Post on 04-Jun-2018
8/14/2019 SOLUSI Modul 5- 4sks -2013.pdf
1/9
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG FAKULTAS MATEMATIKA & ILMUPENGETAHUAN ALAMPROGRAM STUDI FISIKAJl. Ganesha No 10, Bandung 40132, Indonesia
MODUL TUTORIAL FISIKA DASAR 1A (FI-1101) KE- 5
TOPIK : MEKANIKA BENDA TEGARSEMESTER 1 2013/2014
A. PERTANYAAN
1. Rotasi merupakan bentuk lain dari gerak benda bergantung pada jarak terhadap pusat
gerak melingkar dan perubahan sudut atau perpindahan angular, sebutkan besaran fisis
yang anda ketahui terkait gerak rotasi? Dan sebutkan gerak rotasi yang anda ketahui
sehari-hari?
Jawaban : Gerak rotasi merupakan gerak khusus pada benda tegar dengan beberapa besaran
yang terkait diantaranya :
- Besaran perpindahan sudut ()
- Kecepatan sudut ()
- Percepatan sudut ()
- Moment inersia (I)
- Torsi ()
Gerak rotasi yang terjadi di alam diantaranya :
- Gerak sebuah kendaraan melewati tikungan yang menyerupai lintasan melingkar
- Gerak sepeda atau roda sebuah kendaraan
- Gerakan melingkar roller coaster dan lainnya
-
2. Jelaskan hubungan antara gerak translasi dan gerak rotasi pada sebuah benda?Bagaimana gerak benda apabila : a. Sudut tetap dan panjang jari-jari berubah, b. Panjang
Jari-jari tetap, sudut berubah, c. Apabila kedua sudut dan panjang jari-jari berubah.
Jawaban : Gerak rotasi merupakan gerak dengan kondisi yang bergantung pada jari-jari atau
lengan benda terhadap pusat gerak lintasan melingkar dan perubahan sudut.
Bagaimana bentuk gerak benda :
a. Gerak benda akan seperti gerak translasi dimana sudut tetap hanya menunjukan
kemiringan tetapi arah gerak seperti gerak tranlasi dengan jari-jari menjauh dari pusat
gerak lingkarannya
b. Apabila jari-jari tetap dan sudut berubah, maka kita sebut sebagai gerak melingkar
beraturan yang akan menghasilakn lintasan lingkaran.
c. Apabila kedua parameter sudut dan jari-jari berubah, gerak benda menjadi seperti spiral
membesar, yang artinya setiap perubahan sudut senantiasa akan juga terjadi perubahan
jari-jari.
3. Dari gambar berikut dibawah ini mana yang merupakan gerak mengelinding, jelaskan?
Bandingkan dengan gambar-gambar yang lainnya.
A B C
Jawaban : Yang merupakan ilistrasi gerak menggelinding diperlihatkan oleh gambar C. Gerak
translasi diperlihatkan oleh kecepatan v yang berada pada titik jarak paling pangjang dari pusat
roda dengan resultan kecepatan 2v, dan gerak melingkar diperlihatkan oleh kecepatan sudut
yang tepat berada pada titik pusat roda. Hubungan ketiga gambar dapat dijelaskan sebagai
berikut : Gambar A merupakan gerak roasi murni dimana gerak kecepatan pada posisi diatas
dan di bawah roda sangling berlawanan dan menghasilkan gerak rotasi murni. Gambar B
8/14/2019 SOLUSI Modul 5- 4sks -2013.pdf
2/9
merupakan gerak translasi murni dimana roda tersebut mempunyai kecepatan dengan arah
yang sama pada posisi diatas, dibawah dan dipusar roda, sehingga tidak ada kecepatan
angular terjadi. Gambar C merupakan gerak melingkar atau roda berputar dimana gabungan
dari pola gerak A dan B.
4. Menurut anda benda manakah yang mempunyai moment inersia terbesar untuk silinder
pejal dengan silinder berrongga dengan titik pusat geraknya melewati daerah lingkarang
silinder tersebut? Jelaskan? Bandingkan dengan Bola pejal manakah yang lebih besar?
Jawaban : Seperti tampak pada gambar dibawah ini, terlihat bahwa gambar A merupakan
silinder pejal dan gambar B merupakan silinder berongga dengan pusat geraknya melewati
pusat daerah lingkarang silinder tersebut. Untuk silinder pejal kita ketahui mempunya momen
inersi I =2
2
1MR dan untuk silinder berongga mempunyai momen inersia I = )(
2
1 22
21 RRM ,
sehingga untuk masa yang sama dan radius luar yang sama, dapat kita sebutkan bahwamomen inersia silinder berrongga lebih besar. Apabila dibandingkan dengan benda berbentuk
bola pejal seperti tampak dalam gambar C, dengan momen inersia I =2
5
2MR , dapat kita lihat
bahwa benda bola pejal mempunyai momen inersia yang relatif lebih kecil dari benda silinder
baik pejal maupun berongga seperti tampak dalam gambar A dan B
Gambar A Gambar B Gambar C
5. Sebuah vektor posisi dari suatu partikel memiliki besar 3 m terhadap titik tertentu, dan
sebuah gaya yang bekerja pada partikel tersebut memiliki besar 4 N. Berapakah sudut
yang dibentuk antara arah dan apabila besar dari torsi sama dengan (a) nol dan (b) 12
N.m?
Jawaban :Torsi dapat diperoleh melalui persamaan
Dengan besarnya nilai torsi diperoleh dengan persamaan
(a) Sehingga untuk memperoleh torsi dengan nilai nol apabila sudut yang dibentuk rdan
Fmembentuk sudut = 0 atau 180 sehinggan nilai 0sin .(b) Untuk Torsi bernilai 12 N.m dapat diperoleh apabila sudut yang dibentuk rdan
Fmembentuk sudut = 90 atau 270 sehinggan nilai 1sin .
B. SOAL1. Gambar dibawah ini merupakan 4 buah bola yang susun sedemikian rupa membentuk segi
empat. Jika a = b dan M > m juga batang yang menghubungkan bola-bola tersebut tak
bermassa, tentukan :
a. Berapa momen inersia masing-masing arah axis sebagai pusat rotasi ?
b. Sumbu putar mana (x, y atau z) yang mengakibatkan momen inersia terbesar dan terkecil
untuk keempat buah bola tersebut?
c. Apabila M=2m, berapa momen inersia masing-masing sumbu putar?
Fr
sinrF
8/14/2019 SOLUSI Modul 5- 4sks -2013.pdf
3/9
Jawaban :
a) Momen inersia untuk benda yang disusun pada gambar dapat dicari melalui rumus umum
dan berdasarkan pada poros rotasi axis benda tersebut sepeti untuk axis x,y dan z.
Persamaan umum digunakan
Sehingga untuk masing masing axis sebagai pusat rotasi dapat digunakan rumusan
Untuk Rotasi pada axis-x, momen benda M bernilai nol.
Untuk Rotasi pada axis-y, momen benda m bernilai nol.
Untuk Rotasi axis-z, momen benda m dan M mempunyai nilai
tertentu.
b) Seperti diketahui bahwa M>m, sehingga momen inersia terkecil diperoleh apabila benda
tersebut diputar pada sumbu x, dengan momen inersia . Dengan demikian untuk
momen inersia terbesar dapat diperoleh apabila benda tersebut diputar melalui sumbu z
dengan momen inersia
c)
2. Diketahui sebuah benda berbentuk roda berdiameter 1 m berada diatas sebuah bidang
vertikal dan bergerak melingkar dengan percepatan sudut 8 rad/s2. Benda tersebut mulai
berputar dari keadaan diam pada t = 0, dan vektor jari-jari pada titik tertentu Ppada
lingkaran luar membentuk sudut 57,3 dengan garis horizontal. Pada t = 1 s, tentukanlah
(a) laju angular benda tersebut, (b) laju tangensial dan percepatan total di titik P, dan (c)
posisi angular dari titik PJawaban :
Diketahui r= 1 m, = 4 rad/s2, i= 0 dan i= 57,3 = 1 rad.
a. Saat t = 0 s, f= (8 rad/s2)(1 s) = 8 rad/s
b. v= r = (0,5)(8) = 4 m/s,
Besar percepatan total adalah
Arah vektor percepatan total membuat sudut dengan jari-jari di titik P:
c.
3. Sebuah benda berbentuk bola pejal yang bermassa 10,0 kg bergerak menggelinding tanpa
slip di atas bidang datar dengan kecepatan translasi 1,0 m/s. Apabila jari-jari bola pejal
tersebut 10,0 cm, tentukan :
a. Berapakah momentum translasi,
b. momentum sudut terhadap pusat massa,
ttif 0
m/s6481 22lsentripetaradial raa
2tangensial m/s881 ra
22222 m/s5,64864 tr aaa
125,7
64
8tantan 11
c
t
a
a
rad5182
101
2
1 22 ttiif
i
iirmI 2
22 2maymIi
iix
22 2MaxmIi
iiy 22 )(2 aMmrmI
i
iiz
22maIx
2)(2 aMmIz
22maIx 24maIy
22 6)2(2 maammIz
8/14/2019 SOLUSI Modul 5- 4sks -2013.pdf
4/9
c. energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi serta energi total
Jawaban :
a. Karena bola menggelinding sempurna maka kecepatan sudut dapat dihitung dari
hubungan:
Momen inersia dari bola terhadap pusat massa adalah:
b. Momentum bola terhadap pusat massa
c. Energi kinetik translasi bola:
Energi kinetik rotasi terhadap pusat massa
Energi total akibat gerak rotasi dantranslasi adalahi
4. Seperti tampak pada gambar disamping, sebuah benda berbentukgasing mula-mula dalam keadaan diam. Gasing tersebut dapat
berputar bebas dengan sumbu rotasi garis AA sebagaimanaditunjukkan gambar. Tali yang dililitkan pada bagian atas gasingditarik sehingga menghasilkan gaya tegangan tali sebesar 10,0 Nakibat gaya luar F untuk menggerakan gasing tersebut berputar.Jika tali tidak slip pada permukaan gasing, berapakah laju angulargasing saat tali ditarik 200 cm, apabila gasing tersebut mempunyai
momen inersia24 mkg1000,5 ?
Jawaban:
Besar usaha yang diberikan oleh gaya Fpada gasing adalah:
rFW
Usaha tersebut digunakan untuk memutar gasing dari diam sehingga ada perubahan energi
kinetik rotasi
2222
2
102
1
2
1
2
1ffifrot IIIIKW
maka
245100,5
)5,1)(0,10(224
I
rFf rad/s
5. Sebuah benda berbentuk lingkaran menyerupai sebuah roda berada pada bidang datar dantangga seperti tampak pada gambar dibawah ini. Diketahui benda tersebut merupakansebuah roda pejal berbentuk silinder yang mempunyai diamater D=0.8 m dan masa M=10kg. Agar roda tersebut dapat bergerak menuju tangga, sebuah gaya luar F diberikan pada
rad/s101,0
1 Rv
222 kg.m04,01,0105
2
5
2 MRI
s/kg.m4,01004,0 2 IL
J51102
1
2
1 22trans MvK
J21004,02
1
2
1 22rotasi IK
J7rotasitrans KKKtotal
8/14/2019 SOLUSI Modul 5- 4sks -2013.pdf
5/9
arah horizontal dari pusat roda menuju ke tangga agar roda bisa menaiki tangga denganketinggian tahapan tangga h.
a. Gambarkan semua gaya-gaya yang berlaku pada sistem benda tersebut danpersamaan apa saja yang berlaku untuk gerak benda tersebut ?
b. Berapa gaya horizontal minimum yang diperlukan agar roda tersebut dapat melewatianak tangga apabila ketinggian anak tangga tersebut adalah h=20 cm?
Jawaban:
a. Dari pertanyaan diatas dapat diperlihatkan gaya gaya yang bekerja pada roda tersebut
sebagai berikut: R=D/2, theta sudut yang terbentuk antara tumpuan anak tangga
terhadap arah horizontal apabi;la ditarik garik ke pusat roda, Gaya F, horizontal dari pusat
roda kearah anak tangga dan W gaya berat benda tersebut vertikal kearah bumi.
Kita asumsikan bahwa sebuah titik persentuhan roda dan anak tangga sebagai titik pusat rotasibenda, maka persamaan gaya yang bekerja pada benda tersebut adalah sebagai berikut:
I , dimana gaya pada benda tersebut, WRFR cossin
Sehingga persamaan menjadi IWRFR cossin .
Apabila roda tersebut tidak mengalami percepatan angular, dimana 0
Sehingga WRFR cossin dan gaya yang diperlukan adalah
hRhRhMg
WF
2
min2
sincos , dimana Fminmerupakan gaya minimum untuk benda
melakukan gerak dan dapat melalui anak tangga.
b. Diketahui anak tangga tersebut mempunyai ketinggian h=20 cm, kemudian masa M = 10 kg,
jari-jari 0.4 m,
hR
hRhMgF
2
min
2
F
R
h
W
D
h
Tangga
Lantai
8/14/2019 SOLUSI Modul 5- 4sks -2013.pdf
6/9
2.04.0
)2.0()2.0)(4.0(2)10)(10(
2
min
F
NF 447min
Sehingga dapat kita perkirakan gaya minimum yang diperlukan oleh roda tersebut agardapat menaiki anak tangga sebesar 477 N
6. Grafik laju angular terhadap waktu untuk batang tipis yang berputar pada salah satuujungnya digambarkan pada grafik dibawah ini.(a) Hitung nilai percepatan sudut batang tersebut, apabila satu skala grafik tersebutmenggambarkan 1 rad/s ?(b) tulis persamaan laju angular berdasarkan gambar tersebut?(c) pada t= 6 s, batang memiliki energi kinetik rotasi 7 J, Berapakah energi kinetik rotasibatang pada t= 0.
Jawaban:
(a) Berdasarkan grafik laju angular terhadap waktu t dapat dicari nilai percepatan sudut dari grafik kemiringan atau gradien kurva vs t. Dengan demikian didapat :
Ambil sumbu laju angular , 9 skala grafik yang artinya 9 rad/s dan ambil sumbu waktu t
dari nol dampai 6 s, sehingga didapat
Atau
Sehingga kita peroleh2rad/s5,1
6
9
(b) Persamaan laju angular dari grafik di atas :
Laju angula pada saat t=0 adalah -2 rad/s dan percepatan angular 1,5 rad/s 2sehingga didapat
persamaannya menjadi
(c) Energi kinetik sebanding dengan 2. Karena kecepatan sudut pada t= 0 adalah 2 rad/s
dan kecepatan sudut pada t= 6 s adalah 7 rad/s, maka perbandingan enegi kinetik:
42
t
2
002
t
2
0
4
0 KKK
K
J57,0749
4
49
4
)7(
)2(402
2
4
0
KKK
K
7. Seperti tampak pada gambar dibawah ini, sebuah benda berbentuk batang homogendengan masa M dan mempunyai panjang d. Batang tersebut digantung di salah satuujungnya dan batang tersebut dapat bergerak bebas tanpa ada gesekan di titik tersebutpada posisi vertikal. Hitunglah besaran-besaran berikut apabila :
a. Berapa impuls yang terjadi apabila batang tersebut dikenai gaya F = 5 N pada selangwaktu 0.1 detik pada jarak x dari titik gantungan batang ?
tif
)(
)(
if
if
tt
tif
tf 5,12
8/14/2019 SOLUSI Modul 5- 4sks -2013.pdf
7/9
b. Apabila sesaat setelah batang dikenai F tersebut terjadi gerak melingkar berapa momeninersia batang dan tentukanlah kecepatan pusat masanya apabila masa M=6 kg, apabilapanjang batang L=50 cm.
Jawaban:
a. Untuk mengetahui besaran impuls yang diterima oleh batang tersebut yang berasal dari
gaya F yang dikenakan melalui persamaan tFxJ
Sehingga 5,0)1.0)(5( tFxJ kg.m/s
b. Momen inersia dapat diperoleh melalui persamaan dari :3
2ML
I untuk batang homogen,
22
5.03
)5.0)(5.0)(6(
3mkg
MLI
Momentum angular dapat diperoleh dari persamaan I dimana sesaat setelahdikenakan gaya kekekalan momentum berlaku dan momentum angular sebanding dengan
impuls pada batang tersebut, sehingga
tFxI
I
tFx
Untuk menentukan kecepatan pusat masa dapat dilakukan pendekatan bahwa titik pusat
massa batang homongen tersebut berada di posisi tengah batang, sehingga2Lvpm ,
Maka,
22
L
I
tFxLvpm
smML
tFxL
ML
tFxvpm /25,0
)5.0)(6(2
)1.0)(5(3
2
3
2
32
8. Diketahui empat buah bola besi dihubung-hubungkan denganbatang yang massa batangnya dapat diabaikan. Keempat bola
besi itu terletak pada bidang xy dan simetris terhadap sumbu-
sumbu kordinatnya (lihat gambar di samping ini). Massa masing-
masing bola besi itu tertulis pada gambar tersebut. Jika susuan itu
diputar pada sumbu z dengan kecepatan sudut 4 rad/s,
tentukanlah:
a) Jarak masing-masing benda terhadap sumbu putar atau titik
pusat sistem
b) Berapa nilai momen inersia sistem
c) Berapa energi kinetik rotasi dari sistem tersebut
8/14/2019 SOLUSI Modul 5- 4sks -2013.pdf
8/9
Jawaban:
a) Jarak dari masing-masing bola ke sumbu zadalah sama besar, yaitu
1332 224321 rrrr m
b) Momen nersi terhadap sumbu z: 143422313 24
1
2 i
iiz rmI kg.m2
c) Energi kinetik rotasi: 1144)4(1432
1
2
1 22 zkrot IE Joule
9. Seperti terlaihat pada gambar disamping, sebuah kelerengbermassa 50 g dilepas dari ujung atas lintasan yangberbentuk setengah lingkaran dengan jari-jari R = 0,75 m.Kecepatan awal kelereng adalah nol. Tentukan :
(a) Kecepatan kelereng pada posisi y dari titik peluncuran turunkebawah meluncur sejauh 0,5 m dan pada posisi didasar
lintasan sejauh R?(b) Nilai momentum sudut kelereng setelah turun sejauh y = 0,5 m dari tempat pelepasan.(c) Berapa pula momentum sudut kelereng saat berada di dasar lintasan? Anggap tidak ada
gesekan antara kelereng dan lintasan.
Jawaban:
(a) Kecepatan gerak meluncur kelereng pada posisi y=0,5 dan posisi R=0,75 dari titikpelepasan dapat diperoleh dari penyelesaian hukum kekekalan energi.Karena tidak ada gaya gesekan, maka energi mekanik kekal.Sehingga didapat persamaan:
221121 UKUKEMEM
mgymvyRmgmvmgR 2221
210
Posisi y=0,5 m m/s2,32 gyv
Posisi y=0,75 m m/s9,375,01022 gRv
(b) Untuk momentum sudut kelereng saat turun sejauh y = 0,5 m dari tempat pelepasan kita
ambil kecepatan gerak kelereng dari kecepatan pada saat posisi y=0,5 m m/s2,3v .Arah gerak selalu tegak lurus jari-jari maka momentum sudut kelereng adalah:
s/kg.m12,02,375,005,0 2mrvL
(c) Untuk momentum sudut pada dasar lintasan kita gunakan kecepatan kelereng pada posisiR=0,75, m/s9,3v sehingga didapat:
Momentum sudut kelereng: s/kg.m15,09,375,005,0 2mrvL
10. Sebuah batang homogen dengan panjang L dan massa M
diletakkan secara vertika di atas lantai seperti terlihat pada
gambar di samping ini. Jika batang dalam keadaan vertikal
tersebut direbahkan sehingga keadaanya menjadi horizantal
(lihat gambar di samping), tentukanlah:
a) Berapa momen inersia batang tersebutb) Berapa besar laju sudut dan percepatan sudut
c) Hitung berapa percepatan pusat massa
d) Berapa gaya yang bekerja pada poros
Jawaban:
a).Momen inersi pada batang homogen dapat diperoleh dari persamaan :
2
3
1MLI
b). Untuk menentukan laju sudut batangtersebut kita gunakan hukum kekelan energi
0
E
8/14/2019 SOLUSI Modul 5- 4sks -2013.pdf
9/9
akhirpakhirkawalpawalk EEEE
02
1
20 2
I
Lmg dengan momen inersia
2
3
1MLI ,
Sehingga diperoleh laju sudut: L
g3
Percepatan sudut dapat diperoleh dengan persamaan :
I
2
3
1
2ML
Lmg
,
Sehingga besarnya percepatan sudut:L
g
2
3
c).Percepatan pusat massa untuk gerak batang tersebut:
jrirjaiajaiaa tscpyxpm 2
jg
ig
jL
L
gi
L
L
gapm
4
3
2
3
22
3
2
3
d).Gaya dalam arah sumbu-x:2
3MgMaF xx
Gaya dalam arah sumbu-x:4
3MgMaMgF yy
4
MgF
y
Jadi gaya yang bekerja pada poros adalah jMg
iMg
Freaksi 4
2
3