6.65 / 10 - 25

D6 = 54,5 + 9 (------------------)

14 = =54,5 + 9 (1) = 63,5

3. Nilai desil 9 (D9)

i/10 x n = 0,9 x 65 = 58,5 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 58,5 = 6 + 8 + 11 + 14 + 12 = 51 jadi, kelas kuartil bawah terletak di kelas

ke-5 Bb = 65 – 0,5 = 64,5

P = 65 s.d 74 = 9 f = 12 Jf = 6 + 8 + 11 + 14 = 39

i.n/10 - Jf

Di = Bb + P ( -------------)

f

9.65 / 10 - 39

D9 = 64,5 + 9 (------------------)

12 = 64,5 + 9 (1,625) = 79,125

3. Persentil, sekumpulan data yang telah disusun mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar, dibagi menjadi seratus bagian yang sama.

Disimbolkan dengan P1, P2, …, P99.

a. Persentil data tunggal Langkah menghitung Persentil data tunggal :1. Susun data mulai yang terkecil – terbesar2. Tentukan letak Persentil3. Tentukan nilai Persentil

G. Persentil

Nilai Persentil data tunggal dapat ditentukan dengan rumus :

Ket :Pi

= nilai Persentil

i = Persentil ke-in = data

i (n + 1) Pi =

------------- 10

b. Persentil data berkelompokLetak Persentil ke-i untuk data kelompok (LDi) :

Ket :Di = nilai Persentil ke-i

Bb = batas bawah kelas yang mengandung nilai Persentil

P = panjang kelasi = letak Persentil ke – iJf = jumlah dari semua frekuensi kumulatif sebelum kelas Persentil

i.n/100 - Jf

Pi = Bb + P ( ---------------)

f

Langkah-langkah menghitung nilai Persentil data berkelompok:a. Cari nilai interval kelas yang mengandung unsur

Persentil dengan rumus : i/100 x n

b. Menentukan batas bawah kelas Persentil (Bb )

c. Menentukan panjang kelas Persentil (P)

d. Menentukan frekuensi kumulatif sebelum kelas Persentil (Jf)

e. Menentukan banyak frekuensi kelas Persentil (f)f. Menghitung nilai Persentil

Contoh : diketahui nilai ujian probabilitas dan statistika mahasiswa group 2LD jurusan teknik elektro FT UNP semester juli-desember 2011 :

No. Kelas Interval Kelas Frekuensi1 25-34 62 35-44 83 45-54 114 55-64 145 65-74 126 75-84 87 85-94 6

65

Hitung nilai P10, P50, dan P90

1. Nilai Persentil 10 (P10)

i/10 x n = 10/100 x 65 = 6,5 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 6,5 jadi, kelas Persentil 10 terletak di kelas ke-

1 Bb = 25 – 0,5 = 24,5

P = 25 s.d 34 = 9 f = 6 Jf = 6

10.65/100 - 6

P10 = 24,5 + 9 (--------------------) 6

= 25,25

i.n/100 - Jf

Pi = Bb + P ( ---------------)

f

2. Nilai Persentil 50 (P50)

i/100 x n = 50/100 x 65 = 32,25 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 32,25 = 6 + 8 + 11 = 25 jadi, kelas Persentil 50 terletak di kelas ke-

3 Bb = 45 – 0,5 = 44,5

P = 45 s.d 54 = 9 f = 11 Jf = 6 + 8 = 14

50.65/100 - 14

P50 = 44,5 + 9 (--------------------)

11 = 59,6

i.n/100 - Jf

Pi = Bb + P ( ---------------)

f

3. Nilai Persentil 90 (P90)

i/100 x n = 90/100 x 65 = 58,5 Jumlahkan frekuensi s.d hasilnya ≥ 58,5 = 6 + 8 + 11 + 14 + 12 = 51 jadi, kelas Persentil bawah terletak di kelas

ke-5 Bb = 65 – 0,5 = 64,5

P = 65 s.d 74 = 9 f = 12 Jf = 6 + 8 + 11 + 14 = 39

90.65/100 - 39

P10 = 64,5 + 9 (--------------------)

12 = 79,1

i.n/100 - Jf

Pi = Bb + P ( ---------------)

f

LATIHAN

1. Data berikut menunjukkan hasil pengukuran tegangan dari 15 kali percobaan :

62, 57, 65, 70, 53, 52, 48, 56, 55, 57, 57, 65, 70, 53, 52. Carilah nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas.

2. Nilai ujian probabilitas dan statistika yang diikuti oleh 83 mahasiswa jurusan Teknik Elektro FT UNP adalah :

No. Kelas Interval Kelas Frekuensi 1 25-34 52 35-44 103 45-54 134 55-64 165 65-74 196 75-84 127 85-94 8

83

Carilah nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas.

3. Data berikut menunjukkan hasil pengukuran arus pada suatu percobaan dalam mata kuliah rangkaian listrik : 162, 157, 163, 170, 153, 152, 148, 155, 155, 157, 159, 165, 70, 150, dan 158 mA. Hitunglah nilai D1, D5, dan D9.

4. Dari soal nomor 7, berapa nilai desil 3 (D3), desil 6 (D6), dan desil 9 (D9)

5. Dari soal nomor 7, berapa nilai persentil P10, P50, dan P90.