Post on 20-Jan-2016
description
TURUNAN
Definisi Aturan Pencarian Turunan Turunan Sinus dan Cosinus Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Diferensiasi Implisit
DEFINISI Turunan
Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah
asalkan limit ini ada dan bukan atau -
0
( ) ( )'( ) lim
h
f c h f cf c
h
Contoh Pencarian Turunan
Contoh 1
Andaikan , carilah f’(4)
Penyelesaian
( ) 13 6f x x
0
0
0 0
(4 ) (4)'(4) lim
[13(4 ) 6] [13(4) 6]lim
13lim lim13 13
h
h
h h
f h ff
hh
hh
h
Contoh Pencarian Turunan
Contoh 2
Jika , carilah f’(c)!
Penyelesaian:
3( ) 7f x x x
0
3 3
0
2 2 3
0
2 2
0
2
( ) ( )'( ) lim
[( ) 7( )] [ 7 ]lim
3 3 7lim
lim 3 3 7
3 7
h
h
h
h
f c h f cf c
h
c h c h c c
h
c h ch h h
h
c ch h
c
Contoh Pencarian Turunan
Contoh 3
Carilah F’(x) jika
Penyelesaian
( ) , 0F x x x
0 0
0
0 0
0
( ) ( )'( ) lim lim
lim
lim lim
1 1 1lim
2
h h
h
h h
h
F x h F x x h xF x
h h
x h x x h x
h x h x
x h x h
h x h x h x h x
x h x x x x
Bentuk-Bentuk Setara untuk Turunan
Tidak ada yg keramat tentang penggunaan huruf h dlm mendefinisikan f’(c)
0
0
0
( ) ( )'( ) lim
( ) ( )lim
( ) ( )lim
( ) ( )'( ) lim
h
p
s
x c
f c h f cf c
hf c p f c
p
f c s f c
s
f x f cf c
x c
Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kekontinuan
Teorema A
Jika f’(c) ada maka f kontinu di c
Kebalikan dari teorema ini tidak benar. Jika fungsi f
kontinu di c, maka tidak berarti bahwa f mempunyai
turunan di c. Contoh: f(x) = |x|. Fungsi ini pasti kontinu
di nol, namun tidak mempunyai turunan di x = 0.
Contoh Berdasarkan Gambar
ATURAN PENCARIAN TURUNAN
Teorema A (Aturan Fungsi Konstanta)
Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang x, f’(x)=0; yakni Dx(k)=0
Bukti
0 0 0
( ) ( )'( ) lim lim lim 0 0
h h h
f x h f x k kf x
h h
ATURAN PENCARIAN TURUNAN
Teorema B (Aturan Fungsi Identitas)
Jika f(x)=x, maka f’(x)=1; yakni Dx(x)=1
Bukti
0
0 0
( ) ( )'( ) lim
lim lim 1
h
h h
f x h f xf x
hx h x h
h h
ATURAN PENCARIAN TURUNAN
Teorema C (Aturan Pangkat)
Jika f(x)=xn, dengan n bilangan bulat positif, maka f’(x)=nxn-1; yakni Dx(xn)= nxn-1
Catatan: n nantinya dapat diperluas menjadi bilangan rasional
ATURAN PENCARIAN TURUNAN
Teorema D (Aturan Kelipatan Konstanta)
Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi
yang terdiferensiasikan, maka (kf)’(x)=k.f
’(x); yakni Dx[kf(x)]= k . Dxf(x)
ATURAN PENCARIAN TURUNAN
Teorema E (Aturan Jumlah)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f +g)’(x)=f ’(x)+g’(x); yakni Dx[f(x)+g(x)]= Dxf(x) + Dxg(x)
Teorema F (Aturan Selisih)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f-g)’(x)=f ’(x)-g’(x); yakni Dx[f(x)-g(x)]= Dxf(x) - Dxg(x)
ATURAN PENCARIAN TURUNAN
Teorema G (Aturan Hasil Kali)
Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka
yakni
( . ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( )f g x f x g x g x f x
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xD f x g x f x D g x g x D f x
ATURAN PENCARIAN TURUNAN
Teorema H (Aturan Hasil Bagi)
Andaikan f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan g(x)≠0. Maka
yakni
'
2
( ) '( ) ( ) '( )( )
( )
f g x f x f x g xx
g g x
2
( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( )x x
x
g x D f x f x D g xf xD
g x g x
TURUNAN SINUS DAN COSINUS
Teorema A
Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensiasikan.
Faktanya, Dx(sin x) = cos x dan Dx(cos x) = – sin x Contoh 1 Carilah Dx(3 sin x – 2 cos x)
Contoh 2 Carilah Dx(tan x)
(3sin 2cos ) 3 (sin ) 2 (cos )
3cos 2sinx x xD x x D x D x
x x
2
2
2 22
2 2
cos (sin ) sin (cos )sin(tan )
cos cos
cos cos sin ( sin )
cos
cos sin 1sec
cos cos
x xx x
x D x x D xxD x D
x x
x x x x
x
x xx
x x
TURUNAN SINUS DAN COSINUS
Teorema B2
2
tan sec
sin sec tan
cot csc
csc csc cot
x
x
x
x
D x x
D x x x
D x x
D x x x
ATURAN RANTAI
Teorema A (Aturan Rantai)
Andaikan y=f(u) dan u=g(x). Jika g
terdiferensiasikan di u=g(x), maka fungsi
komposit , didefinisikan oleh
terdiferensiasikan di x dan
yakni
f g ( ) ( ( ))f g x f g x
' ' '( ) ( ( )) ( )f g x f g x g x' '( ( ( ))) ( ( )) ( ) atau x x u xD f g x f g x g x D y D yD u
PENERAPAN ATURAN RANTAI
Contoh 1
Jika
Penyelesaian
2 60(2 4 1) , carilah xy x x D y
60 2
59
2 59
misalkan dan 2 4 1
(60 )(4 4)
60(2 4 1) (4 4)
x u x
y u u x x
D y D y D u
u x
x x x
PENERAPAN ATURAN RANTAI
Contoh 2 5 3
3 53
4 4
44
4
5 4
Jika 1/(2 7) , carilah
1misalkan dan 2 7
( 3 )(10 )
310
30
(2 7)
x
x u x
y x D y
Penyelesaian
y u u xu
D y D y D u
u x
xu
x
x
PENERAPAN ATURAN RANTAI
Contoh 3
Jika
Penyelesaian
3sin( 3 ), carilah xy x x D y
3
2
3 2
2 3
misalkan sin dan 3
(cos ) (3 3)
[cos 3 ] (3 3)
(3 3)cos 3
x u x
y u u x x
D y D y D u
u x
x x x
x x x
PENERAPAN ATURAN RANTAI
Contoh 4:
Penyelesaian
133
4
2 1Carilah
3t
t tD
t
313
4
4 2 3 3
1224
123 6 4 3 2
24 4
2 1misalkan dan
3
3 3 2 2 1 413
3
2 1 6 4 9 613
3 3
t u t
t ty u u
tD y D y D u
t t t t tu
t
t t t t t t
t t
PENERAPAN ATURAN RANTAI LEBIH DARI SEKALI
Contoh 5
Penyelesaian
3Carilah sin (4 )xD x
3 3 3 1
2
2
2
sin (4 ) [sin(4 )] 3[sin(4 )] [sin(4 )]
3[sin(4 )] cos(4 ) (4 )
3[sin(4 )] cos(4 )4
12cos(4 )sin (4 )
x x x
x
D x D x x D x
x x D x
x x
x x
PENERAPAN ATURAN RANTAI LEBIH DARI SEKALI
Contoh 6
2
2 2 2
2 2
Carilah sin[cos( )]
sin[cos( )] cos[cos( )] [ sin( )] 2
2 sin( )cos[cos( )]
x
x
D x
Penyelesaian
D x x x x
x x x
TURUNAN TINGKAT TINGGI
Contoh3 2
2
(4)
( ) 2 4 7 8
'( ) 6 8 7
''( ) 12 8
'''( ) 12
( ) 0
f x x x x
f x x x
f x x
f x
f x
DIFERENSIASI IMPLISIT
Carilah dy/dx dari Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:
3 37y y x
3 3
2 2
2 2
2
2
(7 )
3 7 3
3 7 3
3
3 7
d d dy y x
dx dx dxdy dy
y xdx dx
dyy x
dx
dy x
dx y
Contoh
Carilah dy/dx jika
Penyelesaian
Metode 1
2 34 3 1x y y x
2 3
3
2
2 2 3 4 2
2 22 2
4 3 1
1
4 3
4 3 3 1 8 4 9 8
4 3 4 3
y x x
xy
x
x x x xdy x x x
dx x x
Contoh (lanjutan)
Metode 2 (Diferensiasi Implisit)
Jika disubstitusi ke persamaan di atas maka akan diperoleh hasil yang sama dengan hasil pada metode 1
2 3
2 2
2 2
2
2
4 3 ( 1)
4 8 3 3
(4 3) 3 8
3 8
4 3
dy dyx y y x
dx dxdy dy
x y x xdx dx
dyx x xy
dx
dy x xy
dx x
3 2( 1) /(4 3)y x x