Post on 16-Oct-2021
1
PERSAMAAN DIFERENSIAL DAN
APLIKASI
MINGGU 3
Persamaan Terpisah
2
β’ PD yang dapat dituliskan dalam bentuk :ππ¦
ππ₯= π π₯ π π¦ ββ π π¦ ππ¦ = π π₯ ππ₯
disebut PD terpisah.
β’ Penyelesaian : Pisahkan Variabel terikat dan Variabel bebas lalu integralkan kedua ruas
Persamaan Terpisah
3
β’ Contoh : tentukan solusi PD
1.(x ln x) y' = y
2.yβ = x3e-y ; y(2)=0
Persamaan Terpisah
4
1. (x ln x) y' = y
ydx
dyxx ln
xx
dx
y
dy
ln
cxy lnlnlnln
xcy lnlnln
xcy ln
Integralkan kedua ruas
Pisahkan Variabel x dan y
xx
dx
y
dy
ln
Solusi Umum
Persamaan Terpisah
5
y' = x3 e-y
Integralkan kedua ruas
Pisahkan Variabel x dan y
Solusi Umum
yexdx
dy 3
dxxe
dyy
3
dxxdye y 3
cxe y 4
4
1
cxy 4
4
1ln
Diketahui y(2) = 0
c4)2(
4
1ln0
3
4
1ln 4xy
341 cc
Solusi Khusus
Persamaan Terpisah
6
β’ Latihan Soal
Persamaan Linier
7
β’ PD yang dapat dituliskan dalam bentuk :
π1 π₯ππ¦
ππ₯+ π0 π₯ π¦ = π π₯
atau dalam bentuk :ππ¦
ππ₯+ π π₯ π¦ = π π₯
Dimana π π₯ =π0 π₯
π1 π₯dan r π₯ =
π π₯
π1 π₯
β’ Persamaan ini disebut PD linier
Persamaan Linier
8
β’ Penyelesaian :
1. kalikan kedua ruas dengan faktor integrasi
2. kalikan kepada kedua ruas, sehingga diperoleh:ππ¦
ππ₯π π π₯ ππ₯ + π π₯ π¦π π π₯ ππ₯ = π(π₯)π π π₯ ππ₯
Dengan memanfaatkan aturan turunan (uv)β=uβv+vβu
Maka didapatkan bentuk
(π¦π π π₯ ππ₯)β²= π(π₯)π π π₯ ππ₯
dxxP
ex)(
)(
Persamaan Linier
9
β’ Penyelesaian :
3. Integralkan kedua ruas
ΰΆ±(π¦π π π₯ ππ₯)β²ππ₯ = ΰΆ±π(π₯)π π π₯ ππ₯
π¦π π π₯ ππ₯ = ΰΆ±π(π₯)π π π₯ ππ₯ + π
β πππ πππ πππ’π‘ π πππ’π π π’ππ’π ππ·
Persamaan Linier
10
Cari Solusi Untuk xyβ β 2y = x3 ex
xexyx
y 22' (bagi kedua ruas dgn x)
2lnln2
22
xeee xxdxx
Faktor Integrasi
xeyx
yx
32
2'
1
Kalikan faktor integrasi ke keda ruas
xeyx
1
2
1cey
x
x 2
1
Solusi Umum 22 xcexy x
Persamaan Linier
11
Cari solusi untuk yβ + y = (x + 1)2, y(0) = 3Faktor Integrasi
Kalikan faktor integrasi ke kedua ruas
xdxee 1
21' xeyeye xxx
)1()'( 2 xeye xx
dxxeye xx 2)1(
dxexexye xxx )1(212
ceexexye xxxx 2)1(212
Persamaan Linier
12
Sehingga, solusi umum
xcexxy 21212
xcexy 12
c13
2c
Diketahui y(0) = 3
Sehingga, solusi khusus xexy 212
Persamaan Linier
13
Persamaan Linier
14
Catatan :β’ Bila r(x) = 0 disebut PDBL Homogen sehingga solusi nya disebut
solusi homogen, sebaliknya jika r(x) β 0 disebut PDBL tak homogen sehingga solusinya disebut solusi non homogen
β’ Adakalanya PD orde 1 tidak linier pada satu variabel tapi linier terhadap variabel lain, contohnya
ππ¦
ππ₯=
1
π₯ + π¦2
Persamaan ini tidak linier terhadap y, tetapi dapat diubahbentuknya menjadi
ππ₯
ππ¦= π₯ + π¦2 β
ππ₯
ππ¦β π₯ = π¦2
Setelah diubah bentuknya, diselesaikan dengan PD linier yang diintegralkan terhadap variabel y
Persamaan Eksak
15
β’ PD yang dapat dituliskan dalam bentuk :π π₯, π¦ ππ₯ + π π₯, π¦ ππ¦ = 0
β’ Persamaan ini disebut PD Eksak jika bagian di ruas kiriadalah diferensial eksak
β’ Persamaan dikatakan diferensial eksak jika :β M(x,y) dan N(x,y) kontinyu dan memiliki turunan
pertama parsial nya kontinyu di daerah R, maka
ππ
ππ¦=ππ
ππ₯
Persamaan Eksak
16
β’ Penyelesaian :
1. Tentukan apakah syarat diferensial eksakterpenuhi. Jika terpenuhi, maka
ππ
ππ₯= π(π₯, π¦)
2. Integralkan kedua ruas terhadap x, dengan y adalah konstanta.
π π₯, π¦ = ΰΆ±π π₯, π¦ ππ₯ + π π¦
g(y) adalah βkonstantaβ integrasi
Persamaan Eksak
17
3. Turunkan persamaan f terhadap y dan asumsikanππ
ππ¦= π π₯, π¦
Sehingga didapatkanππ
ππ¦=
π
ππ¦ΰΆ±π π₯, π¦ ππ₯ + πβ² π¦ = π π₯, π¦
β πβ² π¦ = π π₯, π¦ βπ
ππ¦ΰΆ±π π₯, π¦ ππ₯
4. Integralkan kedua ruas terhadap y dan substitusidengan hasil di tahap 2. Solusi implisit daripersamaan tersebut adalah f(x,y)=c
Persamaan Eksak
18
β’ Catatan :
1. Prosedur integrasi saat memulainya bisa diubah, dapatdimulai juga dengan asumsi
ππ
ππ¦= π π₯, π¦
Selanjutnya diselesaikan dengan integrasi terhadap y, barumelakukan diferensiasi terhadap x, sehingga didapatkan
π π₯, π¦ = ΰΆ±π π₯, π¦ ππ¦ + β π₯
β ββ² π₯ = π π₯, π¦ βπ
ππ₯ΰΆ±π π₯, π¦ ππ¦
Persamaan Eksak
19
β’ Catatan :
Cara lain untuk menyelesaikan persamaan non eksakadalah dengan menggunakan cara penyelesaian PD eksak dengan mengubah faktor integrasi π π₯ .
Jika (My-Nx)/N hanya menghasilkan fungsi x, makafaktor integrasinya adalah
π π₯ = πππ¦βππ₯
πππ₯
-jika (Nx-My)/M hanya menghasilkan fungsi y, makafaktor integrasinya adalah
π π¦ = πππ₯βππ¦
πππ¦
Persamaan Eksak
20
Cari solusi untuk 2xy dx + (x2-1) dy = 0
Buktikan apakah eksak
xy
xy
y
M2
)2(
x
y
x
x
N2
)1( 2
EKSAK
)()(
)(]2[)(
)(]),([)(
2 ygyxxyf
ygxyxyf
ygdxyxMxyf
Cari nilai f(x,y) Turunkan nilai f(x,y) terhadap y
)(),(
))((),(
2
2
ygxy
yxf
y
ygyx
y
yxf
Persamaan Eksak
21
Cari nilai g(y)
1)(
),(),(
22
xygx
yxNy
yxf
Sehingga
yyg
yg
)(
1)(
yyxyxf 2),(
Solusi eksplisit
Solusi implisit
cyyx 2
)1( 2x
cy
Meng-eksak-kan PD non-eksak
22
β’ PD non eksak jika ππ
ππ¦β
ππ
ππ₯dapat diubah menjadi
persamaan eksak
β’ Mengubah PD non-eksak menjadi PD eksak dilakukan dengan mengalikan PD dengan faktor integrasi.
dxxQ
dxxP
ex
atau
ex
)(
)(
)(
)(
Meng-eksak-kan PD non-eksak
23
β’ Dengan nilai P(x) dan Q(x) adalah
M
x
N
y
M
xQ
N
x
N
y
M
xP
)(
)(
)(
)(
Meng-eksak-kan PD non-eksak
24
yy
M
yx
N
2
2
Cari solusi untuk (4x3+x2-y2) dx + 2xy dy = 0
TIDAK EKSAK
Cari nilai P(x)
xxP
xy
yyxP
2)(
2
)22()(
Cari nilai faktor integrasi
x
dxx
dxxP
ex
ex
ex
ln2
2
)(
)(
)(
)(
2
)1
ln(
1)(
)(2
xx
ex x
Meng-eksak-kan PD non-eksak
25
Kalikan faktor integrasi ke PD non eksak
0)2()14(
0)2(1
)4(1
2
2
2
223
2
dyx
ydx
x
yx
dyxyx
dxyxxx
PD. EKSAK
Pembuktian
2
2
2
2
x
y
y
M
x
y
x
N
PD. EKSAK
Setelah itu diselesaikan
dengan langkah-langkah yang
sudah dijelaskan diatas
Persamaan Eksak
26
Pemodelan PD orde 1 pada Rangkaian Listrik
27
β’ Rangkaian listrik dengan loop >1 dapat diselesaikan dengan PD
β’ Contoh dari gambar di atas didapatkan :
)()()( 321 tititi
Pemodelan PD orde 1 pada Rangkaian Listrik
28
β’ Untuk loop i1 dan i2 didapatkan
β’ Untuk loop i1 dan i3 didapatkan
222
111)( Ridt
diLRitE
dt
diLRitE 3
11 2)(
Pemodelan PD orde 1 pada Rangkaian Listrik
29
β’ Menggunakan persamaan slide 28 untuk mengeliminasi nilai i1 pada persamaan slide 29 maka didapat 2 PD linear untuk i2 dan i3
)(
)()(
31213
2
312212
1
tEiRiRdt
diL
tEiRiRRdt
diL