Post on 29-Jan-2016
description
PROGRAMA LINIER
Konsep dasar
• Matematis: mencari kondisi optimal dari sebuah fungsi (tujuan) linier berdasarkan satu sistem fungsi pembatas linier.
• Praktis: alokasi sumber daya terbatas untuk mencapai sebuah tujuan optimal.
Sumber Daya P r o d u k Tersedia1 … j … n
1 a11 … a1j … a1n b1
: : : : : : :i ai1 … aij … ain bi
: : : : : : :m am1 … amj … amn bm
Laba/Cost C1 … Cj … Cn :
Masalah dan Formulasi
00;/1
jjj
n
jj CatauCXCZMinMax ij
n
jij bXa
1
ij
n
jij bXa
1
ij
n
jij bXa
1
TujuanPembatas
Metoda Grafis1. Buat sistem koordinat salib sumbu (Kuadran I)2. Gambarkan fungsi pembatas untuk memperoleh
daerah fisibel dan titik-titik fisibelnya3. Subtitusikan koordinat masing-masing titik fisibel ke
dalam fungsi tujuan, dan pilih nilai yang terbesar (maksimasi) atau terkecil (minimasi), atau
4. Gunakan garis selidik dengan menggambarkan garis fungsi tujuan. Jika garis selidik digambar di luar daerah fisibel, maka titik optimalya adalah titik yang pertama kali tersentuh garis tersebut (maksimasi) atau yang terakhir tersentuh (minimasi), kecuai titik nol (0,0)
Contoh
Sebuah perusahaan membuat dua jenis produk (A dan B). Laba masing-masing adalah $ 1 dan $ 1,5 per unit. Kedua jenis produk dibuat melalui tiga deparemen (1, 2, dan 3). Produk A membutuhkan waktu di tiap departemen selama 2, 1, dan 4 jam sedangkan produk B selama 2 jam (di tiap departemen). Jika jam kerja yang tersedia di tiap departemen masing-masing adalah 160, 120, dan 280 jam per minggu masing-masing jenis produk harus dibuat agar diperoleh laba maksimum?
Solusi
Dept.Waktu proses (jam per unit)
WaktuProduk A Produk B
1 2 2 1602 1 2 1203 4 2 280
Laba $1 $ 1,5
21 5,1)( XXZMax
0,
28024
1202
16022
21
21
21
21
XX
XX
XX
XX
20
40
60
80
140
20 60 70 80 120
X2
X1
(3)
(1)
(2)
A
B
C
D
Daerah Feasible: O-A-B-C-D
Titik Feasible:A(0,60) Z=90B(40.40) Z=100C(60,20) Z=90D(70,0) Z=70
O
Metoda Simplex1. Ubah bentuk umum ke bentuk standar
(fungsi pembatas bertanda =) dengan cara menambah slack variabel (S) pada ruas kiri fungsi pembatas bertanda dan mengurangi ruas kiri fungsi pembatasa bertanda dengan surplus variabel (U) sehingga
00;/1
jjj
n
jj CatauCXCZMinMax
0;1
iiij
n
jij WbWXa
2. Buat tabel solusi awal (TSA) spb
Tabel Solusi Awal (TSA)
BasisNon Basic Variabel (nbv) Basic Variabel (bv)
Ruas KananX1 Xj Xn W1 … Wj … Wm
Z C1 Cj Cn 0 0 0 0
W1 a11 … a1j … a1n 1 … 0 … 0 b1
: : : : : : : : : : :
Wj ai1 … aij … ain 0 … 1 … 0 bi
: : : : : : : : : : :
Wm am1 … amj … amn 0 … 0 … 1 bm
3. Melakukan iterasi Simplex• Pilih entering variabel, yaitu nbv dengan Cj paling negatif
(mak) atau Cj paling positif (min). Jika ada lebih dari satu, pilih salah satu. Dan perhatikan nilai-nilai aij > 0 di
kolom var ini, sebut aij. Jika semua ais 0, stop
(unbounded solution) kondisi/isyarat optimal
• Pilih leaving variabel, yaitu bv pada baris dengan Min. {bi/ais; ais > 0 }. Jika ada lebih dari satu, pillih salah satunya kondisi/syarat fisibel
• Persamaan pivot baru baru (ppb), yaitu baris pivot dibagi dengan elemen pivot (elemen pada sel irisan antara baris leaving variabel dan klom entering variable)
• Buat tabel solusi baru dengan elemen awal ppb• Misal, ppb berasal dari baris r dan entering
variabel ada pada kolom s. Maka, baris lain pada tabel baru dihitung, dengan formula
Z baru = (Z lama) – (Cs) x ppbbv baru = (bv lama) – (ais) x ppb ;
untuk i s• Jika Cj pada kolom nbv semuanya positif (mak)
atau semua negatif (minimasi), stop (solusi sudah optimal). Jika masih ada yang negatif (maksimasi) atau masih ada yang positif (minimasi), kembali ke langkah 1!
Contoh
Sebuah perusahaan membuat dua jenis produk (A dan B). Laba masing-masing adalah $ 1 dan $ 1,5 per unit. Kedua jenis produk dibuat melalui tiga deparemen (1, 2, dan 3). Produk A membutuhkan waktu di tiap departemen selama 2, 1, dan 4 jam sedangkan produk B selama 2 jam (di tiap departemen). Jika jam kerja yang tersedia di tiap departemen masing-masing adalah 160, 120, dan 280 jam per minggu masing-masing jenis produk harus dibuat agar diperoleh laba maksimum?
Solusi Simplex
Tujuan:Max. Z = X1 + 1,5 X2 atau
Z - X1 - 1,5 X2 + 0S1 + 0S2 + 0S3 = 0
Pembatas:(1) 2X1 + 2 X2 + S1 = 160 Departemen 1(2) X1 + 2 X2 + S2 = 120 Departemen 2(3) 4X1 + 2 X2 + S3 = 280 Departemen 3
S1, S2, S3, X1, X2 0
Nbv bvRuas
KananBasis X1 X2 S1 S2 S3
Z -1 -3/2 0 0 0 0S1 2 2 1 0 0 160
S2 1 2 0 1 0 120
S3 4 2 0 0 1 280
Tabel Solusi Awal (TSA)
Maka, ppb = baris X2 = ( 1/2 1 0 1/2 0 60 )
Z1 = Z0 - C2 x ppb = ( 1/4 0 0 3/4 0 90 ) S1
1 = S10 - a12 x ppb = ( 1 0 1 -1
0 40 ) S3
1 = S30 - a32 x ppb = ( 3 0 0 -1
1 160 )
Basis X1 X2 S1 S2 S3 RK
Z -¼ 0 0 ¾ 0 90
S11 0 1 -1 0 40
X2½ 1 0 ½ 0 60
S33 0 0 -1 1 160
Basis X1 X2 S1 S2 S3 RK
Z 0 0 ¼ ¾ 0 100
X1 1 0 1 -1 0 40
X2 0 1 -1/2 1 0 40
S3 0 0 -3 2 1 40
Semua Cj untuk nbv positif, solusi optimal telah didapat, yaitu:• Laba maksimum: $ 100 per minggu,
jika• Produk 1 dan Produk 2 masing-masing
sebanyak 40 unit,• dengan sisa waktu di departemen C: 40
jam.
Min. Z = 4X1+ X2, dengan pembatas
(1) 3X1 + X2
= 3(2) 4X1 + 3X2 6(3) X1 + 2X2
4X1,
X2 0
Tambah S pada (3) dan (2) kurangkan dengan dengan U didapatMin. Z = 4X1+ X2, dengan pembatas :(1) 3X1 + X2 = 3(2) 4X1 + 3X2 – U = 6 (3) X1 + 2X2 + S = 4
U,S, X1, X2 0
Teknik - M
Tambahakan artificial variabel (R) ke fungsi pembatas bertanda “” dan “=” (pembatas (1) dan (2). Koefisien R dalam fungsi tujuan adalah M (minimasi) atau –M (maksiasi), dimana M merupakan bilangan positif yang sangat besar (M>>>0). Maka,
Min. Z = 4X1+ X2 + MR1 + MR2, dengan pembatas:
(1) 3X1+ X2 + R1 = 3
(2) 4X1+ 3X2 – U + R2 = 6
(3) X1 + 2X2 + S = 4 R1, R2, U, S, X1, X2 0Dari pembatas (1) dan (2) didapat
:
R1 = 3 – 3X1 – X2 R2 = 6 – 4X1 – 3X2 + U
Subtitusikan ke dalam fungsi tujuan, diperoleh:
Min. Z = 4X1+ X2 + M (3 – 3X1 – X2 ) + M (6 – 4X1 – 3X2 + U) atauMin. Z = (4 – 7M)X1 + (1 - 4M )X2 + MU + 9M, dengan pembatas:
(1) 3X1+ X2 + R1 = 3(2) 4X1+ 3X2 – U + R2 = 6(3) X1+ 2X2 + S = 4
R1, R2, U, S, X1, X2 0
Basisnbv bv
RKX1 X2 U R1 R2 S
Z 7M – 4 4M – 1 –M 0 0 0 9MR1 3 1 0 1 0 0 3
R2 4 3 –1 0 1 0 6S 1 2 0 0 0 1 4
Tabel Solusi Awal (TSA)
Dengan algoritma simpex diperoleh Tabel Solusi Optimal (TSO)
Basisnbv bv
RKX1 X2 U R1 R2 S
Z 0 0 0 (7/5) – M –M –1/5 17/5X1 1 0 0 2/5 0 –1/5 2/5
X2 0 1 0 –1/5 0 3/5 9/5
U 0 0 1 1 –1 1 1
Metoda Dual Simplex1. Pilih leaving variable (baris pivot), yaitu
baris dengan Min. {bj ; bj < 0}, misal ada pada baris r. Jika tidak ada, stop (solusi sudah fisibel).
2. Pilih entering variable(kolom pivot), yaitu klom nbv dengan Min. { Cj/arj; arj < 0} untuk meminimasi, atau Min. { Cj/arj ; arj < 0 } untuk maksimasi.
3. Buat ppb sperti pada primal simplex, dan buat Tabel Iterasi 1.
4. Jika ruas kanan tidak ada lagi yang negatif dan Cj untuk nbv tidak ada lagi yang negatif (minimasi) atau tidak ada lagi yang positif (minimasi), stop (solusi sudah optimal dan fisibel). Jika tidak, kembali ke langkah 1.
Min. Z = 3X1 + 2X2 dengan pembatas
(1)3X1 + 2X2 3(2)4X1 + 3X2 6(3) X1 + X2 4 X1, X2 0
Jika pembatas (1) & (2) dikalikan dengan -1, didapat
Min. Z = 3X1 + 2X2, dengan pembatas
(1)-3X1 - X2 -3
(2)-4X1 - 3X2 -6
(3) X1 + X2 4S1, S2, S3 0X1, X2 0
Bentuk standar :
Min. Z = 3X1 + 2X2, dengan pembatas
(1)-3X1 – X2 + S1 = -3(2)-4X1 – 3X2 + S2 = -6(3) X1 + X2 + S3 =
4S1, S2, S3 , X1, X2 0
Basisnbv bv
RKX1 X2 S1 S2 S3
Z -3 -2 0 0 0 0S1 -3 -1 1 0 0 -3
S2 4 -3 0 1 0 -6
S3 1 1 0 0 1 3
Tabel 2.11 Solusi Awal