Post on 14-Feb-2015
description
I. PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Mata pelajaran Matematika perlu diberikan kepada semua peserta didik mulai dari
sekolah dasar untuk membekali peserta didik dengan kemampuan berpikir logis, analitis,
sistematis, kritis, dan kreatif, serta kemampuan bekerjasama. Kompetensi tersebut
diperlukan agar peserta didik dapat memiliki kemampuan memperoleh, mengelola, dan
memanfaatkan informasi untuk bertahan hidup pada keadaan yang selalu berubah, tidak
pasti, dan kompetitif.
Salah satu materi yang dapat mengantar siswa untuk mampu berpikir logis, kritis,
analitis dan kreatif adalah program linier, sekaligus mengurangi anggapan bahwa program
linier itu sulit. Untuk itu guru sebagai fasilitator diharapkan mampu menciptakan suatu
kondisi pembelajaran dengan menggunakan pendekatan, strategi serta model pembelajaran
yang mampu mengantarkan siswa kepada tujuan pembelajaran.
Program linier merupakan metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya
yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimumkan keuntungan dan
meminimumkan biaya. Program Linier banyak diterapkan dalam masalah ekonomi, industri,
militer, sosial dan lain-lain. Konsep dasar program linier telah ada pada jenjang pendidikan
dasar, yang dimulai pengenalan lambang bilangan yang direpresentasikan melalui gambar
benda di sekitar siswa, kemudian penjumlahan, pengurangan, perkalian serta
membandingkan banyaknya benda. Di Sekolah Menengah Pertama (SMP) konsep
diperluas melalui pembelajaran materi Sistem Persamaan Linier Satu Variabel (SPLSV),
kemudian ditingkatkan melalui materi Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV), di
Sekolah Menengah Atas (SMA) telah diperkenalkan sistem pertidaksamaan linier dan materi
khusus program linier yang menyajikan persoalan sehari-hari, kemudian menerjemahkan
permasalahan ke dalam model matematika, menyelesaikan sistem pertidaksamaan yang
merupakan kendala atau pembatas, mencari penyelesaian optimum, menjawab
permasalahan. Metode yang digunakan adalah metode grafik dengan menggunakan uji
titiksudut dan garis selidik. Pada tingkat universitas, terdapat mata kuliah khusus program
linier yang membahas metode penyelesaian program linier yang tujuannya mencari
keuntungan maksimum dan mengeluarkan biaya minimum. Metode yang diberikan pada
universitas adalah metode grafik, metode simpleks, metode analisis dual, metode
transportasi.
Dengan melihat pengalaman dan kenyataan tersebut, tampak menarik apabila dikaji
secara khusus mengenai materi yang berkaitan dengan program linier. Pada kesempatan ini
penulis akan membahas pada materi yang berkaitan dengan program linier di satuan
121
pendidikan SMA/MA dan materi-materi yang terkait pada program linier pada satuan
pendidikan SD/MI, SMP/MTs, dan Perguruan Tinggi.
Biru = Universitas
Ungu = SMA/MA
Merah Jambu = SMP/MTsN
Abu-abu = SD/MI
122
PROGRAM LINIER
Pemrograman Linier Metode SimpleksTransportasi Analisis Dual
Bab II Kelas XII IPA
Program Linier
1. Pemodelan Matematika
2. Sistem Persamaan Linier (SPL)
3. Penyelesaian dengan metode Grafik/Metode gradien/metode titik uji sudut
4. Interpretasi Hasil optimum
PLSV, PLDV, SPLDV
1. Pengenalan Lambang Bilangan
2. operasi bilangan
3 Mengurutkan Bilangan
II PEMBAHASAN
I. TINGKAT UNIVERSITAS
A. PROGRAM LINIER
Pemrograman Linier disingkat PL merupakan metode matematik dalam
mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti
memaksimumkan keuntungan dan meminimumkan biaya. PL banyak diterapkan dalam
masalah ekonomi, industri, militer, sosial dan lain-lain. PL berkaitan dengan penjelasan
suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah
fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.
a. Formulasi Permasalahan
Urutan pertama dalam penyelesaian adalah mempelajari sistem relevan dan
mengembangkan pernyataan permasalahan yang dipertimbangakan dengan jelas.
Penggambaran sistem dalam pernyataan ini termasuk pernyataan tujuan, sumber daya yang
membatasi, alternatif keputusan yang mungkin (kegiatan atau aktivitas), batasan waktu
pengambilan keputusan, hubungan antara bagian yang dipelajari dan bagian lain dalam
perusahaan, dan lain-lain.
Penetapan tujuan yang tepat merupakan aspek yang sangat penting dalam formulasi
masalah. Untuk membentuk tujuan optimalisasi, diperlukan identifikasi anggota manajemen
yang benar-benar akan melakukan pengambilan keputusan dan mendiskusikan pemikiran
mereka tentang tujuan yang ingin dicapai.
b. Pembentukan model matematik
Tahap berikutnya yang harus dilakukan setelah memahami permasalahan optimasi
adalah membuat model yang sesuai untuk analisis. Pendekatan konvensional riset
operasional untuk pemodelan adalah membangun model matematik yang menggambarkan
inti permasalahan. Kasus dari bentuk cerita diterjemahkan ke model matematik. Model
matematik merupakan representasi kuantitatif tujuan dan sumber daya yang membatasi
sebagai fungsi variabel keputusan. Model matematika permasalahan optimal terdiri dari dua
bagian. Bagian pertama memodelkan tujuan optimasi. Model matematik tujuan selalu
menggunakan bentuk persamaan. Bentuk persamaan digunakan karena kita ingin
mendapatkan solusi optimum pada satu titik. Fungsi tujuan yang akan dioptimalkan hanya
satu. Bukan berarti bahwa permasalahan optimasi hanya dihadapkan pada satu tujuan.
Tujuan dari suatu usaha bisa lebih dari satu. Tetapi pada bagian ini kita hanya akan tertarik
dengan permasalahan optimal dengan satu tujuan.
123
Bagian kedua merupakan model matematik yang merepresentasikan sumber daya
yang membatasi. Fungsi pembatas bisa berbentuk persamaan (=) atau pertidaksamaan (≤
atau ≥). Fungsi pembatas disebut juga sebagai konstrain. Konstanta (baik sebagai koefisien
maupun nilai kanan) dalam fungsi pembatas maupun pada tujuan dikatakan sebagai
parameter model. Model matematika mempunyai beberapa keuntungan dibandingakan
pendeskripsian permasalahan secara verbal. Salah satu keuntungan yang paling jelas adala
model matematik menggambarkan permasalahan secara lebih ringkas. Hal ini cenderung
membuat struktur keseluruhan permasalahan lebih mudah dipahami, dan membantu
mengungkapkan relasi sebab akibat penting. Model matematik juga memfasilitasi yang
berhubungan dengan permasalahan dan keseluruhannya dan mempertimbangkan semua
keterhubungannya secara simultan. Terakhir, model matematik membentuk jembatan ke
penggunaan teknik matematik dan komputer kemampuan tinggi untuk menganalisis
permasalahan.
Di sisi lain, model matematik mempunyai kelemahan. Tidak semua karakteristik
sistem dapat dengan mudah dimodelkan menggunakan fungsi matematik. Meskipun dapat
dimodelkan dengan fungsi matematik, kadang-kadang penyelesaiannya sulit diperoleh
karena kompleksitas fungsi dan teknik yang dibutuhkan.
Bentuk umum pemrograman linier adalah sebagai berikut :
Fungsi tujuan :
Maksimumkan atau minimumkan z = c1x1 + c2x2 + ... + cnxn
Sumber daya yang membatasi :
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn = /≤ / ≥ b1
a21x1 + a22x2 + … + a2nxn = /≤ / ≥ b2
…
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = /≤ / ≥ bm
x1, x2, …, xn ≥ 0
Simbol x1, x2, ..., xn (xi) menunjukkan variabel keputusan. Jumlah variabel keputusan
(xi) oleh karenanya tergantung dari jumlah kegiatan atau aktivitas yang dilakukan untuk
mencapai tujuan. Simbol c1,c2,...,cn merupakan kontribusi masing-masing variabel keputusan
terhadap tujuan, disebut juga koefisien fungsi tujuan pada model matematiknya.Simbol
a11, ...,a1n,...,amn merupakan penggunaan per unit variabel keputusan akan sumber daya yang
membatasi, atau disebut juga sebagai koefisien fungsi kendala pada model matematiknya.
Simbol b1,b2,...,bm menunjukkan jumlah masing-masing sumber daya yang ada. Jumlah
fungsi kendala akan tergantung dari banyaknya sumber daya yang terbatas.
124
Pertidaksamaan terakhir (x1, x2, …, xn ≥ 0) menunjukkan batasan non negatif.
Membuat model matematik dari suatu permasalahan bukan hanya menuntut kemampuan
matematik tapi juga menuntut seni permodelan. Menggunakan seni akan membuat
permodelan lebih mudah dan menarik.
Kasus pemrograman linier sangat beragam. Dalam setiap kasus, hal yang penting
adalah memahami setiap kasus dan memahami konsep permodelannya. Meskipun fungsi
tujuan misalnya hanya mempunyai kemungkinan bentuk maksimisasi atau minimisasi,
keputusan untuk memilih salah satunya bukan pekerjaan mudah. Tujuan pada suatu kasus
bisa menjadi batasan pada kasus yang lain. Harus hati-hati dalam menentukan tujuan,
koefisien fungsi tujuan, batasan dan koefisien pada fungsi pembatas.
B. METODE SIMPLEKS
Pada bagian terdahulu masalah program linear dengan dua peubah keputusan masih
dapat diselesaikan dengan metode grafik. Akan tetapi pada kenyataannya masalah program
linear yang dihadapi kebanyakan lebih dari dua peubah keputusan dengan berbagai macam
batasan, sehngga dipandang tidak efisien bila menggunakan metode grafik untuk mencari
penyelesaian optimumnya.
Menghadapi masalah program linear yang memiliki peubah keputusan lebih dari dua,
metode simpleks yang lebih efisien. Metode simpleks merupakan pengembangan metode
aljabar yang hanya menguji sebagaian dari jumlah penyelesaian yang layak dalam bantuan
tabel. Penggunaan dalam bentuk tabel ini membuat metode simpleks lebih siap untuk
digunakan dengan bantuan komputer.
a. Bentuk-Bentuk Masalah Program Linear
Kendala utama masalah program linear dapat berbentuk ∑i=1
k
ai x i≤ b i atau ∑j=1
k
a j x j=
b i, I = 1,2,3,4,… m (ada m banyaknya kendala, k peubah keputusan) kendala yang
berbentuk pertidaksamaan dapat diubah menjadi persamaan beberapa cara sebagai berikut
(i) Bentuk kendala ∑j=1
k
aijxj ≤ bi. dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan st pada
ruas kiri sedimikian hingga ∑j=1
k
aij x j + st = bt dengan st ≥ 0. Dalam hal ini, st = 0, bila ∑j=1
k
aij x i
= bi dan sj > 0 bila ∑j=1
k
aij x j < bi
125
(ii) ∑j=1
k
aij x j < bi, dapat diubah dengan menyisipkan peubah tambahan c1 pada ruas kanan
sedemikian sehingga ∑j=1
k
aij x j = b i + ti atau ∑j=1
k
aij x j=bi−t i, dengan bi ≥ 0
Sesuai dengan fungsinya, s1 disebut peubah kekurangan (slack variabel) dan t1 disebut
peubah kelebihan (surplus variabel).
Berdasarkan perubahan di atas, himpunan kendala utama akan berubah menjadi
susunan persamaan linear.
∑j=1
k
aij x j = bi, i = 1, …, m
ialah dengan memberi lambang peubah-peubah kekurangan atau kelebihan dengan xj
dimulai dari j = k + 1 samapi j = n. supaya penyelesaian susunan ini menjadi layak masih
harus dipenuhi kendala tidak negative
Xj ≥ 0, j = 1, …, n
Pada umumnya susunan persamaan linear (1) di atas termasuk jenis yang
mempunyai peyelesaian tidak terhingga banyaknya. Di antara peyelesaian (1) dicari yang
juga memenuhi kendala tidak negative (2), dan inipun pada umumnya masih tidak terhingga
banyaknya. Kemudian, diantara penyelesaian layak yang tidak terhingga banyaknya ini, kita
mencari yang mengoptimumkan fungsi tujuan, utnuk memperoleh penyelesaian yang
optimum
Untuk menyesuaikan dengan bentuyk kendala yang baru, fungsi tujuan yang semula
berbentuk
Z = ∑j=1
k
c j x j dilengkapi menjadi
Z = ∑j=1
k
c j x j dengan ck+1 = ck+2 = ck+3 …= cn = 0
Oleh karena itu, masalah program linear dapat digambarkan dalam berbagai bentuk
seperti maksimasi atau minimasi dan dengan kendala dapat pula berbentuk lebih kecil atau
sama dengan, sama dengan, atau lebih besar atau sama dengan (≤, =, ≥), maka diperlukan
suatu bentuk baku yang dapat memenuhi prosedur penyelesaian yang optimum. Bentuk
baku yang sudah umum digunakan untuk meyelesaikan model program linear dapat
dikemukakan sebagai berikut
1. bentuk baku
126
bentuk baku dari masalah program linear dengan m kendala dan n peubah,
merupakan bentuk umum program linear. Keutamaan dari bentuk baku ini adalah: (a)
fungsi tujuan berbentuk maksimum atau minimum, (b) semua kendala utama
digambarkan dalam bentuk persamaan, (c) semua peubah keputusan tidak negative, dan
(d) nilai ruas kanan setiap kendala tidak negative . dalam bentuk baku maslah program
linear dapat digambarkan bentuk soal sebagai berikut
mencari xj, j = 1, …, n
yang memenuhi ∑j=1
k
cij x j = bi I = 1, …, m
atau memaksimumkan atau meminimumkan
Z = ∑j=1
k
c j x j
Apabila fungsi tujuan diamaksimumkan maka soal disebut berpola maksimum , dan bila
fungsi tujuan diminimumkan maka soal disebut berpola minimum.
2. bentuk kanonik
bentuk kanonik mempunyai karakteristik sebagai berikut: (a) fungsi tujuan
berbentuk maksimasi atau minimasi, (b) semua kendala utama berbentuk lebih kecil atau
sama dengan (≤) untuk fungsi tujuan maksimum atau semua kendala utama berbentuk
lebih besar atau sama dengan (≥) untuk fungsi tujuan minimum, (c)semua peubah
keputusan tidak negative. Dalam bentuk kanonik masalah program linear dapat
digambarkan bentuk soal sebagai berikut:
mencari xj, j = 1,2 …n
yang memenuhi ∑j=1
k
cij x j, I = 1, … , m
x1 ≥ 0
untuk maksimumkan Z = ∑j=1
k
cij x j
hubungan dalam semua kendala utama berbentuk ¿ disebut berbentuk kanonik
maksimum
mencari xj, j = 1,2 …n
yang memenuhi ∑j=1
n
aij x j≥b, i = 1, … , m
x1 ≥ 0
untuk maksimumkan Z = ∑j=1
k
cij x j
hubungan dalam semua kendala utama berbentuk ≥ disebut berbentuk kanonik minimum
127
Contoh
Tulis bentuk baku dari soal yang berbunyi:
Mencari x,y yang memenuhi
5x + 4y ≤ 200
3x + 6y = 180
8x + 5y ≥ 160
x, y ≥ 0 kendala tidak negative
untuk meminimumkan Z = 4x + 5y
penyelesaian:
sisipkan peubah s pada kendala pertama dan peubah t pada kendala ketiga sehingga soal
menjadi:
mencari x, y, s, t yang memenuhi
5x + 4y + s = 200
3x + 6y = 180
8x + 5y - t = 160
x, y, s, t ≥ 0 kendala tidak negative
untuk meminimumkan Z = 4x + 5y + 0s + 0t
soal ini sudah berbentuk baku dengan x,y peubah asli, s peubah kekurangan dan t peubah
kelebihan
b. Tahapan-Tahapan Penyelesaian Metode Simpleks
1. Tahap pra analisis
i. mengenali masalah PL yang diajukan:
beberapa keterangan yang perlu diajukan pada tahap ini, yaitu apakah fungsi
tujuan
meminimumkan atau memaksimumkan?
Terdapat berapa banyak peubah asli?
Terdapat berapa banyakkendala utama?
ii. Konversi semua kendala kedalam bentuk baku (system persamaan)
Masukkan peubah kekurangan (slack) atau,
Masukkan peubah kelebihan (surplus) atau,
Masukkan peubah semu (artifisial)
2. Tahap analisis
128
i Tentukan pemecahan layak dasar (basis) awal
ii Sajikan data masalah PL ke dalam tabel simpleks awal
iii Tentuka kolom peubah yang akan masuk dalam dasar, kolom ini disebut kolom
kunci. Apabila masalah PL berpola maksimum keuntungan, maka penentuan
kolom kunci ini ditandai oleh nilai pada baris zj – cj yang memepunyai nilai
negative terbesar (zj – cj ¸0). Dan apabila berpola minimum biaya, maka kolom
kunci ditandai oleh nilai pada baris zj – cj yang mempunyai nilai positif terbesar (zj
– cj > 0)
iv Tentukan peubah yang akan keluar dasar (disebut baris kunci) dengan Ri yang
terkecil.
v Cari unsure baru yang terdapat pada baris kunci dengan cara membagi semua
unsur yang terdapat pada baris kunci dengan unsur kunci. Unsur kunci adalah
unsur yang terdapat pada persilangan pada baris kunci dengan kolom kunci.
vi Mencari unsure baru pada baris yang laindengan aturan unsure pada baris baru =
unsur pada baris lama dikurangi dengan hasil kali unsure pada kolom kunci
dengan unsur baru baris kunci.
vii Apabila penyelesaian optimum belum trcapai pada tabel yang bersangkutan, maka
ulangi kembali langkah (iii) sampai dengan ditemukannya penyelsaian optimum.
Penyelesaian optimum tercapai bila zj – cj ≤ 0 untuk semua j pada pola minimum.
Untuk mengoperasikan data-data soal dan menerapkan tahapan-tahapan di atas
disusun tabel yang kemudian disebut tabel simpleks sebagai berikut
Tabel simpleks
Maks/Min Ci
CB XB X1 X2 …. xn bn R1
CB1
CB2
.
.
.CBM
XB1
XB2
.
.
.XBM
a11
a21
.
.
.am1
a12
a22
.
.
.am2
….….….….….….
a1n
a2n
.
.
.amn
b1
b2
.
.
.bm
R1
R2
.
.
.Rm
zj Z1 Z2 …. zmn zzj - cj Z1-c1 Z2-c2 … Zn-cn
Keterangantabel:
CJ : koefisien ongkos dari fungsi tujuan dan koefisien peubah kekurangan/ kelebihan/
semu
CB : Koefisien ongkos untuk peubah dasar XB
129
XB : Peubah yang menjadi dasar dalam tabel yang ditinjau
Xj : Peubah-peubah lengkap (asli/kekurangan/kelebihan/semu)
aij : koefisien teknis
bi : suku tetap (tidak negatif) atau nilai ruas kanan setiap kendala
zj : ∑i=1
m
cBaij (hasil kali dari CB dengan kolom aij )
z : ∑i=1
m
cBbi (hasil kali dari CB dengan bi
zj - cj : selisih zj dengan cj
Apabila tabel bersangkutan belum optimal dan Xb terpilih sebagai dasar baru maka dibuat
kolom Ri yang diperoleh dengan Ri = biaek
, hanya untuk aek > 0.
c. Pemecahan awal yang layak
Penyelesaian masalh program linear dengan metode simpleks, menghendaki
adanya pemecahan awal yang layak pada awal perhitungan.tanpa adanya pemecahan awal
yang layak (dasar awal yang layak), maka tabel simpleks tidak dapat dibentuk. Hal demikian
tentu saja tidak dapat ditemui pad setiap permasalahn program linear. Untuk dapat
menyelesaikan permasalahn program linear sehingga didapat pemecahan awal yang layak.
Pendekatan dasar yangdapat ditempuh adalah dengan penambahan peubah semu (artificial
variabel).
Contoh
Tentukan x1 dan x2 tidak negative dan maksimumkan X = 4x1+5x2 yang memenuhi
5x1 + 4x2 ≤ 200
3x1 + 6x2 = 180
8x1 + 5x2 ≥ 160
X1, x2 ≥ 0
Soal diatas diuba ke bentuk baku dengan menyisipkan peubah kekurangan ke dalam
kendala ke-1 dan peubah kelebihan ke dalam kendala ke-3, sedang kendala ke-2 tidak
memerlukan karena sudah berbentuk persamaan, jadi aoal sekarang adalah
Tentukan x1, x2, x3, x4 tidak negative dan
Maksimumkan Z = 4x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4
5x1+ 4x2 + x3 = 200
3x1 + 6x2 = 180
8x1 + 5x2 - x4 = 160 dan
x1, x2, x3, x4 ≥ 0
130
sekarang dipeiksa apakah semua kendala utama tersebut memliki peubah dasar
yang layak?
Kendala ke-1 : memiliki peubah dasar yang layak yaitu x3
Kendala ke-2 : belum memiliki peubah dasar
Kendala ke-3 : memiliki peubah dasar tapi tidak layak, karena memuat nilai negative
untuk -x4
Oleh karena itu, tabel awal simpleks belum dapat dibuat. Untuk mendapatkan pemecahan
awal yang layak, maka kendala ke-2 dan ke-3 perlu ditambahkan peubah semu yang
bertindak sebagi peubah dasar yang layak.
Sebagai akibat, timbul syarat perlu supaya soal asli mempunyai penyelesaian optimum ialah
bahwa dalam tabel optimum peubah semu harus bernilai nol.
Denagn demikian diharapkan bahwa peubah semu segera keluar dari dasar karena koefisien
ongkosnya negative besar, sehingga soal menjadi:
Tentukan x1, x2, x3, x4 tidak negative dan
Maksimumkan Z = 4x1 + 5x2 + 0x3 + 0x4 – Mx5 – Mx6
5x1+ 4x2 + x3 = 200
3x1 + 6x2 -x5 = 180
8x1 + 5x2 - x4 -x6 = 160 dan
x1, x2, x3, x4 , x5, x6 ≥ 0
sekarang soal sudah siap untuk dimasukan ke dalam tabel simpleks awal
C. ANALISIS PRIMAL - DUAL
Setiap persoalan program linier selalu mempunyai dua macam analisis, yaitu : analisis
primal dan analisis dual yang biasanya disebut analisis primal-dual.
Model Umum Persoalan Primal - Dual
Bentuk Primal:
Maksimumkan : ∑j=1
n
C jX j
syarat ikatan : ∑j=1
n
aij x j ≤ bi untuk i= 1, 2, 3, ...,m.
dan Xj ≥ 0, j = 1, 2, ... , n
Kalau akan dinyatakan menjadi Bentuk Dual :
131
Minimumkan : F = ∑i=1
m
b iY i
syarat ikatan : ∑i=1
m
aijY J ≥ Cj , untuk j= 1, 2, 3, ...,n.
Yi ≥ 0, I = 1,2,… m
Dimana: Zopt = ∑j=1
n
C jX j adalah samadengan Fopt = ∑i=1
m
biY i
Aturan umum dalam perumusan persoalan Program Linier menyangkut Bentuk Primal dan
Dual adalah :
Bentuk Primal Bentuk Dual
Memaksimumkan fungsi tujuanMeminimumkan fungsi tujuan, dan sebaliknya.
Koefisien fungsi tujuan (Cj )Nilai Sebelah Kanan (NSK) fungsi kendala
NSK fungsi kendala primal-primal (bi ) Koefisien fungsi tujuan
Koefisien peubah ke-j Koefisien kendala ke-j
Koefisien kendala ke-i Koefisien peubah ke-i
Peubah ke-j yang positif (≥ 0)
Kendala ke-j dengan tanda ketidaksamaan “lebihbesar daripada atau sama dengan “ (≥).
Peubah ke-j tandanya tidak dibatasiKendala ke-j yang bertanda sama dengan
Kendala ke-i yang bertanda sama denganPeubah ke-i tandanya tidak dibatasi
Kendala ke-i yang bertanda ketidaksamaan (≤) Peubah ke-i yang positif (≥)
D. METODE TRANSPORTASI
Metode Transportasi merupakan suatu metode yang digunakan untuk mengatur
distribusi dari sumber-sumber yang menyediakan produk yang sama ke tempat-tempat yang
membutuhkan secara optimal dengan biaya yang termurah . Alokasi produk ini harus diatur
sedemikian rupa karena terdapat perbedaan biaya-biaya alokasi dari satu sumber atau
beberapa sumber ke tempat tujuan yang berbeda.
Tabel awal dapat dibuat dengan dua metode, yaitu:
132
1. Metode North West Corner (NWC) => dari pojok kiri atas ke pojok kanan bawah
Kelemahan : tidak memperhitungkan besarnya biaya sehingga kurang efisien.
2. Metode biaya terkecil => mencari dan memenuhi yang biayanya terkecil dulu. Lebih
efisien dibanding metode NWC.
Setelah tabel awal dibuat, tabel dapat dioptimalkan lagi dengan metode:
1. Stepping Stone (batu loncatan)
2. Modified Distribution Method (MODI)
Selain metode-metode di atas masih ada satu metode yang lebih sederhana
penggunaannya yaitu metode Vogel’s Approximation Method (VAM).
II. TINGKAT SMA
A. Merancang model matematika yang berkaitan dengan program linier
Program linier adalah suatu metode atau program untuk memecahkan masalah
optimasi yang mengandung kendala-kendala atau batasan-batasan yang dapat
diterjemahkan dalam bentuk system pertidaksamaan linier. Penyelesaian dari system
pertidaksamaan linier dapat disajikan dalam daerah himpunan penyelesaian. Diantara
beberapa penyelesaian yang terdapat dalam daerah penyelesaian, terdapat satu
penyelesaian yang terbaik yang disebut penyelesaian optimum. Jadi, tujuan program linier
adalah mencari penyelesaian optimum yang dapat berupa nilai maksimum atau nilai
minimum dari suatu fungsi. Fungsi sasaran disebut juga fungsi tujuan atau fungsi objektif.
Untuk dapat menyelesaikan program linier, terlebih dahulu kita harus terjemahkan
persoalan kedalam bahasa matematika disebut model matematika. Jadi, model matematika
adalah suatu rumusan matematika (berupa persamaan, pertidaksamaan atau fungsi) yang
diperoleh dari hasil penafsiran suatu masalah program linier ke dalam bahasa matematika.
Fungsi adalah suatu bentuk hubungan matematis yang menyatakan hubungan
ketergantungan (fungsional) antara satu unsur dengan unsur lain. Komponen dari suatu
fungsi terdiri atas variabel, koefisien, dan konstanta. Variabel adalah unsur pembentuk fungsi
yang mencerminkan/ mewakili faktor tertentu dan terdiri atas variabel bebas dan variabel tak
bebas. Variabel bebas adalah variabel yang nilainya tidak tergantung variabel lain.
Sedangkan variabel tak bebas adalah variabel yang nilainya tergantung variabel lain.
Koefisien adalah bilangan yang terletak didepan suatu variabel dalam sebuah fungsi.
Konstanta adalah bilangan yang membentuk sebuah fungsi tetapi tidak terkait dengan
variabel (berdiri sendiri). Sedangkan parameter adalah lambang-lambang yang mewakili
anggota sebarang dari semestanya.
Contoh:
133
Luas suatu lahan parker adalah 400 m2. Luas rata-rata satu mobil dan satu bus masing-
masing adalah 8 m2 dan 24 m2. Lahan tersebut hanya memuat paling banyak 20 kendaraan.
Buatlah model matematika dari persoalan tersebut dengan memisalkan mobil yang sedang
diparkir sebanyak x dan bus sebanyak y.
Penyelesaian:
8x + 24y ≤ 400
x + y ≤ 20
Karena x dan y masing-masing menunjukkan banyak mobil dan bus, x dan y berupa
bilangan cacah. Jadi, model matematika persoalan tersebut adalah
8x + 24y ≤ 400
x + y ≤ 20
x ≥ 0, y ≥ 0
x, y € C
B. Menyelesaikan Model Matematika dan Menafsirkannya
1. fungsi objektif ax + by
Tujuan yang hendak dicapai dalam suatu model matematika dinyatakan dalam bentuk
persamaan z = ax + by. Bentuk ax + by yang hendak dioptimumkan tersebut dinamakan
fungsi objektif.
2. menentukan nilai optimum fungsi objektif
Langkah-langkah untuk meyelesaikan persoalan program linier secara umum adalah:
1. Menerjemahkan permasalahan ke dalam model matematika
2. Menyelesaikan system pertidaksamaan yang merupakan kendala atau pembatas.
3. Mencari penyelesaian optimum
4. Menjawab permasalahan.
Berkaitan dengan hal tersebut, kita dapat menggunakan metode grafik yang terdiri atasa dua
macam cara, yaitu metode uji titik sudut dan metode garis selidik.
a. Metode uji titik sudut
Dengan menggunakan metode ini, nilai optimum dari bentuk objektif z = ax + by
ditentukan dengan menghitung nilai-nilai z = ax + by pada setiap titik sudut yang terdapat
pada daerah himpunan penyelesaian. Beberapa nilai yang diperoleh kemudian
134
dibandingkan. Nilai yang paling besar merupakan nilai maksimum dari z = ax + by,
sedangkan nilai yang paling kecil merupakan nilai minimum dari z = ax + by.
Contoh:
Tentukan nilai optimum bentuk objektif dari model matematika berikut,
System pertidaksamaan linier dua variabel.
2x + y ≤ 30
2x + 3y ≤ 50
x ≥ 0, y ≥ 0, dengan x, y € C
Fungsi objektif : memaksimumkan z = x + y
Penyelesaian:
Titik potong garis dengan persamaan 2x + y = 30 dan 2x + 3y = 50 dengan sumbu
koordinat dapat ditentukan dengan membuat tabel.
Tabel 2x + y = 30
x 0 15
y 30 0
(x,y) (0,30) (15,0)
Untuk 2x + 3y = 50
x 0 25
y 16 2/3 0
(x,y) (0,16 2/3) (25,0)
b. Metode garis selidik ax + by = k
Menentukan nilai optimum suatu fungsi objektif dengan menggunakan uji titik sudut
memerlukan perhitungan dan waktu yang cukup lama. Untuk itu, sering digunakan
metode yang lebih sederhana, yaitu metode garis selidik yang berbentuk ax + by = k.
135
C(0,16 2/3)
(0,30)
B(10,10)
(25,0)A(15,0)O
Misalkan terdapat sutu fungsi objektif z = ax + by, dengan a dan b bilangan real. Dengan
mengambil beberapa nilai ki untuk z, yaitu k1, k2, …, kn, diperoleh n garis selidik yang
memiliki persamaan berikut
k1 = ax + by
k2 = ax + by
…
kn = ax + by
Garis-garis tyersebut mempunyai gradient yang sama, yaitu m = - a/b. dengan demikian,
garis-garis tersebut merupakan garis-garis yang sejajar. Apabila digambarkan, sebagaian
dari garis-garis tersebut terletak pada daerah penyelesian pertidaksamaan linier (daerah
feasible) dan salah satu diantaranya melalui titik optimum. Garis yang melalui titik
optimum inilah yang menghasilkan nilai optimum bagi fungsi objektif z = ax + by. Garis
selidik yang berada paling kanan atau paling atas pada daerah penyelesaian
menunjukan nilai maksimum, sedangkan garis selidik yang berada paling kiri atau paling
baah daerah penyelesaian menunjukkan nilai minimum.
Contoh:
Tentukan nilai optimum bentuk objektif model matematia berikut.
System pertidaksamann linier dua variabel:
2x + y ≤ 30
2x + 3y ≤ 50
X, y ≥ 0, dengan x, y € C
Fungsi objektif memaksimumkan z = x + y
Penyelesaian:
Terlebih dahulu kita buat garis x + y = k, dengan k = 0, yaitu x + y = 0. Kemudian, kita
buat garis-garis yang sejajar dengan garis x + y = 0 , yaitu mengambil nilai k yang
berbeda-beda.
Dari gambar, tampak bahwa apabila nilai k makin besar, letak garis-garis x + y = k makin
jauh dari titik O(0,0). Karena nilai k bersesuaian dengan nilai z, nilai z terbesar dan nilai z
136
(0,30)
(15,0) (25,0)
(0,16 2/3)(10,10)
O
terkecil bersesuaian dengan garis terjauh dan garis terdekat dari titk O (0,0). Nilai z
maksimum diperoleh dari garis x + y = k yang memalui titik (10,10), yaitu 10 + 10 = 20 dan
nilai z minimum diperoleh Dario garis x + y = k yang melalui titik O (0,0) yaitu 0 + 0 = 0
Persamaan adalah
III. TINGKAT SMP
a. Persamaan Linear Satu Variabel
Bentuk umum persamaan linier satu variabel:
ax + c = 0
a = koefisien
x = variabel
c = konstanta
koefisien adalah bilangan yang menunjukkan faktor dari variabel
variabel adalah huruf atau lambang yang belum diketahui nilainya.
konstanta adalah bilangan tetap.
1. Sifat persamaan
Suatu persamaan tidak akan berubah nilainya walaupun di tambah, di kurang, dikalikan
atau di bagi dengan suatu bilangan asalkan dilakukan pada kedua ruas.
2. Menyelesaikan persamaan linear satu variabel
Menyelesaikan suatu persamaan adalah mencari pengganti ini dari suatu variabel dengan
suatu bilangan sehingga kalimat matematika terbuka tersebut menjadi kalimat matematika
tertutup yang bernilai benar.
3. Langkah-langkah menyelesaikan persamaan linier satu variabel
Mengumpulkan suku sejenis
Variabel dan konstanta dipisahkan dan dikumpulkan masing-masing dalam satu ruas
137
Menyederhanakan tiap ruas
Menyederhanakan baik variabel maupun konstanta yang sudah terkumpul dalam
masing-masing ruas.
Membagi kedua ruas dengan koeffisien variabel
Apabila koefisien variabelnya belum -1 maka kedua ruas dibagi dengan koefisien
variabelnya sehingga diperoleh koefisien dari variabelnya -1.
Pertidaksamaan inier satu variabel
Pertidaksamaan inier satu variabel adalah kalimat matematika terbuka yang menyatakan
hubungan tidak sama (<, > ≤, ≥ )
Sifat pertidaksamaan:
Suatu pertidaksamaan tidak akan berubah nilainya walaupun dikali/ dibagi dengan bilangan
negative asalkan tanda pertidaksamaannya dirubah arahnya.
b. Persamaan Linear Dua Variabel
1. Pengertian Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan atau
dalam defenisi lain persamaan (equation) adalah pernyataan yang berbentuk A = B, dimana
A disebut ruas kiri atau pihak kiri dan B disebut ruas kanan atau pihak kanan. Selama siswa
menerapkan operasi yang sama terhadap kedua ruas persamaan, maka siswa akan
memperoleh persamaan-persamaan yang setara. Siswa dapat menjumlahkan,
mengurangkan, mengalikan atau membagi kedua ruas suatu persamaan oleh nilai yang
sama dan mendapatkan suatu persamaan yang ekuivalen. Satu-satunya pengecualian yaitu
mengalikan dan membagi dengan nol, itu tidak dibolehkan.
Persamaan garis lurus pada bidang Cartesius dapat dinyatakan dalam bentuk ax +
by = c dengan a, b, c konstanta real dengan a, b ≥ 0, dan x, y adalah variabel pada
himpunan bilangan real. Perhatikan persamaan-persamaan berikut.
a. x + 5 = y
b. 2a – b = 1
c. 3p + 9q = 4
Persamaan-persamaan di atas adalah contoh bentuk persamaan linear dua variabel.
Variabel pada persamaan x + 5 = y adalah x dan y, variabel pada persamaan 2a – b = 1
adalah a dan b. Adapun variabel pada persamaan 3p + 9q = 4 adalah p dan q. Perhatikan
bahwa pada setiap contoh persamaan di atas,
138
banyaknya variabel ada dua dan masing-masing berpangkat satu. Persamaan linear dua
variabel dapat dinyatakan dalam bentuk ax + by = c dengan a, b, c R, a, b ≠0, dan x, y
suatu variabel.
2. Penyelesaian Persamaan Linear Dua Variabel
Perhatikan persamaan x + y = 5. Persamaan x + y = 5 masih merupakan kalimat
terbuka, artinya belum mempunyai nilai kebenaran. Jika nilai x kita ganti bilangan 1 maka
nilai y yang memenuhi adalah 4. Karena pasangan bilangan (1, 4) memenuhi persamaan
tersebut, maka persamaan x + y = 5 menjadi kalimat yang benar. Dalam hal ini dikatakan
bahwa (1, 4) merupakan salah satu penyelesaian dari persamaan x + y = 5.
C. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
a. Persamaan Linear Dua Variabel
Persamaan linear adalah kalimat terbuka yang memiliki hubungan sama dengan dan
variabelnya berpangkat satu. Sedangkan persamaan ax + by + c = 0 dengan a, b dan c € R
dan a, b ≠ 0 dinamakan persamaan linear dua variabel. Suatu konstanta tersebut mengubah
persamaan itu menjadi kalimat yang bernilai benar. Himpunan semua konstanta yang
memenuhi persamaan itu disebut himpunan penyelesaian. Persamaan-persamaan seperti
2x + 5y + 8 = 0, 2y – 6x = 9, 3m + n = 9 adalah bentuk-bentuk persamaan linear dua
variabel.
Sistem persamaan linear dua variabel dalam x dan y adalah suatu susunan x dan y
yang merupakan kesatuan-kesatuan yang masing-masing tidak berdiri sendiri, tetapi
berfungsi membentuk kesatuan secara keseluruhan yang berbentuk ax + by = c, dimana a,b
adalah koefisien dan c adalah konstanta, a dan b tidak sama dengan nol.
Jika diketahui dua persamaan linear dua variabel, yaitu:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Maka kedua persamaan diatas dikatakan sistem persamaan linear dua variabel
dalam bentuk baku. Koordinat titik (x,y) yang memenuhi kedua persamaan itu dikatakan
penyelesaian SPLDV tersebut.
b. Menentukan Himpunan Penyelesaian SPLDV
Dalam menyelesaikan soal-soal sistem persamaan linear dua variabel ada beberapa
metode yang digunakan, yaitu:
Metode Grafik
Grafik dari dua persamaan adalah berupa dua buah garis. Dalam metode grafik ada
tiga hal yang perlu diperhatikan yaitu:
139
1) Jika kedua garis itu berpotongan, maka titik potongnya merupakan
penyelesaian dari sistem persamaan tersebut.
2) Jika kedua garis itu berimpit, maka himpunan penyelesaiannya tak berhingga.
3) Jika kedua garis itu sejajar, maka sistem persamaan tersebut tidak memiliki
penyelesaian.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan x + 2y = 10 dan x + y = 6, x,y € R
dengan metode grafik.
Jawab:
Langkah 1:
Menentukan koordinat titik potong terhadap sumbu X (y = 0) dan sumbu Y (x = 0).
1) x + 2y = 10
x y (x,y)
0 5 (0,5)
10 0 (10,0)
2) x + y = 6,
x y (x,y)
0 6 (0,6)
6 0 (6,0)
Langkah 2:
Menggambar grafik dari kedua persamaan linear dengan memperhatikan koordinat-koordinat
titik potongnya pada suatu sistem koordinat kartesius yaitu:
140
OX
Y
(0,6)
(2,4)
(6,0)
(0,-7)
(6,0)
x + 2y = 10
x + y = 6
Dengan melihat grafik diatas maka dapat ditentukan bahwa kedua garis dari persamaan
tersebut berpotongan pada titik (2,4). Maka himpunan penyelesaian dari persamaan x + 2y =
10 dan x + y = 6 adalah { (2,4) }.
Metode eliminasi
Eliminasi artinya proses menghilangkan salah satu variabel untuk menentukan nilai
variabel lainnya dan sebaliknya.
Adapun langkah-langkah yang digunakan untuk mengeliminasi variabel x atau y
adalah sebagai berikut:
1) Perhatikan salah satu variabel dari masing-masing persamaan. Jika
koefisiennya sama, perkurangkan persamaan (1) dan (2), dan jika berbeda
tanda jumlahkan.
2) Jika koefisiennya berbeda, samakan koefisien dengan mengalikan persamaan-
persamaan dengan konstanta yang sesuai, kemudian lakukan operasi
penjumlahan atau pengurangan seperti pada langkah pertama.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut dengan cara
eliminasi:
x + 2y = 10
x + y = 6, x,y € R
Jawab:
Misalnya yang pertama-tama akan dieliminasi adalah variabel y. Karena koefisiennya tidak
sama, maka persamaan (1) dan (2) diperkalikan dengan konstanta yang bersesuaian
sehingga koefisien y dari masing-masing persamaan menjadi sama.
x + 2y = 10 × 1 x + 2y = 10
x + y = 6 × 2 2x + 2y = 12 (tanda sama maka diperkurangkan)
-x = -2
x = 2
Untuk mengeliminasi variabel x, maka langsung diperkurangkan
x + 2y = 10
141
_
x + y = 6 (tanda sama maka diperkurangkan)
y = 4
Diperoleh nilai x = 2 dan y = 4. Jadi, himpunan penyelesaian dari persamaan tersebut
adalah { (2,4) }.
Metode substitusi
Kata “substitusi” sama artinya dengan “pengganti”, maka yang dimaksud dengan
menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel adalah dengan metode substitusi
adalah terlebih dahulu menyatakan variabel yang satu ke variabel yang lainnya pada salah
satu persamaan, kemudian mensubstitusi (mengganti) variabel tadi ke persamaan yang
satunya lagi.
Untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan metode
substitusi, langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:
1) Pilih salah satu persamaan, kemudian nyatakan salah satu variabel persamaan
tersebut ke dalam variabel yang lain sehingga diperoleh persamaan baru.
2) Substitusi persamaan yang diperoleh pada langkah pertama ke persamaan yang
kedua sehingga diperoleh persamaan linear satu variabel. Kemudian selesaikan
persamaan tersebut sehingga diperoleh nilai salah satu variabel.
3) Substitusi nilai yang diperoleh pada langkah kedua ke persamaan yang
diperoleh pada langkah pertama sehingga diperoleh nilai variabel yang kedua.
Contoh:
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear dua variabel berikut ini:
x + 2y = 10
x + y = 6, x,y € R
Jawab:
Misalkan: x + 2y = 10 . . . (1)
x + y = 6, . . . (2)
Langkah 1
Dari persamaan (1) yaitu x + 2y = 10 dinyatakan ke dalam variabel x sehingga
diperoleh x = 10 – 2y . . . (3)
Langkah 2
142
_
Persamaan (3) disubstitusikan ke persamaan (2), sehingga diperoleh:
(10 – 2y) + y = 6
<=> – y = 6 – 10
<=> – y = – 4
<=> y = 4
Langkah 3
Substitusikan y = 4 ke persamaan (3), diperoleh:
x = 10 – 2 (4) = 2
Dari langkah-langkah diatas maka diperoleh bahwa nilai x = 2 dan y = 4. Jadi,
himpunan penyelesaian dari sistem persamaan diatas adalah { (2,4) }.
Metode Gabungan Eliminasi dan Substitusi
Metode gabungan eliminasi dan substitusi merupakan salah satu cara untuk
menyelesaikan sistem persamaan linear dua variabel dengan mengeliminasi salah satu
variabel kemudian dilanjutkan dengan mensubstitusi nilai variabel yang diperoleh ke dalam
salah satu persamaannya.
III TINGKAT SD
A. Pengenalan Lambang Bilangan
Pada satuan pendidikan SD/MI diberikan pengenalan lambang bilangan melalui
gambar.
=
=
143
=
B. Operasi Hitung
Tamu yang datang 5 orang, kemudian dating lagi tamu 3 orang
+ =
Banyaknya tamu sekarang adalah 8 orang
Indra membawa 4 permen, kemudian ia memberikan ardi 1 permen .
-
Permen indra menjadi ________
=
C. Melakukan operasi hitung perkalian
144
+ +
Ada 3 piring yang berisi jeruk. Setiap piring berisi 6 buah jeruk. Banyak jeruk seluruhnya
dapat dihitung dengan cara. 6 + 6 + 6 = 18
Bentuk 6 + 6 + 6 menunjukkan penjumlahan angka 6 sebanyak 3 kali.
Jadi, 6 + 6 + 6 dapat ditulis menjadi perkalian 3 × 6 = 18.
D. Membandingkan banyak benda
Nanang memiliki enam belas ekor burung merpati, Adit memiliki dua belas ekor burung
merpati. Manakah yang lebih banyak burung merpati Nanang atau burung merpati Adit ?
perhatikan gambar berikut
burung merpati Nanang
Burung merpati Adit
Burung merpati Nanang 16 ekor, sedangkan burung merpati Adit 12 ekor.
Jadi burung merpati Nanang lebih banyak dibanding burung merpati Adit
145
III PENUTUP
A. KESIMPULAN
Berdasarkan kajian materi di atas, maka dapat ditarik kesimpulan bahwa konsep
dasar materi program linier telah diperkenalkan pada jenjang pendidikan dasar yaitu di
SD/MI yang dimulai dari pengenalan lambang bilangan yang direpresentasikan melalui
gambar yang ada di sekeliling siswa, melaukan penjumlahan, pengurangan, perkalian dan
pembagian serta membandingkan banyaknya benda. Di jenjang pendidikan menengah yaitu
SMP/MTs telah diperkenalkan persamaan linier satu variabel dan persamaan linier dua
variabel serta system persamaan linier dua variabel. Pada tingkat SMA/MA terdapat materi
khusus di kelas XII yaitu program linier yang membahas menerjemahkan permasalahan ke
dalam model matematika, menyelesaikan system pertidaksamaan yang merupakan kendala
atau pembatas, mencari penyelesaian optimum, menjawab permasalahan. Metode yang
digunakan adalah metode grafik dengan menggunakan uji titik sudut dan garis selidik. Pada
tingkat universitas, terdapat mata kuliah khusus program linier yang membahas metode
penyelesaian program linier yang tujuannya mencari keuntungan maksimum dan
mengeluarkan biaya minimum. Metode yang diberikan pada universitas adalah metode
grafik, metode simpleks, metode analisis dual, metode transportasi.
B. SARAN
Diharapkan kepada guru:
1. Memperdalam konsep matematika siswa, khususnya yang mengajar pada pendidikan
dasar.
2. Sebelum membelajarkan materi program linier, terlebih dahulu memperdalam materi
prasyarat.
3. Mampu menciptakan lingkungan belajar yang menyenangkan sehingga materi dapat
terserap dengan baik.
146
4. Dapat menyampaikan alternatif solusi permasalahan program linier yang lebih praktis
khususnya dalam menjawab soal ujian nasional.
DAFTAR PUSTAKA
Agus, Nunik Afianti. 2007. Mudah Belajar Matematika. Departemen Pendidikan Nasional.
Jakarta
Siswanto. 2007. Matematika Inovatif 3A konsep dan aplikasinya. Solo. Tiga Serangkai
Tiro Arif, Bernard. 2004. Pengenalan Manajemen Sains. Andira Publisher. Makassar
Wahyuni Tri dan Nuharini Dewi. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya. Departemen
Pendidikan Nasional. Usaha Makmur. Surakarta.
147