TURUNAN

PARSIAL MK. Kalkulus Lanjut

MKMAT3315

©Aswad2016 1

Review

©Aswad2016

2

Turunan (derivatif) tidak sama dengan

diferensial.

Pada fungsi satu variabel, Dxy = dy/dx = f’(x)

adalah notasi untuk turunan

dy atau dx saja menyatakan diferensial

Misalkan f(x) = x2 – 3x + 1.

Turunan dari x2 – 3x + 1 adalah 2x – 3 karena

Dxy = d(x2 – 3x + 1)/dx = 2x – 3

Diferensial dari x2 – 3x + 1 adalah (2x-3)dx

karena dy = d(x2 – 3x + 1) = f’(x) dx = (2x-3) dx

©Aswad2016

3

©Aswad2016

4

©Aswad2016

5

Sehingga jelas bahwa turunan (derivativ)

adalah hasil pembagian antara dua buah

diferensial.

Pencarian turunan disebut diferensiasi

Bagian kalkulus yang berhubungan

dengan turunan disebut kalkulus

diferensial

Differentiable artinya dapat diturunkan

atau turunan fungsi tsb di titik itu ada.

©Aswad2016

6

Perhatikan bahwa turunan pada fungsi

satu variabel didefinisikan sebagai

asalkan limit ini ada, bukan ∞ atau - ∞.

Perhatikan pula bahwa jika f’(c) ada

maka f kontinu di c untuk c sebarang

bilangan, tetapi tidak berlaku sebaliknya.

©Aswad2016

7

Misalkan f(x) = 2x + 1.

Maka

Sehingga, jika f’(2) ada maka f kontinu di 2.

0 0

0 0

0

00

00

22 2

2

2lim lim 2 2

2

2lim 2 lim lim 2

2

lim5 .0

5 2

lim

lim

.lim 0 5

' 2

h h

h h h

h

h

h

h

f x ff x

f

f x

f

x

f x ff x f x

x

f x

f

x

f x ff x

x

x

©Aswad2016

8

Misalkan f(x) = |x|.

Fungsi f(x) jelas kontinu di 0 tetapi f’(0) tidak ada.

Perhatikan bahwa:

Karena limit kiri tidak sama dengan limit kanan

maka tidak ada. akibatnya f’(0) tidak ada.

Terbukti bahwa apabila suatu fungsi kontinu di x

maka belum tentu memiliki turunan di x.

0 0

0 0' 0 lim lim

h h

f h f hf

h h

0 0 0 0lim lim 1 lim lim 1h h h h

h hh hdan

h h h h

0limh

h

h

©Aswad2016

9

Definisi dan Tafsiran

Geometris

©Aswad2016

10

©Aswad2016

11

Definisi 3.1.

©Aswad2016

12

Contoh 1

Carilah fx(1, 2) dan fy(1, 2)

Apabila diketahui f(x, y) = x2y + 3y3.

©Aswad2016

13

Cara 1: By Definisi 3.1.

Turunan parsial

terhadap y

ditinggalkan

sebagai

latihan.

©Aswad2016

14

Cara 2: Langsung

E.o.E.1

©Aswad2016

15

Contoh 2

Jika z = x2 sin (xy2). Tentukanlah ∂z/∂x dan

∂z/∂y.

©Aswad2016

16

E.o.E.2

Perhatikan bahwa ada beberapa notasi

yang biasa digunakan berkenaan dengan

turunan parsial dari suatu fungsi. Misalkan z

= f(x, y) maka notasi yang biasa digunakan

untuk turunan-turunan parsial dari f(x, y)

pada (x0, y0) adalah sebagai berikut:

©Aswad2016

17

Tinjau permukaan z = f(x, y).

Bidang y = y0 memotong permukaan ini

pada kurva bidang PQR. Persamaan

bidang PQR = g(x) = f(x, y0). Nilai fx(x0, y0)

adalah kemiringan garis singgung pada

kurva di P(x0, y0, f(x0, y0)). Perhatikan

Gambar 1.(a). Dengan cara yang sama,

bidang x = x0 memotong permukaan pada

kurva bidang LPM. Persamaan bidang LPM

= h(y) = f(x0, y). Nilai fy(x0, y0) adalah

kemiringan garis singgung pada kurva di P.

Perhatikan Gambar 1.(b).

©Aswad2016

18

©Aswad2016

19

Gambar 1.

©Aswad2016

20

Contoh 3

Jika f(x, y) = 4 – x2 – 2y2. Tentukanlah fx(1, 1)

dan fy(1, 1). Kemudian gambarkan bentuk

grafik dari masing-masing turunan parsial

yang dimaksud.

fx = -2x maka fx(1, 1) = -2

fy = -4y maka fy(1, 1) = -4

bentuk grafik dari f(x, y) = 4 – x2 – 2y2 adalah suatu paraboloid.

Bidang y = 1 memotong permukaan pada kurva bidang z = 2 – x2. Jadi, kemiringan garis singgung di titik P(1, 1, 1) adalah fx(1, 1) = -2. Perhatikan Gambar 2.(a).

Dengan cara yang sama, bidang x = 1 memotong permukaan pada kurva bidang z = 3 – 2y2. Jadi kemiringan garis singgung di titik P(1, 1, 1) adalah fy(1, 1) = -4. Perhatikan Gambar 2.(b).

©Aswad2016

21

©Aswad2016

22

Gambar 2.

E.o.E.3

Turunan Parsial Fungsi

Implisit

©Aswad2016

23

©Aswad2016

24

Misalkan diketahui z = f(x, y) dengan yang

dinyatakan F(x, y, z) = C.

Turunan parsial fungsi f terhadap x dan

terhadap y dapat dihitung sebagai

/ /

/ /

z F x z F ydan

x F z y F z

©Aswad2016

25

Contoh 4

Tentukan turunan parsial fungsi implisit berikut terhadap x dan terhadap y.

x2 + y2 + z2 = 1

©Aswad2016

26

2 2 2( , , )

/ 2

/ 2

/ 2

/ 2

F x y z x y z

z F x x x

x F z z z

z F y y y

y F z z z

E.o.E.4

Turunan Parsial Tingkat

Tinggi

©Aswad2016

27

Jika f suatu fungsi dua variabel, maka

turunan parsial fx dan fy adalah juga suatu

fungsi dua variabel. Dengan demikian,

kedua turunan parsial tersebut dapat

diturunkan lagi terhadap variabel x dan y

sehingga menjadi (fx)x, (fx)y, (fy)x, dan (fy)y,

yang tidak lain merupakan turunan parsial

kedua dari f. Selengkapnya perhatikan

Definisi 3.2. berikut

©Aswad2016

28

©Aswad2016

29

Definisi 3.2.

©Aswad2016

30

Contoh 5

Tentukan turunan parsial kedua dari fungsi berikut

f(x, y) = x3 + x2y3 – 2y2.

©Aswad2016

31

E.o.E.5

Latihan

©Aswad2016

32

©Aswad2016

33

©Aswad2016

34

Selesai

©Aswad2016

35