MENJELASKAN DATAPengukuran Nilai Sentral (Central Tendency)

Pengukuran nilai sentral, meliputi

Rata-rata Aritmatik/Hitung Rata-rata pembobotan Rata-rata Geometrik Rata-rata Harmonik Median Modus Skewness

Karateristik Rata-Rata

Rata-rata Aritmetika / rata-rata hitung adalah ukuran lokasi yang paling sering dipakai.

Rata-rata ini dihitung dengan cara menjumlah kan semua nilai dan membaginya dengan banyaknya nilai tersebut.

Karakteristik utama rata-rata adalah: Memerlukan data dalam skala intervaI atau

rasio. Semua nilai dipakai. Unik (dalam satu kelompok data hanya ada

satu rata-rata). Jumlah semua deviasi dari rata-rata adalah

0.

Population Mean

Untuk yang tidak dikelompokkan, rata-rata populasi adalah jumlah dari semua nilai populasi dibagi dengan jumlah total nilai populasi:

N

X=μ

∑

dimana µ adalah rata-rata populasi.N adalah jumlah total observasi.X adalah nilai tertentu. menunjukkan operasi penjumlahan.

Contoh 1

Contoh 1: Keluarga Budi memiliki 4 mobil. Berikut ini adalah jarak yang sudah ditempuh masing-masing mobil:

56,000, 23,000, 42,000, 73,000

Hitung rata-rata jarak yang sudah ditempuh keempat mobil.

48,500=4

73,000+...+56,000=

N

X=μ

∑

Sample Mean

Untuk data yang tidak dikelompokkan, rata-rata sampel adalah jumlah semua nilai sampel dibagi jumlah sampel:

dimana n adalah jumlah total sampel.

nΣX

=X

Rata-rata sampel juga disebut rata-rata aritmetik atau rata-rata sampel.

Contoh 2

Satu sampel yang terdiri dari lima eksekutif menerima bonus dalam jumlah serikut ini tahun lalu ($000):

14.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0

ΣX 14.0+15.0+17.0+16.0+15.0 77X= = = =15.4

n 5 5

Contoh 2 (continued)

Satu sampel yang terdiri dari lima eksekutif menerima bonus dalam jumlah serikut ini tahun lalu ($000):

7.0, 15.0, 17.0, 16.0, 15.0 Merubah observasi pertama dari 14.0

menjadi 7.0 akan merubah rata-rata sampel.

15.4=577

=5

15.0+...+14.0=

nΣX

=X

14=570

=5

15.0+...+7.0=

nΣX

=X

Contoh 3

Misalnya ada satu set nilai: 3, 8, dan 4. Rata-ratanya adalah 5. Perhitungan berikut menunjukkan properti kelima dari rata-rata :

x (x- x bar)

3 (3-5)=-2

8 (8-5)=3

4 (4-5)=-1 Σ=15 Σ=0

Weighted Mean (Rata-rata Pembobotan)

Rata-rata pembobotan dari satu set angka X1, X2, ..., Xn, dengan bobot masing-masing w1, w2, ...,wn, dihitung dengan rumus sebagai berikut:

)n21

nn2211w ...w+w+(w

)Xw+...+Xw+X(w=X

Bobot (w) Jumlah frekuensi

Contoh 4

Dalam satu jam, seorang penjual minuman ringan berhasil menjual 50 minuman. Dia menjual lima minuman seharga $0.50, lima belas seharga $0.75, lima belas seharga $0.90, dan lima belas seharga $1.15. Hitung rata-rata tertimbang harga minuman yang terjual.

w

$44.50X = =$0.89

50

w x (w . x)

5 0.50 2.50

15 0.75 11.25

15 0.90 13.50

15 1.15 17.25

Σ=50 Σ=44.50

Geometric Mean

Geometric mean (GM) atau Rata-rata geometrik dari satu set angka n adalah akar pangkat n dari perkalian angka n . Formulanya adalah sbb:

Rata-rata geometrik dipergunakan untuk menghitung rata-rata persentase, indeks, atau angka relatif.

Rata-rata geometrik tidak dapat dihitung bila ada angka yang negatif.

n

XG

XXXXG n n

loglog

))...()()(( 321

Contoh 7

Tingkat suku bunga pada 3 surat obligasi 5, 21, dan 4 persen.

Rata-rata geometric :

Rata-rata arithmetic: (5+21+4)/3 =10.0 GM menghasilkan angka profit yang lebih

konservatif karena tidak terlalu dipengaruhi oleh suku bunga terbesar, 21 %.

7.49=(5)(21)(4)=GM 3

Geometric Mean continued

Penggunaan lain dari rata-rata geometrik adalah untuk menghitung persentase kenaikan penjualan, produksi atau aktivitas bisnis atau ekonomi dari satu periode ke periode yang lain:

- n(Nilai akhir periode)

GM= 1 (Nilai awal periode)

Contoh 8

Jumlah total perempuan yang terdaftar pada Universitas di Amerika meningkat dari 755,000 pada tahun 1992 menjadi 835,000 pada tahun 2000. Berapa rata-rata geometrik tingkat pertumbuhannya?

.0127=1 - 755,000

835,000=GM 8

Contoh 9

Seorang investor ingin memperoleh hasil 100% dalam waktu satu tahun dari investasi pada bisnisnya. Berapa persentase hasil (return) yang harus diperoleh setiap bulan?

Bisnisnya harus menghasilkan return 5.9% setiap bulan.

.059=1 - 100

200=GM 12

Contoh 10

Pemerintah Cina pada tahun 1990 menyatakan bahwa PDB mereka akan meningkat dua kali lipat dalam 20 tahun. Berapa tingkat pertumbuhan tahunan PDB agar impian ini menjadi kenyataan?

Pertumbuhan tahunan PDB 3.5%.

.035=1 - 100200

=GM 20

Harmonic Mean

Rumus :

Contoh :Pimpinan perusahaan memberikan dana masing-masing Rp 100 juta kepada tiga dep (A,B,C) untuk pemb komp. Dep A melaporkan harga per unit komputer Rp 5 juta, dep B melaporkan Rp 4 juta dan dep C melaporkan Rp 4,5 juta. Berapa rata-rata harga komputer tersebut ?

iX

nH

1

92,809.462.4

5,41

41

51

3

H

The Median

Median adalah nilai tengah dari satu set nilai yang telah diurutkan dari nilai terkecil sampai nilai terbesar.

Letak median= n+1 2

Untuk satu set data yang ganjil, median akan tepat berada di tengah.

Untuk satu set data yang genap, median dihitung dengan rata-rata hitung dari dua nilai tengah.

Contoh 5

Data umum dari satu sampel yang terdiri dari 5 mahasiswa adalah sbb:

21, 25, 19, 20, 22 Susun data tsb dari kecil ke besar:

19, 20, 21, 22, 25. Sehingga median adalah 21.

Tinggi badan empat pemain basket (dlm inci), adalah sbb: 76, 73, 80, 75

Susun data tersebut dari kecil ke besar, sehingga menjadi: 73, 75, 76, 80. Median: (75+76)/2= 75.5

Karakteristik Median

1. Dalam satu data set ada satu median (unik).

2. Median tidak dipengaruhi oleh nilai yang terlalu besar maupun terlalu kecil. Oleh karena itu, median menjadi ukuran sentral yang penting ketika ada nilai yang semacam itu.

3. Dapat dihitung pada data skala rasio, interval, maupun ordinal.

The Mode (Modus)

Modus adalah nilai observasi yang peling sering muncul.

Dalam satu data set, dimungkinkan ada lebih dari satu modus.

Contoh 6: Nilai ujian sepuluh orang siswa adalah sbb: 81, 93, 84, 75, 68, 87, 81, 75, 81, 87.

Karena nilai 81 paling sering muncul, maka nilai tersebut adalah Modus.

MEAN, MEDIAN & MODUSuntuk data yang dikelompokkan (Distribusi Frekuensi)

Rata-rata untuk Data yang dikelompokkan

Mean (rata-rata) dari data sampel yang disusun dalam distribusi frekuensi dihitung dengan rumus berikut:

Σxfx=

n

di mana:• x : nilai tengah kelas• f : frekuensi kelas• n : jumlah observasi

Contoh 12

Sebuah sampel yang terdiri dari sepuluh bioskop di Surabaya dihitung jumlah film yang diputar minggu lalu. Hitunglah jumlah rata-rata film yang diputar.

Jumlah film yang diputar

frequency f

1 up to 3 1

3 up to 5 2

5 up to 7 3

7 up to 9 1

9 up to 11 3

Total 10

Contoh 12 continued

6.6=1066

=n

ΣXf=X

Jumlah film yang diputar

frequency f

class midpoint

X

(f)(X)

1 up to 3 1 2 2

3 up to 5 2 4 8

5 up to 7 3 6 18

7 up to 9 1 8 8

9 up to 11 3 10 30

Total 10 66

Median untuk Data yang dikelompokkan

Median suatu data sampel yang disusun dalam distribusi frekuensi dihitung dengan cara berikut:

(i)

f

CF2n

+L=Median -

di mana:• L adalah batas bawah kelas median • CF adalah frekuensi kumulatif sebelum kelas median, • f adalah frekuensi kelas median • i adalah interval kelas median.

Menentukan kelas Median

Untuk menentukan kelas median untuk data kelompok: Buatlah distribusi frekuensi kumulatif. Lalu bagi jumlah total data dengan 2. Tentukan kelas akan berisi nilai ini. Untuk

Contoh, jika n = 50, 50 / 2 = 25, kemudian tentukan kelas akan berisi nilai urutan ke 25.

Contoh 13

Jumlah film yg diputar

Frekuensi Frekuensi Kumulatif

1 up to 3 1 1

3 up to 5 2 3

5 up to 7 3 6

7 up to 9 1 7

9 up to 11 3 10

Contoh 13 continued

Dari tabel kita peroleh:

L=5, n=10, f=3, i=2, CF=3

6.33=(2)3

32

10

+5=(i)f

CF2n

+L=Median - -

Modus untuk data yang dikelompokkan

Modus untuk data yang dikelompokkan dapat diperkirakan dengan nilai tengah kelas yang memiliki frekuensi kelas terbesar.

Movies showing

Frequency Class Midpoint

1 up to 3 1 2

3 up to 5 2 4

5 up to 7 3 6

7 up to 9 1 8

9 up to 11 3 10

Contoh 13 (continued): Modus dalam Contoh 13 adalah 6 (nilai tengah dari 5 s/d 7) dan 10 (nilai tengah dari 9 s/d 11) .

Ketika dua nilai modus muncul lebih dari satu kali, distribusi-nya disebut bimodal, seperti dalam Contoh 13.

Modus untuk data kelompok

Modus untuk data yang dikelompokkan dapat dihitung dengan formula berikut:

Formula :

d1: f kelas modus - f kelas sebelum kelas modus d2: f kelas modus – f kelas sesudah kelas modus

10

1 2

2

1 2o

dM L i

d d

dM U i

d d

Movies showing

Frequency Class Midpoint

1 up to 3 1 2

3 up to 5 2 4

5 up to 7 3 6

7 up to 9 1 8

9 up to 11 3 10

10

1 2

10

1 2

3 2 21 5 2 5 5.67

(3 2) (3 1) 3

3 1 42 9 2 9 9.8

(3 1) (3 0) 5

dM L i

d d

dM L i

d d

EXAMPLE

Penjualan f X

20-<30 4 25

30-<40 7 35

40-<50 8 45

50-<60 12 55

60-<70 9 65

70-<80 8 75

80-<90 2 85

50

7,5510)912()812(

)812(50

oM

Distribusi Simetris

zero skewness: modus = median = mean

Density Distribution(tinggi dapat ditafsirkan sebagai frekuensi relatif)

Area di bawah distribusi kepadatan adalah 1. Jumlah frekuensi relatif adalah 1.Jadi median selalu membagi distribusi kepadatan menjadi dua daerah yang sama.

Right Skewed Distribution

Positively skewed: (Menceng ke kanan)

Mean dan Median berada di sebelah kanan dari Modus.

Modus<Median<Mean

Left Skewed Distribution

Negatively Skewed:(Menceng ke kiri)

Mean dan Median disebelah kiri Modus.

Mean<Median<Modus

Latihan soal no. 58  f X f.x fk

0 -< 5 2 2.5 5 25 -< 10 7 7.5 52.5 910 -< 15 12 12.5 150 2115 -< 20 6 17.5 105 2720 -< 25 3 22.5 67.5 30  30  380 

380a. Mean 12.67

30

Σf xx=

n

- - 9

12m

n 30CF

2 2Median=L+ (i)=10+ (5)=12.5f

b. Kelas Median 30/2=15 Kelas: 10-<15

c. Kelas Modus 10-<15

10

1 2

12 710 5 10.83

(12 7) (12 6)

dM L i

d d

Latihan soal no. 59  f X f.x fk

20 -< 30 7 25 175 730 -< 40 12 35 420 1940 -< 50 21 45 945 4050 -< 60 18 55 990 5860 -< 70 12 65 780 70  70  3310 

3310a. Mean 47.28

70

Σf xx=

n

- -19

21m

n 70CF

2 2Median=L+ (i)=40+ (10)=40+7.62=47.62f

b. Kelas Median 70/2=35 Kelas: 40-< 50

c. Kelas Modus 40-<50

10

1 2

21 1240 10 47.5

(21 12) (21 18)

dM L i

d d

Latihan soal no. 60  f X f.x fk

10-<20 3 15 45 320-<30 7 25 175 1030-<40 18 35 630 2840-<50 20 45 900 4850-<60 12 55 660 60

60 175 2410

2410a. Mean 40.17

60

Σf xx=

n

- - 28

20m

n 60CF

2 2Median=L+ (i)=40+ (10)=40+1=41f

b. Kelas Median 60/2=30 Kelas: 40-< 50

c. Kelas Modus 40-<50

10

1 2

20 1840 10 41

(20 18) (20 12)

dM L i

d d