BAB 1TEORI BILANGAN

1. BILANGAN ASLI

N= {1, 2 , 3 , ⋯⋯}

Sifat Aljabar

∀ k ,m ,n∈N .( i) (k+m)+n=k+(m+n ) ( i ' ) ( k .m) .n=k .(m .n) (Asosiatif )( ii ) m+n=n+m ( ii ' ) m .n=n .m (Komutatif )( iii ) k .(m+n)=k .m+k .n ) ( iii ' ) n . 1=1 .n=n (Distributif-unsur identitas)( iv ) m+k=n+k→m=n ( iv ' ) m .k=n .k→m=n (Hk . Penghapusan )

Sifat Urutan

( i) Untuk setiap m , n∈N berlaku ( tepat satu ) : m<n , m=n , n∈m (Trikotomi )( ii ) Jika k<m dan m<n , maka k<n ( Transitif )( iii ) Jika m<n , maka m+k<n+k , ∀ k∈N (Monoton +)( iv ) Jika m<n , maka m .k<n .k , ∀ k∈N ( Monoton .)

Sifat Terurut Rapi: Setiap subset tak kosong dari N mempunyai unsur terkecil.

Prinsip Induksi Matematika

(i) Prinsip Induksi I

Misalkan {P(n) | n∈N } himpunan pernyataan .(1) Jika P (1) benar dan(2) jika P( k ) benar mengakibatkan P( k+1) juga benar, maka

pernyataan P(n ) benar ∀ n.

(ii) Prinsip Induksi II

Misalkan {P(n) | n∈N } himpunan pernyataan .(1) Jika P (1) benar dan(2) jika P( k ) benar ∀m≤k mengakibatkan P (k+1) juga benar, maka

pernyataan P(n ) benar ∀ n.

CONTOH

1 . 1+2+3+ ⋯ +n=n(n+1)2

, ∀n∈N

2 . 1 .2+2.3+3 . 4+ ⋯ +n (n+1)=n(n+1 )(n+2)3

, ∀ n∈N

3 . 12+22+32+ ⋯ +n2=n(n+1 )(2n+1)6

, ∀n∈N

4 .11 .2

+12.3

+13 . 4

+ ⋯ +1n(n+1 )

=nn+1

, ∀n∈N

5 . a+ar+ar2+ ⋯ +arn−1=a(rn−1 )r−1

, r≠1

6 .112

+122

+132

+ ⋯ +1n2

≤2−1n, ∀ n∈N

1

7 . ∀n∈N⇒ (2+√3)n+(2−√3 )n adalah bilangan bulat8 . ∀n∈N⇒ (3+√5)n+(3−√5)n habis dibagi 2n

9 . an−bn=(a−b )(an−1+an−1b+ ⋯ +abn−2+bn−1 ), ∀n∈ N

10 . (a+b )n=an+(n1 )an−1b+(n2 )an−2b2+⋯+(nk )an−kbk+⋯+(nn−1)abn−1+bn

(nk )=Ckn=n !

k !(n−k )!dan n !=n(n−1)(n−2) ⋯2.1

Penyajian Bilangan

1. Setiap bilangan asli a dapat ditulis dalam basis 10,

a=an(10n )+an−1 (10n−1 )+ ⋯ +a1 (101 )+a0 (100 ) , 0≤ai<9 ; i=0,1 ,⋯n=anan−1⋯a1a0

Contoh :3624=3000+600+20+4

=3(103 )+6 (102 )+2(101 )+4 (100 )

2. Misalkan b>1adalalah basis sistem bilangan.

Untuk setiap bilangan asli a dapat disajikan dalam basis b sebagai

a=anbn+a

n−1n−1+ ⋯ +a1 b

1+a0b0 , 0≤ai<b−1 ( i=0 , 1 ,⋯,n )

=(an an−1⋯a1 a0 )bContoh :221=3 (64 )+3(8 )+5

=3(82)+3 (81 )+5(80 )=3358

Jadi, ekivalensi bilangan berbasis 8 (oktal) dari bilangan desimal 221 adalah

335.

2. BILANGAN BULAT

Z={ ⋯ ,−3 , −2 ,−1 , 0 , 1 , 2 , 3 , ⋯}

Sifat Aljabar

Untuk setiap a ,b , c∈Z . berlaku:( i) (a+b)+c=a+(b+c ) ( i ' ) (a .b ).c=a .(b .c )( ii ) a+b )=b+a ( ii ' ) a.b=b .a( iii ) a+0=0+a=a ( iii ') a . 1=1 .a=a( iv ) a+b=0 (b invers dari a terhadap +)

Terdapat N=Z+⊆Z dengan sifat

( i) a∈Z berlaku ( tepat satu ): −a∈N , a=0 atau a∈N( ii ) Jika a , b∈N, maka a+b∈N( iii ) Jika a , b∈N, maka ab∈N

Untuk setiap a , b∈Z, a<b⇔ b−a∈N

2

Untuk setiap a∈N, 0<a

Sifat Urutan

( i) a , b∈Z berlaku ( tepat satu ) : a<b , a=b , b∈a .( ii ) Jika a<b dan 0<c , maka a+c<b+c( iii ) Jika a<b dan 0>c , maka ca<cb

3. KETERBAGIAN

Definisi

Untuk bilangan bulat a dan b di mana a≠0 , a dikatakan membagi b jika

terdapat bilangnan bulat lain c sehingga b = ac . Dengan kata lain, a pembagi

dari b atau b kelipatan dari a atau b habis dibagi a dan ditulis sebagai a|b .

SIFAT

1) Untuk setiap a∈Z, a|a (refleksif)

2) Untuk setiap a ,b , c∈Z , a|b dan b|c→a|c (transitif)

3) Untuk setiap a ,b , c , x , y∈Z , a|b dan a|c→a|(xb+ yc )(linear)

4) Untuk setiap a ,b , c∈Z , a|b →ca|cb (perkalian)

5) Untuk setiap a ,b , c∈Z , ca|cb dan c≠0→a|b (kanselasi/pencoretan)

6) Untuk setiap a∈Z, 1|a

7) Untuk setiap a∈Z, a|0

8) Untuk setiap a ,b∈Z , a|b dan b|a→a=±b (a dan b disebut

berasosiasi)

SIFAT

1. Uji Bilangan Habis Dibagi

a. Suatu bilangan habis dibagi 2 ↔ digit terakhirnya habis dibagi 2 (yaitu: 0,

2, 4, 6 atau 8).

Contoh: 21570, 149752, 3987484, 2974596, 3974638 habis dibagi 2,

sebab digit terakhirnya masing-masing adalah 0, 2, 4, 6, 8.

b. Suatu bilangan habis dibagi 2n ↔ n digit terakhirnya habis dibagi 2n.

Contoh: 356568 habis dibagi 8 (= 23), sebab 568 habis dibagi 8 (568 : 8 =

71).

3

4971248 habis dibagi 16 (= 24), sebab 1248 habis dibagi 16

(1248:16=78).

c. Suatu bilangan habis dibagi 3 ↔ jumlah dari digit-digitnya habis dibagi 3 .

Contoh : 653535 habis dibagi 3, sebab 6+5+3+5+3+5=27 dan 27 habis

dibagi 3.

d. Suatu bilangan habis dibagi 9 ↔ jumlah dari digit-digitnya habis dibagi 9.

Contoh : 2326752 habis dibagi 9 sebab 2+3+2+6+7+5+2=27 dan 27

habis dibagi 9.

e. Suatu bilangan habis dibagi 5 ↔ digit terakhirnya habis dibagi 5 (yaitu: 0

atau 5).

Contoh: 621580, 24649775 habis dibagi 5.

f. Suatu bilangan habis dibagi 5n ↔ n digit terakhirnya habis dibagi 5n.

Contoh: 2457375 habis dibagi 125 (= 53), sebab 375 habis dibagi 125

(375:125=3).

g. (i) N bilangan yang dapat dipartisi ke dalam bilangan-bilangan 3 digit dari

kanan (⋯,d 4d5 d6 , d7d8 d9). Jumlah alternating (d7 d8d9− d 4d5 d6+ ⋯) habis

dibagi 7 ↔ N habis dibagi 7.

Contoh: 1369851 habis dibagi 7, sebab 851-369+1=483 habis dibagi 7

(483:7=69).(ii) Suatu bilangan habis dibagi 7 ↔ Kurangi 2 kali digit terakhir dari digit

sisanya

habis dibagi 7.

Contoh: 483 habis dibagi 7, sebab 48-(3x2)=42 habis dibagi 7.

(iii) Suatu bilangan habis dibagi 7 ↔ Tambah 5 kali digit terakhir ke digit

sisanya

habis dibagi 7.

Contoh: 483 habis dibagi 7, sebab 48+(3x5)=63=7(9) habis dibagi 7.

h. (i) Suatu bilangan habis dibagi 11 ↔ jumlah alternating dari digit-digitnya

(selisih antara jumlah digit pada posisi ganjil dan jumlah digit pada

posisi genap dari bilangan tersebut) habis dibagi 11.

Contoh: 3718814 habis dibagi 11, sebab (3+1+8+4)-(7+8+1)=16-16=0 habis

dibagi 11 (ii) Suatu bilangan habis dibagi 11 ↔ Tambah 2 digit terakhir ke digit

sisanya habis

dibagi 11.4

Contoh: 627 habis dibagi 11, sebab 6+27=33 habis dibagi 11.

(iii) Suatu bilangan habis dibagi 11 ↔ Kurangkan digit terakhir dari digit

sisanya

habis dibagi 11.

Contoh: 627 habis dibagi 11, sebab 62-7=55 habis dibagi 11.

2. Jika bilangan N habis dibagi a dan juga habis dibagi b, maka N akan habis dibagi

ab dengan syarat a dan b relatif prima. Berlaku sebaliknya.

Contoh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12.

4. BILANGAN PRIMA

Definisi

Suatu bilangan bulat p>1 disebut bilangan prima jika p hanya memiliki

pembagi

1 dan p sendiri. Jika bilangan bulat n > 1 bukan prima, maka n disebut

bilangan komposit

Bilangan prima : 2 , 3 , 5 , 7 , ⋯Bilangan komposit : 4 , 6 , 8 , 9 , ⋯

TEOREMA:

1) Ada tak hingga banyak bilangan prima.

2) Teorema Faktorisasi Prima.

Sebarang bilangan bulat n > 1 mempunyai penyajian tunggal sebagai perkalian

bilangan prima.

3) Misal bilangan asli n memiliki penguraian prima n=p

1n1

. p2n2. p

3n3.. . . p

knk dengan

p1 , p2 , p3 , .. . . , pk adalah bilangan-bilangan prima yang berbeda, maka

a) Banyaknya faktor berbeda dari n adalah τ (n)=(n1+1) (n2+1) (n3+1 ). .. .(nk+1) .

b) Banyaknya cara berbeda untuk memfaktorkan n adalah

12τ (n )=1

2(n1+1 ) (n2+1 ) (n3+1) .. . .(nk+1)

.

4) Jika n bilangan komposit, maka n memiliki faktor prima p dengan p≤√n .

5. FPB, KPK DAN ALGORITMA PEMBAGIAN Definisi

(i) Bilangan c disebut faktor persekutuan bilangan a dan b jika c membagi a

dan b.

(ii) Bilangan d disebut faktor persekutuan terbesar bilangan a dan b jika

(1) d faktor persekutuan a, b

5

(2) Untuk setiap faktor persekutuan e dari bilangan a dan b, maka e|d ,

Notasi: d ditulis sebagai (a,b) atau FPB(a,b) atau gcd(a,b).

(iii) Dua bilangan bulat a dan b disebut relatif prima atau koprima jika

FPB(a,b)=1.

Definisi

(i) Bilangan k disebut kelipatan persekutuan bilangan a dan b jika k dapat

dibagi

oleh a dan b.

(ii) Bilangan k disebut kelipatan persekutuan terkecil bilangan a dan b jika

(1) k kelipatan persekutuan a, b

(2) Untuk setiap kelipatan persekutuan l dari bilangan a dan b, maka k|l , Notasi: k ditulis sebagai KPK(a,b) atau lcm(a,b).

Contoh:

1. FPB(45,75)=15.

2. Bilangan 8 dan 9 adalah relatif prima, sebab FPB(8,9)=1.

3. KPK (12,20)=60.

SIFAT

1) Algoritma Pembagian

Misalkan b bilangan positif, maka untuk setiap bilangan bulat a ada tunggal

bilangan q dan r sehingga

a=qb + r , 0≤ r< b.

Jika b|a , maka r=0.

2) Jika a dan b bilangan bulat dan d= FPB(a,b), maka ada bilangan m dan n

sehingga

d=ma+nb

3) Jika p bilangan prima, a, b bilangan bulat dan p|ab , maka p|a atau p|b .

4) Jika a|c , b|c dan FPB ( a ,b )=1 , maka ab|c .

5) Pemfaktoran Tunggal

Setiap bilangan bulat a dengan |a|>1 , maka a dapat ditulis sebagai perkalian

bilangan prima (Penulisan ini tunggal kecuali urutannya).

TEOREMA

1. Teorema Bachet Bezout,

6

Faktor persekutuan terbesar dari sebarang bilangan bulat a dan b, dapat

ditulis sebagai kombinasi dari a dan b, yaitu ada bilangan bulat x, y sehingga

(a ,b )= ax + by .

2. Lemma Euclid

Jika a|bc dan (a ,b )=1 , maka a|c .

3. Jika (a ,b )=d , maka ( ad ,

bd )=1

.

4. Misalkan c adalah bilangan bulat positif, maka (ca , cb )=c (a ,b ) .

5. (a2 , b2 )=(a ,b )2

6. Jika a=p

1α1

.. .. pkαk dan

b=p1β1

. . .. pkβk, α i , βi≥0 , α i+β i≥1 , maka

FPB (a , b )=p1

min(α 1 , β1). .. .. p

kmin (α

k,βk

)

.

7. Jika a=p

1α1

.. .. pkαk dan

b=p1β1

. . .. pkβk, α i , βi≥0 , α i+β i≥1 , maka

KPK (a , b )=p1

max(α1 , β1).. . .. p

kmax( α

k, βk

)

.

8. Jika a = b q + r, maka FPB (a , b )= FPB (b , r )

9. Jika a1 , a2 , a3 , .. . ., an bilangan bulat yang tidak semuanya nol, maka

(a1 , a2 , a3 , . .. , an−1 , an)=(a1 , a2 , a3 , . .. , (an−1 , an )).10. FPB dari dua bilangan asli berurutan adalah 1. FPB(n,n+1) = 1 dengan n

bilangan asli.

6. BILANGAN BULAT TERBESAR

Definisi

Jika x bilangan real, maka ⌊ x ⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih

kecil atau sama dengan x.

Contoh : ⌊ 7 ,25 ⌋=7 dan ⌊−3 ,74 ⌋=−4 .

Nilai ⌊ x ⌋=x jika dan hanya jika x bilangan bulat.

Tanda ⌊ ⌋ dapat digunakan untuk menentukan nilai k bulat terbesar sehingga ak

membagi n! dengan a merupakan bilangan prima dan “!” menyatakan faktorial.

Nilai k terbesar = ⌊ na ⌋+⌊ na2 ⌋+⌊ na3 ⌋+⋯

Contoh: Nilai k terbesar sehingga 3k membagi 28! Adalah

k=⌊28

3 ⌋+⌊28

32 ⌋+⌊28

33 ⌋=9+3+1=13.

Untuk setiap bilangan real x, y berlaku ⌊ x ⌋+ ⌊ y ⌋≤ ⌊x+ y ⌋ .7

ki ...,,2,1

ki ...,,2,1

Untuk setiap bilangan bulat positif n, k (k>1) berlaku ⌊nk ⌋+⌊ n+1

k ⌋≤⌊ 2nk ⌋ .

Untuk setiap bilangan rteal x dan bilangan asli n berlaku

⌊ x ⌋+⌊ x+ 1n ⌋+⌊x+ 2

n ⌋+⋯+⌊ x+ n−1n ⌋= ⌊nx ⌋

.

Jika p, q dua bilangan bulat yang relatif prima, maka

⌊ pq ⌋+⌊ 2 pq ⌋+⌊ 3 p

q ⌋+⋯+⌊(q−1 ) pq ⌋=( p−1)(q−1 )

2 .

7. RELASI KONGRUENSI

DefinisiMisalkan m > 0. Jika a dan b adalah bilangan bulat sehingga a-b dapat dibagi m,

maka a dan b dikatakan kongruen modulo m dan ditulis

a≡b (mod m)

Dengan kata lain, a-b=km untuk k bilangan bulat.

DefinisiMisalkan m > 0. Bilangan bulat a dikatakan invers dari bilangan bulat b jika

ab≡1 ( mod m)

Contoh:

(1) 31≡1 (mod 6 ), sebab 31-1=30=6(5)

(2) 100≡2 (mod 7 ), sebab 100-2=98=7(14).

(3) 2 adalah invers dari 6 modulo 11, sebab 2 .6=12≡1 . 11+1 ⇔ 2 .6≡1 ( mod 11)

Sifat

Misal a , b , c , d , m∈Z , m > 0 , k∈Ζ+ dengan a≡b (mod m) dan c≡d (mod m) .

Maka:

1) a+c≡b+d (mod m)

2) a−c≡b−d (mod m)

3) a .c≡b .d ( mod m)

4) ak≡bk (mod m )

5)

ae≡be

(modm

FPB (m,e )), e adalah bilangan bulat positif yang membagi a dan

b.

6) Jika f polinomial dengan koefisien bilangan bulat maka f (a )≡f (b ) ( mod m)

Jika a≡b (mod m), maka untuk setiap bilangan p berlaku:

8

1) a+ p≡b+ p (mod m)

2) a−p≡b+ p ( mod m)

3) ap≡bp (mod m)

Jika a, b, c, dan m bilangan yang memenuhi ca≡cb (mod m ) dan FPB(c,m)=1,

maka

a≡b (mod m).

Jika a, b, n, m adalah bilangan bulat dan m > 0, maka (an + b )m≡bm (mod n ).

8. TEOREMA FERMAT, WILSON’S, & EULER

1. Teorema Kecil Fermat

Jika p adalah bilangan prima dan FPB ( p ,a )=1 , maka ap−1≡1 ( mod p ) [atau

a p−1−1≡0 (mod p )].

2. Akibat

Jika p bilangan prima, maka untuk setiap bilangan bulat a berlaku ap≡a ( mod p )

[atau

a p−a≡0 ( mod p )].

3. Lemma

Jika a2≡1 ( mod p ) , maka berlaku tepat satu a≡1 (mod p ) atau a≡−1 (mod p ) .

4. Teorema Wilson

Jika p bilangan prima, maka ( p−1 )! +1≡0 (mod p )[atau ( p−1 )! ≡−1 (mod p )].

5. Kebalikan Teorema Wilson

Jika ( p−1 )! +1 ≡0 (mod p ), maka p adalah bilangan prima.

6. Fungsi Euler

Jika n=p

1α 1

. p2α2. .. . p

kαk adalah faktorisasi prima dari n > 1, maka

φ (n)=n (1−1p1

) (1−1p2

) .. . .. .(1− 1pk ).

7. Teorema Euler

Jika FPB(a,n) = 1, maka aφ (n )≡1 (mod n ).

8. Persamaan kuadrat x2+1 ≡0 ( mod p )dengan p bilangan prima ganjil mempunyai

jawab jika dan hanya jika p ≡1 (mod p )

9

9. PERSAMAAN DIOPHANTINE

DefinisiPersamaan Diophantine adalah persamaan yang solusinya harus dicari di

himpunan bilangan bulat.

Koefisien dari persamaan juga hanya melibatkan bilangan bulat.

Contoh: 56 x+72 y=40 .

Jika persamaan Diophantine mempunyai solusi banyak tak hingga, maka bentuk

parametrik digunakan untuk menyatakan relasi antara variabel-variabel

persamaan.

Contoh: Solusi dari 56 x+72 y=40 adalah x=20−9 t dan y=−15+7 t , t bilangan

bulat.

10. SOAL LATIHAN

1. Diantara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor

prima berbeda terbanyak adalah …….

2. Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002,

20033002 yang habis dibagi 9 ?

3. Bilangan 2004 memiliki faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak...

4. Jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi p. Maka nilai p

terbesar adalah …

5. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan

bagian dari H yang tidak kosong adalah....

6. Bilangan 2,525252... adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis dalam

bentuk

mn

,

di mana m, n bilangan-bilangan bulat,n≠0

.Jika dipilih m dan n relatif prima,

berapakah m+n ?

7. Berapakah bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k

kali 2003) habis dibagi 9?

8. Misalkan N adalah bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika

dibagi 7, sisa 4 jika dibagi 9. Tentukan jumlah digit N.

9. Jika a679b adalah bilangan 5 angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b.

10. Diketahui FPB(a, 2008)=251. Jika a>2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi

a adalah...

11. Nilai dari ∑k=1

2009FPB (k ,7 ) adalah .....

12. Jika 10999999999 dibagi 7, maka sisanya adalah....

10

13. Carilah sisa hasil bagi jika 61987

dibagi 37?

14. Buktikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah faktor dari 3105 + 4105

15. Untuk setiap bilangan real α , kita definisikan ⌊α ⌋ sebagai bilangan bulat yang

kurang dari atau sama dengan α . Jika x dan y bilangan real sehingga ⌊√ x ⌋=9 dan

⌊√ y ⌋=12 , maka nilai terkecil yang mungkin dicapai oleh ⌊ y−x ⌋ adalah?

16. Untuk sebarang bilangan real a, notasi ⌊a ⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar

yang lebih kecil dari atau sama dengan a. Jika x bilangan real yang memenuhi

⌊ x+√3 ⌋=⌊ x ⌋+⌊√3 ⌋ , maka x−⌊ x ⌋ tidak akan lebih besar dari …..

17. Suatu bilangan terdiri dari 2 angka. Bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah

kedua angka tersebut. Jika angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2.

Tentukan bilangan tersebut.

18. Suatu bilangan terdiri dari 3 angka. Bilangan tersebut sama dengan 12 kali

jumlah ketiga angkanya. Tentukan bilangan tersebut.

19. Diketahui bahwa 5k=n2+2005 untuk k dan n bulat serta n2 adalah bilangan yang

terdiri dari tiga digit dengan ketiga digitnya semuanya berbeda. Tentukan semua

nilai n2 yang mungkin.

20. Tentukan A dan B jika

ABB

___+BA

11

10. SOAL DAN PEMBAHASAN

1. Diantara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki faktor

prima berbeda terbanyak adalah …….

(OSP, 2007)

Jawab:

2006=2.17.59 Banyaknya faktor prima berbeda dari 2006 adalah 3.

2007=32.27 Banyaknya faktor prima berbeda dari 2007 adalah 2.

2008=23.251 Banyaknya faktor prima berbeda dari 2008 adalah 2.

Jadi, bilangan yang memiliki faktor prima berbeda terbanyak adalah 2006.

2. Ada berapa banyak diantara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002,

20033002 yang habis dibagi 9 ?

Jawab :

Penjumlahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 (tidak habis

dibagi 9)

Penjumlahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 (tidak habis

dibagi 9)

Penjumlahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 (tidak habis

dibagi 9)

Penjumlahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 (tidak habis

dibagi 9)

Karena semua penjumlahan digit tidak ada yang habis dibagi 9 maka tidak ada

bilangan-bilangan tersebut yang habis dibagi 9.

3. Bilangan 2004 memiliki faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak...

(OSK, 2004)

Jawab:

2004=4 .501 =22 . 3 .167 (2 , 3 dan 167 bilangan prima )

12

Banyaknya faktor positif dari 2004 (termasuk 1 dan 2004) adalah (2+1)(1+1)

(1+1)=12.

adi, faktor positif selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak (12-2)=10.

4. Jumlah empat bilangan asli berurutan senantiasa habis dibagi p. Maka nilai p

terbesar adalah …

(OSK, 2008)

Jawab:

Jumlah empat bilangan asli berturutan senantiasa dapat dinyatakan dengan

(n−1)+n+(n+1)+(n+2 )=4 n+2=2(2n+1 ), n>2.

Dengan demikian, 2 senantiasa membagi habis jumlah empat bilangan asli

berurutan.

Andaikan p>2, maka p harus membagi 2n+1. Hal ini tidak mungkin karena nilai

p tetap sedangkan nilai n berubah-ubah. Jadi, nilai p terbesar adalah 2.

5. Misalkan H adalah himpunan semua faktor positif dari 2007. Banyaknya himpunan

bagian dari H yang tidak kosong adalah....

(OSK, 2007)

Jawab:

2007=9.223=32.223

Banyak faktor positif=(2+1)(1+1)=6.

Maka |H|=6

dan banyak himpunan bagian dari H yang tidak kosong=26-1=63.

6. Bilangan 2,525252... adalah bilangan rasional, sehingga dapat ditulis dalam

bentuk

mn

,

dimana m, n bilangan-bilangan bulat, n≠0

.

Jika dipilih m dan n relatif prima, berapakah m+n

?

(OSP, 2002)

Jawab:

Misalkan x=2 ,525252. .. .

. Maka 100 x=252 ,5252 . .. .

100 x−x=252 ,5252. . ..−2,525252 .. .⇔ 99 x=250

⇔ x=25099

13

Karena 250 dan 99 relatif prima, maka m=250 dan n=99.

Jadi, m+n=349.

7. Berapakah bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k

kali 2003)

habis dibagi 9?

(OSP, 2003)

Jawab:

Misalkan

a=20032003 .. . 2003⏟k .

Agar a dapat dibagi 9, maka jumlah digit-digitnya harus habis dibagi 9.

Jumlah digit a adalah k(2+0+0+3)=5k.

Jadi, bilangan bulat positif k terkecil sehingga 20032003…2003 (dengan k kali

2003) habis dibagi 9 adalah k=9.

8. Misalkan N adalah bilangan bulat terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika

dibagi 7, sisa 4 jika dibagi 9. Tentukan jumlah digit N.

A. 4 B. 8 C. 13 D. 22 E. 40

(OSK, 2003)Jawab:N=5 k+2 , k∈Z ⇒ N={⋯ ,−8 ,−3 , 2 , 7 , 12, 17 , 22 , ⋯}N=7 m+3 , m∈Z ⇒ N={⋯ ,−11 ,−4 , 3 , 10 , 17 , 24 , ⋯}Bilangan persekutuan terkecil adalah 17. Maka bilangan bulat terkecil yang bersisa

2 jika dibagi 5 dan sisa 3 jika dibagi 7 berbentuk

N=(5 .7 )n+17 , n∈Z ⇒ N={⋯ ,−18 , 17 , 52 , 87 , 122, 157 , 192 , ⋯}. (*)

N=9n+4 , n∈Z ⇒ N={⋯ ,−5 , 4 , 13 , 22 , 31 , 40 , 49 , ⋯, 148 , 157 , 166 , ⋯}(**)

Dari (*) dan (**), bilangan persekutuan terkecil adalah 157. Maka bilangan bulat

terkecil yang bersisa 2 jika dibagi 5, sisa 3 jika dibagi 7 dan sisa 4 jika dibagi 9

berbentuk

N=(3 .5 .7) t+157=135 t+157 , t∈Z .

Nmin terjadi jika t=0, yaitu Nmin=157. Jadi, jumlah digit N adalah 1+5+7=13.

9. Jika a679b adalah bilangan 5 angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b.

Jawab:72 = 9 ⋅ 8. Karena 9 dan 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9.

Karena a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8

maka b = 2.

14

Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang

memenuhi hanya 3.

Jadi bilangan tersebut adalah 36792.

10. Diketahui FPB(a, 2008)=251. Jika a>2008 maka nilai terkecil yang mungkin bagi

a adalah...

(OSK, 2008)

11. Nilai dari ∑k=1

2009FPB (k ,7 ) adalah .....

(OSK, 2009)

Jawab:

FPB(a,7) = 1 bila a bukan kelipatan 7

FPB(b,7) = 7 bila b kelipatan 7

Jumlah bilangan kelipatan 7 antara 1 sampai 2009 ada 287, jumlah bilangan bukan

kelipatan 7 antara 1 sampai 2009 ada 1722.

Maka

FPB(1,7) + FPB(2,7) + .. + FPB(2009,7) = 287 . 7 + 1722 . 1 = 2009 + 1722 =

3731.

12. Jika 10999999999 dibagi 7, maka sisanya adalah....

(OSK, 2009)

Jawab:

Karena 7 membagi 1001, maka 103≡−1 ( mod7 ).

10999 .. . 9≡(−1)333 .. . 3 (mod7 )≡−1 (mod 7 )=6 (mod 7)

Jadi, sisanya 6.

13. Carilah sisa hasil bagi jika 61987

dibagi 37

Jawab:

Akan dicari b sedemikian hingga 61987≡b (mod 37 ) .

Karena 62≡−1 ( mod 37 ) dan 6

1987=6. (62 )993 maka

61987≡6. ( 62)993≡6 .(−1)993 ( mod 37 )=−6 ( mod 37 )≡31 ( mod 37 )

Jadi, b = 31.

14. Buktikan bahwa 7, 13 dan 181 adalah faktor dari 3105 + 4105.

Jawab :

Karena 105 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 3 + 4 = 7.

15

3105 + 4105 = (33)35 + (43)35 = 2735 + 6435

Karena 35 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 27 + 64 = 91. Karena 91 = 7 ⋅ 13

maka 3105 + 4105 habis dibagi 13.

3105 + 4105 = (35)21 + (45)21 = 24321 + 102421

Karena 21 ganjil maka 3105 + 4105 habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Karena 1267

= 7 ⋅ 181 maka 3105 + 4105 habis dibagi 181.

15. Untuk setiap bilangan real α , kita definisikan ⌊α ⌋ sebagai bilangan bulat yang

kurang dari atau sama dengan α . Sebagai contoh ⌊ 4,9 ⌋=4 dan ⌊ 7 ⌋=7 . Jika x dan y

bilangan real sehingga ⌊√ x ⌋=9 dan ⌊√ y ⌋=12 , maka nilai terkecil yang mungkin

dicapai oleh ⌊ y−x ⌋ adalah?

(OSK, 2003)

16. Untuk sebarang bilangan real a, notasi ⌊a ⌋ menyatakan bilangan bulat terbesar

yang lebih kecil dari atau sama dengan a. Jika x bilangan real yang memenuhi

⌊ x+√3 ⌋=⌊ x ⌋+⌊√3 ⌋ , maka x−⌊ x ⌋ tidak akan lebih besar dari …..

(OSP, 2005)

Jawab:

17. Suatu bilangan terdiri dari 2 angka. Bilangan tersebut sama dengan 4 kali jumlah

kedua

angka tersebut. Jika angka kedua dikurangi angka pertama sama dengan 2.

Tentukan bilangan tersebut.

Jawab:

Misalkan bilangan tersebut adalah ab, maka 10a + b=4 (a+b) 2a=b

b-a=2 2a-a=2 a=2 dan b=4.

Jadi bilangan tersebut adalah 24.

18. Suatu bilangan terdiri dari 3 angka. Bilangan tersebut sama dengan 12 kali jumlah

ketiga

angkanya. Tentukan bilangan tersebut.

Jawab:

16

Misal bilangan tersebut adalah abc dengan 1 ≤ a ≤ 9 ; 0 ≤ b ≤ 9 ; 0 ≤ c ≤ 9,

maka :

100a + 10b + c = 12 ( a + b + c)

88a = 2b + 11c 2b = 11 (8a − c) ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1)

Karena a, b dan c bilangan bulat, maka b kelipatan 11 atau b = 11k dan (8a − c) =

2k.

Karena 0 ≤ b ≤ 9, maka nilai k yang memenuhi adalah k = 0 b = 0 dan c = 8a

Karena 0 ≤ c ≤ 9, maka a = 0 (tidak memenuhi) atau a = 1 (memenuhi) c = 8 ⋅ 1

= 8. ∴ Bilangan tersebut adalah : 108.

19. Diketahui bahwa 5k = n2 + 2005 untuk k dan n bulat serta n2 adalah bilangan

yang terdiri dari tiga digit dengan ketiga digitnya semuanya berbeda. Tentukan

semua nilai n2 yang mungkin. Jawab:

Karena 5k dan dan 2005 habis dibagi 5 maka n2 habis dibagi 5 yang berakibat n

habis dibagi 5.

n tidak akan habis dibagi 10 sebab akan membuat dua angka terakhirnya 00.

n2 < 1000 n < 34. Nilai n yang mungkin adalah 15 atau 25.

Karena 152 = 225 yang membuat terdapat dua digit yang sama maka n2 = 252 =

625 sebagai satu-satunya nilai n2 yang memenuhi.

20. Tentukan A dan B jika : AB + B = BA

Jawab:

(10A + B) + (B) = (10B + A) dengan 1 ≤ A ≤ 9 ; 1 ≤ B ≤ 9 ; A dan B bilangan bulat.

9A = 8B A = 8t dan B = 9t dengan t adalah bilangan bulat.

1 ≤ 8t ≤ 9 Nilai t yang memenuhi hanya t = 1. ∴ A = 8 dan B = 9

21. Misalkan M dan m berturut-turut menyatakan bilangan terbesar dan bilangan

terkecil di antara semua bilangan 4-angka yang jumlah keempat angkanya adalah

9. Berapakah faktor prima terbesar dari M − m?

(OSP, 2002)Jawab:Misalkan bilangan yang ditanyakan adalah abcd dengan a+b+c+d=9.

Agar bilangan abcd sebesar-besarnya, haruslah a=9

Karena a+b+c+d=9, maka b=c=d=0.

M =9000 .

17

Agar bilangan abcd sekecil-kecilnya dan a≠0 , haruslah sekecil mungkin, yaitu

a=1. Demikian juga b dan c, yakni b=c=0.

Karena a+b+c+d=9, maka d=8.

m =1008 .

Maka M −m=9000−1008=7992=8 (999 )=8 (27) (37 )=23 . 33 . 37 .

Jadi, faktor prima terbesar dari M − m adalah 37.

22. Misalkan a, b, c, d, e, f, g, h, i adalah bilangan-bilangan asli berbeda yang kurang

atau sama dengan 9. Jika jumlah tiga bilangan dalam setiap lingkaran nilainya

sama, tentukan nilai a+d+g.

(OSK, 2003)Jawab:Karena a, b, c, d, e, f, g, h, i adalah bilangan-bilangan asli berbeda dengan

1≤ a, b, c, d, e, f, g, h, i ≤9, maka a+b+c+ ⋯+i=1+2+3+⋯ +9=45 .

Misalkan n adalah jumlah tiga bilangan dalam setiap lingkaran.

Maka

(1+a+i )+(2+b+a)+(3+c+b )+⋯ +(9+i+h)=9n(1+2+3+⋯ +9 )+2(a+b+c+⋯ +i)=9n

45+2( 45)=9n

n=1359

=15 .

Perhatikan

1+a+ i=15 ⇒ a+i=14 ⇒ (a , i) :(5 , 9 ) , (6 , 8 ), (8 , 6 ), (9,5) (∗)9+h+i=15 ⇒ h+i=6 ⇒ (h , i) :(1 , 5) , (2 , 4 ) , ( 4 , 2) , (5,1 ) (** )

Dari (*) dan (**), diperoleh nilai i=5, a=9 dan h=1.

2+a+b=15 ⇒ b=15−2−a=4 ; 5+d+e=15 ⇒ e=15−5−d=7 ;3+b+c=15 ⇒ c=15−3−b=8 ; 6+e+ f=15 ⇒ f=15−6−e=24+c+d=15 ⇒ d=15−4−c=3 ; 7+ f +g=15 ⇒ g=15−7−f =6 ,

18

Jadi, a+d+g=9+3+6=18 .

23. Tentukan sisa pembagian jika dibagi 73.

Jawab:

73 adalah bilangan prima, maka dari Fermat's Little Theorem kita tahu bahwa .

Maka, kita kelompokkan berdasarkan modulo 73.

.

Selanjutnya, kita gunakan cara biasa.

_________

_________

_________

_________ .

Jadi, sisa pembagiannya adalah 32.

24. Tentukan dua angka terakhir dari 31234

Jawab:

Dua angka terakhir 31234= sisa pembagian 3

1234 oleh 100.

31234 ≡ 35 x 206 + 4 ( mod 100 )

¿ (35 )206. 34 (mod 100 )

CONTOH:

1. Untuk menentukan FPB dari tiga bilangan bulat 105, 140, dan 350, kita gunakan

sifat 8) untuk melihat bahwa: (105 , 140 , 350 )=(105 , (140 ,350 ) )=(105 , 70 )=35 .

2. Tentukan FPB(252, 198) dengan menggunakan algoritma pembagian.

JAWAB

252=1 .198+54

198=3.54+36

54=1 .36+18

36=2. 18

Jadi FPB(252,198)=18

3. Misalkan (a,b) = 1, maka buktikan (a+b , a2−ab+b2)=1 atau 3 .

JAWAB

19

Misal d= (a+b , a2−ab+b2) . Sekarang d membagi (a+b)2−a2+ab−b2=3ab .

Olehkarena itu d membagi 3b( a+b )−3ab=3b2 . Dengan cara yang sama d|3a2,

maka d|(3a2 , 3b2)=3 (a2 , b2)=3 (a , b )2=3 . Jadi, d = 1 atau 3. (Terbukti)

4. Barisan bilangan 101, 104, 109, 116, .... adalah barisan yang berbentuk

an=100+n2, n=1 , 2 , 3 , 4 , 5 , . . ..untuk masing-masing n misal dn=(an , an+1) . Tentukan

nilai maxn≥1

dn.

JAWAB

Karena dn=(100+n2 , 100+(n+1)2 )=( 100+n2 , 100+n2+2n+1 )=(100+n2 , 2n+1 ) . Jadi

dn|(2(100+n2 )−n(2n+1))=200−n . Jadi, dn|( 2(200−n ) +(2n+1 ))=401. Ini berarti dn|401

untuk semua n. Apakah ini yang paling maksimum? Jawabnya ya... Misal untuk n

= 200, maka a200=100+2002=100 (401) dan a201=100+2012=101(401 ). Jadi

Maxn≥1

dn=401

6. Tentukan angka satuan bilangan 19971991

Jawab:

Angka satuan 19971991¿ sisa pembagian 19971991

oleh 10.

¿ (199 x 10 + 7 )1991 ( mod 10)¿71991 (mod 10 )¿ 74 x 497 +3( mod 10)¿ (74 )497

. 73 (mod 10 )¿(2421 )497 . 343 ( mod 10)¿1 .3 (mod 10)≡3 (mod 10 )

Jadi angka satuan 19971991 adalah 3.

20