Post on 29-Dec-2015
description
Aljabar Linear
SISTEM PERSAMAAN LINEAR
Sistem persamaan linear ditemukan hampir di semua cabang ilmu pengetahuan. Di
bidang ilmu ukur, diperlukan untuk mencari titik potong dua garis dalam satu bidang. Di
bidang ekonomi atau model regresi statistik sering ditemukan sistem persamaan dengan
banyaknya persamaan sama dengan banyaknya variabel dalam hal memperoleh jawaban
tunggal bagi variabel.
Apabila variabel lebih banyak dari persamaan, seperti dalam perancangan linear,
umumnya diperoleh jawaban yang tak hingga banyaknya. Namun dalam teknik listrik
sering ditemukan variabel lebih sedikit dari persamaan. Karena beberapa dari persamaan
mempunyai sifat ketergantungan maka jawaban masih mungkin untuk diperoleh.
Dalam bab ini, akan dibahas sistem persamaan linear bukan hanya yang
mempunyai jawaban tunggal, tetapi juga yang mempunyai jawaban banyak. Untuk
membantu penyelesaian masalah dipergunakan konsep matriks.
Tujuan Instruksional Kusus
Setelah mempelari bab ini diharapkan mahasiswa dapat :
a. Menjelaskan pengertian sistem persamaan linear dan pengertian penyelesaian
sistem persamaan linear
b. Menentukan penyelesaian sistem persamaan linear dengan metode eliminasi Gauss
dan Gauss-Jordan.
1.1. Pengertian Sistem Persamaan Linear
Definisi : Secara umum sebuah persamaan linear dalam n variabel x1, x2, …, xn dapat
dinyatakan dalam bentuk :
Aljabar Linear
a1x1 a2 x 2 … an xn b,
dengan a1, a2, …, an dan b adalah konstanta real.
Contoh :
Persamaan berikut merupakan persamaan linear :
a. x 3y 7
b. y 5x 3z 1
Persamaan berikut bukan persamaan linear :
c. x2 3y = 5
d. y sin x = 0
Definisi : Himpunan berhingga dari persamaan linear- persamaan linear dalam n variabel
x1, x2, …, xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear. Bentuk
umum sistem persamaan linear (disingkat SPL) yang terdiri dari m persamaan dan
n variabel x1, x2, …, xn dapat ditulis sebagai :
a11 x1 a12 x2 … a1n xn b1
a21 x1 a22 x2 … a2n xn b2
:
am1x1 am2 x2 … amn xn bm,
dengan aij dan bi (1 i m, 1 j n) adalah konstanta-konstanta real.
Contoh :
a. SPL 2 persamaan dan 2 variabel :
x1 2 x2 5
2 x1 3 x2 8
b. SPL 2 persamaan 3 variabel :
Aljabar Linear
x1 x2 x3 2
2 x1 x2 x3 4
c. SPL 3 persamaan 2 variabel :
x1 x2 2
x1 x2 1
x1 4
Sebuah sistem persamaan linear dapat dinyatakan dalam bentuk matriks.
Definisi : Matriks adalah suatu susunan segiempat siku-siku dari bilangan-bilangan,
susunan tersebut disajikan di dalam kurung besar atau kurung siku. Bilangan-
bilangan itu disebut entri atau elemen dari matriks.
Bentuk umum suatu matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom adalah
A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
atau A =
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
21
22221
11211
Bentuk matriks tersebut dapat disajikan dengan notasi matriks, yaitu A = ija
dengan i =
1,2,...,m dan j=1,2,...,n berturut-turut menunjukkan baris dan kolom dari matriks A.
Suatu matriks A yang terdiri dari m baris dan n kolom disebut matriks berukuran
mxn dan dilambangkan dengan Am n atau (aij)m n, ditulis singkat A = ija
. Dalam hal
ini aij dinamakan elemen ke-ij dari matriks A. Matriks A = ija
dengan m = n
dikatakan sebagai matriks persegi.
Definisi : Suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variabel-variabel yang
tidak diketahui x1, x2, …, xn dapat dinyatakan sebagai matriks
Aljabar Linear
A X B
dengan Am x n = ija
, Xn x 1 = jx
, dan Bm x 1 = ib . A disebut matriks koefisien.
Jika matriks B pada SPL di atas diganti dengan matriks nol O, maka sistem persamaan
linear tersebut dikatakan homogen, jika tidak disebut SPL non homogen.
Contoh :
a. SPL non homogen berikut
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 4
disajikan dalam bentuk matriks
4
2.
112
311
3
2
1
x
x
x
.
b. SPL homogen berikut
x1 x2 0
x1 x2 0
disajikan dalam bentuk matriks
0
0.
11
11
2
1
x
x
.
1.2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear
Sebuah penyelesaian (solution) persamaan linear a1x1 + a2 x2 + … + anxn =b
adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi
jika kita mensubstitusikan x1 = s1, x2 = s2, …, xn = sn. Himpunan semua penyelesaian
tersebut dinamakan himpunan penyelesaiannya.
Penyelesaian SPL adalah sebuah tupel n terurut bilangan-bilangan x1, x2, …,
xn yang memenuhi semua persamaan dalam SPL tersebut.
Aljabar Linear
Contoh :
a. Pasangan terurut (1,2) adalah penyelesaian dari sistem
x1 2x 2 5
2x1 3x 2 8
karena : 1(1) + 2(2) = 5 dan 2(1) + 3(2) = 8.
Tetapi, pasangan terurut (3,1) bukan penyelesaian dari SPL tersebut karena tidak
memenuhi persamaan kedua, yakni 2(3) + 3(1) 8.
c. Tripel terurut (2,0,0) adalah penyelesaian dari SPL
x1 x2 x3 2
2x1 + x2 x3 4
karena 1(2) – 1(0) + 1(0) = 2
2(2) + 1(0) – 1(0) = 4
Periksalah bahwa tripel terurut (2,1,1), (2,2,2), (2,3,3), .... juga merupakan penyelesaian
SPL tersebut. Jadi SPL tersebut mempunyai banyak penyelesaian. Jika adalah
sebarang bilangan real, maka terlihat bahwa tripel terurut (2,,) adalah penyelesaian
SPL tersebut.
Tidak semua sistem persamaan linear mempunyai penyelesaian, hal ini dapat
ditunjukkan pada sistem
x1 x2 2
x1 x2 1
x1 4
Jika persamaan ketiga x1= 4 disubstitusikan ke persamaan pertama dan kedua, maka x2
harus memenuhi :
4 x2 = 2
4 x2 = 1
Aljabar Linear
Karena tidak ada bilangan real yang memenuhi kedua persamaan ini, maka SPL ini tidak
mempunyai penyelesaian.
Sebuah SPL yang tidak mempunyai penyelesaian disebut tak konsisten
(inconsistent). Sebuah SPL yang mempunyai paling sedikit satu penyelesaian disebut
konsisten (consistent).
Dari contoh di atas, banyaknya penyelesaian suatu SPL dibedakan 3 yaitu :
1. SPL mempunyai satu penyelesaian (penyelesaian tunggal)
2. SPL mempunyai banyak penyelesaian (tak terhingga penyelesaian)
3. SPL tidak mempunyai penyelesaian
SPL homogen AX 0 selalu mempunyai penyelesaian (konsisten) yaitu X0, yang
dinamakan dengan penyelesaian trivial. Jika ada penyelesaian lain (yang tidak nol), maka
penyelesaian tersebut dinamakan penyelesaian tak trivial.
Contoh :
2x1 + x 2 - 3 x 3 = 0
x 1 + 2 x 2 = 0
x 2 + x 3 = 0
SPL homogen di atas mempunyai penyelesaian tak trivial yaitu :
x 1 = 2 x 3
x 2 = x 3
Jika x3 = t, dengan t bilangan real, maka x1 = 2t, x2 = t sehingga himpunan
penyelesaiannya adalah {(t,2t,-t)} = {t(1,2,-1)}. Ini menunjukkan SPL di atas mempunyai
tak terhingga banyak penyelesaian, sebanyak bilangan real t. Š
Aljabar Linear
1.3. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear dengan Metode Eliminasi Gauss dan
Eliminasi Gauss-Jordan
Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris (row-echelon form) jika
memenuhi :
a. Jika terdapat baris yang tidak semua elemennya nol, maka elemen pertama yang
tidak nol adalah 1, dan disebut 1 utama (pivot)
b. Jika terdapat baris yang semua elemennya nol, maka baris ini diletakkan pada
baris paling bawah.
c. Pada sebarang dua baris yang berurutan yang tidak semua elemennya nol, 1
utama pada baris yang bawah terletak di sebelah kanan dari 1 utama baris di
atasnya.
Contoh :
100
310
241
dan
00000
21000
31100
50231
adalah bentuk eselon baris, sedangkan
[1 0 00 0 00 0 1 ]
dan [1 2 60 0 10 1 2 ]
bukan bentuk eselon baris
Definisi : Suatu matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi (reduced row-
echelon form) jika matriks tersebut dalam bentuk eselon baris dan pada masing-
masing kolom yang memuat 1 utama, elemen 1 merupakan satu-satunya elemen
yang tidak nol.
Contoh.
Aljabar Linear
000
100
010
001
dan
0000
1000
0210
adalah bentuk eselon baris tereduksi,
sedangkan [0 1 3 50 0 1 20 0 0 0 ]
bukan bentuk eselon baris tereduksi.
Matriks Yang Diperbesar
Ingat bahwa suatu sistem persamaan linear dengan m persaman dan n variabel-variabel
yang tidak diketahui x1, x2, …, xn dapat dinyatakan sebagai matriks
A X B
dengan Am n = ija
, Xn x 1 = jx
, dan Bm x 1 = ib . A disebut matriks koefisien.
Untuk menyelesaikan SPL tersebut dibentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix)
[A|b]
Contoh.
SPL non homogen berikut
x1 x2 x3 2
2x1 x2 x3 4
disajikan dalam bentuk matriks
4
2.
112
311
3
2
1
x
x
x
.
Matriks yang diperbesar dari SPL tersebut adalah [1 −1 3 22 −1 −1 4 ]
Aljabar Linear
Metode dasar untuk menyelesaikan sistem persamaan linear adalah dengan
menggantikan sistem yang ada dengan suatu sistem baru yang mempunyai himpunan
penyelesaian yang sama (sistem yang ekivalen) tetapi penyelesaiannya lebih mudah.
Sistem baru ini biasanya diperoleh melalui beberapa langkah dengan cara menerapkan tiga
jenis operasi berikut untuk mengeliminasi variabel-variabel yang tidak diketahui secara
sistematis.
1. Menukar posisi dua persamaan
2. Mengalikan persamaan dengan bilangan real k dengan k ¿ 0.
3. Menambahkan kelipatan satu persamaan ke persamaan lainnya.
Karena baris-baris dari matriks yang diperbesar [A|b] bersesuaian dengan
persamaan-persamaan dalam sistem yang berkaitan, ketiga operasi ini bersesuaian dengan
operasi-operasi berikut pada baris-baris matriks yang diperbesar.
1. Menukar posisi dua baris
2. Mengalikan baris dengan bilangan real k dengan k ¿ 0.
3. Menambahkan kelipatan satu baris ke baris lainnya
Operasi-operasi tersebut disebut dengan operasi baris elementer.
Contoh :
Selesaikan SPL berikut :
x + y + 2 z = 9
2 x + 4 y 3 z = 1
3 x + 6 y 5 z = 0
Pada kolom kiri di bawah ini, SPL diselesaikan dengan melakukan operasi terhadap
persamaan dalam sistem, sedangkan pada kolom kanan SPL yang sama diselesaikan
dengan melakukan operasi terhadap baris pada matriks diperbesarnya.
Aljabar Linear
0563
1342
92
zyx
zyx
zyx
0563
1342
9211
0563
1772
92
zyx
zy
zyx
0563
17720
9211
27113
1772
92
zy
zy
zyx
271130
17720
9211
27113
92
217
27
zy
zy
zyx
271130
10
9211
217
27
23
21
217
27
92
z
zy
zyx
23
21
217
27
00
10
9211
Tambahkan 2 kali persamaan pertama ke persamaan kedua untuk memperoleh
Tambahkan 2 kali baris pertama ke baris kedua untuk memperoleh
Tambahkan 3 kali persamaan pertama ke persamaan ketiga untuk memperoleh
Tambahkan 3 kali baris pertama ke baris ketiga untuk memperoleh
Kalikan persamaan kedua dengan ½ untuk memperoleh
Kalikan baris kedua dengan ½ untuk memperoleh
Tambahkan 3 kali persamaan kedua ke persamaan ketiga untuk memperoleh
Tambahkan 3 kali baris kedua ke baris ketiga untuk memperoleh
Kalikan persamaan ketiga dengan 2 untuk memperoleh
Kalikan baris ketiga dengan 2 untuk memperoleh
Aljabar Linear
3
92
217
27
z
zy
zyx
3100
10
9211
217
27
32
1727
235
211
z
zy
zx
3100
10
01
217
27
235
211
3
2
1
z
y
x
3100
2010
1001
Penyelesaian x = 1, y = 2, dan z = 3 kini telah diperoleh.
Contoh di atas menggambarkan bagaimana operasi baris elementer dapat digunakan untuk
menyelesaikan SPL. Untuk mempersingkat penulisan, operasi baris elementer di atas
dinotasikan sebagai berikut :
1. Menukar baris ke-i dan baris ke-j, dinyatakan dengan Bij.
2. Menggandakan setiap elemen baris ke i dengan skalar 0k , dinyatakan dengan
Bi(k).
3. Menambahkan k kali elemen-elemen baris ke-j (k skalar) kepada baris ke-i,
dinyatakan dengan Bij(k).
Tambahkan 1 kali persamaan kedua ke persamaan pertama untuk memperoleh
Tambahkan 1 kali baris kedua ke baris pertama untuk memperoleh
Tambahkan 211
kali persamaan ketiga ke persamaan pertama
dan 27
kali persamaan ketiga ke persamaan kedua untuk memperoleh
Tambahkan 211
kali baris ketiga
ke baris pertama dan 27
kali baris ketiga ke baris kedua untuk memperoleh
Aljabar Linear
Jika operasi baris elementer dikenakan pada suatu matriks untuk memperoleh
matriks yang lain, maka matriks awal dan hasilnya dihubungkan dengan tanda .
Metode Eliminasi Gauss
Definisi : Proses menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah suatu SPL dalam
bentuk matriks diperbesar [A|b] ke bentuk eselon baris disebut Eliminasi Gauss.
Contoh :
Selesaikan SPL berikut :
x1 2 x2 4
3 x1 x2 2
4 x1 x2 6
SPL di atas diubah ke bentuk matriks AX b dengan
A=[1 23 −14 1 ]
2
1
x
xX
dan
6
2
4
b
.
Selanjutnya dibentuk matriks diperbesar [ A|b ] =
614
213
421
.
Dengan operasi baris elementer , diperoleh
Aljabar Linear
614
213
421
)3(21
B
614
1070
421
)4(31
B
1070
1070
421
)1(32
B
000
1070
421
)(71
2
B
000
10
421
710
Jika dikembalikan seperti saat penyusunan AX b, matriks terakhir menunjukkan SPL :
710
2
21 42
x
xx
SPL terakhir yang diperoleh merupakan SPL yang ekivalen dengan SPL awal.
Dari SPL terakhir diperoleh penyelesaian :
x2=107 , dan selanjutnya diperoleh juga
x1=87
Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah ( x1 , x2 )=( 8
7, 10
7)
Contoh :
Selesaikan SPL berikut : x1 + 2x2 + x3 = 1
2x1 x2 + x3 = 2
4x1 + 3x2 + 3x3 = 4
3x1 + x2 + 2x3 = 3
Penyelesaian :
SPL di atas diubah ke bentuk matriks AX b dengan
Aljabar Linear
213
334
112
121
A
,
X=[ x1
x2
x3]dan
3
4
2
1
b
.
Selanjutnya dibentuk matriks [ A|b ] =
3213
4334
2112
1121
.
Dengan operasi baris elementer B21(-2), B31(-4), B41(-3), B32(-1), B42(-1), B2(-1/5) kita dapat
memperoleh bentuk eselon baris dari matriks [ A|b ] yaitu
0000
0000
05/110
1121
Jika kita kembalikan seperti saat penyusunan AX b, matriks terakhir menunjukkan SPL :
0x5
1x
1xx2x
32
321
SPL terakhir yang diperoleh merupakan SPL yang ekivalen dengan SPL awal.
Dari SPL terakhir diperoleh penyelesaian :
31
32
x5
31x
x5
1x
Jika x3 = t, maka t
5
1x2
dan t
5
31x1
, dengan t sebarang bilangan real.
Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah
( x1 , x2 , x3 )=(1−35
t ,− 15
t ,t )=(1,0,0 )+ t(− 35
,−15
, 1)
Aljabar Linear
Metode Eliminasi Gauss-Jordan
Definisi : Proses menggunakan operasi baris elementer untuk mengubah suatu SPL dalam
bentuk matriks diperbesar [A|b] ke bentuk eselon baris tereduksi disebut Eliminasi
Gauss-Jordan.
Contoh :
Selesaikan SPL berikut :
x1 2 x2 4
3 x1 x2 2
4 x1 x2 6
SPL di atas diubah ke bentuk matriks AX b dengan
A=[1 23 −14 1 ]
,
2
1
x
xX
dan
6
2
4
b
. Selanjutnya dibentuk matriks diperbesar [ A|b ] =
614
213
421
.
Dengan operasi baris elementer , diperoleh
614
213
421
)3(21
B
614
1070
421
)4(31
B
1070
1070
421
)1(32
B
000
1070
421
)(71
2
B
000
10
421
710
)2(12
B
000
10
01
71078
Jika dikembalikan seperti saat penyusunan AX b, diperoleh SPL yang ekivalen dengan
SPL awal dan sekaligus merupakan penyelesaian dari SPL tersebut, yaitu :
710
2
1 4
x
x
Aljabar Linear
Jadi penyelesaian dari SPL tersebut adalah ( x1 , x2 )=(4 , 10
7)
Contoh :
Selesaikan SPL berikut dengan eliminasi Gauss-Jourdan
x1 + x 2 x 3 + 3 x 4 = 0
3 x 1 + x 2 x 3 x 4 = 0
2 x 1 x 2 2 x 3 x 4 = 0
Penyelesaian :
Langkah pertama adalah menbentuk matriks diperbesar [ A|b ] dari SPL di atas, yaitu:
01212
01113
03111
Selanjutnya dengan melakukan operasi baris elementer berikut :
B21(3), B31(-2), B32(-1/4), B2(1/4), B3(-1/3), B23(1), B13(1), B12(-1), B1(-1)
diperoleh matriks:
01100
01010
01001
Dari matriks di atas diperoleh SPL yang ekivalen dengan SPL awal, yaitu :
x3 – x4 = 0
x2 + x4 = 0
x1 – x4 = 0
Dari SPL terakhir diperoleh penyelesaian :
x 3 = x 4
x 2 = x 4
x1 = x4
Misal x4 = t dengan t sebarang bilangan real maka x1 = t, x2 = t, x3 = t.
Aljabar Linear
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah X = { t(1,-1, 1, 1)}.
Eliminasi Gauss dan eliminasi Gauss-Jordan dapat digunakan untuk semua sistem
persamaan linear tanpa tergantung pada banyaknya persamaan dan banyaknya variabel.