Dasar Sistem Kendali 1

Stabilitas Sistem

Nuryono S.W., S.T.,M.Eng.

Dasar Sistem Kendali 2

Definisi Kestabilan

• Kestabilan sebuah sistem ditentukan olehtanggapannya terhadap masukan ataugangguan.

• Secara naluriah, sistem yang stabil adalahsistem yang tetap dalam keadaan diam apabilatidak dirangsang oleh sumber luar dan akankembali diam jika semua rangsangandihilangkan.

• Sistem adalah stabil jika tanggapan denyutnya(tanggapan impulse) mendekati nol ketika waktumendekati tak terhingga. Sebaliknya jikatanggapan denyut tidak mendekati nol, makadikatakan sistem tak-stabil.

Dasar Sistem Kendali 3

Definisi Kestabilan

• Secara lain definisi sistem bila didasarkanatas tanggapan sistem terhadapnmasukanterbatas, yaitu masukan-masukan yang besarnya lebih kecil dari suatu hargaberhingga untuk sepanjang waktu. Sistemadalah stabil jika setiap masukan terbatasmenghasilkan keluaran terbatas

Dasar Sistem Kendali 4

• Sistem stabil

Dasar Sistem Kendali 5

• Sistem tidak stabil

Dasar Sistem Kendali 6

Ingat kembali?

• Buka hand-out Karakteristik Sistem.pdfpada kuliah sebelumnya.

• Pada contoh tampak pengaruh letak pole dan zero terhadap tanggapan sistem

• Ingat pula bentuk umum dan bentuk z,p,kdari suatu fungsi alih

Dasar Sistem Kendali 7

Pole, Zero & Tanggapan• Dari contoh tsb kita dpt

simpulkan secara umum, bahwa jika pole terletak disisi kiri bidang s, sistemstabil (lihat gambarkedudukan akar padakedua contoh di atas)

• Jika pole terletak di sisikanan bidang s, makasistem akan takstabil, karena ada suku yang nilainya akan selalumembesar seiringbertambahnya waktu

Dasar Sistem Kendali 8

Bentuk Umum Fungsi Alih• Bentuk umum fungsi alih adalah

• Pangkat tertinggi Penyebut yaitu n harus lebihbesar atau sama dengan pangkat tertinggiPembilang yaitu m

• Yang disebut orde sistem adalah n

mn

dan

asasasasa

bsbsbsbsbsG

nn

nn

nn

mm

mm

mm

≥

++++++++++= −

−−

−

−−

−−

012

21

1

012

21

1

.....

.....)(

Dasar Sistem Kendali 9

Pole & Zero• Bentuk Pole & Zero suatu fungsi alih adalah

• z1, z2,.…, zm adalah zero(nol) dari fungsi alih• p1, p2,.…, pm adalah pole(kutub) dari fungsi alih• Pole dan zero secara bersama-sama disebut

sebagai akar-akar (roots) dari fungsi alih• K adalah gain dari fungsi alih

))...()((

))...()(()(

21

21

m

m

pspsps

zszszsKsG

++++++=

Dasar Sistem Kendali 10

Persamaan Karakteristik• Persamaan

• Disebut persamaan karakteristik, biasa disebutQ(s)

atau

asasasasa nn

nn

nn 01

22

11 ..... +++++ −

−−

−

))...()(( 21 mpspsps +++

Dasar Sistem Kendali 11

Persamaan Karakteristik

• Bentuk Umum Fungsi Alih

Dasar Sistem Kendali 12

Persamaan Karakteristik• Syarat perlu agar sistem menjadi stabil adalah

bahwa bagian-bagian nyata dari akar-akarpersamaan ciri mempunyai bagian-bagian nyatanegatif. Contohnya himpunan akar persamaanciri : {-1, -2},{-1+j, -1-j}, {-2+j, 2-j}, {-2+3j, -2-3j}

• Sistem tidak stabil digambarkan dengan akar -akar persamaan ciri dimana masing-masingmemiliki sekurang-kurangnya satu akar denganbagian nyata positif. Contohnya himpunan akarpersamaan ciri : { -1, +1}, {2,-1,-3}, {-6,-4,7}, {-j,+j,-1,1}

Dasar Sistem Kendali 13

Persamaan Karakteristik

• Jika akar-akar persamaan ciri mempunyaibagian -bagian nyata yang sama dengannol, tetapi tidak ada bagian nyata positifmaka sistem dikatakan stabilterbatas/marginal. Misal himpunan akar{-2, 0}, {j, -j}, {2j, -2j}, {-2+j, -2-j, 2j, -2j}.

Dasar Sistem Kendali 14

• Respon sistem sesuai kedudukan Pole

Dasar Sistem Kendali 15

Persamaan Karakteristik

• Secara sederhana persm. Karakteristikdapat digunakan untuk melihat stabilitassistem

• Untuk sistem yg kompleks digunakanmetode yg tidak memerlukan pencarianakar-akar persamaan karakteristik

• Metode tersebut,metode Routh-Hurwitz, metode Nyquist dan Bode

Dasar Sistem Kendali 16

Metode Hurwitz• Kriteria kestabilan Hurwitz digunakan

untuk mengetahui apakah sistempengendalian stabil atau tidak secaramutlak. Untuk mengetahui kestabilansistem,Hurwitz membentuk susunanmatriks determinan, yang disebut dengandeterminan Hurwitz.

• Angka-angka pada matrik diambil darikoefisien-koefisien persamaankarakteristik

Dasar Sistem Kendali 17

Metode Hurwitz

• Determinan Hurwitz

Dasar Sistem Kendali 18

Metode Hurwitz

• Jika nilai determinan dari matriks orde 1, orde 2, orde 3, …., orde n semuanyapositif, maka sistem yang dianalisis adalahstabil, jika ada yang negatif maka sistemtersebut tidak stabil.

• Jika ada determinan yang bernilai nol, maka sistem berada dalam keadaan batasstabil atau stabil terbatas.

Dasar Sistem Kendali 19

Metode Hurwitz

• Jadi syarat agar sistem stabil menurutHurwitz yakni harus memenuhi kriteriasebagai berikut :

Dasar Sistem Kendali 20

Contoh 1

Dasar Sistem Kendali 21

Contoh 1

• Sehingga diperoleh

Dasar Sistem Kendali 22

Contoh 1• dan diperoleh

• Karena semua determinan bernilai positifmaka sistem pengendalian di atas stabil.

Dasar Sistem Kendali 23

Contoh 2

• Menurut kriteria Hurwitz stabilkahpersamaan karakteristik

Dasar Sistem Kendali 24

Metode Routh

• Sekilas aplikasi determinan Hurwitz kelihatannya sulit untuk persamaan ordetinggi. Akhirnya Routh menyederhanakanproses dengan memperkenalkan suatumetode tabulasi dalam mencarideterminan Hurwitz.

Dasar Sistem Kendali 25

Metode Routh

• Kriteria kestabilan didasarkan padapersamaan karakteristik sistempengendalian persamaan

Dasar Sistem Kendali 26

Metode Routh

• Routh membentuk susunan seperti dibawah ini:

Dasar Sistem Kendali 27

Metode Routh

• Koefisien yg lain dihitung dengan cara:

Dasar Sistem Kendali 28

Metode Routh• Kriteria kestabilan Routh menyatakan bahwa

sebuah sistem pengendalian akan stabil jikasemua koefisien pada kolom pertama pada tabelsusunan Routh positif. Jika ada yang bernilainegatif, maka sistem tersebut tidak beradadalam keadaan stabil mutlak. Perubahan tandapada tabel susunan Routh menunjukkanbanyaknya pole yang berada di sebelah kanansumbu jw atau pole yang mempunyai bagianreal positif.

Dasar Sistem Kendali 29

Contoh 3

Dasar Sistem Kendali 30

Contoh 4

Dasar Sistem Kendali 31

Kasus Khusus Routh

• Kasus1, Jika koefisien-koefisien padakolom pertama pada sembarang barispada saatperhitungan didapatkan bernilainol, sedangkan koefisien lainnya (sisanya) tidak nol,maka koefisien yang bernilai noltersebut diganti dengan bilangan positifyang sangat kecil (mendekati nol),

Dasar Sistem Kendali 32

Contoh kasus 1

Dasar Sistem Kendali 33

Kasus Khusus Routh• Kasus 2, Jika semua koefisien pada sembarang baris

pada tabel susunan Routh bernilai nol menunjukkanbahwa pada persamaan karakteristik sistempengendalian mengandung pole-pole yang letaknyasimetris pada sistem sumbu kompleks (s -plane). Untukmenyelesaikan kasus di atas dilakukan denganmenggunakan persamaan polinomial bantu, yang koefisien -koefisiennya adalah nilai-nilai yang terletak diatas baris yang semua koefisiennya nol. Kemudianpersamaan bantu tersebut diturunkan terhadap s, danbaris yang semua koefisiennya nol diganti dengankoefisien turunan persamaan bantu di atas

Dasar Sistem Kendali 34

Contoh kasus 2

Dasar Sistem Kendali 35

Contoh kasus 2

Dasar Sistem Kendali 36

Contoh kasus 2

Dasar Sistem Kendali 37

Latihan soal

Dasar Sistem Kendali 38

Latihan soal

• Kerjakan latiha soal sebelumnya denganmetode Routh

Dasar Sistem Kendali 39

Referensi

• Phillips, C. L. dan Harbor, R.D.(terjemah),1996, Sistem Kontrol-Dasar-dasar, edisi 3, Jakarta:Erlangga

• Katsuhiko Ogata, Teknik KontrolAutomatik, jilid 1, Erlangga