TURUNAN

TURUNAN

Definisi Aturan Pencarian Turunan Turunan Sinus dan Cosinus Aturan Rantai Turunan Tingkat Tinggi Diferensiasi Implisit

DEFINISI Turunan

Turunan sebuah fungsi f adalah fungsi lain f’ yang nilainya pada sebarang bilangan c adalah

asalkan limit ini ada dan bukan atau -

0

( ) ( )'( ) lim

h

f c h f cf c

h

Contoh Pencarian Turunan

Contoh 1

Andaikan , carilah f’(4)

Penyelesaian

( ) 13 6f x x

0

0

0 0

(4 ) (4)'(4) lim

[13(4 ) 6] [13(4) 6]lim

13lim lim13 13

h

h

h h

f h ff

hh

hh

h


Contoh 2

Jika , carilah f’(c)!

Penyelesaian:

3( ) 7f x x x

0

3 3

0

2 2 3

0

2 2

0

2

( ) ( )'( ) lim

[( ) 7( )] [ 7 ]lim

3 3 7lim

lim 3 3 7

3 7

h

h

h

h

f c h f cf c

h

c h c h c c

h

c h ch h h

h

c ch h

c


Contoh 3

Carilah F’(x) jika

Penyelesaian

( ) , 0F x x x

0 0

0

0 0

0

( ) ( )'( ) lim lim

lim

lim lim

1 1 1lim

2

h h

h

h h

h

F x h F x x h xF x

h h

x h x x h x

h x h x

x h x h

h x h x h x h x

x h x x x x

Bentuk-Bentuk Setara untuk Turunan

Tidak ada yg keramat tentang penggunaan huruf h dlm mendefinisikan f’(c)

0

0

0

( ) ( )'( ) lim

( ) ( )lim

( ) ( )lim

( ) ( )'( ) lim

h

p

s

x c

f c h f cf c

hf c p f c

p

f c s f c

s

f x f cf c

x c

Keterdiferensiasian Mengimplikasikan Kekontinuan

Teorema A

Jika f’(c) ada maka f kontinu di c

Kebalikan dari teorema ini tidak benar. Jika fungsi f

kontinu di c, maka tidak berarti bahwa f mempunyai

turunan di c. Contoh: f(x) = |x|. Fungsi ini pasti kontinu

di nol, namun tidak mempunyai turunan di x = 0.

Contoh Berdasarkan Gambar

ATURAN PENCARIAN TURUNAN

Teorema A (Aturan Fungsi Konstanta)

Jika f(x)=k dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang x, f’(x)=0; yakni Dx(k)=0

Bukti

0 0 0

( ) ( )'( ) lim lim lim 0 0

h h h

f x h f x k kf x

h h


Teorema B (Aturan Fungsi Identitas)

Jika f(x)=x, maka f’(x)=1; yakni Dx(x)=1

Bukti

0

0 0

( ) ( )'( ) lim

lim lim 1

h

h h

f x h f xf x

hx h x h

h h


Teorema C (Aturan Pangkat)

Jika f(x)=xn, dengan n bilangan bulat positif, maka f’(x)=nxn-1; yakni Dx(xn)= nxn-1

Catatan: n nantinya dapat diperluas menjadi bilangan rasional


Teorema D (Aturan Kelipatan Konstanta)

Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi

yang terdiferensiasikan, maka (kf)’(x)=k.f

’(x); yakni Dx[kf(x)]= k . Dxf(x)


Teorema E (Aturan Jumlah)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f +g)’(x)=f ’(x)+g’(x); yakni Dx[f(x)+g(x)]= Dxf(x) + Dxg(x)

Teorema F (Aturan Selisih)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka (f-g)’(x)=f ’(x)-g’(x); yakni Dx[f(x)-g(x)]= Dxf(x) - Dxg(x)


Teorema G (Aturan Hasil Kali)

Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka

yakni

( . ) '( ) ( ) '( ) ( ) '( )f g x f x g x g x f x

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xD f x g x f x D g x g x D f x


Teorema H (Aturan Hasil Bagi)

Andaikan f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan g(x)≠0. Maka

yakni

'

2

( ) '( ) ( ) '( )( )

( )

f g x f x f x g xx

g g x

2

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )x x

x

g x D f x f x D g xf xD

g x g x

TURUNAN SINUS DAN COSINUS

Teorema A

Fungsi f(x) = sin x dan g(x) = cos x keduanya terdiferensiasikan.

Faktanya, Dx(sin x) = cos x dan Dx(cos x) = – sin x Contoh 1 Carilah Dx(3 sin x – 2 cos x)

Contoh 2 Carilah Dx(tan x)

(3sin 2cos ) 3 (sin ) 2 (cos )

3cos 2sinx x xD x x D x D x

x x

2

2

2 22

2 2

cos (sin ) sin (cos )sin(tan )

cos cos

cos cos sin ( sin )

cos

cos sin 1sec

cos cos

x xx x

x D x x D xxD x D

x x

x x x x

x

x xx

x x

TURUNAN SINUS DAN COSINUS

Teorema B2

2

tan sec

sin sec tan

cot csc

csc csc cot

x

x

x

x

D x x

D x x x

D x x

D x x x

ATURAN RANTAI

Teorema A (Aturan Rantai)

Andaikan y=f(u) dan u=g(x). Jika g

terdiferensiasikan di u=g(x), maka fungsi

komposit , didefinisikan oleh

terdiferensiasikan di x dan

yakni

f g ( ) ( ( ))f g x f g x

' ' '( ) ( ( )) ( )f g x f g x g x' '( ( ( ))) ( ( )) ( ) atau x x u xD f g x f g x g x D y D yD u

PENERAPAN ATURAN RANTAI

Contoh 1

Jika

Penyelesaian

2 60(2 4 1) , carilah xy x x D y

60 2

59

2 59

misalkan dan 2 4 1

(60 )(4 4)

60(2 4 1) (4 4)

x u x

y u u x x

D y D y D u

u x

x x x


Contoh 2 5 3

3 53

4 4

44

4

5 4

Jika 1/(2 7) , carilah

1misalkan dan 2 7

( 3 )(10 )

310

30

(2 7)

x

x u x

y x D y

Penyelesaian

y u u xu

D y D y D u

u x

xu

x

x


Contoh 3

Jika

Penyelesaian

3sin( 3 ), carilah xy x x D y

3

2

3 2

2 3

misalkan sin dan 3

(cos ) (3 3)

[cos 3 ] (3 3)

(3 3)cos 3

x u x

y u u x x

D y D y D u

u x

x x x

x x x


Contoh 4:

Penyelesaian

133

4

2 1Carilah

3t

t tD

t

313

4

4 2 3 3

1224

123 6 4 3 2

24 4

2 1misalkan dan

3

3 3 2 2 1 413

3

2 1 6 4 9 613

3 3

t u t

t ty u u

tD y D y D u

t t t t tu

t

t t t t t t

t t

PENERAPAN ATURAN RANTAI LEBIH DARI SEKALI

Contoh 5

Penyelesaian

3Carilah sin (4 )xD x

3 3 3 1

2

2

2

sin (4 ) [sin(4 )] 3[sin(4 )] [sin(4 )]

3[sin(4 )] cos(4 ) (4 )

3[sin(4 )] cos(4 )4

12cos(4 )sin (4 )

x x x

x

D x D x x D x

x x D x

x x

x x

PENERAPAN ATURAN RANTAI LEBIH DARI SEKALI

Contoh 6

2

2 2 2

2 2

Carilah sin[cos( )]

sin[cos( )] cos[cos( )] [ sin( )] 2

2 sin( )cos[cos( )]

x

x

D x

Penyelesaian

D x x x x

x x x

TURUNAN TINGKAT TINGGI

Contoh3 2

2

(4)

( ) 2 4 7 8

'( ) 6 8 7

''( ) 12 8

'''( ) 12

( ) 0

f x x x x

f x x x

f x x

f x

f x

DIFERENSIASI IMPLISIT

Carilah dy/dx dari Dengan menggunakan aturan rantai diperoleh:

3 37y y x

3 3

2 2

2 2

2

2

(7 )

3 7 3

3 7 3

3

3 7

d d dy y x

dx dx dxdy dy

y xdx dx

dyy x

dx

dy x

dx y

Contoh

Carilah dy/dx jika

Penyelesaian

Metode 1

2 34 3 1x y y x

2 3

3

2

2 2 3 4 2

2 22 2

4 3 1

1

4 3

4 3 3 1 8 4 9 8

4 3 4 3

y x x

xy

x

x x x xdy x x x

dx x x

Contoh (lanjutan)

Metode 2 (Diferensiasi Implisit)

Jika disubstitusi ke persamaan di atas maka akan diperoleh hasil yang sama dengan hasil pada metode 1

2 3

2 2

2 2

2

2

4 3 ( 1)

4 8 3 3

(4 3) 3 8

3 8

4 3

dy dyx y y x

dx dxdy dy

x y x xdx dx

dyx x xy

dx

dy x xy

dx x

3 2( 1) /(4 3)y x x

TURUNAN

Documents

Transcript of TURUNAN