SISTEM PERSAMAAN LINIERSMA/MA KELAS X

Presented by :1. Hario Wijayanto (A 410 080 251)2. Rizal Adipta Iman (A 410 080 256)3. Dony Priyatno (A 410 080 267)4. Hardhina Aprillia (A 410 080 273)

KD : Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran linear dan kuadrat dalam dua

variabel

SK : Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan pertidaksamaan satu variabel

TUJUAN PEMBELAJARAN

• Mengenal dan memahami SPLDV• Menentukan penyelesaian SPLDV dengan

Grafik, Substitusi dan Eleminasi• Membuat dan menyelesaikan model

matematika dari masalah sehari-hari yang melibatkan SPLDV

Anne ingin membeli 10 buku dan 2 pensil, dengan harga 1 buku senilai Rp. 3.000,00 dan 2 pensil Rp. 1.200,00. berapa uang yang harus di bayar oleh Anne untuk membeli 10 buku dan 2 pensil tersebut!

1

Misal: buku = xPensil = yBiaya : 10x + 2y

10.(3000) + 2.(1200) = 32.400Jadi uang yang harus dibayar senilai Rp. 32.400,00

Rizal membeli 5 kambing dan 2 unta untuk korban di hari raya idul

adha seharga Rp. 25.000.000,00. sedangkan Haryo membeli 4

kambing dan 2 unta yang keduanya dari jenis yang sama dengan

yang di beli Rizal seharga Rp. 24.000.000,00. Jadi berapa harga yang

harus di bayar untuk membeli 1 kambing dan 1 unta tersebut!

2

• Bentuk Umum Persamaan Linier Dua Variabel (PLDV)

• Bentuk Umum Sistem Persamaan Linear Dua Variabel (SPLDV)a₁ x + b₁ y = c₁a₂ x + b₂ y = c₂dengan a ₁ , a ₂ , b ₁ , b ₂ , c ₁ , c ₂ R∈

Variabel Konstanta

Koefisien

Konstanta

ax + by + c = 0

BENTUK UMUM PERSAMAAN LINIER

PENGERTIAN• Sistem Persamaan Linear Dua Variabel

(SPLDV) terdiri atas dua persamaan linear dua variable, yang keduanya tidak berdiri sendiri, sehingga kedua persamaan hanya memiliki satu penyelesaian.

Berikut ini adalah beberapa contoh SPLDV :1. x + y = 3 dan 2x – 3y = 12. 5x + 2y = 5 dan x = 4y – 213. x = 3 dan x + 2y – 15 = 04. x = y + 6 dan 2x – 7y = -85. 5x + 4y + 7 = 0 dan -3x – 2y = 4

Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV

Grafik

Substitusí

Eliminasi

Karena untuk x = 1 dan y = 2 atau (1,2) tidak memenuhi persamaan 2x – 3y = 1 , maka (1,2) bukan penyelesaian sistem persamaan x + y = 3 dan 2x - 3y = 1

Mari kita coba menentukan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 3 dan 2x – 3y =1Jawab :Misal Untuk x = 1 dan y = 2 atau ditulis (1,2) , maka: x + y =3

1 + 2 = 3 3 = 3

2 x – 3 y = 1 2.(1) – 3.(2) = -4 -4 ≠ 1

(Memenuhi)

(Tidak memenuhi)

Karena untuk x = 2 dan y = 1 atau (2,1) memenuhi persamaan 2x – 3y = 1 , maka (2,1) merupakan penyelesaian sistem persamaan x + y = 3 dan 2x - 3y = 1

Jawab :Misal Untuk x = 2 dan y = 1 atau ditulis (2,1) , maka: x + y =3

2 + 1 = 3 3 = 3

2 x – 3 y = 1 2.(2) – 3.(1) = 1 1 = 1

(Memenuhi)

(Memenuhi)

METODE GRAFIKLangkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

1. Menentukan titik pada bidang cartesius

2. Menggambar garis dari kedua titik pada bidang cartesius

3. Koordinat titik potong dari kedua garis merupakan

himpunan penyelesaian

Catatan :

Jika kedua garis tidak berpotongan (sejajar) , maka SPLDV

tidak mempunyai penyelesaian. CONTOH

Tentukan HP dari sistem persamaan : 2x + 3y = 12 dan 4x – 3y – 6 = 0

Jawab :2x + 3y = 12

Titik potong dengan sumbu x , y = 02x + 3y = 122x + 3.(0 )= 12

2x = 12x = 6

Titik potong dengan sumbu y, x = 02x + 3y = 122.0 + 3y = 123y = 12y = 4

diperoleh titik (6,0)

diperoleh titik (0,4)

4x – 3y – 6 = 04x – 3y – 6 = 0Titik potong dengan sumbu x , y =04x – 3y = 64x – 3.0 = 64x = 6x = 6/4x = 1½ Titik potong dengan sumbu y, x = 04x – 3y = 64.0 – 3y = 6– 3y = 6y = -2

↔ 4x – 3y = 6

diperoleh titik (1½,0 )

diperoleh titik (0, -2 )

X1

7

6

543

2

0 1 3 4 62 5 7

-2

-1-1

-6

-5-4-3

-2-3-4-5-6-7

Y

(3, 2)

x 0 6 0 1 ½

y 4 0 -2 0

2X + 3y =12 4x – 3y -6 = 0

2X + 3y =12

4x – 3y -6 = 0

Jadi HP = {3,2}

• Tentukan himpunan penyelasaian dari sistem persamaan x + y – 2 = 0 dan y = 6 - xJawab :Grafik dari x + y - 2 = 0 adalah garis yang melalui titik (2,0) dan (0,2)Grafik dari y = 6 – x adalah garis yang melelui titik(6,0) dan (0,6)

x 0 2 0 6

y 2 0 6 0

x + y – 2 = 0 y = 6 - x

X

1

765432

0 1 3 4 62 5 7

-2-1

-1

-6-5-4-3

-2-3-4-5-6-7

Y

x 0 2 0 6

y 2 0 6 0

Metode Substitusí

Substitusi artinya mengganti. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :

I. Menyatakan variable dalam variable lain, misal menyatakan x dalam y atau sebaliknya.

II. Mensubstitusikan persamaan yang sudah kita rubah pada persamaan yang lain

III. Mensubstitusikan nilai yang sudah ditemukan dari variabel x atau y ke salah satu persamaan.

• Contoh 1:Tentukan HP dari sistem persamaan x + 2y = 4 dan 3x + 2y = 12Jawab :x + 2y = 4,Substitusikan x = 4 – 2y ke persamaan 3x + 2y = 123 x + 2y = 123(4 – 2y) + 2y = 1212 – 6y + 2y = 1212-4y = 12-4y = 0y = 0 Substitusikan y = 0 ke persamaan: x = 4 – 2yx = 4 – 2yx = 4 – 2.0x = 4Jadi HP nya adalah {(4,0)}

kita nyatakan x dalam y, diperoleh x = 4 – 2y

Contoh 2 :Tentukan HP dari sistem persamaan :2x + 3y = 12 dan 4x – 3y – 6 = 0Jawab :2x + 3y = 12 kita nyatakan y dalam x, diperoleh : 3y = 12 – 2x

y = 4 – 3/2xSubstitusikan y = 4 – 3/2x ke persamaan 4x – 3y – 6 = 0,4x – 3 y – 6 = 04x – 3( 4 -3/2x ) – 6 = 0 4x – 12 + 2 x - 6 = 0 6x -18 = 0 6x = 18 x = 3x = 3 substitusikan ke y = 4 – 3/2x

y = 4 – 3/2.3 y = 4 – 2 y = 2

Jadi HP nya adalah {(3,2)}

Metode eleminasi• Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut :i. Nyatakan kedua persamaan ke bentuk ax + by = cii. Samakan koefisien dari variabel yang akan

dihilangkan, melalui cara mengalikan dengan bilangan yang sesuai ( tanpa memperhatikan tanda )

iii. – Jika koefisien dari variabel bertanda sama (sama positif atau sama negatif), maka kurangkan kedua persamaan– Jika koefisien dari varibel yang dihilangkan tandanya berbeda (positif dan negatif ), maka jumlahkan kedua persamaan.

• Tentukan himpunan penyelesaian dari sitem persamaan x + y = 4 dan x – y = 2

Jawab :• Mengeliminasi x

x + y = 4 x – y = 2 2y = 2 y = 1

• Mengeliminasi yx + y = 4 x – y = 2 2x = 6 x = 3

• Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {(3, 1)}

Contoh 3:

( koefisien x sudah sama, dan tandanya sama positif , maka kita kurangkan kedua persamaan ) Catatan : x – x = 0

—

( koefisien y sudah sama, dan tandanya berbeda, maka kita jumlahkan kedua persamaan ) Catatan : y + (-y) = 0+

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x = 3y + 17 dan3x + y – 9 = 0Jawab :

Kita nyatakan persamaan dalam bentuk ax + by = c2x – 3y = 173x + y = 9

Mengeliminasi xKarena koefisien x belum sama, maka kita harus buat sama2x – 3y = 17 3x + y = 9 -11 y = 33 y = -3

Mengeliminasi y2x – 3y = 17 3x + y = 9 11x = 44 x = 4Jadi, himpunan penyelesaian adalah {(4, -3)}

—

+

Contoh 4:

→ 6x – 9y = 51→ 6x + 2y = 18

x 3x 2

x 1x 3

→ 2x – 3y = 17→ 9x + 3y = 27

MODEL MATEMATIKA

---CONTOH---

Made mengendarai sepeda motor dari Denpasar ke Gilimanuk dengan kecepatan rata- rata 60 km/jam. Untuk menempuh jarak kedua tempat itu jika dikehendaki lebih cepat satu jam, maka kecepatan rata- ratanya diubah menjadi 80 km/jam. Misal jarak kedua tempat itu x km, dan waktu yang diperlukan t jamTentukan :a. Dua persamaan dalam x dan tb. Jarak kedua tempaJawab :

Dengan kecepatan rata- rata 60 km/ jam, maka :Jarak = kecepatan . waktux = 60t

Dengan kecepatan rata- rata 80 km/ jam, maka :Jarak = kecepatan . waktux = 80 ( t – 1 )x = 80t – 80Ada dua persamaan, yaitu x = 60t dan x = 80t – 80

Contoh 5:

b. Dari sistem persamaan di atas kita selesaikan dengan substitusi60t = 80t – 8060t – 80t = -80

- 20t = -80 t = 4Waktu yang diperlukan pada kecepatan 60 km/jam

adalah 4 jamJadi, jarak kedua tempat = 60 km/ jam . 4 jam

= 240 km

APLIKASI PERMASALAHAN PADA SPLDV

• Masalah 1 ( masalah harga pensil dan buku ) Pada hari Minggu Yanita dan Reza pergi ke toko. Yanita membeli dua pensil dan dua buku dengan harga Rp 14.000,00. Sedangkan Reza membeli satu pensil dan tiga buku yang bermerek sama dengan yang dibeli Yanita , dengan harga Rp 17.000,00. Berapa harga sebuah pensil dan sebuah buku ?

JAWAB

• Masalah 2 ( Masalah berat jagung dan beras )Sebuah toko menyimpan persediaan beras dan jagung yang dimasukkan dalam karung. Setiap karung beras beratnya sama dan setiap kantong jagung beratnya sama . berat dua karung beras bersama satu karung jagung adalah 172 kg. Berat 3 karung beras dan satu karung jagung 232 kg. Tentukan berat satu karung beras dan berat satu karung jagung

TERIMA KASIHSELAMAT BELAJAR