Post on 26-Oct-2015
description
PERILAKU DINAMIK SISTEM AUTOPARAMETRIK DENGAN
EKSITASI EKSTERNAL
Budi Priyo Prawoto1, Erna Apriliani
1, Abadi
2
1Jurusan Matematika FMIPA ITS
2Jurusan Matematika FMIPA UNESA
E-mail: budiprawoto@ymail.com
Abstrak
Persamaan diferensial banyak dijumpai sebagai model matematika dalam
berbagai kasus di berbagai disiplin ilmu. Salah satu contohnya adalah
persamaan osilasi yang dipakai untuk memperoleh solusi dari suatu masalah.
Dalam penelitian ini dibahas mengenai perilaku dinamika sistem autoparametrik
dengan eksitasi eksternal yang meliputi kestabilan sistem, kestabilan di titik-titik
tetap dan bifurkasi yang terjadi di titik tersebut. Metode yang digunakan untuk
menentukan penyelesaian adalah metode Averaging.
Dari hasil analisa didapat12 titik tetap yang simetris. Dari semua titik tetap
yang ada, hanya pada titik tetap p3,4 dan p11,12 yang mengalami percabangan atau
perubahan kestabilan dengan merubah nilai parameter κ1 dengan syarat stabil
κ1>2κ2.
Kata kunci : bifurkasi, eksitasi eksternal, metode Averaging, perilaku dinamik,
sistem autoparametrik
PENDAHULUAN
Sistem autoparametrik adalah sistem getaran yang memuat setidaknya dua
subsistem. Subsistem sekunder digabung secara tak linier ke subsistem utama,
sedemikian hingga subsistem sekunder dapat pada posisi diam selama subsistem
utama sedang bergetar. Hal ini disebut sebagai solusi semitrivial atau normal
mode (A. Tondl, 2000).
Secara umum bahasan mengenai sistem tersebut ada tiga yang masing-masing
memiliki sistem utama yang berbeda, yaitu external excitation, parametric
excitation, dan self-excitation. Yang akan dibahas dalam penelitian ini adalah
sistem autoparametrik dengan external excitation dengan bentuk 2 2
1 1 cos ,x x x y a 2
2 2 0y y q y xy (1)
Selanjutnya digunakan metode Averaging untuk mencari penyelesaian dari sistem.
PENYELESAIAN SEMITRIVIAL dan KESTABILANNYA
Penyelesaian semitrivial didefinisikan sebagai penyelesaian dari sistem (1) dengan
mengambil y=0. 2
1( cos )x x x a (2)
( , '),x x f x x dengan 2
1( , ') ( cos )f x x x a
sehingga saat ε = 0, penyelesaian dari (2) adalah
( ) ( )x Rcos . (3)
dengan R dan ψ adalah konstan.
Untuk ε ≠ 0, penyelesaian dari (2) tetap bisa ditulis dalam bentuk (3) dengan R
dan ψ adalah fungsi dalam τ. selanjutnya
'( ) sin( )x R
( )x Rcos , dengan
'( ) sinx R
Dengan melakukan diperoleh
1
1' ( sin )
2R R a
1' cos
2a
R
Karena R dan ψ konstan maka R’ =0 dan ψ’=0, kemudian didapat
0
1
sinaR R
dan
/ 2
Sehingga didapat
0
1
aR
(4)
Untuk menyelidiki kestabilan dari penyelesaian semitrivial 0 ( )x x dalam sistem
(1), diberikan suatu pertubasi kecil terhadap penyelesaian sedemikian hingga:
0 ( ) , 0x x u y v
Dengan u pertubasi terhadap x dan v pertubasi terhadap y.
Sehingga
0 0cos( ) , 0x R u y v
Dengan mensubsitusikan persamaan (4.4) ke dalam persamaan (4.3) didapat
1
2
2 2 0 0
'' ' 0
'' ' ( cos( ) 0
u u u
v v q R v
(5)
Persamaan pertama pada sistem di atas adalah osilasi teredam sehingga pada saat
tak hingga (t=∞) menuju ke nol maka lim ( ) 0t
u t
.
Dengan 2 21
4q , v1=v, v2=v’, dan 0 0 maka
1 2
2
2 1 2 2 1 2 0 1
'
1' ( cos )
4
v v
v v v v R v
Aplikasikan metode averaging dengan permisalan sebagai berikut
1 1 1( ), ' sin( )2 2 2
v Rcos v R
v Rcos ,1
' sin2
v R dengan 1
2
sehingga
2 2 0
2 0
1' ( sin 2 )
2
1 1' ( cos 2 )
2
R R R R
R
(6)
Dari (6) bisa didapat
2
2 2 2 2 2
2 0
1 10
4 4R (7)
dan setelah dengan pendekatan response-oriented didapat: 1
2 2 2 20 2
2
1(4 ) ( )cR R
(8)
Plotting Rc(η) bersamaan dengan amplitudo R0(η) dari penyelesaian semitrivial.
ANALISA PENYELESAIAN NONTRIVIAL
Untuk menganalisa penyelesaian nontrivial dari sistem (4.1) tetap akan digunakan
metode averaging. Untuk itu, di buat permisalan sebagai berikut
1 1 2 2
1( ) ( ), ( ) cos( )
2x R cos y R
1 1 2 2
1 1' sin( ), ' sin( )
2 2x R y R misal 1 1 dan
2 2
1
2
dengan mengaplikasikan metode averaging didapat
2 21 1 1 1 1 2 1 2
2 21 1 1 2 1 2
1
2 2 2 2 1 2 1 2
2 2 1 1 2
1 1' sin sin( 2 )
2 2
1 1' cos cos( 2 )
2 2
1' sin( 2 )
2
1 1' cos( 2 )
2
R R a R
a RR
R R R R
R
setelah menghilangkan faktor rescale ε, diperoleh
η
q=0.5 q=0.75 q=1
R
0
Rc
η
2 21 1 1 1 1 2 1 2
2 21 1 1 2 1 2
1
2 2 2 2 1 2 1 2
2 2 1 1 2
1 1' sin sin( 2 )
2 2
1 1' cos cos( 2 )
2 2
1' sin( 2 )
2
1 1' cos( 2 )
2
R R a R
a RR
R R R R
R
(9)
Untuk menganalisa sistem (9), akan dibahas resonansi eksak ( 0 ) dan
resonansi hampiran ( 0 ). Pertama, diasumsikan bahwa ' ' ' '
1 1 2 2, , ,R R adalah
konstan. Kemudian dicari titik tetap dengan memberikan nilai pada parameter
2 1 2, , dan membiarkan nilai 1 berubah-ubah. Sete;ah itu dilakukan analisa
bifurkasi yang terjadi pada titik tetap.
RESONANSI EKSAK
Diberikan 0 dan diasumsikan 1 20, 0 , sistem (4.18) menjadi
2 21 1 1 1 1 2 1 2
2 21 1 1 2 1 2
1
2 2 2 2 1 2 1 2
2 2 1 1 2
1 1' sin sin( 2 )
2 2
1 1' cos cos( 2 )
2 2
1' sin( 2 )
2
1' cos( 2 )
2
R R a R
a RR
R R R R
R
(10)
TITIK TETAP dan KESTABILANNYA
Penentuan titik tetap dari sistem dilakukan dengan mencari penyelesaian dari
sistem (10). Karena 1 1 2 2' 0, ' 0, ' 0,dan ' 0R R maka
1 1 1 2 2 2 1 1 2 2( , , , ) 0, ( , , , ) 0,f R R f R R
3 1 1 2 2 4 1 1 2 2( , , , ) 0, ( , , , ) 0f R R f R R , dengan 1 2 3 4, , ,f f f f adalah ruas kanan
dari sistem (10), dan diperoleh titik tetap p sebagai berikut
untuk 1 22 / 2
1 1 1 2 2
1
( , , , ) ( , ,0,0)2
ap R R
2
1
( , ,0, )2 2
ap
22 1 2 2
3,4
2 1 2
2 ( )( , , ,0)
2
ap
22 1 2 2
5,6
2 1 2
2 ( )( , , , )
2 2
ap
untuk 1 22 / 2
7
1
( , ,0, )2 2
ap
8
1
( , ,0,0)2
ap
22 1 2 2
9,10
2 1 2
2 ( )( , , , )
2 2
ap
22 1 2 2
11,12
2 1 2
2 ( )( , , ,0)
2
ap
Matrik Jacobian dari sistem (4.9) adalah
2 2 211 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 21 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22
1 1 11
1 1 1 1cos cos( 2 ) sin( 2 ) cos( 2 )
2 2 2 2 2
1 1 1 1 1 1cos cos( 2 ) sin sin( 2 ) cos( 2 ) sin( 2 )
2 2 2 2 22
1
a R R R
a R a R R RR R RR
J
2 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2
2 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2
1 1 1sin( 2 ) cos( 2 ) sin( 2 ) cos( 2 )
2 2 2
1 1 1cos( 2 ) sin( 2 ) 0 sin( 2 )
2 2
R R R R R R
R R
di dalam manifold invariant R2=0, di mana titik tetap berada, matrik Jacobian 3x3
yang sesuai adalah
2 2 211 1 2 1 2 1 2 1 2
2 2 2 2 21 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 1 22
1 11
2 1 2 2 1 1 2
1 1 1cos cos( 2 ) cos( 2 )
2 2 2 2
1 1 1 1 1cos cos( 2 ) sin sin( 2 ) sin( 2 )
2 2 2 22
1 1 1cos( 2 ) sin( 2 )
2 2
a R R
J a R a R RR RR
R
2 1 1 2sin( 2 )R
Dengan memasukkan nilai titik tetap pada J,
Untuk 1
1
( , ,0,0)2
ap
, didapat
11,2
32
1
20
a
stabil.
Untuk 2
1
( , ,0, )2 2
ap
, didapat
11,2
2
1
3
02
0a
tidak stabil.
Untuk 2
2 1 2 23,4
2 1 2
2 ( )( , , ,0)
2
ap
, didapat
11
22 1 2 1 2 2
23 1 2 1 2 2
02
12 ( 2 ) 8
4
12 ( 2 ) 8
4
a
a
agar bersifat stabil maka Re(λ2,3) < 0, haruslah 1 22 , nilai itu bisa
menyebabkan λ2,3 berupa bilangan komplek saat 22 1 28 ( 2 )a .
Untuk 2
2 1 2 25,6
2 1 2
2 ( )( , , , )
2 2
ap
, didapat
11
22 1 2 1 2 2
23 1 2 1 2 2
02
12 ( 2 ) 8 0
4
12 ( 2 ) 8 0
4
a
a
tidak stabil.
Untuk 7
1
( , ,0, )2 2
ap
, didapat
11,2
2
1
3
12
0
0
a
tidak stabil.
Untuk 8
1
( , ,0,0)2
ap
, didapat
11,2
2
1
3
02
0a
tidak stabil.
Untuk 2
2 1 2 29,10
2 1 2
2 ( )( , , , )
2 2
ap
, didapat
11
22 1 2 1 2 2
23 1 2 1 2 2
02
12 ( 2 ) 8 0
4
12 ( 2 ) 8 0
4
a
a
tidak stabil
Untuk 2
2 1 2 211,12
2 1 2
2 ( )( , , ,0)
2
ap
, didapat
11
22 1 2 1 2 2
23 1 2 1 2 2
02
12 ( 2 ) 8
4
12 ( 2 ) 8
4
a
a
sama dengan nilai igen pada p3,4
ANALISA BIFURKASI
Titik tetap p3,4 dan p11,12 mempunyai nilai eigen yang sama dengan persamaan
karakteristik
1 1 1 2 22( - )(( )( ) ( )) 0
2 2 2
a
Untuk selanjutnya 1( - )2
tidak diperhatikan, yang akan dibahas adalah bagian
1 1 2 22( )( ) ( )
2 2
a
. Untuk selanjutnya
1 1 2 21 2( , ) ( )( ) ( )
2 2
af
.
1 1 2 22
2 1 22
( )( ) ( ) 02 2
( ) 02 2
a
a
untuk i , maka 1( , ) 0f
2 2 12( ) 0
2 2
ai
2 1 22( ) ( ) 0
2 2
ai i
2 2 02
a dan 1
2( ) 02
Didapat
2
2
a dan 1 22
Untuk 1 22 , maka 1( , ) 0f memiliki sepasang akar imajiner yaitu
2
2
a .
Selanjutnya akan ditunjukkan syarat tranversal terpenuhi, yaitu
1
1
Re ( ) 0d
d
, dengan differensiasi total 1( , )f didapat
1
1
0
0
df
f fd d
1
1
112
12
22
f
d
fd
d
d
1 2
1
1 2
1( ) 0
4
d
d
Dengan demikian, saat 1 22 terjadi bifurkasi Hopf.
Simulasi I ( 1 22 )
diambil nilai 1 1 2 20.1, 0.5, 0.7, 0.1, 0.2, 0.01a q
0 200 400 600 800 1000 1200-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x()
y()
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x()
y(
)
(a) (b)
Gambar 4.3 (a) Grafik Penyelesaian x(τ) dan y(τ)
(b) Grafik Hubungan x(τ) dan y(τ)
diambil nilai 1 1 2 20.1, 0.5, 30, 0.1, 0.1, 0.01a q
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x()
y()
-0.05 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3
-0.4
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
x()
y(
)
(a) (b)
Gambar 4.4 (a) Grafik Penyelesaian x(τ) dan y(τ)
(b) Grafik Hubungan x(τ) dan y(τ) dengan
Gambar 4.3 dan gambar 4.4 merupakan simulasi perilaku sistem pada saat
1 22 , yaitu dengan mengambil nilai parameter 1 20.7, 0.2 pada
Gambar 4.3 dan 1 230, 0.1 pada Gambar 4.4. Dapat di lihat bahwa osilasi
akan lebih cepat menuju ke titik setimbang dengan mengambil nilai 1 yang jauh
lebih besar.
Simulasi II ( 1 22 )
diambil nilai 1 1 2 20.1, 0.5, 0.4, 0.1, 0.2, 0.01a q
0 200 400 600 800 1000 1200-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x()
y()
-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x()
y(
)
(a) (b)
Gambar 4.5 (a) Grafik Penyelesaian x(τ) dan y(τ)
(b) Grafik Hubungan x(τ) dan y(τ) dengan
Simulasi III ( 1 22 )
diambil nilai 1 1 2 20.1, 0.5, 0.1, 0.1, 0.2, 0.01a q
0 500 1000 1500
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x()
y()
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
x()
y(
)
(a) (b)
Gambar 4.6 (a) Grafik Penyelesaian x(τ) dan y(τ)
(b) Grafik Hubungan x(τ) dan y(τ) dengan
diambil nilai 1 1 2 20.1, 2.5, 0.1, 0.1, 30, 0.1a q
0 2000 4000 6000 8000 10000 12000
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
x()
y()
-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
x()
y(
)
(a) (b)
Gambar 4.7 (a) Grafik Penyelesaian x(τ) dan y(τ)
(b) Grafik Hubungan x(τ) dan y(τ) dengan
Gambar 4.6 dan gambar 4.7 merupakan simulasi perilaku sistem pada saat
1 22 , yaitu dengan mengambil nilai parameter 1 20.1, 0.2 pada
Gambar 4.6 dan 1 20.1, 30 pada Gambar 4.7. Dapat di lihat bahwa
amplitudo bertambah besar dari amplitudo awal sampai pada angka 1. Amplitudo
tidak akan melebihi angka 1 karena itu adalah nilai maksimal suatu amplitudo.
KESIMPULAN
Berdasarkan uraian dari bab-bab sebelumnya, dapat diambil kesimpulan sebagai
berikut:
1. Pada model sistem autoparametrik dengan eksitasi eksternal diperoleh 12 nilai
titik tetap 1 1 2 2( , , , )p R R . Titik tetap yang stabil hanya titik tetap p1, sedang
untuk titik tetap p2,5,6,7,8,9,10 tidak stabil.
Dari semua titik tetap yang ada, hanya titik tetap 2
2 1 2 23,4
2 1 2
2 ( )( , , ,0)
2
ap
dan
22 1 2 2
11,12
2 1 2
2 ( )( , , ,0)
2
ap
yang merupakan titik percabangan.
Artinya, di titik tersebut terjadi perubahan kestabilan.
2. Pada model sistem autoparametrik dengan eksitasi eksternal terjadi bifurkasi
Hopf pada titik tetap p3,4 dan p11,12 pada saat nilai 1 22 .
REFERENSI
[1]. A.Tondl, 2000, Autoparametric Resonance in Mechanical Systems,
Cambridge University: USA
[2]. Abadi, 2003, Nonlinear Dynamics of Self-Excittation in Autoparametris
Systems, Utrecht University: Netherland
[3]. Mickens Ronald E, 1996, Oscillations in Planar Dynamic Sistems, World
Scientific: Singapore
[4]. Morris, W, 2003, Differential Equations, Dynamical Sistems & An
Introduction to Chaos, Second Edition, Elsevier: USA
[5]. Nayfeh & Mook, 1979, Nonlinear Oscillations, John Wiley & Sons, Inc: USA
[6]. S. Wiggins, 1990, Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Sistems and
Chaos, Springer-Verlag: USA
[7]. Taoufik Bakri, 2007, Averaged Behaviour of Nonconservative Coupled
Oscillators, Utrecht University: Netherland