OLEH :

FAKULTAS PERTANIANUNIVERSITAS SWADAYA GUNUNG JATI CIREBON

2010

WIJAYA

S T A T I S T I K A

SEBARAN PELUANG

II. SEBARAN PELUANG

Ruang Contoh (S) adalah Himpunan semua kemungkinanhasil suatu percobaan.Anggota (Titik Contoh) = Setiap kemungkinan hasildalam suatu ruang contoh.Kejadian = Himpunan bagian dari ruang contoh S.

Misal sebuah uang logam dilempar tiga kali (atau tigauang logam dilempar satu kali) :

Ruang Contoh (S) = { AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG,GGA, GGG}

Anggota (Titik Contoh) = AAA, AAG, … , GGG

Kejadian = {AAA}, {AAG}, …, {GGG}

II. SEBARAN PELUANG

Pemutasi = Susunan data atau benda yang tergantungpada letaknya.

n !.r Pn =

( n – r ) !

Banyaknya kemungkinan menanam 2 dari 4 tanamanhias untuk ditanam pada pot plastik satu tanaman dansatu tanaman lagi pada pot gerabah yaitu sebanyak 12kemungkinan.

4 ! 1x2x3x4.r Pn = = = 12

( 4 – 2 ) ! 1x2

II. SEBARAN PELUANG

Kombinasi = Susunan benda yang tidak tergantung pada letaknya.

n !.r Cn =

r! (n – r)!

Banyaknya kemungkinan memilih 2 dari 4 matakuliah pilihan yaitu sebanyak 6 kemungkinan.

4 ! 1x2x3x4.r Cn = = = 6

2! (4 – 2)! (1x2)(1x2)

II. SEBARAN PELUANG

Peluang = frekuensi relatif suatu kejadian.n

P(x = n) =N

Misal sebuah uang logam dilempar tiga kali(atau tiga uang logam dilempar satu kali) :

Ruang Contoh (S) = { AAA, AAG, AGA, AGG,GAA, GAG, GGA, GGG}

P (A = 0) = 1/8

P (A = 1) = 3/8P (A = 2) = 3/8

P (A = 3) = 1/8

II. SEBARAN PELUANG

2.1 Sebaran Peluang Diskrit= Tabel atau rumus yang mencantumkan semuakemungkinan nilai suatu peubah acak diskritberikut peluangnya. Grafiknya berbentukhistogram peluang.

2.2 Sebaran Peluang Kontinyu= Rumus yang mencantumkan semuakemungkinan nilai suatu peubah acak kontinyuberikut peluangnya. Grafiknya dapat berbentuklinier, simetris, menjulur ke kanan/kiri.Fungsinya disebut Fungsi Kepekatan Peluang.

2.1 Sebaran Peluang Diskrit

X (x = A) 0 1 2 3f (x) = P (X = x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Misal sebuah uang logam dilempar tiga kali(atau tiga uang logam dilempar satu kali) :

Ruang Contoh (S) = { AAA, AAG, AGA, AGG,GAA, GAG, GGA, GGG}

P (A = 0) = 1/8

P (A = 1) = 3/8P (A = 2) = 3/8

P (A = 3) = 1/8

Bila suatu ulangan binom mempunyai peluangberhasil p dan gagal q, maka peluangkeberhasilan dalam n ulangan yang bebas :

1. Sebaran Peluang Binom

b (x ; n, p) = xCn . px . qn–x x = 0, 1, 2, …, n

Rata-rata μ = n.p Ragam σ2 = n.p.q

Untuk perhitungan digunakan Tabel JumlahPeluang Binom

∑ b (x ; n, p) = p ( 0 ≤ x ≤ n )

2.1 Sebaran Peluang Diskrit

20% buah mangga yang diekspor tergolong rusak. Sebuah sampel berukuran 20 diambil secara acak. Berapa peluang sampel yang diambil itu rusak :a. 2 buahb. paling sedikit tiga buahc. paling banyak 4 buahd. rata–rata yang rusak

1. Sebaran Peluang Binom

n = 20 p = 0,20 q = 0,80Jawab :

1. Sebaran Peluang Binom

b (x ; n, p) = xCn . px . qn–x

a. Yang rusak 2 buah = P (x = 2)

b (2 ; 20 ; 0,2) = 2C20 . (0,2)2 . (0,8)18

20!b(2 ; 20 ; 0,2) = (0,2)2 (0,8)18 = 0,1369

2! 18!

n = 20 p = 0,20 q = 0,80

n r 0,10 0,20 0,2520 0 0,1216 0,0115 0,0032

1 0,3917 0,0692 0,02432 0,6769 0,2061 0,09133 0,8850 0,4551 0,26314 0,9648 0,6733 0,4654

Tabel Jumlah Peluang Binom

a. P (x = 2) = P(x ≤ 2) – P(x ≤ 1)

P (x = 2) = 0,2061 – 0,0692 = 0,1369

1. Sebaran Peluang Binom

n r 0,10 0,20 0,2520 0 0,1216 0,0115 0,0032

1 0,3917 0,0692 0,02432 0,6769 0,2061 0,09133 0,8850 0,4551 0,26314 0,9648 0,6733 0,4654

Tabel Jumlah Peluang Binom

b. Paling sedikit 3 buah = P (x ≥ 3) = 1 – P(x ≤ 2)P (x ≥ 3) = 1 – 0,2061 = 0,7939

1. Sebaran Peluang Binom

c. Paling banyak 4 buah = P (x ≤ 4) = 0,6733

d. Rata-rata = n. p = (20)(0,20) = 4 buah

1. Sebaran Peluang Binom

n r 0,10 0,20 0,2520 0 0,1216 0,0115 0,0032

1 0,3917 0,0692 0,02432 0,6769 0,2061 0,09133 0,8850 0,4551 0,26314 0,9648 0,6733 0,4654

Tabel Jumlah Peluang Binom

2. Sebaran Peluang Poisson

e–μ μx

P(x ; μ) =x !

μ = Rata-rata Ragam σ2 = μ

Dalam diperhitungan digunakan Tabel JumlahPeluang Poisson

∑ p (x ; μ) = p ( 0 ≤ x ≤ r )

x = 1,2, … dan e = 2,718

2. Sebaran Peluang Poisson

Contoh :Rata–rata banyaknya tikus per dam2 di lahan sawah diduga tersebar 10. Hitung peluang dalam luasan 1 dam2 terdapat a. paling banyak 5 ekor b. lebih dari 12 ekor,c. 8 sampai 11.

µ = 10

Jawab :

2. Sebaran Peluang Poisson

Tabel Jumlah Peluang Poisson

r Rata-rata ( μ )9,0 9,5 10,0 10,5 11,0

5 0,1157 0,0885 0,0671 0,0504 0,03758 0,4557 0,3918 0,3328 0,2794 0,23209 0,5874 0,5218 0,4579 0,3971 0,340511 0,8030 0,7520 0,6968 0,6387 0,579313 0,9261 0,8981 0,8645 0,8253 0,7813

a. Paling banyak 5 ekor = P (x ≤ 5) = 0,0671

2. Sebaran Peluang Poisson

Tabel Jumlah Peluang Poisson

b. Lebih dari 12 ekor = P (x > 12) = 1 – P(x ≤ 11)P (x > 12) = 1 – 0,6968 = 0,3032

r Rata-rata ( μ )9,0 9,5 10,0 10,5 11,0

5 0,1157 0,0885 0,0671 0,0504 0,03758 0,4557 0,3918 0,3328 0,2794 0,23209 0,5874 0,5218 0,4579 0,3971 0,340511 0,8030 0,7520 0,6968 0,6387 0,579313 0,9261 0,8981 0,8645 0,8253 0,7813

2. Sebaran Peluang Poisson

c. 9 sampai 11 ekor = P (x ≤ 11) – P(x ≤ 8)

P (x ≤ 11) – P(x ≤ 8) = 0,6968 – 0,3328 = 0,3640

Tabel Jumlah Peluang Poisson

r Rata-rata ( μ )9,0 9,5 10,0 10,5 11,0

5 0,1157 0,0885 0,0671 0,0504 0,03758 0,4557 0,3918 0,3328 0,2794 0,23209 0,5874 0,5218 0,4579 0,3971 0,340511 0,8030 0,7520 0,6968 0,6387 0,579313 0,9261 0,8981 0,8645 0,8253 0,7813

2.2 Sebaran Peluang Kontinyu

1. Sebaran Peluang Normal - z

x – μz =

σ

Dalam diperhitungan digunakan Tabel JumlahPeluang Normal-z

Luas daerah (peluang) dari :a. P(z < –1,46) = 0,0721

1. Sebaran Peluang Normal - z

Z 0,00 0,04 0,05 0,06 0,08 0,09-1,4 0,0808 0,0749 0,0735 0,0721 0,0694 0,06811,1 0,8643 0,8729 0,8749 0,8770 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8925 0,8944 0,8962 0,8997 0,90152,0 0,9772 0,9793 0,9798 0,9803 0,9812 0,98172,3 0,9893 0,9904 0,9906 0,9909 0,9913 0,9916

Luas daerah (peluang) dari :b. P(z < 2,38) = 0,9913

1. Sebaran Peluang Normal - z

Z 0,00 0,04 0,05 0,06 0,08 0,09-1,4 0,0808 0,0749 0,0735 0,0721 0,0694 0,06811,1 0,8643 0,8729 0,8749 0,8770 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8925 0,8944 0,8962 0,8997 0,90152,0 0,9772 0,9793 0,9798 0,9803 0,9812 0,98172,3 0,9893 0,9904 0,9906 0,9909 0,9913 0,9916

Luas daerah (peluang) dari :c. P(1,24 < z < 2,04) = 0,9793 – 0,8925 = 0,0868

1. Sebaran Peluang Normal - z

Z 0,00 0,04 0,05 0,06 0,08 0,09-1,4 0,0808 0,0749 0,0735 0,0721 0,0694 0,06811,1 0,8643 0,8729 0,8749 0,8770 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8925 0,8944 0,8962 0,8997 0,90152,0 0,9772 0,9793 0,9798 0,9803 0,9812 0,98172,3 0,9893 0,9904 0,9906 0,9909 0,9913 0,9916

Luas daerah (peluang) dari :d. P(z > 1,15) = 1 – 0,8749 = 0,1251

1. Sebaran Peluang Normal - z

Z 0,00 0,04 0,05 0,06 0,08 0,09-1,4 0,0808 0,0749 0,0735 0,0721 0,0694 0,06811,1 0,8643 0,8729 0,8749 0,8770 0,8810 0,88301,2 0,8849 0,8925 0,8944 0,8962 0,8997 0,90152,0 0,9772 0,9793 0,9798 0,9803 0,9812 0,98172,3 0,9893 0,9904 0,9906 0,9909 0,9913 0,9916

1. Sebaran Peluang Normal-zContoh 2 :Rata–rata volume air kemasan “X” setiap gelas 200 ml dengan simpangan baku 10 ml. Jika volume air menyebar normal, hitunglah peluang gelas yang berisi :a. 208 ml. b. antara 191 dan 209 ml.c. 187 sampai 207 ml.d. Jika ada 10.000 gelas, berapa gelas yang

berisi > 224 ml. Jawab :Rata–rata μ = 200 ; simpangan baku σ = 10

a. Berisi 208 ml P(x = 208) = (207,5 < x 208,5)

1. Sebaran Peluang Normal-zRata–rata μ = 200 ; simpangan baku σ = 10

P(207,5 < x < 208,5) = P(0,75 < z < 0,85)= P(z < 0,85) – P(z < 0,75) = 0,8023 – 0,7734 = 0,0289

1. Sebaran Peluang Normal-z

b. Antara 191 dan 209 ml = P(191 < x < 209)

Rata–rata μ = 200 ; simpangan baku σ = 10

P(191 < x < 209) = P(–0,90 < z < 0,90)= P(z < 0,90) – P(z < –0,90) = 0,8159 – 0,1841 = 0,6318

1. Sebaran Peluang Normal-z

Rata–rata μ = 200 ; simpangan baku σ = 10

P(186,5 < x < 207,5) = P(–1,35 < z < 0,75)= P(z < 0,75) – P(z < –1,35) = 0,7734 – 0,0401 = 0,7333

c. 187 sampai 207 = P(186,5 < x < 207,5)

1. Sebaran Peluang Normal-z

Rata–rata μ = 200 ; simpangan baku σ = 10

P( x > 224) = 1 – P(x < 224) = 1 – P(z < 2,24)= 1 – 0,9875 = 0,0125

Jumlah gelas = 10.000 (0,0125) = 125 gelas

d. Volume lebih dari 224 ml P(x > 224 ml) = 1 – P( x < 224)

2.2 Sebaran Peluang Kontinyu

1. Sebaran Peluang Normal - z

2. Sebaran Peluang t - student

3. Sebaran Peluang F

4. Sebaran Peluang X2 (Kai-Kuadrat)