Dimensi Tiga(Proyeksi & Sudut)

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat

Menentukanproyeksi dan besar sudut dalam

ruang dimensi tiga

DIMENSI TIGA PROYEKSI DAN SUDUT

Proyeksi Pada Bangun Ruang: proyeksi titik pada garis

proyeksi titik pada bidang

proyeksi garis pada bidang

DIMENSI TIGA PROYEKSI DAN SUDUT

Proyeksi titik pada garis

Dari titik P

ditarik garis m⊥ garis k

garis m memotong k di Q,

titik Q adalah

hasil proyeksi

titik P pada k

P

Q

k

m

ContohDiketahui kubus ABCD.EFGHTentukan proyeksititik A pada garis a. BC b.BDc. ET (T perpotongan AC dan BD).

A BCD

HE F

G

T

PembahasanProyeksi titik A pada

a. BC adalah titik

b. BD adalah titik

c. ET adalah titik

A BCD

HE F

G

T

B

TA’

A’(AC ⊥ ET)

(AB ⊥ BC)

(AC ⊥ BD)

Proyeksi Titik pada BidangDari titik Pdi luar bidang Hditarik garis g ⊥ H. Garis g menembus bidang H di titik P’.Titik P’ adalahproyeksi titik P di bidang H

H

P

P’

g

Contoh

Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah….b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah….

A BCD

HE F

G

Pembahasana. Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah

b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah CE ⊥ BDG

A BCD

HE F

G

(EA ⊥ ABCD)A

P

P

Proyeksi garis pada bidangProyeksi sebuah gariske sebuah bidangdapat diperoleh dengan memproyek-sikan titik-titik yangterletak pada garis ituke bidang.H

A

A’

g

Jadi proyeksi garis g pada bidang H

adalah g’

B

B’g’

Fakta-fakta1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis2. Jika garis h ⊥ β maka

proyeksi garis h pada bidang β berupa titik.

3. Jika garis g // bidang β maka g’ yaitu proyeksi garis g padaβ dan sejajar garis g

Contoh 1

Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD adalah….A B

CD

HE F

G

b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah….

Pembahasan

a. Proyeksi garis EF pada bidang ABCD berarti menentukan proyeksi titik E dan F pada bidang ABCD, yaitu titik A dan B

A BCD

HE F

G

Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB

Pembahasanb. Proyeksi garis CG pada bidang BDG berarti menentukan proyeksi titik C dan titik G pada bidang BDG, yaitu titik P dan G

A BCD

HE F

G

Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya?

P

6 cm

A BCD

HE F

G •Panjang proyeksi CG pada BDG adalah panjang garis PG.

•PG = ⅔.GR = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6

PR

•Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm

6 cm

Contoh 2Diketahui limasberaturanT.ABCDdengan panjang AB= 16 cm, TA = 18 cmPanjang proyeksi TApada bidang ABCDadalah….

T

A

D C

B16 cm

18 c

m

PembahasanProyeksi TApada bidang ABCDadalah AT’.Panjang AT’= ½AC = ½.16√2 = 8√2

T

A

D C

B16 cm

18 c

m

T’

Jadi panjang proyeksi TA pada

bidang ABCD adalah 8√2 cm

Sudut Pada Bangun Ruang: Sudut antara dua garis

Sudut antara garis dan bidang

Sudut antara bidang dan bidang

Sudut antara Dua GarisYang dimaksud dengan

besar sudut antara

dua garis adalah

besar sudut terkecil

yang dibentuk

oleh kedua

garis tersebut

k

m

ContohDiketahui kubus ABCD.EFGH Besar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BGb. AH dengan AF c. BE dengan DF

A BCD

HE F

G

PembahasanBesar sudut antaragaris-garis:a. AB dengan BG = 900

b. AH dengan AF = 600 (∆ AFH smss)c. BE dengan DF = 900 (BE ⊥ DF)

A BCD

HE F

G

P

QV

Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis a dan bidang β

dilambangkan (a,β)adalah sudut antara

garis a dan proyeksinya pada β.

Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q = ∠ PQP’

P’

Contoh 1Diketahui

kubus ABCD.EFGH

panjang rusuk 6 cm.

Gambarlah sudut

antara garis BG

dengan ACGE,

A BCD

HE F

G

6 cm

Kemudian hitunglah besar sudutnya!

PembahasanProyeksi garis BG

pada bidang ACGEadalah garis KG(K = titik potong

AC dan BD) A BC D

HE F

G

6 cm

Jadi ∠(BG,ACGE) = ∠(BG,KG)

= ∠BGK

K

PembahasanBG = 6√2 cm

BK = ½BD = ½.6√2 = 3√2 cm ∆BKG siku-siku di K

A BC D

HE F

G

6 cm

sin∠BGK =

Jadi, besar ∠BGK = 300

K

= BG

BK

2

1

26

23 =

Contoh 2Diketahui

kubus ABCD.EFGH

panjang rusuk 8 cm.

A BCD

HE F

G

8 cm

Nilai tangens sudut antara garis CGdan bidang AFH adalah….

Pembahasantan∠(CG,AFH)

= tan ∠(PQ,AP) = tan ∠APQ =

=

A BCD

HE F

G

8 cm

P

Q=

PQ

AQ

8

24

8

28.21

=

GC

AC21

Nilai tangens sudut antara garis CGdan bidang AFH adalah ½√2

Contoh 3Pada limas

segiempat beraturan

T.ABCD yang semua

rusuknya sama panjang,

sudut antara TA dan bidang ABCDadalah….

T

A B

CD

a cm

a cm

Pembahasan• TA = TB = a cm• AC = a√2 (diagonal persegi)• ∆TAC = ∆ siku-siku samakaki

T

A B

CD

a cm

a cm

sudut antara TA dan bidang ABCDadalah sudut antara TA dan ACyang besarnya 450

Sudut antara Bidang dan Bidang

Sudut antara

bidang α dan bidang β

adalah sudut antara

garis g dan h, dimana

g ⊥ (α,β) dan h ⊥ (α,β).(α,β) garis potong bidang α dan β

α

β(α,β)

g

h

Contoh 1

Diketahui kubus ABCD.EFGHa. Gambarlah sudut antara bidang BDG dengan ABCDb. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD!

A BCD

HE F

G

Pembahasana. ∠(BDG,ABCD) • garis potong BDG dan ABCD → BD • garis pada ABCD yang ⊥ BD → AC • garis pada BDG yang ⊥ BD → GP

A BCD

HE F

G

Jadi ∠(BDG,ABCD) = ∠(GP,PC) =∠GPC

P

Pembahasanb. sin∠(BDG,ABCD)

= sin ∠GPC

=

=

= ⅓√6A BCD

HE F

G

Jadi, sin∠(BDG,ABCD) = ⅓√6

P

GP

GC

x 6a

a

21 .6

6

6

6

21

=

Contoh 2

Limas beraturan T.ABC, panjangrusuk alas 6 cm danpanjang rusuk tegak9 cm. Nilai sinus sudutantara bidang TABdengan bidang ABCadalah….

A

B

C

T

6 cm

9 cm

Pembahasan

•sin∠(TAB,ABC) = sin∠(TP,PC) = sin∠TPC•TC = 9 cm, BP = 3 cm•PC = =•PT = =

A

B

C

T

6 cm

9 cm

P 22 36 −cm 3327 =

22 39 −cm 3672 =

3

• Lihat ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3Aturan cosinusTC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cos∠TPC

81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos∠TPC

36√6.cos∠TPC = 99 – 81

36√6.cos∠TPC = 18

cos∠TPC =

=

A

B

C

T

9 cm

P

6√2

3√3 2 1

62

1

6

6x

12

6

• Lihat ∆ TPCcos∠P =

Maka diperoleh

Sin ∠P =

Jadi sinus ∠(TAB,ABC)

=

12

6

12

√6

6 144 -

P 138 =

12

138

12

138

Contoh 3 Diketahui kubus ABCD.EFGH, pan- jang rusuk 4 cm Titik P dan Q berturut-turut di tengah-tengah AB dan AD.

A BCD

HE F

G

Sudut antara bidang FHQP dan bi-dang AFH adalah α. Nilai cosα =…

4 cm

P

Q

Pembahasan • ∠(FHQP,AFH) = ∠(KL,KA) = ∠AKL = α • AK = ½a√6 = 2√6 • AL = LM = ¼ AC = ¼a√2 = √2 • KL = = =3√2

A BCD

HE F

G4 cm

P

Q

K

L

α

M22 MLKM +

1824 2 =+

Pembahasan• AK = 2√6 , AL = √2 KL = 3√2Aturan Cosinus:AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcosα 2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cosα24√3.cosα = 42 – 2 24√3.cosα = 40 cosα =

K

L

α

MA

Jadi nilai cosα = 39

5

39

5

SELAMAT BELAJAR